Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 5. – rozwiązania

Analiza matematyczna, 2016/2017 ćwiczenia 5. – rozwiązania

18 listopada 2016

1. Sprawdź korzystając z:

ˆ definicji granicy funkcji Heinego

ˆ definicji granicy funkcji Cauchy’ego że lim_x→3x²= 9.

Z definicji Heinego: rzeczywiście, jeśli xn→ 3, to z twierdzenia o arytmetyce granic, xn⋅ xn→ 9. ◻ Z definicji Cauchy’ego: niech ε> 0. Wtedy niech δ =√

9+ ε − 3. Jeśli 3 < x <√

9+ ε, to x²− 9 < ε. Jeśli 3−√

9+ ε + 3 < x < 3, to x² > 36 + 9 + ε − 12√

9+ ε, a zatem 9 − x² < −36 − ε + 12√

9+ ε < ε, bowiem 36(9 + ε) < ε²+ 6ε + 324, czyli 12√

9+ ε < 2ε + 36. ◻ 2. Oblicz, o ile istnieją, granice funkcji:

xlim→∞(√

x²+ 1 − x)

√

x²+ 1 − x = ⁽

√x²+1−x)(√ x²+1+x)

√x²+1+x = √ ¹

x²+1+x. Na podstawie arytmetyki granic, mianownik zbiega przy x→ ∞ do ∞, więc całość do zera.

limx→1

x³− 1 x− 1

Ponieważ liczymy granicę dla x → 1, to wygodnie będzie wyciągnąć z licznika x − 1, czyli: ^x_x−1³⁻¹ =

(x²+x+1)(x−1)

x−1 = x²+ x + 1Ð→_x→13.

x→−2lim

x⁴+ 5x³+ 11x²+ 16x + 12 x³+ 16x²+ 52x + 48

Widać, że −2 jest pierwiastkiem i licznika i mianownika, a zatem wyciągamy przed nawias (x + 2):

x⁴+5x³+11x²+16x+12

x³+16x²+52x+48 =^(x+2)(x_(x+2)(x^3+3x2+14x+24)^2+5x+6)= ^x3_x^+3x2+14x+24^2+5x+6 Ponieważ nadal−2 jest pierwiastkiem, to wyciągamy przed nawias(x + 2) ponownie: ^x_x^3+3x2+14x+24^2+5x+6= ^x3_x^+3x2+14x+24^2+5x+6 = ^(x+2)(x(x+2)(x+12)^2+x+3)= ^x2_x^+x+3_{+12 x→−2}

ÐÐ→⁻¹¹⁰.

x→−1lim 1+√³

x 1+√⁵

x Skorzystam z podstawienia y(x) = ¹⁵√

x. Zauważmy, że jeśli x → −1, to y → −1, co więcej y = −1 wte- dy i tylko wtedy, gdy x = −1. a zatem: limx→−11+√³

x 1+√⁵

x = limy→−11+y⁵

1+y³ = limy→−1(y+1)(y⁴−y³+y²−y+1) (y+1)(y²−y+1) = lim_y→−1^y4−y_y³₂^+y_−y+1^2−y+1= ⁵₃.

limx→5

√3

x− 4 − 1 x− 5

Skorzystam z podstawienia y(x) = x − 5. Zatem jeśli x → 5, to y → 0, co więcej oczywiście y = 0, tylko gdy x= 5. Zatem:

x→5lim

√3

x− 4 − 1 x− 5 = lim

y→0

√3

y+ 1 − 1

y = lim

y→0

(√³

y+ 1 − 1)((√³

y+ 1)²+√³

y+ 1 + 1) y((√³

y+ 1)²+√³

y+ 1 + 1) = 1

= lim

y→0

y y((√³

y+ 1)²+√³

y+ 1 + 1)= lim

y→0

1 (√³

y+ 1)²+√³

y+ 1 + 1= 1 3.

x→0lim(1 + x)^2015x1

Korzystam z tego, że lim_x→±∞(1 +_x¹)^x= e. Policzę osobno lim_x→0⁺(1 + x)^2015x1 oraz lim_x→0−(1 + x)^2015x1 . Korzystam z podstawienia y(x) = _x¹. Zauważam, że jeśli x→ 0⁺, to y → ∞. Co więcej tylko w tym wy- padku y→ ∞. Zatem limx→0⁺(1 + x)^2015x1 = limy→∞ ²⁰¹⁵

√

(1 +¹_y)^y= ²⁰¹⁵√

e. Podobnie limx→0⁻(1 + x)^2015x1 = limy→−∞ ²⁰¹⁵

√

(1 +¹_y)^y= ²⁰¹⁵√

e. Ponieważ granica lewa i prawa są równe, to również limx→0(1 + x)^2015x1 =

2015√ e.

x→−∞lim

x²− 10x + 20 x− 10

x²−10x+20

x−10 =^x−10+₁₋10^20x x

ÐÐÐ→x→−∞−∞−10−0 1+0 = −∞.

3. Zbadaj ciągłość następujących funkcji:

y(x) = ∣x − 2∣

Ta funkcja jest ciągła wszędzie. Jedyną wątpliwość mógłby budzić punkt x = 2, ale lim_x→2⁺∣x − 2∣ = lim_x→2⁺x− 2 = 0 oraz lim_x→2⁻∣x − 2∣ = lim_x→2⁺−x + 2 = 0, zatem lim_x→2∣x − 2∣ = 0 = f(2).

f(x) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩

x sin¹_x, x≠ 0 0, x= 0

Nie budzi wątpliwości, że ta funkcja jest ciągła poza punktem x= 0. Ale jest ciągła także w punkcie x = 0, bowiem jeśli x_n → 0, to ciąg xnsin_x¹

n jest iloczynem ciągu zbieżnego do zera i ciągu ograniczonego, a zatem całość jest zbieżna do zera. Zatem z def. Heinego, lim_x→0f(x) = 0 = f(0). Zatem ta funkcja jest ciągła.

g(x) = x − ⌊x⌋

Ta funkcja generuje część ułamkową liczby. Zatem jeśli x∈ [n, n + 1) dla n ∈ Z, to g(x) = x − n jest ciągła wewnątrz tego przedziału. Jedyne miejsca, w których może być nieciągła, to x całkowite. I rzeczywiście, jeśli z∈ Z, to limx→z⁺g(x) = x − z = 0, ale lim_x→z⁻g(x) = x − (z − 1) = 1, czyli ta funkcja nie ma granicy w punktach całkowitych i zatem nie jest ciągła w tych punktach.

h(x) =⎧⎪⎪

⎨⎪⎪⎩ x, x∈ Q

−x, x ∉ Q

Ta funkcja jest ciągła w punkcie x= 0. Bowiem jeśli xn→ 0, to −∣xn∣ ≤ h(xn) ≤ ∣xn∣, więc z twierdzenia o trzech ciągach h(xn) → 0, a zatem limx→0h(x) = 0 = h(0).

Nie jest natomiast ciągła dla x≠ 0.

2