1. Twierdzenia o dodawaniu. Niech X

1. Twierdzenia o dodawaniu. Niech X

1

, ...,X

k

będą niezależnymi zmiennymi losowymi i niech

∑

=

=

^k

i

X

i

Y

1

. Udowodnić następujące stwierdzenia:

• Jeżeli X

i

, i=1,...,k, mają rozkłady dwumianowe B(n

i

,p), to Y ma rozkład dwumianowy )

, (

1

p n B

k

i

∑

i

=

.

• Jeżeli X

i

, i=1,...,k, mają rozkłady Poissona P( λ

i

), to Y ma rozkład dwumianowy ( )

1

∑

= k

i

P λ

i

^.

• Jeżeli X

i

, i=1,...,k, mają rozkłady gamma G( α

i

, λ ), to Y ma rozkład gamma ( , )

1

λ α

∑

= k

i

G

i

.

2. Wykonujemy n doświadczeń losowych z których każde kończy się sukcesem z prawdopodobień- stwem θ . Wiadomo, że θ ∈ [ θ

¹

^, θ

²

^{], gdzie} θ

¹

^, θ

²

∈ [0,1] są ustalone. Sformułować model statysty- czny tego eksperymentu.

3. Pewne urządzenie techniczne pracuje dopóty, dopóki nie uszkodzi się któryś z k elementów typu A lub któryś z l elementów typu B. Czas życia elementów typu A jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z gęstością ^f

_α

( ^x ) = α

⁻¹

exp( − ^x / α ) , a czas życia elementów typu B jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z gęstością ^f

_β

( ^x ) = β

⁻¹

exp( − ^x / β ) . Obserwuje się czas życia T całego urządzenia. Sformułować model statystyczny tej obserwacji.

4. Przeprowadza się ∑

=

=

^k

i

n

i

n

1

eksperymentów w taki sposób, ze n

i

eksperymentów wykonuje się na poziomie x

i

, i=1,...,k. Prawdopodobieństwo sukcesu w eksperymencie przeprowadzonym na poziomie x jest równe

_{( )}

1 ) 1

(

_x

x e

p

_−α+β

= + , α ∈R, β >0 , gdzie( α , β ) jest nieznanym parametrem.

Sformułować model statystyczny tego eksperymentu.

5. Pewna optymalna własność mediany. Medianą zmiennej losowej o rozkładzie P nazywamy liczbę m

e

taką, że P(X≤m

e

)≥

₂¹

i P(X≥m

e

) ≥

₂¹

. Niech X będzie całkowalną zmienną losową (tzn.

E|X|<∞). Pokazać, ze funkcja ϕ (c)= E|X-c| osiąga najmniejszą wartość, gdy c= m

e

. Wskazówka Rozważyć 2 przypadki 1) c<m

e

2) c>m

e

i w każdym z nich pokazać że ϕ ^(c)- ϕ ^(m

e

)= E|X-c|- E|X-m

e

|= ψ (c) przy czym ψ ^(c) ≥ 0 dla każdego c i ψ ^{( m}

e

)=0.

6. Rodziny wykładnicze. Pokazać, że rodziny rozkładów

• dwumianowych

• ujemnych dwumianowych

• Poissona

• normalnych

• gamma

• beta

• wielomianowych

są rodzinami wykładniczymi. W każdym przypadku znaleźć naturalną parametryzację.

7. Statystyki pozycyjne. Niech X

1

, ...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu o dystrybuancie F.

Wyznaczyć rozkłady następujących statystyk pozycyjnych:

• X

(n)

• X

(1)

• (X

(1)

, X

(n)

)

Czy statystyki X

(1)

i X

(n)

są niezależne?

8. Niech X

1

, ...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu o dystrybuancie F. Statystykę R=X

(n)

–X

(1)

nazywamy rozstępem z próby.

a) wyznaczyć rozkład R

b) wykazać, że ∫

^∞

{ [ ] [ ] }

∞

−

−

−

−

= F x F x dx

ER 1 ( )

ⁿ

1 ( )

ⁿ

9. Niech X

1

, ..., X

n

będzie próbą prostą z rozkładu o dystrybuancie F. Wykazać, że

∫

⁻

⁻

⁻

−

= −

) (

0 1 )

(

( 1 )

)!

( )!

1 ( ) ! (

x F

k n k

k

t t dt

k n n x n F

10. Niech X

1

, ...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu ciągłego o gęstości f.

• Wykazać, że X

^*

=( X

(1)

,...,X

(n)

) ma gęstość ∏

_{{ }}

= < < <

=

ⁿ

j

n y

y y j

n

n f y y y

y y

g

n

1

1 ...

1

,..., ) ! ( ) ( ,..., )

( 1

1 2

• Wyznaczyć gęstość k -tej statystyki pozycyjnej X

(k)

.

