Metody Ekonometryczne Zadania

Metody Ekonometryczne Zadania

Zadanie 1. Wyniki egzaminu

Plik Historical.csv zawiera informacje o indywidualnych wynikach z przedmiotu Ekonometria. W zbiorze danych uwzgledniono nast_, epuj_, ace charakterystyki:_,

Nazwa Opis

Exam Liczba punkt´ow z egzaminu ko´ncowego

Final Laczna liczba punkt´_, ow, a wiec suma punkt´_, ow uzyskanych na egzaminie, jak i podczas ´cwicze´n Sex P le´c studenta (F -kobieta; M - me˙zczyzna)_,

Year Uporzadkowana zmienna jakosciowa dla roku egzaminu_, Summer Zmienna binarna (1 – egzamin w semestrze letnim)

Instructor Zmienna jako´sciowa okre´slajaca identyfikator osoby prowadz_, acej ´_, cwiczenia Start godzina rozpoczecia ´_, cwicze´n

(i) Zaimportuj dane do pakietu R. Spr´obuj odpowiedzie´c czy sa systematyczne r´_, o˙znice pomiedzy kobietami a M_, e˙z-_, czyznami w wyniku egzaminu ko´ncowego. Por´ownaj warto´sci ´srednie oraz odchylenie standardowe wyniku w tych grupach. Zilustruj r´o˙znice korzystajac z histogramu (hist()) lub szacunk´_, ow funkcji gestoci (density())._, (ii) Przeprowad´z podobna analiz_, e dla poszczeg´_, olnych dla rozk ladu wynik´ow w zale˙zno´sci od osoby prowadzacej zaj_, e-_,

cia. Pamietaj przy tym, ˙ze informacja o osobie prowadz_, acej zaj_, ecia jest dost_, epna w postaci zmiennej jako´_, sciowej.

(iii) Przeprowad´z analogiczne ´cwiczenie dla innych charakterystyk, tj. Year, Summer i Start. Kt´ore z dostepnych_, charakterystyk w najwiekszym stopniu r´_, o˙znicuja rozk lad wynik´_, ow egzaminu?

(iv) Oszacuj parametry modelu regresji liniowej, w kt´orej zmienna obja´_, sniana jest wynik egzaminu, a zmiennymi_, obja´sniajacymi s_, a zmienne binarne okre´_, slajace osob_, e prowadz_, ac_, a ´_, cwiczenia. Wyt lumacz uzyskane oszacowa- nia na podstawie wcze´sniejszych wynik´ow. Dlaczego nie mo˙zna uwzgledni´_, c wszystkich zmiennych binarnych okre´slajacych osob_, e prowadz_, ac_, a ´_,cwiczenia?

(v) Rozszerz specyfikacje modelu o p le´_, c i godzine rozpocz_, ecia zaj_, e´_,c. Zinterpretuj uzyskane oszacowania. Por´ownaj uzyskane oszacowania wnioskami p lynacymi z analizy warunkowej rozk lad´_, ow zmiennych.

(vi) Mo˙zna oczekiwa´c, ˙ze uzyskany wynik z egzaminu ko´ncowego mo˙ze r´ownie˙z zale˙ze´c od indywidualnych zdolno´sci czy nak ladu pracy studenta podczas semestru. Na podstawie dostepn_, ego zbioru danych, spr´_, obuj skonstruowa´c zmienna, kt´_, ora mo˙ze dobrze mierzy´c te charakterystyki. Nastepnie, oszacuj parametry modelu z poprzedniego_, punkty, kt´orego specyfikacja zosta la dodatkowo rozszerzona o te zmienn_, a. Zinterpretuj uzyskane wynik._,

Zadanie 2. Rozwa˙z nastepuj_, ace r´_, ownanie dla p lac:

ln w_i= β₀+ β₁educ_i+ ε_i (1)

Gdzie w_i to p laca (za godzine w USD), a educ_{, i} to liczba lat edukacji.

(i) Na podstawie zbioru danych CPSSWEducation w pakiecie AER oszacuj parametry modelu (1). Jako wiwykorzystaj earnings, a jako educi u˙zyj zmiennej education. Zinterpretuuj uzyskane oszacowanie parametru β1.

(ii) Czy oszacowanie parametru β₁ jest statystycznie istotne? Odpowied´z uzasadnij.

