Voltage-carrying states in superconducting microstrips

VOLTAGE-CARRYING STATES IN

SUPERCONDUCTING MICROSTRIPS

V O L T A G E - C A R R Y I N G S T A T E S I N

S U P E R C O N D U C T I N G M I C R O S T R I P S

o o r o oo i u f i l l l i i l l l l l l i l M i i IIS 111 i l l i 111 IIII! II 111 IIII Bill i i i mini iiiiii ii mil

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[ftijiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii -o O - J BIBLIOTHEEK TU Delft P 1738 6097 C 825752

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VOLTAGE-CARRYING STATES IN

SUPERCONDUCTING MICROSTRIPS

P R O E F S C H R I F T

ter verkrijging van de graad van doctor in de technische

wetenschappen aan de Technische Hogeschool Delft, op

gezag van de rector magnificus prof. ir. B. P. Th. Veltman,

voor een commissie aangewezen door

het college van dekanen, te verdedigen op ^ - ^ o

1^^-donderdag 9 juni 1983 te 16.00 uur

door

M A R I A N N E E U P H E M I A C O R R Y S T U I V I N G A

geboren te Amsterdam

H

D i t p r o e f s c h r i f t i s g o e d g e k e u r d d o o r d e p r o m o t o r P r o f . d r . i r . J . E . M o o i j H e t o n d e r z o e k , w a a r o v e r d i t p r o e f s c h r i f t v e r s l a g d o e t i s v e r r i c h t o n d e r l e i d i n g v a n P r o f . d r . i r . J . E . M o o i j e n i n d i r e k t e s a m e n -w e r k i n g m e t D r . i r . T.M. K l a p -w i j k . V e r d e r h e b b e n I r . A . B e z u i j e n e n I r . C.L.G. Ham h i e r a a n h u n m e d e w e r k i n g v e r r i c h t . F i n a n c i ë l e s t e u n w e r d v e r l e e n d d o o r d e S t i c h t i n g v o o r F u n d a m e n t e e l O n d e r z o e k d e r M a t e r i e ( F O M ) .

CONTENTS C h a p t e r I G e n e r a l i n t r o d u c t i o n 1 1 . S u p e r c o n d u c t i v i t y 1 2 . I n t e r m e d i a t e s t a t e , m i x e d s t a t e 4 3 . C u r r e n t - i n d u c e d i n t e r m e d i a t e s t a t e 5 4 . M i c r o s t r i p s 6 5 . V o l t a g e - c a r r y i n g s t a t e s i n m i c r o s t r i p s 7 C h a p t e r I I P h a s e - s l i p c e n t e r s i n s u p e r c o n d u c t i n g a l u m i n u m s t r i p s 17 1. I n t r o d u c t i o n 18 2 . Theory 2 0 3 . Sample d e s i g n and f a b r i c a t i o n 3 7 4 . E x p e r i m e n t a l a r r a n g e m e n t 4 7 5 . R e s u l t s and d i s c u s s i o n , Un( x ) 6 . R e s u l t s and d i s c u s s i o n , A ( x ) 5 9 7 . T i m e - a v e r a g e d s u p e r c u r r e n t i n t h e c o r e 6 9 8 . C o n c l u s i o n s 71 C h a p t e r I I I S e l f - h e a t i n g o f p h a s e - s l i p c e n t e r s 7 5 1. I n t r o d u c t i o n 76 2 . D e s c r i p t i o n o f t h e model 7 7 3 . S m a l l h e a t i n g l i m i t 8 0 4 . N u m e r i c a l s o l u t i o n 8 3 5 . D i s c u s s i o n and c o n c l u s i o n s 8 7 C h a p t e r I V C u r r e n t - i n d u c e d r e l a x a t i o n o f c h a r g e i m b a l a n c e i n S u p e r c o n d u c t i n g p h a s e - s l i p c e n t e r s 91 1. I n t r o d u c t i o n 91 2 . Homogeneous c a s e 9 2 3 . P h a s e - s l i p c e n t e r s 9 4 4. D i s c u s s i o n 9 8

Summary

S a m e n v a t t i n g

CHAPTER I GENERAL INTRODUCTION 1. S u p e r c o n d u c t i v i t y S u p e r c o n d u c t i v i t y w a s d i s c o v e r e d i n 1 9 1 1 b y K a m e r l i n g h O n n e s a n d h i s c o - w o r k e r s w h e n t h e y o b s e r v e d t h a t t h e e l e c t r i c a l r e s i s t a n c e o f a m e r c u r y s a m p l e a b r u p t l y f e l l t o a n u n m e a s u r a b l y s m a l l v a l u e w h e n t h e s a m p l e w a s c o o l e d b e l o w a t e m p e r a t u r e o f 4.2 K. S i n c e t h e n , s u p e r c o n d u c t i v i t y h a s b e e n o b s e r v e d i n many m e t a l s a n d a l l o y s , e a c h h a v i n g a d i f f e r e n t c r i t i c a l t e m p e r a t u r e , T , F o r m o s t s u p e r -c o n d u -c t o r s , h o w e v e r , T^ l i e s i n t h e l i q u i d h e l i u m r a n g e a n d t h e h i g h e s t c r i t i c a l t e m p e r a t u r e o b s e r v e d t o d a t e o c c u r s i n N b ^ G e , a s o - c a l l e d A 1 5 a l l o y , w i t h T^ = 2 3 K. A s i t s name i m p l i e s , a w i r e made o f s u p e r c o n d u c t i n g m a t e r i a l w i l l c a r r y a n e l e c t r i c c u r r e n t I , w i t h o u t r e s i s t a n c e u p t o a c r i t i c a l v a l u e I. . T h i s c r i t i c a l c u r r e n t c i s t e m p e r a t u r e d e p e n d e n t a n d v a n i s h e s a s T a p p r o a c h e s T . A n o t h e r c i m p o r t a n t c h a r a c t e r i s t i c o f s u p e r c o n d u c t o r s i s t h e M e i s s n e r e f f e c t : i n a n e x t e r n a l m a g n e t i c f i e l d H s m a l l e r t h a n H^, t h e s o c a l l e d t h e r m o -d y n a m i c a l c r i t i c a l f i e l -d , t h e m a g n e t i c i n -d u c t i o n B i n s i -d e t h e s u p e r c o n d u c t i n g m e t a l i s z e r o . T h e f i e l d o n l y p e n e t r a t e s i n a s u r -f a c e l a y e r o -f c h a r a c t e r i s t i c s i z e X 5 0 - 5 0 0 nm), t h e m a g n e t i c p e n e t r a t i o n d e p t h , i n w h i c h s u p e r c o n d u c t i n g s h i e l d i n g c u r r e n t s f l o w . 2 T h e f i e l d H i s r e l a t e d t o % u H , t h e e n e r g y i t c o s t s t o g o 1

d i r e c t l y f r o m t h e n o r m a l t o t h e s u p e r c o n d u c t i n g s t a t e i n z e r o f i e l d , t h e c o n d e n s a t i o n e n e r g y . A m i c r o s c o p i c e x p l a n a t i o n f o r s u p e r c o n d u c t i v i t y was g i v e n , 46 y e a r s a f t e r i t s d i s c o v e r y , b y B a r d e e n , C o o p e r , a n d S c h r i e f f e r -t h e s o - c a l l e d BCS -t h e o r y . A c c o r d i n g -t o -t h i s -t h e o r y , a -t T &l-t; T ^ . d u e t o a p h o n o n m e d i a t e d i n t e r a c t i o n , a c e r t a i n p r o p o r t i o n o f t h e c o n -d u c t i o n e l e c t r o n s i n t h e m e t a l i s b o u n -d e -d i n t o C o o p e r p a i r s . A p a i r c o n s i s t s o f a 2 - e l e c t r o n s t a t e ( k + , -k+) w i t h w a v e v e c t o r k a n d c h a r g e 2 e . A t T=0, t h e e l e c t r o n s f o r m a c o n d e n s a t e o f p a i r s , w h i l e a t h i g h e r t e m p e r a t u r e s m o r e p a i r s g r a d u a l l y b r e a k up i n t o s i n g l e p a r t i c l e e x c i t a t i o n s , a l s o c a l l e d q u a s i p a r t i c l e s . A n e x c i t a -t i o n r e s u l -t s i f -t h e s -t a -t e ( k + , -k+) i s o c c u p i e d b y o n l y o n e e l e c -t r o n a n d b l o c k s t h i s s t a t e f o r p a i r f o r m a t i o n . T h e m i n i m u m e x c i t a t i o n e n e r g y i s A ( T ) , t h e e n e r g y g a p , w h e r e a t T=0 A ( 0 ) >v 10 eV. The c h a r a c t e r i s t i c s i z e f o r a C o o p e r p a i r , t h e BCS c o h e r e n c e l e n g t h £Q i s l a r g e , o f t h e o r d e r o f 10 - 1 0 0 0 nm. The s u p e r c o n d u c t i n g s t a t e c a n b e d e s c r i b e d b y a m a c r o s c o p i c w a v e f u n c t i o n ¥(r) = [ ¥ ( r ) | e x p [ i i j > ( r ) ] . M i c r o s c o p i c a l l y ¥(r) r e p r e s e n t s t h e w a v e f u n c -t i o n o f -t h e c e n -t e r o f m a s s o f -t h e C o o p e r p a i r s , a n d i -t s n o r m , V ( r ) ! y i e l d s t h e i r d e n s i t y n ^ ( r ) . P a i r s a r e c o n t i n u a l l y s c a t t e r -i n g f r o m o n e k s t a t e t o a n o t h e r . T h -i s -i n t e r a c t -i o n g -i v e s r -i s e t o c o h e r e n c e . Y ( r ) i s n e a r T , g o v e r n e d b y t h e G i n z b u r g - L a n d a u ( G L ) . 1.2 e q u a t i o n s 2