• Wykazać, że F(X

(k)

)~Β(k,n-k+1)

11. Niech X

1

, ...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego Exp( λ ⁾

• znaleźć rozkład X

(k)

• Wykazać, że X

(k)

, X

(m)

- X

(k)

; 1 ≤ k < m ≤ n są niezależne.

• Znaleźć rozkład zmiennej : X

(k+1)

- X

(k)

; 1 ≤ k ≤ n − 1 12. Rozkład wielomianowy i jego asymptotyka

Statystyki dostateczne, swobodne, zupełne

13. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P(λ). Korzystając z definicji pokazać,

że ∑

=

=

ⁿ

i

X

i

T

1

)

(X jest statystyką dostateczną dla parametru λ ^.

14. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego Exp(λ). Korzystając z definicji

pokazać, że ∑

=

=

ⁿ

i

X

i

T

1

)

(X jest statystyką dostateczną dla parametru λ ^.

15. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu ujemnego wykładniczego (ozn. NE(a, λ )) o funkcji gęstości f ( x ) =

_λ¹

e

^−x−λa

1

_(a,∞)

( x ) , gdzie λ >0. Korzystając z kryterium faktoryzacji wyznaczyć statystykę dostateczną dla parametru (a, λ ^).

16. Wykazać, że dla próby prostej z dwuwymiarowego rozkładu normalnego o znanym współczynniku korelacji (przy nieznanych pozostałych parametrach) współczynnik korelacji z

próby

∑ ∑

∑

= =

=

−

−

−

−

=

n i

n

i i i

n

i

i i

Y Y X

X

Y Y X X W

1 1

2 2

1

) ( ) (

) )(

(

jest statystyką swobodną.

17. Niech X

₁

,...,X

n

i Y

1

,...,Y

n

będą niezależnymi próbami z rozkładów N(m

x

, σ

x

) i N(m

y

, σ

y

)

odpowiednio. Można pokazać, że statystyką dostateczną i zupełną dla (m

x

, σ

x

, m

y

, σ

y

) jest

statystyka ∑ ∑

−

−

=

ⁿ

i i n

i

i

Y Y

X X T

1 2 1

2

, , )

,

( , a statystyka

∑ ∑

∑

= =

=

−

−

−

−

=

n i

n

i i i

n

i

i i

Y Y X

X

Y Y X X W

1 1

2 2

1

) ( ) (

) )(

(

jest

niezależna od T

18. Czy rodzina rozkładów normalnych N(1, σ

²

) jest zupełna? (nie ϕ (X)=X-1≠0 i E

_σ

( ϕ ( X )) = 0 ∀ σ ^. 19. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Cauchy’ego C( θ ,1) o gęstości

)2

( 1

1

)

1

(

_{π θ}

θ

x =

_+x−

p , θ ∈R. Znaleźć minimalną statystykę dostateczną dla θ ^.

20. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Pareto (ozn. Pa(x

0

,a)) o funkcji gęstości )

( )

( )

(

¹ _{( , )}

0 0 0

x x

f ^a _x

x x

x + ∞

= ^α 1

, gdzie a>1 Korzystając z kryterium faktoryzacji wyznaczyć statystykę dostateczną dla parametru (x

0

, a).

21. Rozważmy rodzinę rozkładów o gęstości p

_θ

( x ) = A ( θ ) e

^−(x−θ)4

. Pokazać, że jest to rodzina wykładnicza. Znaleźć rząd tej rodziny. Czy jest to regularna rodzina wykładnicza? Czy jest to rodzina zupełna? (Odp. Rodzina wykładnicza rzędu 3, naturalne parametry leżą na krzywej w R

³

, nie jest to rodzina zupełna)

22. Udowodnić twierdzenie. Niech P

0

⊂ P będzie podrodziną rodziny P równoważną z P . Jeżeli S jest minimalną statystyką dostateczną dla P

0

i dostateczną dla P, to S jest minimalną statystyką dostateczną dla P.

Dowód. Niech T będzie dowolną statystyką dostateczną dla P . oczywiście tym bardziej T jest statystyką

dostateczna dla P

0

. Ponieważ S jest minimalną statystyką dostateczną dla P

0

istnieje więc funkcja h taka, ze S=h(T) prawie wszędzie P

0

a wobec równoważności rodzin P

0

i P prawie wszędzie P .

wynika, że (T

₁

(X),...,T

_k

(X)) jest minimalną statystyką dostateczną dla P.

23. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Gamma(a, λ ) o funkcji gęstości )

) ( ( ) 1 ,

;

( x x

¹

e

_{(0, )}

x

f

x

∞

− −

=

_α

Γ

^{α λ}

1 α

λ λ

α Korzystając z kryterium faktoryzacji wyznaczyć statystykę dostateczną dla parametru (a, λ ⁾

24. Niech Z=((X

1

, Y

1

),...,(X

n

,X

n

)) będzie próbą z dwuwymiarowego rozkładu normalnego N(0, ΣΣΣΣ ), gdzie 0 jest wektorem zerowym a ΣΣΣΣ =

_









1 1 ρ

ρ . Wyznaczyć minimalną statystykę dostateczną dla

ρ . Czy ta statystyka jest zupełna? Udowodnić , że statystyki

= ^∑

= n

i

Xi

T

1 2

1

(Z ) i

= ^∑

= n

i

Yi

T

1 2

2

(Z ) są

swobodne a statystyka (T

1

,T

2

) nie jest swobodna.

Estymacja nieobciążona

25. Niech X=(X

1

,...,X

n

) i Y=(Y

1

,...,Y

n

) będą niezależnymi próbami prostymi z rozkładów odpowiednio N ( m

x

, σ

²

) i

N

(

my

, σ

²

) . Który z dwóch następujących estymatorów:

Y X

T1

⁽ X ^, Y ⁾ = ,

ⁿ _i

i i

n X Y

T

=

∑

=1 1

2

( X , Y ) należy przyjąć za ocenę m

x

m

y

.

26. Niech X

1

,...,X

k

,X

k+1

,...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

). Obserwujemy zmienne X

1

,...,X

k

i ponadto znamy średnią ∑

=

=

ⁿ

i n i

n

X

X

1

1

. Dobrać tak stałą c aby estymator

_nk ²

1

)

(

_n

k

i i

nk

X X

c

T = ∑ −

=

był nieobciążonym estymatorem wariancji σ

²

^.

27. Wykonano 10 pomiarów pewnej nieznanej wielkości m jednym przyrządem pomiarowym, a następnie 5 pomiarów innym przyrządem. Zakładamy, że wyniki pomiarów są X

1

, ...,X

10

, X

11

,...,X

15

są niezależnymi zmiennymi losowymi przy czym każda ze zmiennych X

1

, ...,X

10

ma rozkład normalny N(m, 0.1

²

) , podczas, gdy każda ze zmiennych X

11

,...,X

15

ma rozkład normalny N(m, 0.2

²

). Dobrać tak współczynniki c

1

,...,c

15

aby estymator

_i

i i

X c

m ∑

=

=

¹⁵

1

ˆ był estymatorem nieobciążonym o minimalnej wariancji. (Odp. c

1

,...,c

10

=

₄₅⁴

, c

11

,...,c

15

=

₄₅¹

)

28. Pobrano 100 niezależnych obserwacji z rozkładu normalnego N(m, σ

²

). Obliczono 10 sum po 10 kolejnych obserwacji a następnie zgubiono dane źródłowe. Zamiast pierwotnych obserwacji (X

1

,...,X

100

) mamy obserwacje (Y

1

,...,Y

10

) gdzie ∑

= −

=

⁹

0 10 j

j i

i

X

Y .Szacujemy wariancję σ

²

używając

estymatora postaci

²

10

1

) ( Y Y c

i i

−

∑

=

Dobrać tak stałą c aby estymator ten był nieobciążony.

(Odp.c=

₉₀¹

)

29. Niech X

1

,X

2

,,,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U(0, θ ). Rozważmy dwa estymatory

) ( 1 1

1

( ,..., )

ˆ X X

_n ⁿ_n

X

_n

g =

⁺

i g ˆ

₂

( X

₁

,..., X

_n

) = 2 X . Który z tych estymatorów jest lepszy?.

Odp. R ( g ˆ

₁

, θ ) =

_n(^θ_n²₊₂₎

^{, R g}

2 _3n

)

2

ˆ ,

( θ =

^θ

lepszy jest g . ˆ

₁

Estymacja nieobciążona o jednostajnie minimalnej wariancji

30. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P( θ ). Wyznaczyć estymator nieobciążony o jednostajnie minimalnej wariancji g( θ ^)=p

θ

(0)=e

^-θ

. Wyznaczyć wariancję tego

estymatora. (Odp. ∑

−

=

_n ^{ni= Xi}

X

g ˆ ( ) ( 1

¹

)

¹

, V ( g ˆ ) = e

⁻²

( e

ⁿ

− 1 )

θ θ

θ

).

Uwaga. Kształcące wydaje się rozwiązanie powyższego zadania dwoma sposobami (1)równanie 2) tw. Lehmanna Scheffee’go)

31. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

⁾ σ -znane. Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji a) g(m)=m, b) g(m)=m

²

.

(Odp: a)

g ( X ) = X

b)

g ( X ) = X

²

−

^σ_n^{2 .}

32. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Bernouliego p ( x ) = θ

^x

( 1 − θ )

^1−x

^{, x=0,1;}

θ ∈(0,1). Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji funkcji g( θ )= θ

²

.

33. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

) m –znane. Wyznaczyć ENJMW[ σ ] i b) ENJMW[ σ

²

]

(Odp: a) _n

S

n

) ( 2

) (

2 1 2

Γ +

Γ b) ¹_n

S

² (gdzie

∑

=

−

=

ⁿ

i

i

m

X S

1

2

2

( )

)

34. Niech X=(X

₁

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

). Wyznaczyć ENJMW dla a)m b) σ

²

c) σ ^d)

_σ^m

^.

(

Odp. a)

X

, b) ₁

2

− n

S c) n

S

n

) ( 2

) (

2 2

1

Γ Γ ⁻

d)

S X

n n

) 1 (

) ( 2

2 2

1

− Γ

Γ ⁻

(gdzie

∑

=

−

=

ⁿ

i

i

X

X S

1

2

2

( )

)

35. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu o absolutnie ciągłej dystrybuancie F ∈F

c

. Zakładając istnienie g

1

(F)=E

F

(X) i g

2

(F)=V

F

(X) wyznaczyć a)ENJMW[E

F

(X)] i b)ENJMW[V

F

(X)].

Odp: a)

X

b)

∑

− =

−

=

ⁿ

i

n

X

i

X

S

1

2 1

2 1

)

(

(Statystyką dostateczną zupełną jest wektor statystyk pozycyjnych

)

36. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości



 



<

= ≥

α

β

α x x x

f

^x

gdy , 0

gdy ) ,

(

²

gdzie α >0.

Obliczyć β a następnie w oparciu o n elementową próbę prostą wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji parametru α . Czy jest on zgodny?

37. Niech (X

1

,...,X

m

) i (Y

1

,...,Y

n

) będą niezależnymi próbami prostymi z rozkładów U(0, θ

x

) i U(0, θ

y

) : θ

x

, θ

y

>0. Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji dla

y x

θ θ .

38. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie wektorem losowym o niezależnych współrzędnych takich, że X

i

mają rozkłady normalne N( α ⁺ β ^t

i

, σ

²

^{), gdzie} α ^, β ^, σ

²

są nieznane a t

i

są znanymi stałymi różnymi między sobą, i=1,...,n. Wyznaczyć estymatory nieobciążone o minimalnej wariancji parametrów α i β na podstawie obserwacji wektora X.

39. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu o rozkładzie jednostajnym U(0, θ ^), θ ∈(0,∞).

Wyznaczyć ENJMW funkcji g( θ ) różniczkowalnej na (0, θ ). Następnie podać postać estymatora dla g

₁

( θ ) =

^θ₂

= E

_θ

( X

₁

) i g

₂

( θ ) =

^θ₁₂²

= V

_θ

( X

₁

) .

Odp: g ˆ ( X

_(n)

) = g ( X

_(n)

) +

¹_n

X

_(n)

g

^'

( X

_(n)

) , g ˆ

₁

( X

_(n)

) =

ⁿ₂⁺_n¹

X

_(n)

, g ˆ

₂

( X

_(n)

) = g ( X

_(n)

) +

₁₂ⁿ⁺_n²

X

₍²_n)

40. Niech X=(X

₁

,...,X

m

) i Y=(Y

1

,...,Y

n

) będą niezależnymi próbami z rozkładów N ( m

_x

, σ

_x²

) ⁱ

) , ( m

_y ²_y

N σ ^.

a) Wyznaczyć ENJMW g

1

= m

x

- m

y

i

r

y

g

x

 





 



=  σ σ

2

, r>0

b) Niech σ

²_x

= σ

²_y

. Wyznaczyć ENJMW g

1

= m

x

- m

y

i

x y

x

m

g m σ

= −

2

c) Niech m

x

= m

y

i γ σ σ ₌

2 2

y

x

, gdzie γ znane. Wyznaczyć ENJMW[m

x

]. Odp( m ˆ

_x

=

_m+^m_nγ

X +

_mⁿ₊^γ_nγ

Y )

d) Niech σ

²x =

σ

²y =

σ

²

. Wyznaczyć ENJMW[ σ

²

^].

e) Niech σ

x² =

σ

²y =

σ

²

. Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji parametru funkcji ENJMW[ m

_x

− m

_y

+ σ ].

Estymacja bayesowska i minimaksowa

41. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego p ( x | θ )

=

θ e

^−θx1_(0,∞)

, θ ^>0.

Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ (przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkładem „a priori” tego parametru jest rozkład Gamma(p,a) o funkcji gęstości

) ( )

( θ

=_Γ^a_(p)

θ

^p−1

e

^−aθ1_(0,∞)

θ

f

^p

.

42. Niech X

1

,...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu geometrycznego p(x| θ ^{) =} θ ^(1- θ ⁾

^{x -1}

^, θ ∈ ^(0,1), x=1,2,... Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji strat , jeżeli nie dysponujemy żadną wiedzą „a priori” odnośnie parametru θ .

43. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie geometrycznym p(x, θ ) = θ

^x

(1- θ ) , θ ∈ (0,1), x=1,2,.... Załóżmy, że parametr θ jest realizacją zmiennej losowej Θ o rozkładzie

) ( 3

)

( θ θ

² _(0,1)

θ

π = 1 .Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ .(Odp ˆ ( )

₅³

++

=

_X^X

θ X

44. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona p ( x | λ ) =

^λ_x^x_!

e

^−λ

, λ >0, x=0,1,....

Wyznaczyć estymator bayesowski parametru λ

²

(przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkładem „a priori” tego parametru jest rozkład wykładniczy o funkcji gęstości

) ( )

( λ = e

^−λ1_(0,∞)

λ

f .

45. Towarzystwo ubezpieczeniowe szacuje, że około 20% pasażerów linii lotniczych wykupuje polisę ubezpieczeniową na przelot. Proporcja ta jest różna dla różnych terminali, przy czym zmienność charakteryzowana odchyleniem standardowym wynosi 10%. Losowa próbka 50 pasażerów wybranego terminalu pokazała, że tylko 5 nabyło polisę. Przyjmując jako rozkład a priori odpowiedni rozkład Beta oszacować prawdziwą proporcję pasażerów w tym terminalu, którzy nabyli polisę.

46. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona λ = λ e

^−λ

x x

p

x

) !

|

( , λ > 0, x=0,1,... . Wyznaczyć estymator bayesowski parametru λ (przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkład „a priori” tego parametru ma gęstość f ( λ ) = α e

^−αλ

1

_(0,∞)

( λ ) .

47. Przypuśćmy, że X ma rozkład U(0, θ ). Załóżmy, że rozkładem „a priori” parametru θ jest rozkład θ

θ

θ

π ( ) = e

⁻

, θ >0. Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ przy funkcji strat a) L ( θ ˆ , θ ) = ( θ ˆ − θ )

²

. b) L ( θ ˆ , θ ) = | θ ˆ − θ |

48. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu geometrycznego p(x| θ ) = θ (1- θ )

^{x -1}

, θ ∈ (0,1), x=1,2,.... Niech rozkładem „a priori” dla θ będzie rozkład Beta( α ^, β ). Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ przy kwadratowej funkcji strat.

49. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu geometrycznego p ( x | θ ) = θ ( 1 − θ )

^x

,0< θ ^<1, x=0,1,.... Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ (przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkładem „a priori” tego parametru jest rozkład jednostajny U(0,1) o funkcji gęstości

) ( )

( θ =

¹_(0,1)

θ

f .

50. Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo θ sukcesu w ciągu n prób Bernoulliego ma rozkład (a priori) jednostajny U(0,1). Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ

²

(przy kwadratowej funkcji strat).

51. Niech (X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Poissona P(λ). Wykazać, ze statystyka X jest minimaksowym estymatorem parametru λ przy funkcji straty

λ λ , ) ⁽ λ ⁾

²

( d

d

L = − . Czy X jest estymatorem dopuszczalnym?

52. Czas świecenia żarówek jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z funkcją gęstości )

( )

|

( x e

_{(0, )}

x

p θ = θ

^−θx1 _∞

. Przypuśćmy, że θ ma rozkład „a priori” wykładniczy z funkcją gęstości )

( )

( θ = e

^−θ1(0,_∞)

θ

f . Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ (przy kwadratowej funkcji

straty) oparty na n elementowej próbie prostej.

53. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu normalnego N( θ ,1). Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ (przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkładem „a priori” tego parametru jest rozkład wykładniczy o funkcji gęstości f ( θ ) = e

^−θ

1

_(0,∞)

( θ ) .

(Uwaga. Rozkładem a posteriori jest ucięty rozkład normalny - zadanie na ćwiczenia)

54. Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie jednostajnym U(0, θ ). Wyznaczyć estymator bayesowski parametru θ (przy kwadratowej funkcji straty) jeżeli rozkładem „a priori” tego parametru jest rozkład f ( θ ) = θ e

^−θ1_(0,∞)

( θ ) .

Metoda największej wiarygodności

55. Niech X

1

,...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu równomiernego (dyskretnego jednostajnego) na {1,...,k} i k∈N. Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru k. Wykazać, ze estymator ten jest zgodny. Odp. ˆ

_{( )}

X

n

k =

56. Niech X

1

,...,X

n

będzie próbą prostą z rozkładu jednostajnego U[ θ

¹

^, θ

²

] na przedziale na [ θ

¹

^, θ

²

^].

Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru ( θ

1

, θ

2)

. (Odp. ( θ ˆ

₁

, θ ˆ

₂

) = ( X

₍₁₎

, X

_(n)

) ).

57. Czas pracy elementu jest zmienną losową X o gęstości f ( x ) = ab x

^a−1

exp( − b x

^a

)

¹_(0,∞)

( x ) , gdzie a jest znanym dodatnim parametrem zaś b jest nieznaną dodatnią stałą (rozkład Weibulla).

Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru b oparty na n elementowej próbie prostej. Wyznaczyć asymptotyczny przedział ufności dla parametru b na poziomie 1- α .

58. Zmienna losowa N ma rozkład Poissona z parametrem intensywności λ , który chcemy oszacować.

Niestety możemy obserwować jedynie zmienną losową M , która przyjmuje wartość 0 jeśli N jest równa 0, a wartość 1 jeśli N jest większa od 0. Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru λ i asymptotyczny przedział ufności dla λ na poziomie 1- α ^{.. (Odp} λ ^ˆ = − ^{ln( 1} − ^{M )} 59. Skonstruować estymator największej wiarygodności parametru θ i asymptotyczny przedział

ufności na poziomie 1- α =0.95 oparty na n elementowej próbie prostej niezależnych obserwacjach X

1

,X

2

,...,X

n

z rozkładu

a) geometrycznego p(x, θ ^{) =} θ ^(1- θ ⁾

^{x -1}

^, θ ∈ (0,1), x=1,2,... , b) geometrycznego p(x, θ ) = (1- θ ) θ

^{x -1}

, θ ∈ (0,1), x=1,2,... . c) wykładniczego p(x, θ ) = θ exp(- θ x) , θ > 0, x >0,

d) wykładniczego p(x, θ ^{) =} θ

^{- -1}

^exp(-x/ θ ^{) ,} θ > 0, x >0.

e) o gęstości p(x, θ ^{) =} θ

²

^{x exp(-} θ ^{x) ,} θ > 0, x >0, f) normalnego p(x, θ ^{) =}

²

2

2 ) 1 (

2

1

_θ

θ π

− x−

e , θ ^{> 0.}

g) normalnego

^θ

θ

θ )

₂¹πθ ^{( 2)2}

, (

− −

= e

^x

x

p , θ > 0.

h) Poissona p(x, θ ⁾⁼ θ e

−^θ

x

x

! ^, θ > 0, x=0,1,2,... .

i) z rozkładu Bernoulliego p(x, θ )= θ

^x

(1- θ )

^1-x

, θ ∈ (0,1), x=0,1.

j) z rozkładu Pareto (ozn. Pa(1,a)) o funkcji gęstości f ( x ) = a x

^−a−11_(1,∞)

( x ) , gdzie a>1

60. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu normalnego z funkcją gęstości

θ θ

πθ ²

)2 (

2

)

1

(

− −

= e ^x

x

f

. Metodą największej wiarygodności wyznaczyć estymator parametru θ ^.

Wyznaczyć asymptotyczną wariancję tego estymatora.

61. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu o gęstości zadanej wzorem )

( )

,

(

^{1 1} _(0,1)

1

x x

x

f

⁻

1

− −

= θ

^θ

θ . Wyznaczyć estymator największej wiarygodności parametru θ i wyznaczyć błąd średniokwadratowy (ryzyko) tego estymatora.(wskazówka - aby wyznaczyć ryzyko warto wyznaczyć rozkład zmiennej Y=-lnX )

62. Skonstruować estymator największej wiarygodności parametru θ i asymptotyczny przedział ufności na poziomie 1- α =0.95 oparty na n elementowej próbie prostej X

1

,X

2

,,,X

n

z rozkładu Laplace’a o gęstości p ( x , θ ) =

^θ₂

e

^−θ|x|

, θ > 0.

Efektywno ść estymatora

63. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

), gdzie m jest znane. Pokazać, że

estymator ∑

=

−

=

ⁿ

i

n

X

i

m

S

1 1 2

2

( ) ( )

~ X jest efektywnym estymatorem parametru σ

²

^.

64. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu N(m, σ

²

), gdzie m jest znane. Pokazać, że

estymator ~ ( )

) ( 2

) ) (

(

2 1

2

X

X n S

U

n

n

Γ

+

= Γ gdzie ∑

=

−

=

ⁿ

i

n

X

i

m

S

1 1 2

2

( ) ( )

~ X jest

• nieobciążonym estymatorem parametru σ ,

• nie jest efektywnym estymatorem parametru σ ^.

65. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Laplace’a Λ (0, β ). Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji funkcji parametru

a) g( β )= β b) g( β )= β

²

i sprawdzić, czy jego wariancja osiąga dolne ograniczenie Cramera-Rao.

66. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu wykładniczego f ( x , θ ) = θ

⁻¹

e

^−θx

1

_(1,∞)

( x ) ^. Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji funkcji parametru g( θ )= θ

²

i sprawdzić, czy jego wariancja osiąga dolne ograniczenie Cramera-Rao.

(Odp.

