• Nie Znaleziono Wyników

Niech (X, k · k) będzie przestrzenią, wykaż, że f (x

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Share "Niech (X, k · k) będzie przestrzenią, wykaż, że f (x"

Copied!
1
0
0

Pełen tekst

(1)

Seria 2. Przestrzenie Banacha 1. Wykaż, że każda kula w przestrzeni unormowanej jest wypukła.

2. Niech A będzie gwiaździstym względem zera, pochłaniającym podzbiorem przestrzeni liniowej X, którego przecięcia z każdą prostą są domknięte. Określmy pA(x) := inf{t > 0 : x/t ∈ A}. Kiedy pA jest normą na X?

3. Niech (X, k · k) będzie przestrzenią, wykaż, że f (x) = kxk jest funkcją ciągłą na X.

4. Wykaż, że jeśli zbiór A jest wypukłym podzbiorem przestrzeni unormowanej, to zbiory ¯A, int(A) też są wypukłe.

5. Dla zbioru A w przestrzeni liniowej X określamy conv(A) =\

{B : B wypukłe, A ⊂ B}.

Wykaż, że

(a) conv(A) jest najmniejszym zbiorem wypukłym zwierającym A.

(b) conv(A) := {x =Pn

j=1λjaj : aj ∈ A, λj > 0,Pn

j=1λj, n = 1, 2, ...}

6. Niech ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) będzie funkcją wypukłą taką, że ϕ(x) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy x = 0. Określamy

lϕ:= {x = (xn)n=1: ∃t > 0, X

n

ϕ(|xn|/t) < ∞}.

oraz

kxkϕ:= inf{t > 0 :X

n

ϕ(|xn|/t) 6 1}, dla x ∈ lϕ. Wykaż, że lϕz normą kxkϕ jest przestrzenią Banacha.

7. Niech x = (xk)n=1 oraz 16 p < q.

(a) kxkq 6 kxkp6 n1/p−1/qkxkq dla 16 p < q.

(b) limp→∞kxkp6 kxk

(c) Czy stałe w pierwszym punkcie są optymalne 8. Niech x = (xk)k=1 oraz 16 p < q.

(a) kxkq 6 kxkp dla 16 p < q.

(b) Znajdź wektor x taki, że kxkp= ∞ oraz kxkq < ∞.

(c) Czy zawsze limp→∞kxkp= kxk? 9. Wykaż, że {x = (xk)k=1 : P

i=1|xi| 6 1} jest domkniętym wypuklym podzbiorem l2 o pustyn wnętrzu. Czy jest to zbiór zwarty?

10. Niech (X, B, µ) będzie przestrzenią z miara skończoną µ oraz f będzie funkcją mierzalną na X.

Udowodnij, że dla 16 p < q,

(a) kf kp 6 µ(X)1/p−1/qkf kq, w szczególności kf kp 6 kf kq, gdy µ(X) = 1. Kiedy zachodzi ronowść.

(b) Znajdź funkcję f ∈ Lp(0, 1) taką, że kf kq = ∞.

(c) Znajdź funkcję f ∈ Lq[0, ∞) taką, że kf kp = ∞.

1

Cytaty

Powiązane dokumenty

[r]

Półgrupy operatorów ograniczonych (notatki do wykładu).. Niech X będzie

Operator A −1 jest ograniczony na mocy twierdzenia. o

Załóżmy, że T jest operatorem liniowym między przestrzeniami Banacha Xi Y.. Niech X będzie

Podstawowe pojęcia, przykłady i twierdzenia dotyczące grup, pierścieni i ciał.. (1) Ile wspólnych wyrazów ma ją stuwyrazowe ciągi arytmetyczne 5, 8,

[r]

Wówczas l(Hu) ≤ n, istnieje więc reprezentant b warstwy Hu taki, że każdy początkowy segment b jest również reprezentantem... Dowód prowadzimy przez indukcję ze względu

Korzystając z nierówności Czebyszewa oszacować prawdopodobieństwo tego, że w 800 niezależnych próbach ilość sukcesów będzie większa niż 150, a mniejsza niż