2m t, V - 2 e A

f + S\V\

2

V = - a(T)¥

1 ( l a ) P m i P 4 e2l ' i ' l2A ( l b ) m H e r e e i s t h e e l e c t r o n i c c h a r g e - | e | , m^ = 2m w i t h m t h e s i n g l e e l e c t r o n m a s s , A t h e v e c t o r p o t e n t i a l a n d a ( T ) a n d B c a n b e d e t e r -m i n e d f r o -m -m i c r o s c o p i c t h e o r y ( B C S ) . N o t e t h a t E q . ( l a ) i s s i -m i l a r t o t h e S c h r o d i n g e r e q u a t i o n f o r a p a r t i c l e w i t h c h a r g e 2 e , a p a r t f r o m a m e a n f i e l d i n t e r a c t i o n t e r m , w h i l e E q . ( l b ) i s t h e s t a n d a r d q u a n t u m m e c h a n i c a l e x p r e s s i o n f o r a c u r r e n t o f p a i r e d e l e c t r o n s . 1 2 2 I t c a n b e s h o w n t h a t t h e c o n d e n s a t i o n e n e r g y hvQ^ = a / 2 B . F r o m E q . ( l a ) o n e c a n d e d u c e t h a t w i t h i n t h e b u l k V(r) i s c o n -s t a n t u p t o a c h a r a c t e r i -s t i c d i -s t a n c e 5 , t h e GL c o h e r e n c e l e n g t h , away f r o m t h e b o u n d a r i e s o f t h e s u p e r c o n d u c t o r . T h i s d i s t a n c e i s r e l a t e d b u t d i s t i n c t f r o m £ . B e c a u s e n e a r t h e t r a n s i t i o n y l « A o 1 i t a l s o d e t e r m i n e s t h e l e n g t h o v e r w h i c h A w i l l change., f o r i n s t a n c e , a t a N ( n o r m a l ) - S ( s u p e r c o n d u c t i n g ) b o u n d a r y . F u r t h e r m o r e , E q . ( l b ) t o g e t h e r w i t h t h e M a x w e l l e q u a t i o n s g i v e s X, t h e p e n e t r a t i o n d e p t h f o r a m a g n e t i c f i e l d . I n a n t i c i p a t i o n t o t h e w o r k r e p o r t e d h e r e , l e t u s c o n f i n e o u r -s e l v e -s t o t h e c a -s e o f a -s u p e r c o n d u c t o r w i t h a n e l e c t r o n i c m e a n f r e e p a t h I m u c h s m a l l e r t h a n ^ , I n a t e m p e r a t u r e r a n g e 1 - T / Tc < 10 . 3

T h e n t h e c o h e r e n c e l e n g t h £ a n d t h e p e n e t r a t i o n d e p t h X are. g i v e n b y £ ( T ) = . 8 5 ( 5o< 0! i ( 1 - T / Tc)_ ! s ( 2 ) A ( T ) = [ - 7 5 Ç 1 AQ ( 1 - T / Tc) 2 ( 3 ) I > 7 2 w h e r e ¡1 i s t h e e l e c t r o n i c m e a n f r e e p a t h , £ = 0.18Tiv„/k„T w i t h v o F B c F \ , t h e F e r m i v e l o c i t y a n d ( £o* 0 t h e e f f e c t i v e s i z e o f a C o o p e r p a i r . 2 I n t h i s c a s e , X = pH/u v w i t h p t h e r e s i s t i v i t y i n t h e n o r m a l O o r s t a t e , g i v i n g X^ t, 3 0 nm. A s a t y p i c a l e x a m p l e f o r a l u m i n u m , o n e _2 f i n d s f o r a s a m p l e w i t h I = 0 . 1 um a n d 1 - T / Tc = 5 x 1 0 , — 1 6 2 £ = 1.5 ym a n d X = 0.2 ym ( u s i n g pi = 4 x 1 0 ton a n d V = F 1.3 x 1 06 m s "1) . 2. I n t e r m e d i a t e s t a t e , m i x e d s t a t e D e p e n d i n g o n t h e r a t i o A / £ = K, t h e G i n z b u r g - L a n d a u p a r a m e t e r t h e b e h a v i o r o f a s u p e r c o n d u c t o r i n a m a g n e t i c f i e l d w i l l b e q u a l i -t a -t i v e l y d i f f e r e n -t . A -t y p e I m a -t e r i a l i s o n e i n w h i c h K &l-t; 1 / / 2 . When t h e f i e l d a t t h e s u r f a c e e x c e e d s H , t h e s u p e r c o n d u c t i n g s t a t e c b r e a k s u p i n t o a n a l t e r n a t i n g l a y e r e d s t r u c t u r e o f N a n d S d o m a i n s , w h o s e d o m a i n b o u n d a r i e s a r e p l a n e s w h i c h a r e p a r a l l e l t o t h e d i r e c -t i o n o f a n a p p l i e d f i e l d . T h i s i s c a l l e d -t h e i n -t e r m e d i a -t e s -t a -t e . T h e p e r i o d o f t h e s t r u c t u r e r a n g e s b e t w e e n £ a n d t h e m a c r o s c o p i c s a m p l e s i z e . T h e s e d o m a i n s a r e s e p a r a t e d b y a r e g i o n i n w h i c h | M' | i s u n i f o r m o n t h e S s i d e a n d w h i c h g o e s t o z e r o a t t h e N s i d e o v e r 4

a l e n g t h o f a b o u t £, w h i l e H i n N d e c a y s f r o m t h e v a l u e H t o c z e r o i n t o S o v e r a l e n g t h o f a b o u t X. T h e s u r f a c e e n e r g y a s s o c i -a t e d w i t h -a d o m -a i n w -a l l i s p r o p o r t i o n -a l t o (£ - X ) . T y p e I I s u p e r c o n d u c t o r s a r e m a t e r i a l s w i t h K > l / 2 . H e r e t h e d o m a i n w a l l e n e r g y i s n e g a t i v e a n d t h e e q u i l i b r i u m c o n f i g u r a t i o n i s o n e w h i c h m a x i m i z e s t h e s u r f a c e t o v o l u m e r a t i o . F o r f i e l d s g r e a t e r t h a n a c r i t i c a l v a l u e H ^ Hc ^ ' 3 re8u^ar array °f v o r t i c e s i s f o r m e d . T h i s s t a t e i s c a l l e d t h e m i x e d s t a t e . A v o r t e x c a n b e d e s c r i b e d a s a f i l a m e n t a r y r e g i o n o f m a g n e t i c f i e l d h a v i n g a r a d i u s X. I n t h a t r e g i o n |V| d e c r e a s e s t o z e r o o n t h e a x i s o v e r a r a d i u s £. A v o r t e x o f s u p e r c u r r e n t c o n c e n t r a t e s t h e f i e l d t o w a r d s t h e c e n t e r . 3. C u r r e n t - i n d u c e d i n t e r m e d i a t e s t a t e I f t h e c u r r e n t i n a s u p e r c o n d u c t i n g w i r e e x c e e d s a c r i t i c a l v a l u e 1 , t h e s u p e r c o n d u c t i n g s t a t e w i l l b r e a k up. The v a l u e o f I i s t h a t w h i c h w i l l p r o d u c e t h e c r i t i c a l f i e l d a t t h e s u r f a c e o f t h e w i r e . ( F o r a w i r e w i t h r a d i u s r , I = H / 2 i r r . ) H o w e v e r , n o c c d i r e c t t r a n s i t i o n t o t h e n o r m a l s t a t e o c c u r s . T h a t t h i s d o e s n o t t a k e p l a c e c a n b e s e e n b y t h e f o l l o w i n g a r g u m e n t . S h o u l d t h e w i r e b e c o m e c o m p l e t e l y n o r m a l t h e n t h e c u r r e n t d e n s i t y i n t h e w i r e w o u l d b e c o m e u n i f o r m w h i c h w o u l d i m p l y t h a t t h e f i e l d i n s i d e t h e w i r e i s 2 3 l e s s t h a n H . I t c a n b e s h o w n ' t h a t i n t y p e I m a t e r i a l s a c u r r e n t -c i n d u c e d i n t e r m e d i a t e s t a t e i s f o r m e d c o n s i s t i n g o f a c o r e w i t h a s a w - t o o t h l i k e N-S s t r u c t u r e w i t h p e r i o d i c i t y a l o n g t h e d i r e c t i o n 5

o f t h e c u r r e n t , s u r r o u n d e d b y a c o m p l e t e l y n o r m a l r e g i o n . When t h e i n t e r m e d i a t e s t a t e i s r e a c h e d t h e r e s i s t a n c e j u m p s t o a v a l u e o f a b o u t h a l f i t s n o r m a l v a l u e . F o r l a r g e r c u r r e n t s , t h e v o l t a g e r i s e s c o n t i n u o u s l y t o w a r d s t h e n o r m a l o h m i c r e s i s t a n c e . I n t h e c a s e o f t y p e I I s u p e r c o n d u c t o r s , a t f i e l d s < H^_ r e s i s t a n c e a p p e a r s c o n t i n u o u s l y a s a r e s u l t o f t h e m o v e m e n t o f v o r t i c e s w h i c h a r e f o r m e d a t t h e s u r f a c e a n d c o n t r a c t i n t h e c e n t e r . H e r e t h e a p p e a r a n c e o f r e s i s t a n c e i s v e r y m u c h d e p e n d e n t o n t h e o c c u r r e n c e o f i n h o m o g e n e i t i e s o f o r d e r £ , p i n n i n g c e n t r a w h i c h p a r t i a l l y i n h i b i t t h e m o v e m e n t o f v o r t i c e s . 4. M i c r o s t r i p s I t i s i n t e r e s t i n g t o c o n s i d e r w i r e s w i t h t r a n s v e r s e d i m e n s i o n s s m a l l c o m p a r e d t o b o t h £ a n d A l i k e w h i s k e r s . E x p e r i m e n t a l l y i t i s m o r e p r a c t i c a l t o s t u d y f i l a m e n t s t r u c t u r e s f o r m e d i n a t h i n f i l m , l i k e m i c r o s t r i p s w h i c h h a v e t r a n s v e r s e d i m e n s i o n s r a n g i n g f r o m 0.1 t o 1 urn. I n a o n e - d i m e n s i o n a l g e o m e t r y w i t h t h i c k n e s s d a n d w i d t h w b o t h l e s s t h a n £, V w i l l o n l y b e a l l o w e d t o c h a n g e i n t h e d i r e c t i o n o f t h e c u r r e n t . F u r t h e r m o r e i n a t h i n f i l m w i t h d<<A t h e e f f e c t i v e 2 p e n e t r a t i o n d e p t h f o r a t r a n s v e r s e f i e l d A^ i s g i v e n b y A / d a n d 2 t h e c u r r e n t w i l l b e n e a r l y u n i f o r m f o r wd < A . A s a t y p i c a l e x a m p l e f o r a m i c r o s t r i p o f t i n o r a l u m i n u m w i t h w = 2 um a n d d = 5 0 nm, H w i l l b e s i z e l i m i t e d g i v i n g I - 50 nm. U s i n g E q s . 6