(iii) Zinterpretuj ekonomicznie, a nastepnie przetestuj nast_, epuj_, ac_, a hipotez_, e:_, H0: β1= .1,

(iv) Przetestuj nastepuj_, aca hipotez_, e:_,

H0: β1> .08, (v) Przeprowad´z nastepuj_, acy eksperyment._,

(a) Wylosuj ze zbioru danych 2950 obserwacji ze zwracaniem [wskaz´owka: wykorzystaj funkcje sample()]._, (b) Oszacuj MNK parametry r´ownania (1) na podstawie losowania z wczesniejszego punktu i zachowaj oszaco-

wanie parametru β1 w pamieci._,

(c) Powt´orz powy˙zsze punkty 1000-krotnie (mo˙zna u˙zy´c wiekszej liczby)._,

1

Na podstawie uzyskanych w poszczeg´olnych iteracjach (tj. losowaniach) oszacowa´n naszkicuj wykres gesto´_, sci tych oszacowa´n oraz oblicz ´srednia i odchylenie standardowe. Por´_, ownaj te liczby z wynikami regresji z punktu (i).

(vi) Na podstawie rozk ladu uzyskanych oszacowa´n policz:

(a) W ilu % przypadk´ow uzyskane oszacowania sa wi_, eksze od 0._, (b) W ilu % przypadk´ow uzyskane oszacowania sa wi_, eksze od 0.08._, Czy powy˙zsze wyniki mo˙zna por´owna´c z punktami (i)-(iii)?

Zadanie 3. Model grawitacyjny eksportu

Rozwa˙z nastepuj_, acy model grawitacyjny opsiuj_, acy bilateralny eksport:_,

ln (EXij) = β0+ β1ln (GDPi) + β2ln (GDPj) + β3ln (distij) + εij (2) gdzie indeksy i i j oznaczaja reporter´_, ow/eksporter´ow oraz partner´ow handlowych, EX_ij to eksport z i-tej do j-tej gospodarki, GDP_i to PKB i-tej gospodarki, dist_ij to odleg los´c geograficzna miedzy i-t_, a a j-t_, a gospodark_, a oraz ε_{, ij} to sk ladnik losowy.

Zaimportuj nastepuj_, ace dane Export.csv. Zbi´_, or ten zawiera nastepuj_, ace charakterystyki:_,

Nazwa Opis

Reporter Kod ISO gospodarki eksportujacej_, Partner KOD ISO partnera handlowego

Export Eksport brutto towar´ow w tys. USD; ´Zr´od lo: UN Comtrade GDP_Reporter PKB gospodarki eksportujacej w USD, ´_, Zr´od lo: WDI GDP_Partner PKB partnera handlowego w USD, ´Zr´od lo: WDI

dist dystans geograficzny pomiedzy eksporterem a partnerem handlowym, ´_, Zr´od lo: CEPII POP_Reporter Populacja gospodarki eksportujacej, ´_, Zr´od lo: WDI

POP_Partner Populacja partnera handlowego, ´Zr´od lo: WDI Odpowiedz na poni˙zsze pytania:

(i) Przenalizuj rozk lad Eksportu brutto oraz logarytmu tej zmiennej. W kt´orym przypadku mo˙zna sie spodziewa´_, c,

˙ze za lo˙zenie o normalno´sci sk ladnika losowego w modelu regresji liniowej bedzie spe lnione?_,

(ii) Oszacuj parametry r´ownania (2). Zinterpretuj uzyskane oszacowania. Czy uzyskane oszacowania sa statystycznie_, istotne?

(iii) Zinterpretuj R².

(iv) Wykorzystujac test RESET przenalizuj poprawno´_, s´c postaci funkcyjnej.

(v) Rozwa˙z nastepuj_, ac_, a hipotez_, e liniow_, a:_,

β2= −β3, (3)

Zinterpretuj ekonomicznie powy˙zsza hipotez_, e oraz zweryfikuj j_, a empirycznie._, (vi) Analogicznie jak w poprzednim punkcie przeanalizuj nastepuj_, ac_, a hipotez_, e:_,

β1= β2= −β3, (4)

(vii) Skonstruuj (dwie) zmienne binarne opisujace przynale˙zno´_, s´c eksportera lub partnera do UE, a nastepnie rozszerz_, specyfikacje modelu (2) o te zmienne. Zinterpretuj uzyskane oszacowania. W jaki spos´_, ob sie one r´_, o˙znia od_, Twoich podstawowych oszacowa´n? Przetestuj czy oszacowania parametr´ow przy dw´och nowych zmiennych sa od_, siebie statystycznie istotnie r´o˙zne. Zinterpretuj ekonomicznie wynik tego testu.

