Metoda residuów ważonych

Rozwiązanie równania różniczkowego MES

Jerzy Pamin

e-mail: Jerzy.Pamin@PK.edu.pl

Katedra Technologii Informatycznych w Inżynierii Wydział Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej

Strona domowa: www.CCE.pk.edu.pl

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Model fizyczny 1D - pręt

Pręt pod obciążeniem rozłożonym – problem brzegowy

l

Pl

EA=const

x, u px(x)

ˆ u0

(1) Równowaga

dN

dx ≡ N⁰= −p_x (2) Kinematyka ₀ = ^du_dx ≡ u⁰ (3) Fizyka N = EA₀ Podstawiając (3)→(2):

(4) Siła-przem. N = EAu⁰ Podstawiając (4)→(1):

Model lokalny: EAu⁰⁰ = −p_x

Dwa warunki brzegowe:

podstawowy albo naturalny Z lewej x = 0: u₀ = ˆu₀ albo u⁰₀ = _EA^P0 Z prawej x = l: u_l = ˆu_l albo u⁰_l = _EA^Pl Problem dobrze postawiony gdy min.

1 warunek brzegowy jest podstawowy W.b. może być jednorodny lub niejednorodny Np. u₀ = 0 i u⁰_l = _EA^Pl

Metoda residuów ważonych

W MES punktem wyjścia jest model globalny. Zasada prac wirtualnych lub minimum całkowitej energii potencjalnej generują modele globalne.

Jeśli znany jest model lokalny, można zastosować tzw. metodę residuów ważonych.

Równoważny model globalny

Zapisujemy równanie różniczkowe jako warunek zerowania residuum R(x) = EAu⁰⁰(x) + p_x(x) = 0

Poszukujemy rozwiązania przybliżonego ˜u dla którego R(x) = EA˜u⁰⁰(x) + p_x(x) 6= 0 W metodzie residuów ważonych żądamy aby

Z l 0

w(x)R(x)dx = 0 ∀w 6= 0

Warunki brzegowe muszą być spełnione

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Metoda residuów ważonych

Słabe (globalne) sformułowanie

Podstawiamy za residuum Z l

0

w (EAu⁰⁰ + p_x)dx = 0 ∀w Z l

0

w EAu⁰⁰dx + Z l

0

w p_xdx = 0 ∀w

Całkujemy przez części aby obniżyć wymagania odnośnie ciągłości

− Z l

0

w⁰EAu⁰dx + [w EAu⁰]^l₀ + Z l

0

w p_xdx = 0 ∀w

Naturalny warunek brzegowy jest wprowadzany do członu brzegowego, podstawowy warunek brzegowy należy spełnić.

Dopuszczalna jest aproksymacja funkcją o ciągłości C⁰.

Metoda residuów ważonych

Zasada prac wirtualnych

Słaba forma równania MRW Z l

0

w⁰EAu⁰dx = [w EAu⁰]^l₀ + Z l

0

w p_xdx ∀w

Funkcja wagowa jest interpretowana jako wariacja przemieszczenia podłużnego δu

Z l 0

δu⁰EAu⁰dx = [δu EAu⁰]^l₀ + Z l

0

δu p_xdx ∀δu Przepisujemy w postaci zasady prac wirtualnych

Z l 0

δ₀N dx = [δu N ]^l₀ + Z l

0

δu p_xdx , δW_int = δW_ext ∀δu

Przemieszczenie wirtualne δu spełnia jednorodne podstawowe warunki brzegowe (jest kinematycznie dopuszczalne).

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Rozwiązanie przybliżone

Metoda Bubnowa-Galerkina

Słabe sformułowanie problemu brzegowego Z l

0

w⁰EAu⁰dx = [w EAu⁰]^l₀ + Z l

0

w p_xdx ∀w plus w.b.

Załóżmy aproksymację globalną ˜u w postaci

˜

u = φ₀ +

n

X

i=1

φ_ic_i = φ₀ + φc

φ₀, φ_i, i = 1 . . . n – (znane, liniowo niezależne) funkcje bazowe

(φ0 spełnia niejednorodne podstawowe w.b., φi spełnia jednorodne podstawowe w.b.)

c_i – (nieznane) współczynniki

Funkcja wagowa jest aproksymowana z użyciem tych samych funkcji bazowych

w =

n

X

i=1

φ_ib_i = φb

Podstawiamy aproksymacje do równania całkowego, które ma być

spełnione dla każdego b_i, i otrzymujemy układ n równań algebraicznych

Metoda elementów skończonych

Przykładowe zagadnienie

Rozwiąż problem brzegowy

u⁰⁰(x) + 6x² = 0 x ∈ (0, 1) , w.b. u(0) = 1 , u⁰(1) = −1 2 stosując MES w sformułowaniu Galerkina i 2 elementy z interpolacją liniową.

Rozwiązanie analityczne

u⁰⁰(x) = −6x² u⁰(x) = −2x³ + C u(x) = −1

2x⁴ + Cx + D u^analit = −1

2x⁴ + 3

2x + 1

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Metoda residuów ważonych

Model globalny otrzymany MRW

R = u⁰⁰(x) + 6x² ,

Z 1 0

w(x)R(x)dx = 0 ∀w 6= 0 Z 1

0

wu⁰⁰dx + Z 1

0

w 6x²dx = 0 ∀w Zakładamy, że rozwiązanie dokładne ma ciągłość C¹

Sformułowanie słabe

− Z 1

0

w⁰u⁰dx + [wu⁰]¹₀ + Z 1

0

w 6x²dx = 0 ∀w | · (−1) Z 1

0

w⁰u⁰dx − w(1)u⁰(1) + w(0)u⁰(0) − Z 1

0

w 6x²dx = 0 , u(0) = 1 Na podstawie w.b. u⁰(1) = −¹₂, wartość u⁰(0) jest nieznana

