33, s. 139-144, Gliwice 2007
NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA MATERIAŁÓW ORTOTROPOWYCH NA PRZYKŁADZIE DREWNA
MAREK ROMANOWICZ, ANDRZEJ SEWERYN
Katedra Mechaniki i Informatyki Stosowanej, Politechnika Białostocka
Streszczenie. W pracy zaproponowano nowe podejście do prognozowania inicjacji i propagacji pęknięć w drewnie, oparte na koncepcji płaszczyzny krytycznej oraz na nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania. Do zbudowania nielokalnego kryterium wykorzystano model ośrodka z mikropęknięciami o określonej orientacji.
W celu oceny poprawności zaproponowanego kryterium pękania przedstawiono weryfikację doświadczalną pękania próbek wykonanych z drewna sosny z brzegową szczeliną. Badania prowadzono w złożonym stanie obciążenia dla różnych ilorazów współczynników intensywności naprężeń KI / KII.
1. WSTĘP
Widoczny w ostatnich latach wzrost zainteresowania drewnem jako konstrukcyjnym materiałem budowlanym jest wynikiem dwóch czynników, a mianowicie: bardzo dobrych właściwości mechanicznych drewna odniesionych do jego gęstości oraz problemów związanych z wyczerpywaniem się nieodnawialnych surowców materialnych.
Ortotropię drewna charakteryzują trzy osie symetrii, pokazane na rysunku 1, oznaczone odpowiednio literami: L, R i T. Zdolność drewna do odporności na pękanie zależy od układu propagacji szczeliny. Z powodu znacznych różnic w odporności na pękanie w poszczególnych układach, szczelina w drewnie propaguje najczęściej równolegle do komórek osiowych, tj.
w układzie RL lub TL (pierwsza litera odnosi się do kierunku normalnego do płaszczyzny pękania a druga określa kierunek propagacji szczeliny).
Zdaniem Mindessa i Bentura [5], Jernkvista [2] oraz Vasica i Smitha [11,12] w drewnie
istnieje strefa pękania w pobliżu wierzchołka szczeliny. Występujące tam mikropęknięcia mogą się łączyć i rozwijać w procesie obciążania, wprowadzając progresywną zmianę
Rys. 1. Budowa drewna: LRT – osie ortotropii
mikrostruktury. W konsekwencji, dokładne modelowanie strefy uszkodzeń polegające na obliczaniu rozkładu mikropęknięć i zmian podatności dla tego materiału w obszarze dużych gradientów naprężeń wydaje się być bardzo trudne do zrealizowania.
Celem tej pracy jest przedstawienie nowego podejścia do obliczania propagacji i inicjacji szczelin w konstrukcyjnych elementach drewnianych, opartego na koncepcji płaszczyzny fizycznej oraz na nielokalnym naprężeniowym kryterium pękania, zaproponowanym przez Seweryna i Mroza [9].
2. NIELOKALNE NAPRĘŻENIOWE KRYTERIUM PĘKANIA DREWNA
Rozpatrzmy model rozwoju szczeliny w drewnie w układzie RL, pokazany na rys. 2.
Zakładamy, że jeżeli propagacja szczeliny następuje w drewnie w układzie RL, to wówczas uśredniona na odcinku d (rysunek 3) funkcja naprężeń normalnych i tnących wywołujących dekohezję Rσ(σR,τRl) osiąga wartość krytyczną, czyli:
( )
R 2d RL
0
RL R
2 K d 1
r d R
R 1
= σ
= τ
σ
=
∫
σc Ic
f , d , gdzie: π (1)
Rf, Rσ(σR,τRL) – odpowiednio współczynnik pękania i lokalna naprężeniowa funkcja pękania w układzie propagacji RL, σR, τRL – odpowiednio normalne i styczne naprężenia na płaszczyźnie krytycznej w układzie propagacji RL. Długość strefy pękania d wyznacza się z równoważności kryterium Griffitha – Irwina dla I sposobu deformacji szczeliny (KI = KIcRL
) Rys. 2. Model rozwoju szczeliny w drewnie w układzie propagacji RL
Rys. 3. Uśrednienie lokalnej funkcji pękania w okolicy wierzchołka szczeliny
oraz nielokalnego kryterium pękania, gdzie: KIcRL
– krytyczna wartość współczynnika intensywności naprężeń dla rozrywania szczeliny w układzie propagacji RL, σc
R – normalne naprężenie krytyczne w przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku osi R.