( 2 ) a n d ( 3 ) , wd = A2 o c c u r s f o r (1 - T/T ) = 3 x 1 0 2 w h e r e \ = 0.3 ym a n d £ = 0.5 um i n t i n a n d 1 um i n a l u m i n u m . As w i l l b e s h o w n b e l o w , t h e c r i t i c a l c u r r e n t i n s u c h a o n e -d i m e n s i o n a l g e o m e t r y i s -d e t e r m i n e -d b y p a i r - b r e a k i n g . I n t h i s c a s e j £ H /A. c c 3. V o l t a g e - c a r r y i n g s t a t e s i n m i c r o s t r i p s I n a o n e - d i m e n s i o n a l s u p e r c o n d u c t o r c a r r y i n g a s u p e r c u r r e n t , | f | i s c o n s t a n t . T h e GL c u r r e n t d e n s i t y j i s g i v e n b y ^ js = 2 e | f |2vs ( 4 a ) w i t h = v2 i - S2 m v s (4b) o h H e r e i s t h e s u p e r f l u i d v e l o c i t y , ¥ i s t h e e q u i l i b r i u m v a l u e o f |¥| f o r j = 0, a n d m i s t h e ( s i n g l e - ) e l e c t r o n m a s s . F r o m E q s . ( 4 a ) a n d ( 4 b ) i t f o l l o w s t h a t t h e m a x i m u m s u p e r c u r r e n t d e n s i t y j i s d e t e r m i n e d b y = v , T h i s o c c u r s w h e n t h e s u p e r f l u i d momen-12 2 t u r n , 2mv , i s e q u a l t o T i / E / 3 a n d ¥ /¥ = 2 / 3 . T h i s i n d i c a t e s s o t h a t a t t h e c r i t i c a l c u r r e n t , [ f | (K tl ) h a s a l r e a d y p a r t i a l l y b e e n r e d u c e d b y t h e p a i r - b r e a k i n g e f f e c t o f t h e s u p e r c u r r e n t . A t l a r g e r v a l u e s o f v n o s t a b l e u n i f o r m s o l u t i o n o f i c a n b e f o u n d . s Js 4 I t i s f o u n d e x p e r i m e n t a l l y t h a t w h e n t h e c r i t i c a l c u r r e n t i s e x c e e d e d i n a s u p e r c o n d u c t i n g m i c r o s t r i p , v o l t a g e - c a r r y i n g s t a t e s 7

w i t h a r e s i s t a n c e s i g n i f i c a n t l y b e l o w t h e n o r m a l s t a t e r e s i s t a n c e _2 c a n o c c u r . I n a t e m p e r a t u r e r a n g e s u c h t h a t ( 1 - T/T ) < 1.5 x 10 p h a s e - s l i p c e n t e r s ( P S C ) a p p e a r . T h e s e a r e s u c c e s s i v e l o c a l v o l t a g e u n i t s w h i c h m a n i f e s t t h e m s e l v e s a s s t e p l i k e i n c r e m e n t s i n v o l t a g e i n t h e I - V c h a r a c t e r i s t i c . ( I n F i g . l c o f C h a p t e r I I s u c h a v o l t a g e _2 s t e p i s s h o w n . ) F o r t e m p e r a t u r e s s u c h t h a t ( 1 - T/T ) > 3 x 10 , t h e PSC r e g i m e d e g e n e r a t e s i n t o a r e g i o n o f n o r m a l m a t e r i a l , a s o -c a l l e d " h o t s p o t . " " ' When t h i s o -c -c u r s a n S-N-S i n t e r f a -c e i s f o r m e d w i t h i n t h e s a m p l e . ( S e e C h a p t e r I I I ) . T h e s e t w o p h e n o m e n a , p h a s e - s l i p c e n t e r s a n d h o t s p o t s f o r m t h e s u b j e c t o f t h i s t h e s i s . T h e m e a n i n g o f t h e w o r d PSC d e r i v e s f r o m t h e c o n c e p t o f p h a s e -s l i p e v e n t -s . ^ T h e -s e a r e a -s -s o c i a t e d w i t h t h e a p p e a r a n c e o f r e -s i -s t a n c e l u s t b e l o w T a s a r e s u l t o f t h e r m a l f l u c t u a t i o n s . I n t h e p r e s e n c e J c o f a DC v o l t a g e t h e p h a s e f a c t o r o f f h a s a t i m e d e p e n d e n c e e x p ( - i 2 ugt / h ) w h e r e u i s t h e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e p a i r s . ^ I n z e r o e l e c t r i c f i e l d u i s i d e n t i c a l t o t h e n o r m a l s t a t e s F e r m i e n e r g y . H e n c e , w h e n t h e r e i s a v o l t a g e d i f f e r e n c e V o v e r a f i l a m e n t , t h e p h a s e d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e n d s i n c r e a s e s s t e a d i l y a c c o r d i n g t o t h e J o s e p h s o n r e l a t i o n d<f>, „ 2eV " d t T = I T (5) 8

S i n c e t h e s u p e r f l u i d momentum pg i s e q u a l t o TiVij), o n e c a n d e d u c e f r o m E q s . ( 4 ) a n d ( 5 ) t h a t a s t e a d y a c c e l e r a t i o n o f t h e s u p e r c u r r e n t j m u s t e n d a s s o o n a s j r e a c h e s i t s c r i t i c a l v a l u e . H o w e v e r , s s 8 2 a n o s c i l l a t o r y p r o c e s s c a n b e f o u n d , i n w h i c h j " l ^ l V<f> r e m a i n s i i2 c o n s t a n t . I n a r e g i o n o f o r d e r E, [¥| b e c o m e s v e r y s m a l l w h i l e a t t h e same t i m e dc|>/dx i n c r e a s e s s t r o n g l y . F o r |¥|>0, p h a s e c o h e r -e n c -e i s m o m -e n t a r i l y l o s t a n d t h -e p h a s -e i s r -e d u c -e d b y 2ir a f t -e r w h i c h (j>^2 i n c r e a s e s a g a i n . T h e s e e v e n t s e x p l a i n t h e b r o a d e n i n g o f t h e r e s i s t i v e t r a n s i t i o n a t t h e s u p e r c o n d u c t i n g s i d e a n d t h e r o u n d i n g o f t h e I - V c h a r a c t e r i s t i c t o w a r d s t h e n o r m a l s t a t e v e r y n e a r T . T h e y a r e t h e o r e t i c a l l y w e l l u n d e r s t o o d w h i c h i s l e s s t r u e f o r t h e p h a s e - s l i p c e n t e r p r o c e s s m e n t i o n e d a b o v e . One s h o u l d n o t e h e r e t h a t i f j d e p a r t s f r o m i t s u n i f o r m e q u i l i b r i u m v a l u e , a p a r t o f t h e c u r r e n t d e l i v e r e d b y t h e s o u r c e i s c a r r i e d b y t h e q u a s i p a r t i c l e s a s a n o r m a l c u r r e n t j , g i v i n g r i s e t o d i s s i p a t i o n . The t o t a l c u r r e n t I i n t h e s t r i p c a n now b e e x p r e s s e d a s I = j A = ( j + j ) A w h e r e A i s t h e c r o s s s e c t i o n a l a r e a o f t h e s t r i p . A p h a s e - s l i p c e n t e r c a n b e d e s c r i b e d b y t h e f o l l o w i n g m o d e l d e v e l o p e d b y S k o c p o l , B e a s l y a n d T i n k h a m [ R e f . h a n d F i g . 1 ( a ) o f C h a p t e r I I ] . I n a c o r e r e g i o n o f s i z e "v £, t h e o r d e r p a r a m e t e r ¥ o s c i l l a t e s w i t h t h e J o s e p h s o n f r e q u e n c y [ E q . ( 5 ) J w h e r e V i s t h e t o t a l v o l t a g e a c r o s s t h e p h a s e s l i p c e n t e r . T h i s v o l t a g e i s g e n e r a t e d o u t s i d e t h e c o r e a s a d i f f e r e n c e b e t w e e n t h e e l e c t r o c h e m i -c a l p o t e n t i a l o f t h e p a i r s u a n d t h a t o f t h e q u a s i p a r t i -c l e s , u . 9

T h e t i m e - a v e r a g e d v a l u e o f pg e x p e r i e n c e s a d i s c o n t i n u o u s j u m p eV a t t h e c o r e . E x c e p t f o r t h e d i s c o n t i n u i t y , Ug i s c o n s t a n t i n s p a c e . T h i s i s c o n s i s t e n t w i t h t h e p i c t u r e t h a t a l l t i m e d e p e n d e n t p r o c e s s e s a r e r e s t r i c t e d t o t h e c o r e r e g i o n o n l y . When |f|-K) i n t h e c o r e , t h e c u r r e n t i s p a r t i a l l y c a r r i e d b y t h e q u a s i p a r t i c l e s . H e n c e t h e r e e x i s t s a l s o a n o s c i l l a t i n g n o r m a l c u r r e n t w h i c h i s p r o p o r t i o n a l t o a g r a d i e n t o f a n d w h i c h d i f f u s e s away i n t o t h e t a i l s o f t h e PSC ( t h e o u t e r r e g i o n s o f t h e c o r e ) . T h i s c u r r e n t c a n b e r e g a r d e d a s a n i n j e c t i o n o f q u a s i p a r t i c l e s i n t h e s u p e r c o n d u c t i n g t a i l s . T h i s l e a d s t o a s t a t i o n a r y n o n e q u i l i b r i u m q u a s i p a r t i c l e 9 d i s t r i b u t i o n i n w h i c h a c h a r g e Q* r e s i d e s i n t h e q u a s i p a r t i c l e s . N o t e t h a t i n e q u i l i b r i u m t h e d i s t r i b u t i o n o f e l e c t r o n - l i k e ( k > k„) r e s p e c t i v e l y h o l e - l i k e ( k < k„) q u a s i p a r t i c l e s i s e q u a l , r r To m a i n t a i n e l e c t r o n n e u t r a l i t y , t h i s c h a r g e i s c o m p e n s a t e d f o r by t h e c o n d e n s a t e w h i c h , t h r o u g h a s h i f t i n u , c h a n g e s t h e o c c u p a n c y o f p a i r s i n t h e c o n d e n s e d s t a t e . T h e r e f o r e Q* i s d i r e c t l y r e l a t e d t o t h e d i f f e r e n c e b e t w e e n y a n d y n s w h e r e N ( 0 ) i s t h e s i n g l e - e l e c t r o n d e n s i t y o f s t a t e s . The c h a r g e i m b a l a n c e Q* h a s o p p o s i t e s i g n o n b o t h s i d e s o f t h e c o r e a n d i t d e c a y s b y r e l a x a t i o n a n d d i f f u s i o n . The r e l a x a t i o n t i m e T ^ i s

h.

r e l a t e d t o t h e d i f f u s i o n l e n g t h A ± b y A = (DT ^) w i t h 10

