Analiza matematyczna 2, 2016/2017 ćwiczenia 2.
28 luty 2017
1. Korzystając z kryterium Cauchy’ego zbadaj zbieżność szeregu:
∞
∑
n=1
n 2n.
2. Korzystając z kryterium Leibniza zbadaj zbież- ność szeregu:
∞
∑
n=1
(−1)n+1
n .
3. Zbadaj, dla jakich wartości x ∈ R, szereg:
∞
∑
n=1
xn n ,
jest zbieżny, a dla jakich rozbieżny?
4. Zbadaj zbieżność szeregu:
∞
∑
n=1
1
√n
n,
∞
∑
n=1
2n n (3n+1),
∞
∑
n=1
nn 3n⋅n!,
∞
∑
n=1
n5 2n,
∞
∑
n=1
(n!)2 (2n)!,
∞
∑
n=1
(−1)n
√ 2n + 1.
5. Zbadaj zbieżność szeregu oraz sprawdź, czy jest on zbieżny bezwzględnie:
∞
∑
n=1
(−1)n+1 n2⋅en ,
∞
∑
n=1
(−1)n+1
√3
n + 1,
∞
∑
n=1
(−1)n+1n√ n
n .
6. Oblicz sumę szeregu:
∞
∑
n=1
1 + 2n+3n 4n .
Zadania domowe
1. Korzystając z kryterium porównawczego wykaż, że szereg ∑∞n=1 1
4n2−1 jest zbieżny. Policz jego sumę.
2. Zbadaj zbieżność szeregu oraz sprawdź, czy jest on zbieżny bezwzględnie:
∞
∑
n=0
cos ((n + 1)π) n ⋅ 5n .
1