) 1 (

) ) (

ˆ (

¹

2

+

= ∑

⁼

n n X X g

n

i i

, V g n n n

4

4

4

) ) 1 ( 2 1 1 4 ( ˆ )

( θ _> θ

+ +

= (dolne ograniczenie CR)).

67. Wyznaczyć macierz informacji Fishera dla próby prostej z rozkładu N(m, σ

²

⁾

68. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu Laplace’a Λ(0, β ) (

_β ^β

|

|

2

)

1

(

x

e x

f =

⁻

).

Wyznaczyć estymator nieobciążony o minimalnej wariancji funkcji parametru g( β ⁾⁼ β

²

ⁱ

sprawdzić, czy jego wariancja osiąga dolne ograniczenie Cramera-Rao.

Przedziały ufno ś ci

69. Niech X

1

,...,X

m

i Y

1

,...,Y

n

będą dwoma niezależnymi próbami prostymi z rozkładów N( µ

1

, σ

²

) i N( µ

²

^, σ

²

). Znaleźć najkrótszy przedział ufności dla µ

¹

^- µ

²

oparty na odpowiedniej statystyce dostatecznej gdy σ

²

jest znane.

70. Rozważmy próbę losową X

1

,...,X

n

z rozkładu jednostajnego na odcinku [0, θ ] z nieznanym prawym końcem θ . Niech M=max(X

1

,...,X

n

). Należy zbudować przedział ufności dla θ na poziomie 90%.

Chcemy aby ten przedział był postaci [aM , bM], gdzie liczby a i b są tak dobrane aby P( θ < aM)=

P( θ >bM)=0.05. podaj długość tego przedziału.

71. Załóżmy, że X

1

,...,X

4

jest próbą prostą z rozkładu normalnego N(m, σ

²

) o nieznanej wartości oczekiwanej i nieznanej wariancji, zaś X

5

jest zmienną losową z tego samego rozkładu niezależną od próbki. Interpretujemy zmienną X

5

jako kolejna obserwację, która pojawi się w przyszłości, ale obecnie jest nieznana. Zbuduj „przedział ufności” [L,U]=[L(X

1

,...,X

4

), U(X

1

,...,X

4

)] oparty na próbce X

1

,...,X

4

taki, że P(L(X

1

,...,X

4

) ≤ X

5

≤ U(X

1

,...,X

4

))=0.95, przy czym żądamy, aby przedział był symetryczny tzn.

¹₂

( L + U ) = X . Używamy tu oznaczeń ∑

=

=

⁴

1 4 1 i

X

i

X , ∑

=

−

=

⁴

1

2 3

2 1

) (

i

i

X

X

S .

72. Wyznaczyć najkrótszy przedział ufności dla parametru θ w rozkładzie jednostajnym U(0, θ ⁾ oparty na n elementowej próbie prostej. Funkcję centralną oprzeć na minimalnej statystyce dostatecznej. Odp. [ X

_(n)

,

_n¹_α

X

_(n)

] , Funkcją centralną jest funkcja

θ θ

^{( )}

1

,.., , )

(

_n

X

ⁿ

X X

T = .

Model liniowy i MNK

73. Pewien deterministyczny proces x

0

,x

1

,...,x

n

przebiega tak że x

i+1

=ax

i

, i=0,...,n-1, przy czym a jest znaną stałą. Wielkości x

i

nie mogą być obserwowane bezpośrednio, lecz ich obserwacje mają postać y

i

=x

i

+ ε

i

, i=0,...,n, gdzie ε

i

są nieskorelowanymi błędami o jednakowej wariancji σ

²

. Metodą najmniejszych kwadratów wyznaczyć estymatory x

0

,x

1

,...,x

n

. Wyznaczyć również estymator wariancji błędów σ

²

^.

74. W modelu regresji liniowej y

_i

= θ

1+

θ

2

x

i

+ ε

i

, i=1,...n, załóżmy, że Var( ε

i

)=w

i

σ

²

^{, gdzie} σ

²

^jest nieznane a w

1

,...,w

n

są znane. Mówimy, że θ ~

₁

ⁱ

2

θ ~ są estymatorami parametrów θ

¹

ⁱ θ

²

uzyskanymi metodą ważonych najmniejszych kwadratów, gdy

2 2 1 1

1 , 2 2 1 1

1

~ ~ ) min ( )

(

2 1

i i

n

i i w

i n

i

w

y x y x

i

i

− θ − θ =

_{θ θ}

∑ − θ − θ

∑

= =

.

Napisać odpowiednik układu równań normalnych dla tej sytuacji i wyznaczyć estymatory parametrów θ

1

, θ

2

oraz σ

²

metodą ważonych najmniejszych kwadratów.

75. Należy wyznaczyć ciężary netto β

¹

^, β

²

^, β

³

trzech przedmiotów oraz ciężar opakowania β

⁰

^za pomocą czterech ważeń przy założeniu, że przy każdym ważeniu popełniamy losowy błąd o rozkładzie normalnym ze średnią 0 i wariancją σ

²

. Rozpatrzmy dwa plany eksperymentu.