D = 1/3 v , £ t h e n o r m a l s t a t e d i f f u s i o n c o n s t a n t . I n t h e I - V F c u r v e t h e d i f f e r e n t i a l r e s i s t a n c e o f a P S C i s s h o w n t o b e p r o -p o r t i o n a l t o 2 A Q ^ R / L w h e r e R / L i s t h e r e s i s t a n c e -p e r u n i t l e n g t h . [ R e f . 4 and S e c . 2.3 o f C h a p t e r I I ] F o r a c u r r e n t I = j A f i x e d b y t h e s o u r c e , a d d i t i o n a l v o l t a g e u n i t s w i l l a p p e a r w h e n , o n a t i m e - a v e r a g e d s c a l e , 1 = Vu [ E q . ( 6 ) ] h a s b e c o m e s o s m a l l t h a t n n t h e l o c a l s u p e r c u r r e n t j - j i n t h e t a i l s e x c e e d s j . A t t h e c o r e o f e a c h P S C , t h e t i m e - a v e r a g e d s u p e r c u r r e n t i s e q u a l t o a f r a c t i o n ¡3 ^ 0 . 5 o f t h e GL c r i t i c a l c u r r e n t I . c A s t a t i o n a r y t a i l o f c h a r g e i m b a l a n c e i s a l s o p r e s e n t a t a n N-S i n t e r f a c e . " ^ When n o r m a l c u r r e n t e n t e r s S, i t i s c o n v e r t e d i n t o s u p e r c u r r e n t i n a r e g i o n w i t h s i z e o f a b o u t A Q * N O t i m e -d e p e n -d e n t p h e n o m e n a t a k e p l a c e a n -d j = 0 a t t h e b o u n -d a r y . T h i s d i s t i n g u i s h e s t h e N-S i n t e r f a c e c a s e f r o m t h e p h a s e - s l i p c e n t e r . T h e t i m e x _ . , c h a r a c t e r i s t i c f o r a c h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n i s d e t e r m i n e d b y i n e l a s t i c p r o c e s s e s w i t h p h o n o n s , b e c a u s e t h e BCS t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y f o r e l a s t i c s c a t t e r i n g ( n e g l e c t i n g a n y p a i r - b r e a k i n g i n t e r a c t i o n ) i s z e r o . I t i s r e l a t e d t o t h e g a p A a n d t h e i n e l a s t i c s c a t t e r i n g t i m e T b y t h e r e l a t i o n * ' T = 4kBT T ( 7 ) Q* — TE Kl) JlA

h

N e a r T , T „ . d i v e r g e s b e c a u s e A i s p r o p o r t i o n a l t o ( 1 - T/T ) . c l ^ * c 11

E v e n i n s u p e r c o n d u c t o r s w h i c h h a v e a r e l a t i v e l y l o n g r e l a x a -t i o n -t i m e T , s u c h a s -t i n a n d a l u m i n u m , T i s s m a l l , a n d i s o f t h e o r d e r o f n a n o s e c o n d s . I n t h e PSC c a s e o n e d e t e r m i n e s i t i n d i -r e c t l y b y m e a s u -r i n g A ^ . F o -r a f i l m t h i c k n e s s o f a b o u t 50 nm, 4 i s a b o u t 5 um i n t i n a n d 20 um i n a l u m i n u m ( C h a p t e r I I ) . J o u l e h e a t i n g c a u s e s a t e m p e r a t u r e r i s e o f t h e PSC w i t h r e s p e c t t o t h e h e l i u m b a t h . T h i s b e c o m e s e s p e c i a l l y i m p o r t a n t away 3/2 f r o m T^ b e c a u s e I i s p r o p o r t i o n a l t o ( 1 T/T ) . T h e t e m p e r a -t u r e r i s e w i l l b e l a r g e s -t a -t -t h e c o r e o f -t h e P S C ' s a n d i -t c a n f i n a l l y c a u s e t h e t i m e - a v e r a g e d s u p e r c u r r e n t t o v a n i s h . When t h i s o c c u r s , a c o n f i g u r a t i o n i s r e a c h e d w i t h a n o r m a l " h o t s p o t " l o c a t e d i n t h e m i d d l e o f t h e s t r i p . A d i f f u s i v e t a i l o f c h a r g e i m b a l a n c e d e v e l o p s a t b o t h b o u n d a r i e s w i t h t h e S r e g i o n . A s t h e v o l t a g e i n c r e a s e s , t h e n o r m a l r e g i o n i n c r e a s e s a l s o u n t i l i t f i n a l l y o c c u p i e s t h e w h o l e s t r i p . I n C h a p t e r I I I a m o d e l i s c o n s t r u c t e d w h i c h c a l c u l a t e s t h e I - V c h a r a c t e r i s t i c o f a PSC w h i c h g o e s o v e r i n t o a n o r m a l " h o t s p o t . " To o b t a i n t h i s A ^ a s w e l l as i t s t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e m u s t b e t a k e n i n t o a c c o u n t . To g a i n a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p h a s e - s l i p c e n t e r p r o c e s s a n e x p e r i m e n t w a s d e s i g n e d t o m e a s u r e l o c a l v a l u e s o f t h e q u a s i -p a r t i c l e - a n d -p a i r - -p o t e n t i a l . T h i s w a s d o n e t o a n s w e r q u e s t i o n s c a u s e d b y p r e v i o u s e x p e r i m e n t s o n t h e d i f f e r e n t i a l r e s i s t a n c e o f a 12 PSC i n a l u m i n u m b y K l a p w i j k a n d M o o i j . T h e i r r e s i s t a n c e d i d n o t s h o w a d i v e r g e n t b e h a v i o r n e a r T^ a s o n e s h o u l d e x p e c t f r o m E q . ( 7 ) . B e c a u s e o f t h e s l o w r e l a x a t i o n r a t e i n a l u m i n u m i t i s p o s s i b l e t o o b t a i n a g o o d s p a t i a l r e s o l u t i o n b y m e a n s o f v o l t a g e p r o b e s w h i c h 12

a r e s u i t a b l y s p a c e d . ( I n t h e p r e s e n t w o r k t h e s e a r e a b o u t 2 um l a r g e a n d h a v e m u t u a l d i s t a n c e s r a n g i n g f r o m 4 t o 30 ym.) I n o r d e r n o t t o i n f l u e n c e t h e P S C p r o c e s s e a c h p r o b e m u s t b e s e p a r a t e d f r o m t h e s a m p l e b y m e a n s o f a n o x i d e l a y e r , t h e r e b y f o r m i n g a p r o b e t o -s a m p l e t u n n e l - j u n c t i o n . A p r o b e made o f n o r m a l m a t e r i a l , y i e l d -s y , w h i l e a p r o b e made o f s u p e r c o n d u c t i n g m a t e r i a l , w i t h a s m a l l e n o u g h b a r r i e r t h i c k n e s s (*v 2 nm) t o a l l o w f o r C o o p e r p a i r t u n n e l i n g ( J o s e p h -s o n j u n c t i o n ) w i l l y i e l d u. . A -s u p e r c o n d u c t i n g p r o b e w i t h a t h i c k e r j u n c t i o n b a r r i e r a n d a l a r g e r r e s i s t a n c e w i l l n o t o n l y y i e l d yn b u t c a n a l s o b e u s e d t o d e t e r m i n e l o c a l v a l u e s o f t h e g a p . To c o n s t r u c t s u c h a s a m p l e , s t a t e o f t h e a r t t h i n - f i l m p h o t o l i t h o g r a p h i c - a n d e v a p o r a t i o n t e c h n i q u e s w e r e u s e d . I n C h a p t e r I I t h e r e s u l t s o f l o c a l p o t e n t i a l a n d g a p m e a s u r e m e n t s a t a P S C i n a l u m i n u m a r e p r e s e n t e d a n d d i s c u s s e d . S p e c i a l a t t e n -t i o n i s b e i n g g i v e n -t o p a i r - b r e a k i n g i n -t e r a c -t i o n s w h i c h c a n s h o r -t e n t h e r e l a x a t i o n t i m e T h e y a r e r e l e v a n t i n s u p e r c o n d u c t o r s h a v -i n g a r e l a t -i v e l y l a r g e v a l u e f o r x s u c h a s a l u m -i n u m . T h e s p a t -i a l Ej d e p e n d e n c e o f u i n a l u m i n u m r e p o r t e d h e r e , a s w e l l a s t h o s e i n t i n n 13 a n d i n d i u m b y D o l a n a n d J a c k e l , i n d i c a t e t h a t t h e SBT m o d e l o f e x p o n e n t i a l d e c a y o f t h e p o t e n t i a l s i s v a l i d . H o w e v e r , e v e n t h o u g h t h e d e c a y l e n g t h o f u i n A l s h o w s t h e e x p e c t e d d i v e r g e n t b e h a v i o r , n t h e e f f e c t i v e v a l u e o f T e x t r a c t e d f r o m i t i s a f a c t o r o f a b o u t t h r e e s m a l l e r t h a n f o u n d i n e x p e r i m e n t s b y o t h e r s o n t h i c k e r s a m -p i e s . I n p h a s e - s l i p c e n t e r s r e l a x a t i o n o c c u r s i n t h e p r e s e n c e o f a s u p e r c u r r e n t , w h i c h i s l i k e l y t o a f f e c t t h e r e l a x a t i o n r a t e . I n 13

