O ilościowym charakterze przedmiotu matematyki.

O ILOŚCIOW YM CHARAKTERZE PRZEDM IOTU M ATEM ATYKI

S praw a d eterm in a cji przed m iotu m a tem a ty k i n a leży do tz w . filo z o fii m a tem a ty k i. R ozw iązan ia p rop on ow an e w tej d zied zin ie rzadko jed n a k b yw ają o g ó ln ie p rzyjm ow an e. M oże do tej k o n tro w ersy jn o ści p rzyczyn ia się rów n ież trudność w ła śc iw e g o p ołączen ia fachu m atem a ty k a i filo zo fa . W b rew pozorom n ie zdaje się b o w iem g w a ra n to w a ć tu tra fn o ści i p op raw n ości sfo rm u ło w a n y ch p o g lą d ó w u p ra w ia n ie, ch oćb y tw órcze, ty lk o jed n ej z ty ch d y scy p lin . W każ­

d ym ra zie sk rajn ość sta n o w isk za jm o w a n y ch w filo z o fii m a te m a ty k i zdarza się często. W iąże s ię to p raw d op od obn ie ta k że z dość g w a łto w n y m i p rze­

m ian am i w sp o so b ie u p raw ian ia sam ej m a t e m a ty k i1 oraz zw y c z a je m uprasz­

czania te z 2-

P o w y ż sz y sta n rzeczy n ie p ozw ala ro zw ią zy w a ć za g a d n ień z filo z o fii m a­

te m a ty k i b ez u p rzed n iego u sta len ia jej m eto d o lo g iczn eg o ch arak teru (zarów no od stron y g e n e ty c z n e j, jak i stru k tu ra ln ej) oraz w sk a za n ia zak ład an ych w n iej u w a ru n k o w a ń filo zo ficzn o -ep istem o lo g iczn y ch . To zaś w y m a g a dość ob szern ych w y w o d ó w . P o n iższe u w a g i, zm ierzające do zn a lezien ia od p ow ied zi n a p y ta n ie, czy p rzed m iot m a te m a ty k i posiada ch arak ter ilo ścio w y , będą m ia ły p ostać je d y n ie dociek an ia w stęp n eg o , d y sk u sy jn eg o . W p iśm ie n n ic tw ie p o lsk im p o ja w iło się ibow iem k ilk a w y p o w ie d z i, k tóre — je ś li n ie b udzą zastrzeżeń , to m ogą sta n o w ić ok azję do k o n tr o w e r s ji3.

N a jp ie r w sp raw a sposobu ch a ra k tery zo w a n ia m a tem a ty k i. N a p ew n o

„ p rzed m io to w e” u jęcie n ie je s t d la o k reślen ia m a tem a ty k i jed y n y m m o żliw y m d eterm in o w a n iem u n ifik u ją cy m . Z a m ia st w sk a z y w a ć jej przed m iot, m ożna np. o k reślić zesp ó ł ty p o w ej dla n iej p ro b lem a ty k i lu b w sk a za ć obszar jej badań, czy w r e sz c ie jej m etod ę. N ie da s ię jed n ak u trzym ać w ca łej roz­

cią g ło ści tw ierd zen ia , że „dziś u ciek a s ię raczej od u jm ow an ia m a te m a ty k i jako ca ło ści z p u n k tu w id zen ia jej p rzed m iotu ” 4. W czasach n o w o ży tn y ch m a tem a ty cy , a zw ła szcza zajm u ją cy s ię ty lk o p o szczeg ó ln y m i d y scy p lin a m i m a tem a ty czn y m i, n ie m ie li zw y cza ju dociek ać, co je s t p rzed m iotem m a te ­ m a ty k i w o g ó le. W ielotorow ość jej rozw oju , jej n iejed n o lito ść oraz d alek o p o su n ięta sp ecja liza c ja n ie sp rzy ja ły tak im ujęciom . U rok m eto d y deduk­

cyjn ej za ś sp ra w ił, ż e często p o zn a n ie m a tem a ty czn e d eterm in o w a n o je d y n ie

1 N ie w o ln o zapom inać, że obok w ielo k ie ru n k o w e g o rozw oju m atem atyk i w y ­ stęp u ją rozm aite próby jej u n ifik u ją cej system atyzacji.

