1,fxAxAAx=−<<−.Wyznacz i naszkicuj rozkład energii potencjalnej E

(1)

Statystyka Matematyczna, 2008/2009 - Ćwiczenia 5 Zamiana zmiennych

Zadanie 1 (funkcje zmiennych losowych)

Automat produkuje kulki o średnicy D podlegającej rozkładowi jednostajnym w przedziale od a do b. Znajdź i naszkicuj kształt rozkładu objętości V tych kulek.

Stoimy nad morzem w miejscu, w którym brzeg ma kształt linii prostej. Wybieramy losowy kierunek ϕ, ale taki, który nie zaprowadzi nas do wody i wykonujemy w tę stronę spacer na odcinku a. Jaki jest rozkład odległości x od brzegu morza? Sprawdź, czy jest on poprawnie unormowany. Naszkicuj ten rozkład.

Zadanie 3 (przekształcenia zmiennych losowych)

Odcinek drutu o długości 4L zgięto w losowo wybranym punkcie x pod kątem prostym. Następnie dłuŜsze z dwóch ramion kąta prostego pozaginano tak, Ŝe powstał prostokąt o krawędziach x oraz 2L – x. Znajdź i naszkicuj kształt rozkładu prawdopodobieństwa pola otrzymanego prostokąta. Upewnij się, otrzymany rozkład jest poprawnie unormowany.

Zadanie 4 (przekształcenia zmiennych losowych)

Z ćwiczeń znamy rozkład gęstości połoŜenia x oscylatora harmonicznego

( )

2 2

1 ,

f x A x A

A x π

= − < <

− ^.

Wyznacz i naszkicuj rozkład energii potencjalnej Ep oscylatora.

Wyznacz funkcje rozkładu długości losowo wybranych cięciw w zadaniu 6, Ćwiczenie 1, w przypadku, gdy:

• losową cięciwę definiujemy przez losowo wybrany punkt na dowolnej średnicy,

• losową cięciwę definiujemy jako odcinek łączący zadany punkt i punkt zdefiniowany przez prostą przecinającą okrąg, a wystawioną pod losowym kątem w stosunku do prostej stycznej do okręgu i przechodzącej przez zadany punkt.

Ciągła zmienna losowa x ma rozkład wykładniczy z parametrem λ. Podaj i naszkicuj kształt rozkładu zmiennej losowej a) y = – x², b) y = 1 – exp(–λx).

Na sferze o promieniu R wybrano losowo dwa punkty i połączono je krótszym łukiem wielkiego koła. Znajdź rozkład prawdopodobieństwa długości L łuku. Sprawdź, czy uzyskany rozkład jest poprawnie unormowany.