C h a p t e r I V t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f i s c a l c u l a t e d f o r t h e c a s e t h a t c u r r e n t i n d u c e d r e l a x a t i o n i s t h e m a i n m e c h a n i s m . T h e c a l c u -l a t i o n s i n d i c a t e t h a t t h e s p a t i a -l d e p e n d e n c e o f y f o r -l a r g e c u r r e n t v a l u e s w i l l d e v i a t e f r o m e x p o n e n t i a l , w h i c h i s n o t t h e c a s e i n o u r un(x) m e a s u r e m e n t s . M e a s u r e m e n t s o f t h e l o c a l v a l u e s o f t h e g a p A n e a r t h e c o r e o f a P S C s e e m t o i n d i c a t e t h a t t h e d e p r e s s i o n o f A, ( w h i c h i s s t r o n g e s t a t t h e c o r e ) , e x t e n d s o v e r a d i s t a n c e o f t h e o r d e r o f A ^ w h i c h i s m u c h l a r g e r t h a n t h e c o h e r e n c e l e n g t h . To u n d e r s t a n d t h e p h y s i c s o f a PSC i t i s i m p o r t a n t t o u n d e r -s t a n d t h e i n f l u e n c e o f d i -s -s i p a t i o n . T h e e x p e r i m e n t -s i n Sn'""' -s h o w e d t h a t J o u l e h e a t i n g was r e s p o n s i b l e f o r n o t o b s e r v i n g d i v e r g e n t b e h a v i o r o f t h e d i f f e r e n t i a l r e s i s t a n c e o f P S C ' s a s T g o e s t o T . H e a t i n g i s e v e n m o r e d e t r i m e n t a l i n t h e c a s e o f A l , b e c a u s e t h e t e m p e r a -t u r e i s l o w e r . T h i s c a n b e s e e n f r o m -t h e f o l l o w i n g a r g u m e n -t : a s 3 a r u l e o f t h u m b , T£ « ( 9 ^ / T ^ , w h e r e @D i s t h e D e b i j e t e m p e r a t u r e , w h i l e t h e t h e r m a l b o u n d a r y c o n d u c t a n c e , Y , w h i c h p l a y s a n i m p o r t a n t 3 r o l e i n t h e h e a t c o n d u c t i o n t o t h e h e l i u m b a t h , v a r i e s a s T . To c r e d u c e t h e e f f e c t o f h e a t i n g t h e t h i c k n e s s d o f t h e s a m p l e i s made a s s m a l l a s p o s s i b l e , ( i n o u r e x p e r i m e n t s d ^ 40 n m ) . I n C h a p t e r I I I a n o n - l i n e a r d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n i s d e r i v e d w h i c h d e s c r i b e s i n a n e l e g a n t way t h e d e v e l o p m e n t o f a PSC i n t o a n o r m a l " h o t s p o t " u n d e r t h e i n f l u e n c e o f J o u l e h e a t i n g . T h i s m o d e l c a n b e r e g a r d e d a s a g e n e r a l i z a t i o n o f t h e " h o t s p o t " m o d e l o f S k o c p o l , B e a s l e y a n d T i n k h a m . ^ I t i n c o r p o r a t e s t h e t e m p e r a t u r e r i s e d u e t o t h e d i s s i p a t i v e p r o c e s s e s o c c u r r i n g i n t h e c h a r g e i m b a l a n c e 14

t a i l s . N u m e r i c a l s o l u t i o n s a r e p r e s e n t e d f o r a s e t o f p a r a m e t e r s , i n c l u d i n g t h o s e a p p r o p r i a t e f o r a l u m i n u m a n d t i n . S u b s e q u e n t l y t h e y a r e c o m p a r e d w i t h e x p e r i m e n t s . C h a p t e r I V h a s b e e n p u b l i s h e d i n t h e J o u r n a l o f L o w T e m p e r a t u r e P h y s i c s 4_6, 5 5 5 ( 1 9 8 1 ) . C h a p t e r s I I a n d I I I a r e s u b m i t t e d t o t h e s a m e j o u r n a l . R E F E R E N C E S 1. M. T i n k h a m , I n t r o d u c t i o n t o S u p e r c o n d u c t i v i t y ( M c G r a w - H i l l , New Y o r k , 1 9 7 5 ) . 2. M. T i n k h a m , R e v . M o d . P h y s . , 4 6 , 5 8 7 ( 1 9 7 4 ) . 3. P.G. d e G e n n e s , S u p e r c o n d u c t i v i t y o f M e t a l s a n d A l l o y s (W.A. B e n j a m i n , New Y o r k , 1 9 6 6 ) . 4. W.J. S k o c p o l , M.R. B e a s l e y , a n d M. T i n k h a m , J . Low Temp. P h y s . 1 6 , 1 4 5 ( 1 9 7 4 ) . ( N o t e : f o r a n e x p l a n a t i o n o f t h e r e l a x a t i o n t i m e s e e R e f . 9.) 5. W.J. S k o c p o l , M.R. B e a s l e y , a n d M. T i n k h a m , J . A p p l . P h y s . 4 5 , 4 0 5 4 ( 1 9 7 4 ) . 6. W.J. S k o c p o l a n d M. T i n k h a m , R e p . P r o g . P h y s . 3 8 , 1 0 4 9 ( 1 9 7 5 ) . 7. B.D. J o s e p h s o n , i n S u p e r c o n d u c t i v i t y V o l . I , R.D. P a r k s e d . ( M a r c e l D e k k e r , New Y o r k , 1 9 6 9 ) , C h a p t e r 9. 8. J . S . L a n g e r a n d V. A m b e g a o k a r , P h y s . R e v . 1 6 4 , 4 9 8 ( 1 9 6 7 ) . 9. M. T i n k h a m , " N o n E q u i l i b r i u m S u p e r c o n d u c t i v i t y " i n F e s t k o r p e r -p r o b l e m e ( A d v a n c e s i n S o l i d S t a t e P h y s i c s ) , V o l . X I X , 3 6 3 , J . T r e u s c h ( e d . ) , V i e w e g , B r a u n s c h w e i g , 1 9 7 9 . 1 5

1 0 . T.Y. H s i a n g a n d J . C l a r k e , P h y s . R e v . B 2 1 , 9 4 5 ( 1 9 8 0 ) . 1 1 . A. S c h m i d , i n P r o c e e d i n g s NATO A d v a n c e d S t u d y I n s t i t u t e o n N o n e q u i l i b r i u m S u p e r c o n d u c t i v i t y , P h o n o n s a n d K a p i t z a B o u n d a r i e s , K . E . G r a y , e d . ( P l e n u m P r e s s , New Y o r k , 1 9 8 1 ) , C h a p t e r 1 4 . 1 2 . T.M. K l a p w i j k a n d J . E . M o o i j , J . Low Temp. P h y s . 27_, 8 0 1 ( 1 9 7 7 ) . 1 3 . G . J . D o l a n a n d L.D. J a c k e l , P h y s . R e v . L e t t . 3 9 , 1 6 2 8 ( 1 9 7 7 ) . 1 4 . C.C. C h i a n d J . C l a r k e , P h y s . R e v . B 1 9 , 4 4 9 5 ( 1 9 7 9 ) . 1 5 . A.M. K a d l n , W.J. S k o c p o l , a n d M. T i n k h a m , J . L o w Temp. P h y s . 3 3 , 4 8 1 ( 1 9 7 8 ) . 1 6

CHAPTER I I P h a s e - s l i p c e n t e r s i n s u p e r c o n d u c t i n g a l u m i n u m s t r i p s . M. S t u i v i n g a , C.L.G. Ham, J . E . M o o i j a n d T.M. K l a p w i j k D e p a r t m e n t o f A p p l i e d P h y s i c s D e l f t U n i v e r s i t y o f T e c h n o l o g y D e l f t , T h e N e t h e r l a n d s ABSTRACT. P h a s e - s l i p c e n t e r s i n a l u m i n u m s t r i p s a r e a n a l y z e d i n d e t a i l . M e a s u r e m e n t s h a v e b e e n p e r f o r m e d o n t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l a n d t h e e n e r g y g a p . E x p o n e n t i a l d e c a y o f t h e q u a s i p a r t i c l e p o t e n t i a l i s f o u n d , w i t h a d i f f u s i o n l e n g t h t h a t f o l l o w s -0 .25 a (T - T ) t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e . The r e l a x a t i o n r a t e i s h i g h e r t h a n e x p e c t e d , c o r r e s p o n d i n g t o a n i n e l a s t i c s c a t t e r i n g t i m e o f 4 n s . T h i s i s l i k e l y d u e t o e n h a n c e d e l e c t r o n e l e c t r o n s c a t t e r i n g i n t w o -d i m e n s i o n a l m e t a l s . Gap m e a s u r e m e n t s s h o w -d e p r e s s i o n o f t h e g a p i n a r e g i o n o f m o r e t h a n 20 um. L o n g i t u d i n a l n o n - e q u i l i b r i u m o f t h e q u a s i p a r t i c l e s i s p r o b a b l y r e s p o n s i b l e . F o r t h e t i m e a v e r a g e d s u p e r -c u r r e n t , d i v i d e d b y t h e -c r i t i -c a l -c u r r e n t , a v a l u e o f 0.3 i s f o u n d i n t h e n e i g h b o u r h o o d o f T , l o w e r t h a n o b s e r v e d i n t i n a n d i n d i u m . 1 7

1 . INTRODUCTION When i n a s u p e r c o n d u c t o r t h e c r i t i c a l p a i r - b r e a k i n g c u r r e n t i s e x c e e d e d , i n g e n e r a l c o m p l i c a t e d t i m e a n d p o s i t i o n d e p e n d e n t p h e n o m e n a w i l l o c c u r . A d i s s i p a t i v e s t a t e d e v e l o p s w i t h a r e s i s t a n c e s i g n i f i -c a n t l y b e l o w t h e n o r m a l s t a t e v a l u e . I n one o r m o r e r e g i o n s w i t h a s i z e o f t h e o r d e r o f t h e c o h e r e n c e l e n g t h , t h e o r d e r p a r a m e t e r w i l l v a r y p e r i o d i c a l l y . The p e r i o d o f t h e v a r i a t i o n i s c o n n e c t e d t o t h e d i f f e r e n c e o f t h e p a i r e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l b y t h e J o s e p h s o n r e l a t i o n . I n o n e o f t h e f i r s t t h e o r e t i c a l m o d e l s o f t h i s p r o c e s s i t was s u p p o s e d t h a t t h e m o d u l u s o f t h e o r d e r p a r a m e t e r b e c a m e z e r o a t some i n s t a n t i n t h e c y c l e a t w h i c h t i m e t h e p h a s e w o u l d c h a n g e d i s c o n t i n u o u s l y w i t h 2n . T h i s was c a l l e d t h e p h a s e - s l i p p r o c e s s . A l t h o u g h a t p r e s e n t t h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n s do n o t i n c l u d e a n y d i s c o n t i n u o u s j u m p s i n t h e t i m e d o m a i n , t h e name h a s s u r v i v e d t o i n d i c a t e a l l p r o c e s s e s w h e r e t h e o r d e r p a r a m e t e r v a r i e s p e r i o d i c a l l y i n a l i m i t e d r e g i o n o f a p u r e l y m e t a l l i c c h a r a c t e r . T h e r e i s a d i r e c t a n d c l o s e a n a l o g y t o t h e s i t u a t i o n w h e r e v o r t i c e s a r e p a s s i n g b y a c e r t a i n p o i n t . The d y n a m i c p h a s e - s l i p p r o c e s s g i v e s r i s e t o a n o n e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n o f t h e q u a s i p a r t i c l e s . I f t h e r e l a x a t i o n r a t e i s l o w , t h e s e n o n e q u i l i b r i u m q u a s i p a r t i c l e s w i l l d i f f u s e o u t f r o m t h e d y n a m i c r e g i o n a n d t h e p h a s e - s l i p ' c o r e ' w i l l be a c c o m p a n i e d b y l a r g e r r e g i o n s o n e i t h e r s i d e w h e r e a s t a t i o n a r y n o n e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n g r a d u a l -l y d e c r e a s e s t o z e r o a t -l o n g e r d i s t a n c e s . The w h o -l e u n i t o f t h e d y n a m i c c o r e t o g e t h e r w i t h t h e n o n e q u i l i b r i u m t a i l s i s i n d i c a t e d w i t h t h e t e r m p h a s e - s l i p c e n t e r ( P S C ) . A l t h o u g h s i g n i f i c a n t p r o g r e s s h a s b e e n made r e c e n t l y , t h e o r y i s a s y e t i n s u f f i c i e n t l y d e v e l o p e d t o d e a l w i t h a l l p o s s i b l e i n t e r a c t i n g e f f e c t s . E x p e r i m e n t a l i n d i c a t i o n s a r e o f i m p o r t a n c e e v e n i f n o q u a n t i t a t i v e a g r e e m e n t w i t h a t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n i s t o be e x p e c t e d . F r o m a m o r e p r a c t i c a l p o i n t o f v i e w , i n s i g h t i n t o t h e p h a s e -1 8