2 S. F. B a r k e r np. w e w s tęp ie do sw ej

P hilosophy o f M athem atics

Y.

1964) uw aża za sto so w n e n ajp ierw przestrzec czy teln ik a przed niek tórym i ob iego­

w y m i tw ierd zen iam i, k tóre są uproszczeniam i.

3 M. A. K r ą p i e c ,

S tr u k tu ra b ytu ,

D. G i e r u l a n k a ,

Zagadnienie sw oistości poznania m atem atycznego,

Ilość a m a tem a tyka ,

4 D. G i e r u l a n k a , op. cit., s. 156.

p rzy pom ocy tej m etod y. O statnio jed n a k coraz jaśn iej d ostrzega się n ie - w y sta rcza ln o ść d eterm in a cji m a te m a ty k i ty lk o za pom ocą m eto d y d ed u k ­ c y jn e j. N ierza d k o p o ja w ia ją s ię te n d en cje do szu k an ia u n ifik a c ji d zied zin m a tem a ty czn y ch w drodze zw ię k sz e n ia ich a b strak cyjn ości, od k rycia n aj­

o g ó ln ie jsz y c h p ojęć (i o d p o w ia d a ją cy ch im stru k tu r). S p rzyja tem u i o k a zu je to w ła ś c iw e w y k o r z y sta n ie m eto d y d ed u k cy jn ej (użycza ona sp osob ów bu ­ dow an ia pojęć), te o r ii m n o g o ści (d ostarczającej najb ard ziej o g ó ln y ch pojęć) i a lg eb ry a b stra k cy jn ej (która d aje liczn e zasto so w a n ia o p racow an ych w ła ­ sności działań). W zajem n e łą c z e n ie s ię i p rzen ik a n ie d zied zin m a tem a ty czn y ch (np. a n a lizy i to p o lo g ii) w ią ż e s ię w ła śn ie ze z d o b y w a n iem bardzo a b strak ­ cyjn ych p ojęć (asp ek tów ) i w sp ó ln y c h m etod. A w re sz c ie n ie je s t p ozb aw ion e ty p o w o ści o k reśla n ie m a te m a ty k i i p o szczeg ó ln y ch d y sc y p lin p rzez w sk a z a n ie ich tzw . d z ie d z in y 5.

J e ś li ch od zi o filo z o fó w m a tem a ty k i, to o m aw ian a sp raw a p rzed sta w ia s ię bardzo zróżn icow an ie. E p istem ologiczn a koncep cja m a te m a ty k i pociąga za sobą ta k ie lu b in n e sta n o w isk o co do jej przed m iotu . N e o p o z y ty w iśc i (n om in alizm i form alizm ) n ie u w a ża ją , ż e b y d y sc y p lin y fo rm a ln e m ia ły w o g ó le ja k ik o lw ie k sw ó j przed m iot. S ta n o w ią on e u k ła d y b ezp rzed m io to w y ch i b ez tr e śc io w y c h ta u to lo g ii, k tó re słu żą n au k om em p iry czn y m jako zdania p o m o cn icze (W ittg en stein , C arnap). N a to m ia st sk ra jn i r e a liśc i e p is te m o lo - g ic z n i r a d y k a ln ie „u p rzed m io to w ia ją ” m a tem a ty k ę. O b iek tem jej m ają być bądź b y ty id e a ln e (tak np. B olzan o, H u sserl), bądź różn ego rodzaju k on ­ stru k cje m y ś lo w e i ich rela c je (np. w e d łu g B rouw era). T rzecia grupa, r e a liśc i u m ia rk o w a n i (np. z w o len n icy filo z o fii m ark sistow sk iej), starając się zach ow ać p o to czn y rea lizm poznalw czy, n ie w id zą żadnej zasad n iczej ró żn icy w ty p ie p rzed m io tó w nau k r ea ln y ch i fo rm a ln y ch . T e d ru g ie dotyczą tej sam ej r z e c z y w isto śc i co i p ierw sze, ty lk o ujm u ją ją w bardzo o g ó ln y m i sw o is ty m a s p e k c ie 6.