W niniejszej pracy, w celu uwzględnienia występujących w drewnie mikropęknięć, zaadaptowano model uszkodzeń dla ciała z mikropęknięciami o określonej orientacji, wyprowadzony przez Seweryna i innych [8] na podstawie wcześniejszych prac Gambarotta i Logomarsino [1]. Zgodnie z przyjętym modelem, propagacja mikropęknięć o normalnej R nastąpi wówczas, gdy prędkość uwalnianej energii odkształcenia osiągnie wartość krytyczną, a więc:
( ) ( )
[
R R R RL RL RL]
RR a c p c f G
G o2 2 2 c
2
3 − + − =
= σ τ (2)
gdzie: ao – wymiar mikropęknięcia odniesiony do wymiaru początkowego, pR, fRL – normalne oraz styczne naprężenia działające na powierzchni mikropęknięcia, cR, cRL – współczynniki podatności wzdłużnej oraz poprzecznej wywołane mikropęknięciami. Krytyczną wartość GcR
wyznacza się dla przypadku jednoosiowego rozciągania w kierunku R. Uwzględniając warunek otwierania się mikropęknięć bez kontaktu ząbków nierówności (pR = 0 oraz fRL = 0), na podstawie wzoru (3), otrzymujemy następującą lokalną funkcję pękania [10]:
(
,)
2 1c 2
c
σ =
+
= RLR
R RL R
R RL
R c
R c
σ τ σ
τ σ
σ (3)
Jeżeli natomiast mamy do czynienia ze wzajemnym poślizgiem na powierzchniach nierówności mikropęknięć (pR ≠ 0 i fRL ≠ 0), to po uwzględnianiu warunków kontaktu między ząbkami powierzchni mikropęknięć, lokalną funkcję pękania można zapisać wzorem [10]:
(
,)
tg( )
1c c
σ = + ϕ+ψ =
τ σ τ
τ τ
σR RL RLRL RLR
R (4)
gdzie: ψ – kąt tarcia, ϕ – kąt pochylenia nierówności na powierzchni mikropęknięć, τc RL – naprężenia niszczące dla czystego ścinania w płaszczyźnie LR
W niniejszej pracy przyjmuje się założenie o znanym kierunku propagacji szczeliny w drewnie (kierunek ϑo). Oznacza to, że do prognozowania pękania drewna nie jest konieczne obliczanie lokalnego maksimum funkcji Rσ(σR,τRL). Dlatego w celu zastosowania nielokalnego naprężeniowego kryterium pękania do szczelin naciętych pod pewnym kątem α do osi ortotropii L zakładamy, że kierunek propagacji pokrywa się z kierunkiem wzmocnienia, a więc lokalną funkcję pękania obliczamy dla ϑo = α lub ϑo = α – 180o.
Stan naprężenia w bliskim otoczeniu wierzchołka szczeliny dowolnie naciętej względem osi ortotropii, w lokalnym biegunowym układzie współrzędnych (r,ϑ), opisuje następujący związek [3]:
µ µ ϑ Ξ µ µ ϑ Ξ
µ µ ϑ Ξ µ µ ϑ Ξ
µ µ ϑ Ξ µ µ ϑ Ξ
=
τ σ σ
II I
) , , ( ) , , (
) , , ( ) , , (
) , , ( ) , , (
π K
K r
2 1
2 1 32 2 1 31
2 1 22 2 1 21
2 1 12 2 1 11
xy y x
(5)
gdzie: współczynniki Ξ11,...,Ξ32 są funkcjami trygonometrycznymi kąta ϑ i pierwiastków równania charakterystycznego µ1, µ2. Pierwiastki te zależą od stałych sprężystości materiału oraz od konfiguracji szczeliny względem osi ortotropii. W celu określenia naprężeń σR,τRL na
płaszczyźnie krytycznej składowe naprężenia opisane wzorem (5) przekształca się zgodnie z prawem transformacji tensora II rzędu z układu xy do układu LR.
Podstawiając do wzoru (1) lokalną funkcję pękania (3), a także związki na naprężenia (5), otrzymujemy kryterium pękania drewna w przypadku, gdy szczelina nacięta pod kątem α względem osi ortotropii L, poddana jest rozciąganiu i ścinaniu wzdłużnemu, a mianowicie:
( )
I 2 12( )( ) ( ) ( )
I II 22 II 2 Ic 211
RL RL
RL RL
RL K K K K
K +λ +λ =
λ (6)
gdzie: KIRL
, KIIRL
– współczynniki intensywności naprężeń odpowiadające rozrywaniu i ścinaniu wzdłużnemu, w przypadku, gdy szczelina propaguje w układzie RL. Współczynniki: λ11, λ12 i λ22 są funkcjami cR, cRL oraz stałych sprężystości materiału [6].