s l i p p r o c e s s i s u s e f u l f o r s u p e r c o n d u c t i n g w e a k l i n k s , w h e r e s i m i l a r e f f e c t s o c c u r when t h e c r i t i c a l c u r r e n t i s e x c e e d e d . To c a u s e t h e m o s t p r o n o u n c e d e f f e c t s a n d f o r e a s e i n t h e o r e t i c a l c a l c u l a t i o n s , t h e o n e - d i m e n s i o n a l g e o m e t r y i s t o be p r e f e r r e d . We w i l l l i m i t o u r a t t e n t i o n i n t h i s a r t i c l e t o s a m p l e s w h e r e s p a t i a l v a r i a t i o n i s d e s c r i b e d w i t h o n e v a r i a b l e . A f t e r t h e f i r s t e x p e r i m e n t a l s t u d i e s o f d i s s i p a t i v e s t a t e s i n t i n w h i s k e r s by M e y e r a n d Von M i n n i g e r o d e , ^ t h e c o n c e p t o f p h a s e - s l i p c e n t e r s a s l o c a l i z e d v o l t a g e u n i t s i n o n e - d i m e n s i o n a l h o m o g e n e o u s 2 s t r i p s was d e v e l o p e d b y S k o c p o l , B e a s l e y a n d T i n k h a m ( S B T ) . T h e y d i s t i n g u i s h e d a d y n a m i c c o r e o f t h e o r d e r o f t h e c o h e r e n c e l e n g t h a n d d i f f u s i v e t a i l s w h e r e t h e q u a s i p a r t i c l e s a n d C o o p e r p a i r s h a v e d i f f e r e n t e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l s . The d i f f u s i o n l e n g t h a s s o c i a t e d w i t h t h e r e l a x a t i o n t i m e f o r t h i s s p e c i f i c n o n e q u i l i b r i u m e f f e c t , c h a r g e i m b a l a n c e , d e t e r m i n e s t h e e f f e c t i v e r e s i s t a n c e o f t h e p h a s e -s l i p c e n t e r . H o w e v e r , t h e r e -s i -s t a n c e a -s o b -s e r v e d by SBT i n t i n -s t r i p -s d i d n o t s h o w t h e e x p e c t e d d i v e r g e n c e n e a r T . S i m i l a r r e s u l t s i n c 3 a l u m i n u m w e r e o b t a i n e d b y K l a p w i j k a n d M o o i j . L a t e r e x p e r i m e n t s by 4 K a d i n e t a l . on t h e m a g n e t i c f i e l d d e p e n d e n c e s u p p o r t e d t h e o r i g i n a l 5 6 i d e a s ' a n d i t was s h o w n t h a t J o u l e - h e a t i n g was r e s p o n s i b l e f o r t h e c o n f u s i n g a p p a r e n t l y t e m p e r a t u r e - i n d e p e n d e n t r e s i s t a n c e . T h e d i f f e r e n t s p a t i a l v a r i a t i o n o f t h e q u a s i p a r t i c l e a n d p a i r p o t e n t i a l s n e a r a n o r m a l m e t a l - s u p e r c o n d u c t o r i n t e r f a c e was o b s e r v e d 7 b y Yu a n d M e r c e r e a u w i t h l o c a l p r o b e s i n d i r e c t m e t a l l i c c o n t a c t . g W i t h p h a s e - s l i p c e n t e r s D o l a n a n d J a c k e l u s e d t w o s e r i e s o f s m a l l s u p e r c o n d u c t i n g a n d n o r m a l p r o b e s , c o n n e c t e d t o t h e m a i n s t r i p t h r o u g h t u n n e l b a r r i e r s . By m e a s u r i n g t h e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l f o r t h e C o o p e r p a i r s a n d t h e q u a s i p a r t i c l e s s e p a r a t e l y , t h e d i f f u s i v e t a i l s w e r e c l e a r l y o b s e r v e d a n d t h e c o n c e p t s o f SBT s h o w n t o b e v a l i d . The p r e s e n t p a p e r d e a l s w i t h a n i n v e s t i g a t i o n o f p h a s e - s l i p 1 9

c e n t e r s i n a l u m i n u m . Due t o i t s s l o w e n e r g y r e l a x a t i o n s t r o n g n o n e q u i -l i b r i u m e f f e c t s a r e e x p e c t e d . A s i n t h e e x p e r i m e n t s o f D o -l a n a n d J a c k e l , l o c a l p r o b e s a r e u s e d . I n i t i a l l y t h e y w e r e i n d i r e c t m e t a l l i c c o n t a c t , b u t i t w a s f o u n d t h a t t h e b e h a v i o u r o f t h e m a i n c u r r e n t -c a r r y i n g s t r i p w a s s t r o n g l y d i s t u r b e d . C o n s e q u e n t l y , t u n n e l - j u n -c t i o n p r o b e s w e r e u s e d . A p a r t f r o m t h e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l , l o c a l v a l u e s o f t h e e n e r g y g a p w e r e d e t e r m i n e d . A s i n a l u m i n u m t h e c h a r a c -t e r i s -t i c l e n g -t h s a r e r e l a -t i v e l y l a r g e , g o o d s p a -t i a l r e s o l u -t i o n c a n b e o b t a i n e d . I n S e c .2 t h e t h e o r y i s d i s c u s s e d , S e c . 3 c o n t a i n s t h e l a y - o u t , f a b r i c a t i o n a n d m o u n t i n g o f t h e s a m p l e s . I n S e c .4 we d e s c r i b e t h e e x p e r i m e n t a l t e c h n i q u e s . R e s u l t s , o b t a i n e d f o r u ^ ( x ) , a r e g i v e n i n S e c .5 w i t h a d i s c u s s i o n o f t h e i r i m p l i c a t i o n s . I n S e c . 6 t h e same i s d o n e f o r t h e m e a s u r e m e n t s o f A ( x ) . A s h o r t d i s c u s s i o n c o n c e r n i n g t h e t i m e - a v e r a g e d s u p e r c u r r e n t i n t h e c o r e i s t o b e f o u n d i n S e c .7 . F i n a l l y , i n S e c .8 c o n c l u s i o n s a r e d r a w n . 2 . T H E O R Y 2 . 1 . N-S i n t e r f a c e . We w i l l g r a d u a l l y d e v e l o p t h e t h e o r e t i c a l d e s c r i p t i o n o f a P S C , s t a r t i n g w i t h o n e o f t h e m a i n f e a t u r e s : a s t a t i o n a r y d i f f u s i v e t a i l o f c h a r g e i m b a l a n c e . When c u r r e n t i s p a s s e d t h r o u g h a n i n t e r f a c e b e t w e e n a n o r m a l m e t a l a n d a s u p e r c o n d u c t o r a s i m i l a r d i f f u s i v e t a i l d e v e l o p s . No t i m e d e p e n d e n t p h e n o m e n a o c c u r a n d t h e b e h a v i o u r i s w e l l u n d e r -9 10 s t o o d . We r e f e r t o H s i a n g a n d C l a r k e a n d C l a r k e f o r m o r e d e t a i l e d b a c k g r o u n d i n f o r m a t i o n . H e r e we w i l l s u m m a r i z e t h e m a i n f e a t u r e s w h i c h a r e r e l e v a n t t o P S C ' s . We l i m i t o u r a t t e n t i o n t o t h e t e m p e r a t u r e r e g i o n c l o s e t o t h e c r i t i c a l t e m p e r a t u r e . S p a t i a l v a r i a t i o n s o c c u r i n t h e x d i r e c t i o n o n l y . When c u r r e n t i s p a s s e d t h r o u g h a n N-S i n t e r f a c e , n o r m a l c u r r e n t a t t h e N s i d e i s g r a d u a l l y c o n v e r t e d i n t o s u p e r c u r r e n t a t t h e S s i d e . A t t h e b o u n d a r y , t h e c u r r e n t c a n b e 2 0

r e g a r d e d a s a n i n j e c t i o n o f q u a s i p a r t i c l e s i n t o S. I t i s a s s u m e d t h a t t h e g a p r e a c h e s i t s f u l l v a l u e o v e r t h e c o h e r e n c e l e n g t h s h o r t c o m p a r e d t o t h e c h a r a c t e r i s t i c l e n g t h o f n o r m a l c u r r e n t d e c a y . As t h e e n e r g y g a p A i s m u c h s m a l l e r t h a n k T i n t h e t e m p e r a t u r e r a n g e o f i n t e r e s t A n d r e e v , r e f l e c t i o n c a n b e i g n o r e d . The q u a s i -p a r t i c l e c u r r e n t e n t e r i n g S l e a d s t o a n o n e q u i l i b r i u m d i s t r i b u t i o n o f t h e q u a s i p a r t i c l e s w h i c h i s a n t i s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o t h e F e r m i s u r f a c e . H e n c e e x c e s s c h a r g e Q* r e s i d e s i n t h e q u a s i p a r t i c l e s , l e a d i n g t o a s h i f t i n t h e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e c o n d e n s a t e \x^. The e f f e c t i v e e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l o f t h e q u a s i p a r t i c l e s , u ^ , i s r e l a t e d t o u a n d Q* b y s Q* u - u = _{( 1 )} S 2 N ( 0 ) H e r e Q* i s e x p r e s s e d i n u n i t s o f t h e e l e c t r o n i c c h a r g e a n d N( 0 ) i s t h e s i n g l e s p i n d e n s i t y o f s t a t e s a t t h e F e r m i s u r f a c e . The p a i r p o t e n t i a l ug i s c o n s t a n t t h r o u g h o u t t h e s u p e r c o n d u c t o r . Any v a r i a t i o n o f u w o u l d n e c e s s a r i l y l e a d t o t i m e d e p e n d e n t p h e n o m e -s n a , f o r w h i c h t h e r e i s n o e x p e r i m e n t a l i n d i c a t i o n . B o t h Q* a n d u - u n s v a r y w i t h p o s i t i o n . A s i m p l e r e l a x a t i o n t i m e a p p r o x i m a t i o n w i t h TQ„ a s t h e e f f e c t i v e r e l a x a t i o n t i m e f o r c h a r g e i m b a l a n c e l e a d s t o t h e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n : d2( u - u ) u - u D