Trudno p o w ied zieć, ż eb y sk ra jn i fo rm a liści b y li n ajb ard ziej lic z n i w śród p r z e d sta w ic ie li n a jn o w szej filo z o fii m a tem a ty k i.

O sobno w a rto p o d k reślić ró w n ie ż i to, że inna je s t sp raw a, czy dziś d e te r m in u je s ię m a tem a ty k ę raczej p rzez w sk a za n ie jej przed m iotu , a inna — czy p u n k tem w y jśc ia iw b u d ow an iu teo rii m a tem a ty czn ej b y w a n a jp ierw d an y jej p rzed m iot. M a tem a ty cy , k tó rzy u w ażają np., iż dopiero u k ład a k sjo m a tó w w y zn a cza przed m iot te o r ii m a tem a ty czn ej, p rzez to sam o jeszcze n ie przeczą tem u , że „ p rzed m io to w e” o k r e śle n ie ju ż sk o n stru o w a n ej teo rii je s t m o żliw e.

P o d o b n ie ten , k to u w aża, że m a tem a ty k a zajm u je s ię n ie p rzed m io ta m i-rze- czam i, a le n iesa m o d zieln y m i a sp ek ta m i czy m om en tam i (np. w p e w ie n sposób p o ję ty m i zbioram i), n ie tw ie r d z i ty m sam ym , ż e n ie da się jej ująć przed ­ m io to w o , tzn. zd eterm in o w a ć d o sta teczn ie p rzez w sk a za n ie jej p r z e d m io tu 7.

P rzejd źm y teraz do g łó w n e g o p rob lem u , czy p rzed m iotem w sp ó łczesn y ch d y sc y p lin m a tem a ty czn y ch je s t „czysta ilo ść ”, czy też „w yk raczają on e poza ra m y k a te g o r ii ilo ś c i”, p ie r w sz a su p ozycja je s t trad ycyjn a. W y w o d zi się z p o g lą d u , iż ą u a n tita s d iscreta (m ów iąc b ardziej o g ó ln ie i n o w o cześn ie — .

5 Por. A . G r z e g o r c z y k , Z a r y s lo g ik i m a te m a ty c z n e j, W arszaw a 1961, s. 9.

6 Is tn ie je w ie le odm ian ty ch g łó w n y ch stan ow isk . Np. form alista, H. B. Curry zd a je s ię um ieszczać przedm iot m atem atyk i w d zied zin ie pośredn iej m ięd zy tą, k tórą w iskazują fo r m a liści oraz sk rajn i realiści. N atom iast pogląd, że przed m iotem m a tem a ty k i je s t b y t in ten cjon aln y, m ieści się chyba m ięd zy drugim a trzecim sta n o w isk ie m głó w n y m .

7 Por. D. G i e r u l a n k a , op. cit., s. 157— 159.

m nogość, w yra ża ją c się zaś tra d y cy jn ie i ciaśn iej — liczba) lu b ą u a n tita s con tin u a (an alogiczn ie: p rzestrzeń, fig u ra geom etryczn a) sta n o w i o b iek t p o­

zn an ia m atem atyczn ego. Za drugą m a p rzem aw iać to, ż e w sp ó łczesn a m a te­

m atyka „op eru je p rzecież p o jęcia m i n ie ilo śc io w y m i ta k że oraz bada p rzed ­ m io ty , o k tórych ch arak terze ilo ścio w y m trudno je s t o rzec”. Z akładając m ia­

n o w icie, iż p rzed m iotem badań m a tem a ty czn y ch je s t zbiórjfr fu n k cja, m onoid itd ., da się okazać, że w y m ie n io n e p rzyk ład ow o „ b y ty ” n ie posiadają cha­

ra k teru ilo ś c io w e g o 8.