3. WERYFIKACJA DOŚWIADCZALNA I WNIOSKI
W celu weryfikacji nielokalnego kryterium pękania (6) wykonano badania doświadczalne pękania drewna sosnowego (łac. pinus sylvestris) w układzie propagacji szczeliny RL dla przypadku najmniej rozpoznanego w literaturze, tj. gdy szczelina jest wykonana pod kątem α do osi ortotropii L. W badaniach wykorzystano przyrząd do zadawania dwuosiowego stanu obciążenia opracowany przez Łukaszewicza [4]. Widok przyrządu pokazano na rys. 4. Płaskie próbki umieszczano pod kątem χ do kierunku działania siły F zadawanej przez siłownik maszyny wytrzymałościowej. Do modelowania pól naprężeń w badanych próbkach zastosowano metodę elementów skończonych oraz osobliwe elementy skończone [7].
Rys. 4. Schemat przyrządu do zadawania dwuosiowego obciążenia w próbkach płaskich
Na podstawie aproksymacji wyników badań doświadczalnych z rysunku 5, wyznaczono (metodą najmniejszych kwadratów) dla drewna sosnowego wartość ilorazu cRL /cR = 0.131, a także wartość KIc
RL = 0.55 MPa m0.5. Otrzymane stałe materiałowe wykorzystano następnie do prognozowania pękania badanego materiału za pomocą nielokalnego kryterium pękania (6).
Wyniki weryfikacji doświadczalnej dla próbek ze szczelinami naciętymi pod kątem α do osi ortotropii L przedstawiono na rys. 6.
Rys. 5. Graniczne wartości współczynników intensywności naprężeń KI, KII dla drewna sosnowego dla próbek ze szczelinami, w przypadku gdy α = 0°, χ ≠ 0° ; linia ciągła -
nielokalne kryterium pękania (6)
Rys. 6. Graniczne wartości współczynników KI, KII dla drewna sosnowego dla próbek ze szczelinami, w przypadku gdy χ = 0°, α ≠ 0°; linie – wartości obliczone na
podstawie nielokalnego kryterium pękania (6)
Na podstawie zrealizowanych badań doświadczalnych pękania drewna sosnowego (łac.
pinus sylvestris) w układzie propagacji szczeliny RL można stwierdzić, że nielokalne kryterium pękania drewna (6) jest skutecznym narzędziem do oceny propagacji szczeliny wykonanej pod kątem do osi ortotropii L (α ≠ 0°).
LITERATURA
1. Gambarotta L., Logomarsino S.: A microcrack damage model for brittle materials. “Int. J.
Solids Struct.", 30, 1993, s.177–198.
2. Jernkvist L.O.: Fracture of wood under mixed mode loading I. Derivation of fracture criteria. “ Eng. Fract. Mech.”, 68, 2001, s.549–563.
3. Lekhnicki S.G.: Theory of elasticity of an anisotropic elastic body. Holden–Day Inc., San Francisco1963.
4. Łukaszewicz A.: Modelowanie zagadnień kruchego pękania elementów z karbami w dwuosiowym stanie obciążenia, Rozprawa doktorska. Politechnika Warszawska 2003.
5. Mindess S., Bentur A.: Crack propagation in notched wood specimens with different grain orientation. „Wood Sci. Technol”, 1986, 20, , s.145–155.
6. Romanowicz M.: Prognozowanie pękania drewna na podstawie kryteriów związanych z płaszczyzną fizyczną. Rozprawa doktorska. Politechnika Białostocka 2006.
7. Seweryn A.: Metody numeryczne w mechanice pękania. Warszawa: IPPT PAN, 2003.
8. Seweryn A., Kulchytsky – Zhyhailo R.D., Mróz Z.: On the modeling of bodies with microcracks taking into account of contact of their boundaries. “Appl. Problems Mech.
Math”, 2003, 1, s.141–149.
9. Seweryn A., Mróz Z.: A non-local stress failure condition for structural elements under multiaxial loading, Eng. Fract. Mech, 1995, 51, s.955–973.
10. Seweryn A., Romanowicz M.: Failure conditions of wood under complex loading.
“Materials Science” (w druku) 2007.
11. Smith I., Vasic S.: Fracture behavior of softwood. Mech. Mater”. 35, 2003, 803–815.
12. Vasic S., Smith I.: Bridging crack model for fracture of wood. “Eng. Fract. Mech.”, 2002, 69, s.745–760.
A NON–LOCAL STRESS FRACTURE CRITERION OF ORTHOTROPIC MATERIALS
FOR EXAMPLE OF WOOD
Summary. A new approach to solving fracture problems of wood was presented.
The presented approach made use of concepts of a critical plane and a non-local stress fracture criterion, which were extended to study of fracture phenomenon of orthotropic materials, like wood. In the present paper, a local stress fracture function was formulated on the basis of the damage model of an elastic solid containing growing microcracks. In order to evaluate of the validity of the derived non-local fracture criterion of wood, a experimental investigation of the mixed mode fracture toughness of pine wood was made.