Pierwszy z nich polega na zważeniu każdego przedmiotu (z opakowaniem) z osobna, a na końcu zważeniu samego opakowania. W drugim schemacie ważymy najpierw opakowanie a następnie trzykrotnie po dwa przedmioty ( każdy z opakowaniem), nie powtarzając doboru ważonych par.

Niech Y

i

, i=1,2,3,4 oznaczają kolejne wskazania wagi. Wyznaczyć metodą najmniejszych

kwadratów oszacowania ciężarów β

i

. Sprawdzić, który z planów jest lepszy ze względu na

wielkość wariancji uzyskanych estymatorów.

76. Dla wybranych n wartości x

i

z przedziału [-1,1] możemy wykonać pomiary wielkości

y

i

= β

0

+ β

1

x

i

obarczone niezależnymi zmiennymi losowym o zerowych wartościach oczekiwanych i wariancjach σ

²

i estymować wartości β

0

i β

1

metodą najmniejszych kwadratów. Załóżmy, że n jest parzyste . Jak należy wybrać wielkości x

i

, aby wariancja estymatora β

1

była najmniejsza?

( Odp.

∑

₌

− ∑

₌

=

_n

i

n

i i

i

x

x n V n

1 1

2 1 2

) (

ˆ )

( β -- połowa z x

_i

jest równa -1 a druga połowa 1 .)

77. Na podstawie pomiarów wielkości y

i

= β

⁰

⁺ β

¹

^x

ⁱ

(i=1,...,n) , które są obarczone niezależnymi błędami losowymi o zerowych wartościach oczekiwanych i wariancjach σ

²

, konstruujemy estymatory β ˆ

₀

i β ˆ

₁

metodą najmniejszych kwadratów. Prognozę dla wartości y

0

= β

0

+ β

1

x

0

konstruujemy jako

0 1 0

0

ˆ ˆ

ˆ x

y = β + β . Wyznaczyć wariancję tej prognozy. Dla jakiego x

0

wariancja ˆy jest

₀

najmniejsza.

(Odp.

∑ ∑

∑ ∑

= =

= =

−

+

=

_n

−

i

n

i i

i n i

n

i i

i

x x

n

x n x x y x

V

1 1

2 2

1 1

2 0 0

2 2

0

( )

) 2

) (

( ˆ σ

jest najmniejsza dla x

₀

=

¹n

∑

ⁿ_i=1

x

i

)

78.

Testowanie hipotez

79. X

₁

, X

₂

, K , X

₂₀

jest próbą losową z rozkładu normalnego o parametrach N(0, σ

²

). Znaleźć najmocniejszy test hipotezy: ^H

₀

: σ

²

= 1 przeciwko alternatywie: ^H

₁

: σ

²

= 3 na poziomie istotności α =0.01. Oszacować moc tego testu (przy szacowaniu mocy można skorzystać z aproksymacji 2 χ

_n²

− 2 n − 1 ∼ N(0,1) (Odp. ok. 90%)

80. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości

 

 + ≤ ≤

= poza tym

dla , 0

1 0 , ) 1 ) (

( b x x

x f

b

. Skonstruować najmocniejszy test hipotezy H

0

: b=1 przeciwko H

1

: b=2 na poziomie α =0.1 gdy dysponujemy pojedynczą obserwacją zmiennej X. . (Odp. C = { X : X > 0 . 9 }

81. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości f(x). Na podstawie pojedynczej obserwacji skonstruować najmocniejszy test hipotezy H

0

: f ( x ) = 1

_[0,1]

( x ) przeciwko H

1

: f ( x ) = 5 x

⁴

1

_[0,1]

( x ) na poziomie α ^..

Wyznaczyć moc tego testu. (Odp. C = { X : X > 1 − α } moc=1-(1-α)

⁵

)

82. Sformułować lemat Neymana-Pearsona. Zmienna losowa X ma funkcję gęstości

 

 + ≤ ≤

= poza tym

dla , 0

1 0 , ) 1 ) (

( b x x

x f

b

. Skonstruować najmocniejszy test hipotezy H

0

: b=1 przeciwko H

1

: b=2 na poziomie α =0.1 gdy dysponujemy pojedynczą obserwacją zmiennej X. . (Odp. C = { X : X > 0 . 9 } )

83. Niech X=(X

1

,...,X

n

) będzie próbą prostą z rozkładu normalnego

^N

( 0 , θ

²

) . Skonstruować

najmocniejszy test hipotezy H

0

: θ ⁼ θ

0

przeciwko alternatywie H

1

: θ ⁼ θ

1

> θ

0

na poziomie α ^.

Wyznaczyć moc tego testu ( wykorzystując dystrybuantę odpowiedniego rozkładu)