\

5 _ s _E 2 _ _{( 2 )} d x V w h e r e D i s t h e d i f f u s i o n c o n s t a n t , D = v„Z/3, w i t h v _ t h e F e r m i r r v e l o c i t y a n d i t h e e l e c t r o n i c mean f r e e p a t h . I f i s i n d e p e n d e n t o f x , a d i f f u s i o n l e n g t h c a n b e d e f i n e d : ( D T „ , )5 ( 3 ) 21

B e c a u s e u^= f o r l a r g e x , t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f i s g i v e n b y : u ( x ) - u = {u ( 0 ) - u } e x p ( - x / An» ) ( 4 ) n s n s

w

We s u p p o s e t h a t a c u r r e n t d e n s i t y j i s f i x e d b y t h e s o u r c e . I n t h e s u p e r c o n d u c t o r

3-

J„ • J 3 ( 5 ) w h e r e j i s t h e s u p e r c u r r e n t a n d du . O n ,,. Jn = e d 7 (6) w i t h a t h e c o n d u c t i v i t y i n t h e n o r m a l s t a t e and e = |e|, t h e a b s o l u t e v a l u e o f t h e e l e c t r o n i c c h a r g e . We s e e t h a t Q* The q u a n t i t y un( 0 ) i s d e t e r m i n e d b y t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n j ( 0 ) = j . As a c o n s e q u e n c e , u ( 0 ) - u = - e j A _ . / 0 a n d t h e ' e x c e s s ' v o l t a g e , n s y l o c a t e d i n t h e s u p e r c o n d u c t o r , i s e q u a l t o :

V = j A

Q

, / c ( 7 )

The N - S i n t e r f a c e b e h a v e s a s i f t h e n o r m a l r e g i o n e x t e n d s o v e r a d e p t h AQ,, i n t o t h e s u p e r c o n d u c t i n g m a t e r i a l . 2 . 2 . R e l a x a t i o n o f c h a r g e i m b a l a n c e . F o r r e l a x a t i o n o f c h a r g e i m b a l a n c e q u a s i p a r t i c l e s h a v e t o be s c a t t e r e d b e t w e e n t h e e l e c t r o n - l i k e b r a n c h a b o v e k „ a n d t h e h o l e - l i k e F b r a n c h b e l o w k . T h i s i s o n l y p o s s i b l e b e t w e e n s t a t e s w i t h e n e r g y r l e v e l s c l o s e t o A . B r a n c h c r o s s i n g i s p o s s i b l e b y m e a n s o f i n e l a s t i c s c a t t e r i n g , b y s p i n - f l i p s c a t t e r i n g a g a i n s t m a g n e t i c i m p u r i t i e s , o r b y 22

e l a s t i c s c a t t e r i n g i n t h e p r e s e n c e o f a p a i r - b r e a k i n g m e c h a n i s m s u c h a s a m a g n e t i c f i e l d , s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e g a p o r a s u p e r c u r r e n t . 11 A c c o r d i n g t o t h e S c h m i d - S c h o n t h e o r y , t a k i n g a l l t h e s e p r o c e s s e s i n t o a c c o u n t , t h e e f f e c t i v e r e l a x a t i o n t i m e f o r c h a r g e i m b a l a n c e i s g i v e n b y : 4 k T TtA 1 * _ E 2 f f w i t h ( 8 ) r = — 1 2 tr ), 2 2 4m v s 2 1 9 A A 2 ôr ( 9 ) H e r e x i s t h e i n e l a s t i c s c a t t e r i n g t i m e f o r e l e c t r o n s a t t h e F e r m i b s u r f a c e , x0 t h e s p i n - f l i p s c a t t e r i n g t i m e , 2mv t h e s u p e r f l u i d t> s momentum a n d r_ a s p a t i a l v a r i a b l e . I f i n e l a s t i c s c a t t e r i n g i s t h e d o m i n a n t p r o c e s s f o r b r a n c h - c r o s s i n g , r = ( 2 x ) ^ a n d E q . ( 8 ) r e d u c e s t o : 4 k T V i n = ^ T T E (10) i T h i s r e l a x a t i o n t i m e i s p r o p o r t i o n a l t o ( T - T ) 2. The a s s o c i a t e d c _ i d i f f u s i o n l e n g t h , d e f i n e d by E q. ( 3 ) , i s p r o p o r t i o n a l t o T^ - T) u. T h i s t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e o f A # w a s f o u n d f o r p h a s e - s l i p c e n t e r s i n 6 i n d i u m a n d t i n b y D o l a n a n d J a c k e l . I f e n o u g h m a g n e t i c i m p u r i t i e s a r e p r e s e n t , s p i n - f l i p s c a t t e r i n g d o m i n a t e s a n d T z x_ . The same t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e i s o b t a i n e d : Q*S 4 k T itA ( 1 1 ) 2 3

To e s t i m a t e t h e i n f l u e n c e o f t h e s u p e r f l u i d v e l o c i t y t e r m i n E q . ( 9 ) , a 12 s u p e r c u r r e n t a t t h e c r i t i c a l l e v e l c a n be a s s u m e d . I t i s f o u n d t h a t i f t h i s t e r m d o m i n a t e s T(j )= ( 6 T ) 1 w h e r e T , t h e G i n z b u r g - L a n d a u C u L u L t i m e , i s e q u a l t o n / 8 k „ ( T - T ) . I t i s c o n n e c t e d w i t h t h e c o h e r e n c e g c l e n g t h E b y E = ( D T )2. A t t h e c r i t i c a l c u r r e n t i , i s f o u n d t o b e : u L W 4 k T , V ( V = — ^TETG L (12) ItA I f t h e c u r r e n t b i a s i s a d j u s t e d t o be a t t h e c r i t i c a l l e v e l a t e a c h t e m p e r a t u r e , t h i s r e l a x a t i o n t i m e i s p r o p o r t i o n a l t o (T - T) 1 . F i n a l l y , t h e l a s t t e r m o f E q . ( 9 ) c a n be c o n s i d e r e d . I f , f o r e x a m p l e , t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f t h e o r d e r p a r a m e t e r i n a r e g i o n i s g i v e n by A = A ^ [ 1 - e x p ( - x / E ) ] t h e r e l a x a t i o n r a t e i s d e t e r m i n e d by RE = C2TG L)_1' LEADINS T0 4 k T j V E - I T ( V G L ) ? (13 The t e m p e r a t u r e d e p e n d e n c e i s t h e same a s f o r E q . ( 1 2 ) , . 2.3- SBT m o d e l . 2 S k o c p o l , B e a s l e y a n d T i n k h a m d e v e l o p e d a p h e n o m e n o l o g i c a l p i c t u r e o f a P S C w h i c h i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n s t h a t t h e r e g i o n o f t i m e - d e p e n d e n t p h e n o m e n a a n d s t r o n g v a r i a t i o n s o f t h e o r d e r p a r a m e t e r i s s m a l l w i t h r e s p e c t t o t h e c h a r g e - i m b a l a n c e t a i l s a n d t h a t t h e r e l a x a t i o n t i m e h a s no s p a t i a l d e p e n d e n c e . A h o m o g e n e o u s o n e -d i m e n s i o n a l s t r i p w i t h c r o s s s e c t i o n A i s c o n s i -d e r e -d , c u r r e n t - b i a s e -d a t a v a l u e I . I n a way c o m p l e t e l y a n a l o g o u s t o t h e S-N i n t e r f a c e o f S e c . 2 . 1 . t h e r e s u l t s s u m m a r i z e d i n F i g . 1 a r e o b t a i n e d . The p a i r e l e c t r o c h e m i c a l p o t e n t i a l i s c o n s t a n t o n b o t h s i d e s o f t h e c o r e , t h e d i f f e r e n c e i s e q u a l t o eV w h e r e V i s t h e v o l t a g e a c r o s s t h e PSC. I n t h e c o r e t h e o r d e r p a r a m e t e r a n d t h e s u p e r f l u i d v e l o c i t y v a r y w i t h 2 4

t i m e w i t h a r e p e t i t i o n f r e q u e n c y u> = ( 2 e / n ) V . A t x = 0 t h e o r d e r J p a r a m e t e r v a r i e s b e t w e e n z e r o a n d a f i n i t e v a l u e . The t i m e - a v e r a g e d s u p e r c u r r e n t t h r o u g h t h e c o r e i s e q u a l t o B Ic w h e r e I i s t h e c r i t i c a l c u r r e n t o f t h e s t r i p a n d B i s i n t h e n e i g h b o r h o o d o f 0 . 5 . The q u a s i -p a r t i c l e -p o t e n t i a l i s d e t e r m i n e d b y E q . ( 2 ) . I f o n l y t h e r e g i o n x > 0 i s c o n s i d e r e d , t h e same s o l u t i o n , E q . ( 4 ) , i s v a l i d w h e r e V ( 0 ) i s now d e t e r m i n e d b y t h e c o n d i t i o n t h a t j = j - B j a t x = 0. As a r e s u l t , -1 n c (P = o ) : Un( x ) = Us( x > 0 ) + e ( I - B Ic) p AQ ) fA "1e x p ( - x / AQ ) () x>0 ( 1 4 ) U ( x ) = u ( x > 0 ) + e C I - B I ) p A _ A ~1{ 2 - e x p ( x / A _ ) } x<0 ( 1 5 ) n s c Q* Q* The v o l t a g e a c r o s s t h e p h a s e - s l i p c e n t e r i s g i v e n by V = 2 ( 1 - p lc) p A A- 1 ( 1 6 ) I n t h e V - I c h a r a c t e r i s t i c f o r c u r r e n t v a l u e s b e t w e e n B I a n d I a c c f i n i t e v o l t a g e s o l u t i o n i s o b t a i n e d . O b v i o u s l y a s e c o n d s o l u t i o n w i t h V = 0 i s a l s o p o s s i b l e . H y s t e r e t i c t r a n s i t i o n s a r e e x p e c t e d a n d o b s e r v e d . F o r c u r r e n t s a b o v e I i n a n i n f i n i t e h o m o g e n e o u s s t r i p , t h e s u p e r c u r r e n t w o u l d h a v e t o e x c e e d I a t t h e e n d s , l e a d i n g t o t h e n e c e s s i t y o f a d d i t i o n a l p h a s e - s l i p c e n t e r s . No c o n s i s t e n t d e s c r i p t i o n 1 3 o f o n e PSC i n a n i n f i n i t e s t r i p b i a s e d a b o v e I i s p o s s i b l e . T i n k h a m h a s d i s c u s s e d t h e c u r r e n t l e v e l s a t w h i c h c o n s e c u t i v e P S C ' s w i l l be r e q u i r e d . I n p r a c t i c e i n h o m o g e n e i t i e s d o m i n a t e t h e b e h a v i o u r o f o n e -d i m e n s i o n a l s a m p l e s i n t h i s r e s p e c t . 2 . 4 . C h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n by e l a s t i c s c a t t e r i n g . I n t h e p r e v i o u s s e c t i o n , i t was a s s u m e d t h a t t d i d n o t d e p e n d Q o n x . I n p h a s e s l i p c e n t e r s b o t h v a r i a t i o n s o f A a n d s t r o n g s u p e r -c u r r e n t s o -c -c u r . 2 5

F i g. 1 . SBT model o f one p h a s e - s l i p c e n t e r i n an i n f i n i t e homogeneous 1-D s u p e r c o n d u c t o r w i t h c r o s s - s e c t i o n A. ( a ) S p a t i a l dependence o f p o t e n t i a l s , ( b ) c u r r e n t d e n s i t i e s a t a b i a s l e v e l I s l i g h t l y b e l o w

t h e c r i t i c a l c u r r e n t j ^ A , a n d ( c ) V - I c h a r a c t e r i s t i c .