N ie w ą tp liw ie p o w ied zen ie, iż p rzed m iotem w sp ó łczesn ej m a te m a ty k i jest ą u a k tita s, w y m a g a d op ełn iającej ek sp lik a cji. Z ilo ścią jako w ła sn o ścią abso­

lu tn ą w iążą się b o w iem k w a n ty ta ty w n e w ła sn o śc i w zg lęd n e, sto su n k i ilo śc io w e 9.

i r z eczy w iście o g ó ln ie p o ję te re la c je k w a n ty ta ty w n e s ta ły s ię d ziś w •w iększym sto p n iu p rzed m io tem m a tem a ty czn y ch te o r ii n iż sam a ilo ść (liczba). K rąg sto su n k ó w ilo śc io w y c h (i szczeg ó ln ej ich p o sta ci — form przestrzen n ych ) badanych p rzez m a te m a ty k ę ogrom nie s ię rozszerzył. A le w szy stk o to m ieści się w k a te g o r ii ilo śc i (jako m n ogości, żbiorze). Z resztą od stro n y form aln ej w y k a za n o , że zb iór (klasa) oraz rela cja są w za jem sp ro w a d za ln e (d efin io ­ w a ln e) 10.

O k a zy w a n ie zatem , że ta k ie pojęcia, jak fu n k cja , m onoid, zbiór częściowo^

u p orząd k ow an y, n ie m ają ch arak teru ilo ścio w eg o , je s t co n ajm n iej n iep oro­

zu m ien iem (p łyn ącym z n iep recy z y jn eg o p o słu g iw a n ia s ię term in am i). N ie d eterm in u ją c uprzed n io w żad en sposób sen su term in ów : ja k o ścio w y , ilo ścio w y , trudno ro zstrzy g a ć o ja k o ścio w y m lu b ilo śc io w y m ch arak terze zbioru czy r ela c ji. T ym b a rd ziej, je ś li n a d a je s ię tem u d ru giem u te r m in o w i zn aczen ie za w ężo n e w sto su n k u do o b ie g o w e g o l ł . T rzeba b o w iem bardzo ciasn o ro­

zu m ieć w y r a z ilość, żeb y tw ierd zić, iż np. zb iór n ie m a ch a ra k teru ilo ścio ­ w eg o , g d y u ż y ty je s t w form aln ej te o r ii m a tem a ty czn ej.

P onadto, je ś li o k r e śli się fu n k cję jak o „fak t p rzyp orząd k ow an ia elem en to m jed n eg o zb ioru e le m e n tó w d ru giego zb ioru ”, to ch y b a p rzy p sy ch o lo g isty czn ej in terp reta cji, że fu n k cja je s t fa k te m p sy ch iczn y m (operacją m y ślo w ą p rzy­

porządkow ania) da się p o w ied zieć, iż p o jęcie fu n k c ji je s t p o jęciem „ n ie- ilo śc io w y m ”. S koro zaś d esy g n a tem term in u fu n k cja je s t sto su n ek ilo śc io w y (rela cja jednoznaczna), to ró w n ież p ojęcie fu n k c ji posiada ch arak ter ilo ścio w y . P o d o b n ie m a s ię rzecz z p ojęciem m onoidu. Z achodzi p o d ejrzen ie, ż e k r y ty ­ k o w a n y tu A u tor w id z i źródło n ie ilo śc io w e g o ch arak teru p ojęć m a tem a ty k i w ich red u k o w a ln o ści do p ew n y ch pojęć lo g iczn y ch . B y ło b y to n ie słu sz n e o ty le , że te o sta tn ie p ojęcia m ają w y łą c z n ie z a k r e s o w y charakter-

Z resztą, jak m ożna rozu m ieć term in ozn aczający re la c je m ię d z y e le m e n ­ tam i zbioru albo w ła sn o ść zbioru, żeb y p o w ied zieć, iż n ie je s t tu istotn a

„strona ilo śc io w a ” oraz że trudno je s t tu taj d opatrzeć się ch a ra k teru ilo śc io ­ w ego? M oże w w y p o w ied zi: w id zim y w y ra źn ie „ n ie ilo ś c io w y ” ch arak ter p ojęcia zb ioru częścio w o uporządkow anego, chodzi o to, iż w d e fin ic ji zbioru częścio w o u p orząd k ow an ego brak słów : liczba, ilość? A m oże in ten cją A utora b yło tu je d y n ie za sy g n a lizo w a n ie teg o , że w ilo ścio w ej r e la c ji zachodzą ró w n ie ż ja k o ścio w e sto su n k i oraz dające s ię ująć k w a lita ty w n ie stany?

