Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.
Arkadiusz Męcel
Uwagi początkowe
W trakcie zajęć przyjęte zostaną następujące oznaczenia:
1. Zbiory liczb:
• R - zbiór liczb rzeczywistych;
• Q - zbiór liczb wymiernych;
• Z - zbiór liczb całkowitych;
• N - zbiór liczb całkowitych dodatnich.
2. Sumy, iloczyny, kwantyfikatory:
•
n
P
k=1
ak= a1+ a2+ a3+ . . . + an;
•
n
Q
k=1
ak= a1· a2· a3· . . . · an;
• ∀a∈R(a2 0), ∃a∈R(a2¬ 0)
3. I wiele innych... (np. logiczne: ∨, ∧, ⇒, ⇐, ⇔ itd.)
Indukcja matematyczna
1. O czym mowa...
Indukcja matematyczna jest (w swojej najprostszej formie) metodą dowo- dzenia twierdzeń typu:
Dla każdej liczby naturalnej n prawdziwe jest zdanie Tn.
A także typu:
Dla każdej liczby naturalnej n > k, gdzie k jest ustalone, prawdziwe jest zdanie Tn.
Przykład 1 Dla każdego n ∈ N zachodzi:
n
P
k=1
k = n(n+1)2
Przykład 2 Dla każdego n ∈ N zachodzi: 6 | 52n−1− 1
Przykład 3 Dla każdego n ∈ N takiego, że n > 2 suma kątów wewnętrz- nych n - kąta na płaszczyźnie wynosi (n − 2) · 180◦
2. Metoda indukcji...
Na rozwiązanie INDUKCYJNE składają się dwa kroki:
• KROK BAZOWY: Sprawdzenie prawdziwości zdania początkowego, zwykle T1 (p. przykłady);
• KROK INDUKCYJNY: Wykazanie prawdziwości zdania:
’Jeżeli (n = m) ∧ (Tm jest prawdziwe) ⇒ (Tm+1jest prawdziwe)’
Rozwiązanie przykładu 1,2,3...
Kolejne proste zadania, które w razie potrzeby można przeliczyć:
Zadanie 1 Udowodnić, że dla każdego n, suma pierwszych n liczb niepa- rzystych jest kwadratem liczby całkowitej.
Zadanie 2 Pokazać, że dla każdego n ∈ N prawdą jest:
2n
X
k=0
(−1)k+1k = −n
Definicja 1 Ciągiem Fibonacci’ego nazywamy ciąg {Fn} określony nastę- pująco (n ∈ N):
F0= 1 F1= 1
Fn+1= Fn−1+ Fn
Zadanie 3 Pokazać, że dla każdego n ∈ N liczba F3n jest parzysta.
Zadanie 4 Pokazać, że dla każdego n ∈ N prawdą jest:
n
X
k=0
Fk = Fn+2 − 1
Zadanie 5 Pokazać, że dla każdego n ∈ N prawdą jest:
n
X
k=0
Fk2= Fn· Fn+1
Wskazać błąd w rozumowaniu: ’każdy koń jest biały’.
Zasada minimum
Twierdzenie 1 (Zasada minimum) W dowolnym podzbiorze liczb natural- nych istnieje element najmniejszy.
Pozornie naiwne stwierdzenie prowadzi do zaskakujących wniosków.
Przykład 4 Liczba√
2 jest niewymierna.
Załóżmy przeciwnie, że jest wymierna. Możemy założyć zatem, że istnieją liczby naturalne (teoretycznie mogłyby być ujemne, ale dla każdej pary ujem- nych istnieje para dodatnia) p, q 6= 0 takie, że √
2 = pq. Zatem para (p, q) jest rozwiązaniem równania: 2q2= p2. Zasada minimum podpowiada, że wśród wszystkich par spełniających to równanie, istnieje para ’najmniejsza’ (każda ze współrzędnych jest najmniejsza). Jednak... (i tu znane rozumowanie).
Przykład 5 Każda liczba naturalna jest iloczynem skończonej ilości liczb pierw- szych lub jest to 1.
Załóżmy, że istnieją jednak liczby, które nie mają tej własności. W szczegól- ności, istnieje najmniejsza taka liczba n. Nie jest to na pewno liczba 1. Nie jest to także liczba pierwsza. Jest to zatem pewna liczba złożona. Zatem n = ab dla pewnych dwóch liczb naturalnych (> 1) a, b. Skoro jednak są to liczby mniejsze od NAJMNIEJSZEJ takiej, która nie da się rozpisać na iloczyn liczb pierw- szych, to już ich przypadku jest to możliwe. Stąd także i n ma taki rozkład.