F i g . 2 . P h a s e - s l i p c e n t e r i f c h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n i s d o m i n a t e d by s u p e r c u r r e n t c o n t r i b u t i o n , R e f . 1 2 . ( a ) V / I c h a r a c t e r i s t i c , i ( b ) s p a t i a l d e p e n d e n c e o f un- H e r e A i s e q u a l t o DTQ « Uc) S, a n d f o r a l l c u r v e s & = 0 . 3 . 28

As i n d i c a t e d i n S e c .2 . 2 , t h e c o n t r i b u t i o n t o c h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n b y e l a s t i c s c a t t e r i n g i n t h e p r e s e n c e o f g a p v a r i a t i o n s o r s u p e r c u r r e n t s i s i m p o r t a n t i f t i s s m a l l compared w i t h x o r , u L 1 E e q u i v a l e n t l y , 5 s m a l l c o m p a r e d w i t h A = (Dx )5. O u t s i d e t h e c o r e , h E v a r i a t i o n s o f A a r e v e r y s l o w . The s u p e r c u r r e n t v a r i e s f r o m B I a t c s m a l l x t o t h e b i a s l e v e l I a t l a r g e x . A s s u m i n g t h a t x » x , t h e E GL l o c a l v a l u e o f x „ d e c r e a s e s w i t h i n c r e a s i n g j : v ( v x ) js( x ) A ( x )

W

3

o ( 1 7 ) w h e r e tQ * Uc) is g i v e n b y E q. ( 1 2 ) and A^ i s t h e e q u i l i b r i u m v a l u e o f t h e g a p a t t h e m e a s u r i n g t e m p e r a t u r e . F o r t h e c a s e t h a t c h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n i n a p h a s e - s l i p c e n t e r i s c o m p l e t e l y d o m i n a t e d b y 12 t h e s u p e r c u r r e n t t e r m , S t u i v i n g a , M o o i j a n d K l a p w i j k h a v e c a l c u l a t e d t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f a n d t h e v o l t a g e - c u r r e n t c h a r a c t e r i s t i c V ( I ) . H e r e u ( x ) f a l l s o f f f a s t e r t h a n e x p o n e n t i a l l y b e c a u s e j n s i n c r e a s e s w i t h x . The V - I c h a r a c t e r i s t i c i s f o u n d t o e x h i b i t a s m a l l p o s i t i v e c u r v a t u r e . I n F i g .2 r e s u l t s a r e shown f o r y ^ t x ) . I n t h e c o r e , w h e r e f a s t s p a t i a l v a r i a t i o n o f A o c c u r s , t h e r e l a x a t i o n t i m e w i l l be o f t h e o r d e r o f Tg » ^ a s g i v e n b y E q. ( 1 3 ) , a g a i n i f x » x . As a r e s u l t t h e c h a r g e i m b a l a n c e g e n e r a t e d w i l l be E GL p a r t l y r e l a x e d i n s i d e t h e c o r e , b u t t h e s p a t i a l d e p e n d e n c e o f i n t h e t a i l s i s n o t a f f e c t e d . 12 I n p r a c t i c e , t h e v a l u e s o f x and x l e a d t o t h e e x p e c t a t i o n hi u L t h a t i n I n t h e s e c o n t r i b u t i o n s c a n b e n e g l e c t e d , i n Sn t h e y h a v e t o be i n c l u d e d a s a c o r r e c t i o n a t l o w e r t e m p e r a t u r e s , w h i l e f o r A l t h e y s h o u l d be d o m i n a n t , i f x has a v a l u e a r o u n d 10 ns and t h e c u r r e n t hi i s c l o s e t o t h e c r i t i c a l l e v e l . 29

2 . 5 . C h a r g e i m b a l a n c e w a v e s . So f a r i t h a s b e e n a s s u m e d t h a t a l l t i m e - d e p e n d e n t p h e n o m e n a a r e r e s t r i c t e d t o t h e c o r e . The p e r i o d i c v a r i a t i o n o f t h e q u a s i p a r t i c l e c u r r e n t i n t h e c o r e g i v e s r i s e t o a d a m p e d p r o p a g a t i n g w a v e w i t h f r e q u e n c y e q u a l t o t h e J o s e p h s o n f r e q u e n c y . The n a t u r e o f t h e p r o p a g a -t i n g mode i s a c o u n -t e r f l o w o f n o r m a l a n d s u p e r c u r r e n -t . The e x i s -t e n c e o f s u c h c o l l e c t i v e m o d e s i n s u p e r c o n d u c t o r s h a s b e e n s h o w n b y C a r l s o n 14 a n d G o l d m a n , t h e i r r e l e v a n c e f o r p h a s e - s l i p c e n t e r s was i n d i c a t e d b y 1 5 K a d i n , S m i t h a n d S k o c p o l . The l a t t e r a u t h o r s s h o w e d t h a t t h e b e h a v i o u r c a n be m o d e l e d t o t h a t o f a n e l e c t r i c a l t r a n s m i s s i o n l i n e . The d e c a y l e n g t h o f t h e o s c i l l a t o r y mode, a s s u m i n g i n e l a s t i c .t' by s c a t t e r i n g i s r e s p o n s i b l e f o r c h a r g e i m b a l a n c e r e l a x a t i o n , i s g i v e n by 15 ( T .T )2 AA C

-

2 V °8) Tj + TE w h e r e r . -

.

Ql

.,.,,.

. ~ . j — .£ - H — , "AC a n d t h e p r o p a g a t i n g w a v e s e x t e n d o v e r a r e l a t i v e l y l o n g d i s t a n c e . H o w e v e r i f b o t h t i m e s a r e s t r o n g l y d i f f e r e n t , A i s s m a l l . F o r a l u m i n u m , T i s much l a r g e r t h a n T . a t a l l t e m p e r a t u r e s . I n t h a t c a s e : B J AA C = 2 AQ * ( 1 9 ) We c a n u s e E q s . ( 3 ) a n d ( 1 0 ) t o w r i t e AC 2D 4 k T I2 I A ( 2 0 ) o r 30

KAC= ° -5 4 5 ( 1 " T 1 ( 2 1 ) c We s e e t h a t i s a t m o s t e q u a l t o a f e w t i m e s t h e c o h e r e n c e l e n g t h . I t s e e m s r e a s o n a b l e f o r a l u m i n u m t o c o n s i d e r t h e c h a r g e - i m b a l a n c e w a v e s a s a n a d d i t i o n a l f e a t u r e o f t h e c o r e a n d t o a s s u m e t h a t t h e c h a r g e i m b a l a n c e t a i l s c a n s t i l l be r e g a r d e d a s s e p a r a t e e n t i t i e s , n o t c o n t a i n i n g a n y t i m e d e p e n d e n c e . 2 . 6 . L o n g i t u d i n a l n o n - e q u i l i b r i u m . A l l e x p e r i m e n t a l a n d t h e o r e t i c a l i n v e s t i g a t i o n s o f p h a s e - s l i p c e n t e r s s o f a r h a v e c o n c e n t r a t e d h e a v i l y o n c h a r g e - i m b a l a n c e e f f e c t s , t r a n s v e r s e n o n e q u i l i b r i u m i n t h e t e r m i n o l o g y o f S c h m i d a n d S c h o n . The c o m p l e m e n t a r y l o n g i t u d i n a l e f f e c t s a r e c o n n e c t e d w i t h a n o n e q u i -l i b r i u m d i s t r i b u t i o n o f q u a s i p a r t i c -l e s w h i c h i s s y m m e t r i c w i t h r e s p e c t t o k a n d l e a d s t o c h a n g e s o f A. r I n w e a k l i n k s w h e r e a m e t a l l i c r e g i o n o f f i n i t e l e n g t h w i t h a l o w g a p c o n n e c t s h i g h g a p b a n k s , s o - c a l l e d d y n a m i c e n h a n c e m e n t ^ '1^ o c c u r s . Q u a s i p a r t i c l e s t r a p p e d i n a p o t e n t i a l w e l l c a n b e s h i f t e d t o h i g h e r e n e r g i e s c o m p a r e d t o a t h e r m a l d i s t r i b u t i o n . T h i s e n h a n c e s t h e a m p l i t u d e o f t h e t i m e - d e p e n d e n t s u p e r c u r r e n t . I n p h a s e - s l i p c e n t e r s a t l o w t e m p e r a t u r e s t h e same e f f e c t may be e x p e c t e d t o o c c u r . V e r y c l o s e t o T^ h o w e v e r , w h e r e m o s t e x p e r i m e n t s a r e p e r f o r m e d , d y n a m i c e n h a n c e -m e n t i s s -m a l l b e c a u s e -m o s t q u a s i p a r t i c l e s h a v e e n e r g i e s -much l a r g e r t h a n A. I n a l l d e s c r i p t i o n s o f p h a s e - s l i p c e n t e r s l o n g i t u d i n a l e f f e c t a r e i g n o r e d . T h i s s e e m s r e a s o n a b l e , e x c e p t f o r t h e h e a t i n g o f t h e e l e c t r o n s w i t h r e s p e c t t o t h e p h o n o n b a t h . The e f f e c t i v e r e l a x a t i o n t i m e f o r t h e g a p u n d e r i n f l u e n c e o f l o n g i t u d i n a l n o n e q u i l i b r i u m i s : 3 _kT it c ( 2 2 ) x L T E 8 . 4 A 31