8 TVL L u b a ń s k i , 1. c., s. 87.

9 M ów i o tym M. A. K r ą p i e c, op. cit., s. 199.

14 Zob. C. K u r a t o w s k i,

Su r la notion de l’ordre dans la theorie des en - sem bles,

On R elations as C oexitensive w ith Classes,

11 Tak zaś zdaje sią p ostęp ow ać M. L u b a ń s k i , 1. c., s. 88.

W p ie r w s z y m p r z y p a d k u z a c h o d z iło b y n ie p o r o z u m ie n ie co d o c h a r a k te r u j ę z y k a m a t e m a t y k i, a w d r u g im — co d o d e te r m in a c ji je j p r z e d m io tu fo r m a l­

n e g o . M o ż liw e j e s t b o w ie m w y s ło w ie n i e p e w n y c h t w ie r d z e ń m a te m a ty c z n y c h p r z y p o m o c y z w r o t ó w n ie z a w ie r a j ą c y c h S łów : ilo ś ć i lic z b a , a le p o s ia d a ją c y c h m im o to z n a c z e n ie „ k w a n t y t a t y w n e ” i p r z e z n ie d o ty c z ą c y c h ilo ś c io w y c h a s p e k t ó w (str u k tu r y ).

D ru ga e w e n tu a ln o ść zap ozn aje w a żn e, choć tra d y cy jn e, ro zró żn ien ie w po­

z n a n iu je g o p rzed m iotu m a teria ln e g o i fo rm a ln eg o . M atem atyk a d o ty czy , o n ty c z n ie się w y ra ża ją c, czegoś, co — jako przed m iot m a teria ln y — posiad a obok a sp e k tó w k w a n ty ta ty w n y c h ró w n ież k w a lita ty w n e . A to li przed m iotem fo rm a ln y m (w ła śc iw y m k ą tem p atrzen ia na przed m iot m a teria ln y ) m a tem a ­ ty k i są w ła ś n ie je d y n ie a sp e k ty za k reso w e, c z y li ilo śc io w e . S tą d „dla b y tó w ilo śc io w y c h zn am y w ie le tw ie r d z e ń ty p u n ie ilo ś c io w e g o ” lz, a le te tw ierd zen ia jak o ta k ie n ie n a leżą ju ż do m a te m a ty k i jak o d y sc y p lin y fo rm a ln ej. W n iej b o w iem w ła sn o ś c i zb io ró w u jm o w a n e są ty lk o p oprzez e le m e n ty zb iorów i zach od zące m ię d z y n im i sto su n k i k w a n ty ta ty w n e . R ela cje ilo śc io w e ch a ­ r a k te r y z u je w p r z e c iw ie ń stw ie do ja k o ścio w y ch w ła śn ie ich o b o jętn y sto ­ su n ek do n a tu ry łą czo n y ch e le m e n tó w (ich treścio w eg o up osażen ia). A p rzecież w sp ó łc z e sn a m a tem a ty k a p od k reśla jak n a jm o cn iej, że a b stra h u je od n a tu ry e le m e n tó w , w y m a g a ją c je d y n ie , ab y s p e łn ia ły one r e la c je fo rm a ln e zd e te r ­ m in o w a n e p rzez u k ład za ło żeń teo rii (a k sjom atów i w stę p n y c h d e f in ic j i) 13.

P r z y ta k ich u sta le n ia c h bardzo d ziw n ie brzm i (w ypow iedź, że w p ra w d zie tzw . tw ie r d z e n ie Jordana od n osi s ię do k a te g o r ii ilo ści, a le „sam o w sobie jest ono c z y sto ja k o ścio w e. N ie m a ono ch arak teru ilo ścio w eg o , m ierza ln eg o ” 14.