Sprzeczność.
Twierdzenie 2 (Zasadnicze Twierdzenie Arytmetyki) Każda liczba na-
turalna n > 1, rozkłada się na iloczyn liczb pierwszych, co więcej istnieje do- kładnie jeden taki rozkład (z dokładnością do kolejności czynników).
Dowód. Fakt, że rozkład istnieje, udowodniliśmy przed chwilą. Wystarczy po- kazać jednoznaczność. Załóżmy, że istnieją liczby, które mają co najmniej DWA NIERÓWNOWAŻNE rozkłady (ustnie opowiem). Wówczas istnieje najmniejsza taka liczba n. Niech:
n = p1p2. . . pn= q1q2. . . qm, gdzie dla 1 ¬ i ¬ n oraz 1 ¬ j ¬ m liczby pi, qj są pierwsze.
Naszym celem jest pokazać, że istnieje MNIEJSZA od n liczba całkowita, która ma dwa rozkłady! Dojdziemy wówczas do sprzeczności.
Zauważmy przede wszystkim, że dla 1 ¬ i ¬ n oraz 1 ¬ j ¬ m mamy pi6= qj. Gdyby było inaczej, skrócilibyśmy n przez wspólny czynnik, i istniała- by liczba MNIEJSZA o dwóch rozkładach. Jednak n jest najmniejszą taką.
Możemy dalej założyć, że p1 jest mniejsze od wszystkich qj, 1 ¬ j ¬ m (ustne wyjaśnienie). W szczególności q1> p1. Wykonujemy dzielenie z resztą.
q1
p1 = d + r p1
. Zauważmy, że reszta r jest niezerowa, bowiem q1jest pierwsze), oraz mniejsza od p1 (jak każda reszta). Mnożymy obustronnie przez qn
1. Wówczas:
n q1 · q1
p1 = n q1(d + r
p1) Dalej więc:
p2p3. . . pn= q2q3. . . qm· (d + r p1
) = q2q3. . . qm· d +r · q2q3. . . qm p1
Stąd r·q2qp3...qm
1 jest liczbą całkowitą, np. liczbą k. Mamy:
kp1= r · q2q3. . . qm
Liczba k < n. Zatem liczba k ma jednoznaczny rozkład (bo n była najmniej- sza, która ma co najmniej 2). Jednak r < p1< n. Zatem r także ma jednoznacz- ny rozkład! Co więcej, liczba r ·q2q3. . . qm< p1·q2q3. . . qm< q1·q2q3. . . qm= n, zatem okazało się, że dostaliśmy liczbę MNIEJSZĄ OD n, która ma podwójny rozkład. Sprzeczność, rozkład każdej liczby jest jednoznaczny.
Propozycje zadań domowych
1. Udowodnić, że dla każdego n > 2 naturalnego, zachodzi nierówność:
1 < Fn+1
Fn
< 2.
2. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi:
Fn+12 = Fn· Fn+2+ (−1)n+1.
3. Udowodnić, że dla każdego n ∈ N zachodzi:
n
X
k=1
k · Fk= n · Fn+2− Fn+3+ 2.
4. Udowodnić, że pole trójkąta, którego wierzchołkami są punkty
A = (0; 0), B = (Fn1; Fn), C = (Fn; Fn+1)
jest równe 12. (Wsk. Zad.1)
5. Rozwiąż równanie w liczbach całkowitych:
a2+ b2= 3(n2+ m2)
6. Egipcjanie mieli w zwyczaju zapisywać każdy ułamek jako sumę różnych ułamków postaci 1/k, gdzie k jest naturalne. Np.
5 13 = 1
3+ 1 20+ 1
720.
Pokaż, że każda wymierna liczba dodatnia może być zapisana za pomocą skończonej sumy parami różnych ’ułamków egipskich’ (z 1 w liczniku).
Wskazówka: Konstruując sumę ’ułamków egipskich’ dla określonej liczby
p
q, dobieraj zawsze najmniejsze możliwe mianowniki (jak w przykładzie).
Przyjrzyj się różnicom, między pq, a uzyskiwanymi przybliżeniami...