Dyskretyzacja MES

2 elementy z liniową interpolacją

0 0.5 1 x

1 2

i

x_i x_j

u_i u_j

3 2 j

e 1

x¹ x²

Topologia e = 1 i = 1 j = 2 e = 2 i = 2 j = 3 Transformacja x^e ∈ (0, l^e)

x = x^e + a^e a¹ = 0, a² = 0.5

Funkcje kształtu

N_i = 1 − ^x_le^e = 1 − 2x^e N_j = ^x_le^e = 2x^e

N = [N_i, N_j] d^e =

 u_i u_j



Aproksymacja Bubnowa-Galerkina

u ≈ u^e = N d^e , w ≈ w^e = N b = b^TN^T

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Równania MES

Równanie całkowe dla elementu skończonego

Z l^e 0

w⁰u⁰dx^e − w(l^e)u⁰(l^e) + w(0^e)u⁰(0^e) − Z l^e

0

w 6x²dx^e = 0 ∀w Z l^e

0

w⁰u⁰dx^e − w(l^e)u⁰(l^e) + w(0^e)u⁰(0^e) − Z l^e

0

w 6(x^e + a^e)²dx^e = 0 Podstawiamy interpolację u = N d^e, w = b^TN^T, żądamy spełnienia ∀b Z l^e

0

b^TN^0TN⁰d^edx^e−b^TN^T(l^e)u⁰(l^e)+b^TN^T(0^e)u⁰(0^e)−

Z l^e 0

b^TN^T6(x^e+a^e)²dx^e= 0 ∀b

Uwaga: pochodne na brzegu u⁰(0^e) i u⁰(l^e) nie są aproksymowane.

Z l^e 0

N^0TN⁰d^edx^e−N^T(l^e)u⁰(l^e)+N^T(0^e)u⁰(0^e)−

Z l^e 0

N^T6(x^e+a^e)²dx^e = 0 Podstawiamy N^T(l^e) =

h 0 1

i

, N^T(0^e) = h 1

0

i Z l^e

N^0TN⁰dx^e d^e −

 −u⁰(0^e) u⁰(l^e)



− Z l^e

N^T6(x^e + a^e)²dx^e = 0

Równania MES

0 0.5 1 x

1 2

i

xi xj

u_i u_j

3 2 j

e 1

x¹ x²

N_i N_j

1 1

Macierze elementu skończonego

Z l^e 0

N^0TN⁰dx^e d^e −

 −u⁰(0^e) u⁰(l^e)



− Z l^e

0

N^T6(x^e + a^e)²dx^e = 0

K^e = Z l^e

0

N^0TN⁰dx^e, p^e = Z l^e

0

N^T6(x^e+a^e)²dx^e, p^e_b =

 −u⁰(0^e) u⁰(l^e)



Pochodne funkcji kształtu N⁰ = [−2 , 2]

Macierzowe równanie MES

K^ed^e − p^e_b − p^e = 0 K^ed^e = p^e+ p^e_b Model numeryczny na poziomie elementu

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Obliczenia

0 0.5 1 x

1 2

i

x_i x_j

u_i u_j

3 2 j

e 1

x¹ x²

Ni Nj

1 1

Obliczamy macierze dla każdego elementu

K¹ = K² =

Z 0.5 0

 −2 2



 −2 2  dx^e =

 2 −2

−2 2



p¹ =

Z 0.5 0

 1 − 2x¹ 2x¹



6(x¹)²dx¹ =

 0.0625 0.1875



p² =

Z 0.5 0

 1 − 2x⁽²⁾ 2x⁽²⁾



6(x⁽²⁾ + 0.5)²dx⁽²⁾ =

 0.6875 1.0625



p¹_b =

 −u⁰(0¹) u⁰(l¹)



, p²_b =

 −u⁰(0²) u⁰(l²)



Globalny układ równań

0 0.5 1 x

1 1 2 2 3

x¹ x²

Agregacja (assembly)

Dodajemy macierze elementowe do wyzerowanych macierzy globalnych zgodnie z topologią

K = X

e

K^e, d = X

e

d^e, p = X

e

p^e, p_b = X

e

p^e_b ,

Kd = p + p_b

K =





2 −2 0

−2 2 + 2 −2

0 −2 2



 d =



 u₁ u₂ u₃



 p =





0.0625 0.8750 1.0625





p_b =





−u⁰(0¹) u⁰(l¹) − u⁰(0²)

u⁰(l²)



 =





−u⁰(0) 0 u⁰(1)





Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc

Warunki brzegowe i rozwiązanie

Układ 3 równań o 5 niewiadomych





2 −2 0

−2 4 −2

0 −2 2







 u₁ u₂ u₃



 =





0.0625 0.8750 1.0625



 +





−u⁰(0) 0 u⁰(1)



 ale mamy jeszcze warunki brzegowe u₁ = u(0) = 1 oraz u⁰(1) = −0.5!

Uwaga: do tego momentu rozwiązanie jest niezależne od warunków brzegowych.

Układ 3 równań o 3 niewiadomych





2 −2 0

−2 4 −2

0 −2 2







 1.0

u₂ u₃



 =





0.0625 0.8750 1.0625



 +





−u⁰(0) 0

−0.5



 Najpierw rozwiązujemy równania 2 i 3, potem równanie 1

u₂ = 1.71875 , u₃ = 2 , u⁰(0) = 1.5

Rozwiązanie

0 0.5 1 x

1 1 2 2 3

x¹ x²

Porównanie rozwiązania przybliżonego i analitycznego

Rozwiązanie Pochodna rozwiązania

Metody obliczeniowe, 2020 J.Paminc