D la czeg o „ tw ierd zen ia m a tem a ty k i, ch o ćb y o rzek a ły coś o ilo ści, n ie m uszą n osić ch a ra k teru m ierza ln eg o , ilo ścio w eg o ? ” C zy zn aczy to, że m ogą być ta k że in terp reto w a n e jak ościow o? J e śli ta k , to p o stęp u je się w te n sposób już n ie w m a tem a ty ce czy stej (d y scy p lin ie form aln ej), le c z w jej ap lik acjach em p iry czn y ch . T erm iny: zbiór, m nogość, rela c ja , tak jak w y stę p u ją w e w sp ó ł­

czesn ej m a tem a ty ce, o zn aczają ilo ścio w e a sp ek ty (m om enty) czegoś. M ogą b yć jed n a k in terp reto w a n e k w a lita ty w n ie w p ew n y ch form u łach , g d y p rzy­

p orzą d k u je s ię im o d p o w ied n io „jak ości” sp ełn ia ją ce fo rm a ln e w a ru n k i w y ­ ra żo n e w w y ra źn y ch lu b u w ik ła n y ch d efin icja ch ty ch term in ó w .

D la te o r ii m a tem a ty czn y ch zn ajd u je s ię m o d ele n ieilo ścio w e. B y ty sta n o ­ w ią c e ta k ie m o d e le n ie m u szą posiadać cech ilo ści, a le od tej „stron y”, w ty m a sp ek cie n ie są tzw . d zied zin ą żadnej te o r ii m a tem a ty czn ej. B ad an e przez m a tem a ty k ę sto su n k i z a w sz e są b o w iem stosu n k am i ilościowytm i. Skoro jed n ak w ja k ie jś d zied zin ie m a tem a ty k i obok sto su n k ó w ilo ścio w y ch , k tóre u zy sk a ły już u ję c ie sta n d a rd o w e i z o sta ły pod p orząd k ow ane o k reślo n y m re­

g u ło m rach u n k ow ym , zach od zi p otrzeba w p row ad zen ia do rozw ażań zu p ełn ie n o w y c h stron badanych p rzed m io tó w , to tz a s e m m ó w i się , iż p rzechodzi się od ro zw a ża ń ilo ścio w y ch d o ja k o ścio w y ch . Tak np. w teo rii rów n ań różn icz­

k o w y ch do d zied zin y m etod ja k o ścio w y ch n ależą m eto d y badania glob aln ego za ch o w a n ia się k rzy w y ch ca łk o w y ch , n ie w y m a g a ją ce e fe k ty w n e g o ca łk o ­ w a n ia sa m y ch rów n ań ró żn iczk o w y ch , le c z oparte na o g ó ln y ch rozw ażaniach to p o lo g iczn y ch . Jed n ak że sam e te m etod y top o lo g iczn e w ich p ełn y m rozw oju

12 Tam że, s. 90.

13 Por. K. K u r a t o w s k i , W stęp do teorii m nogości i topologii, W arszaw a 1962, początkow e zdania w stępu.

14 M. L u b a ń s k i , 1. c., s. 89.

9 — R o c z n ik i F ilo z o f ic z n e

p od legają o k reślon em u alg o ry tm o w i sprow ad zającem u zagad n ien ie do o b li­

czan ia p ew n y ch ch a ra k tery sty k liczb o w y ch (stopień od w zorow an ia itp.), co ju ż w y ra źn ie w sk a zu je n a ilo śc io w y ch arak ter ty c h n o w y ch s t o s u n k ó w 15.

J a k o ścio w a p rzeto m oże b yć co n a jw y żej g en eza pojąć lu b m etod m a tem a ­ ty czn y ch oraz p ozam atem atyczn a in terp reta cja te o r ii m a tem a ty czn y ch . T ak przyn ajm n iej p rzed sta w ia się sp raw a p rzy o b ieg o w y m , in tu ic y jn y m rozu­

m ien iu term in ów : ilość i jakość.

18 Por. A. N. K o ł m o g o r o w , O m a te m a ty c e , W arszaw a 1955, s. 72.