Zadanie 4. Rozwa˙z raz jeszcze model grawitacyjny (2), kt´ory zosta l przedyskutowany w zadaniu 3. Wykorzystujac_, dane w pliku Export.csv oszacuj parametry modelu (2).

(i) Czy zmienne obja´sniajace s_, a wsp´_, o lliniowe?

(ii) Przetestuj normalno´s´c sk ladnika losowego.

(iii) Przenalizuj wykresy kwadrat´ow reszt wzgledem zmiennych obja´_, sniajacych w modelu (2). Czy wykresy te wska-_, zuja na heteroskedastyczno´_, s´c sk ladnika losowego. Je˙zeli tak, to przedyskutuj istote heteroskedastyczno´_, sci w tym przypadku.

(iv) Przeprowad´z test Goldfelda-Quandta na heteroskedastyczno´s´c sk ladnika losowego wykorzystujac zmienn_, a dist_, ij

jako charakterystyke, kt´_, ora wp lywa na wariancje sk ladnika losowego. Czy wynik tego testu potwierdza wcze-_,

´sniejsza analiz_, e z (iii)?_,

2

(v) Przeprowad´z test White’a z kwadratami i interakcjami zmiennych obja´sniajacych. Przedyskutuj wyniki regresji_, pomocniczej i skonfrontuj je z analiza z (iii)._,

(vi) Oszacuj wariancje parametr´_, ow wykorzystujac estymator odporny na heteroskedastyczno´_, s´c. Por´ownaj wyniki test´ow istotno´sci w przypadku wykorzystania tego estymatora oraz w przypadku za lo˙zenia o homoskedastyczno´sci sk ladnika losowego.

(vii) Oszacuj parametry (2) wa˙zona MNK. Teoretyczn_, a wariancj_, e sk ladnika losowego wyznacz na podstawie regresji_, pomocniczej, w kt´orej zmienna obja´_, sniana jest logarytm naturalny kwadrat´_, ow reszt, a zmiennymi obja´sniajacymi_, – zmienne obja´sniajace w r´_, ownaniu (2) oraz ich kwadraty. Por´ownaj uzyskane oszacowania z wcze´sniejszymi.

(viii) Na podstawie oszacowa´n uzyskanych MNK, MNK z wykorzystaniem odpornych na heteroskedastyczno´s´c b led´_, ow standardowych oraz wa˙zona MNK przetestuj hipotez_, e om´_, owiona w punkcie (v) w zadaniu_, 3. Przedyskutuj r´o˙znice.

Zadanie 5 (Efektywno´s´c estymatora WLS, tj. wa˙zonej metody najmniejszych kwadrat´ow). Rozwa˙z nastepuj_, acy_, proces generujacy dane DGP (data generating process) dla danych przekrojowych y_, i,

yi = β0+ β1xi+ εi, (5)

gdzie x_ito zmienna obja´sniajaca, β_{, 0}to wyraz wolny, β₁to parametr strukturalny oraz ε_ito sk ladnik losowy. Za l´o˙z, ˙ze sk ladnik losowy jest heteroskedastyczny, tj. ε_i∼ N (0, σ_i²), oraz, ˙ze wariancja sk ladnika losowa ma nastepuj_, ac_, a posta´_, c:

σ²_i = σ²h (x_i) = exp(κx_i)σ². (6)

(i) Za l´o˙z, ˙ze β₀ = 1.5, β₁ = 1, x_i ∼ N (2, 2), κ = 1 oraz σ = 1. Przeprowad´z 1000 symulacji dla danych przekro- jowych o liczbie obserwacji r´ownej 250 i wyznacz parametry β₀ i β₀. Por´ownaj rozk lad uzyskanych oszacowa´n punktowych z prawdziwymi warto´sciami, a wiec za lo˙zeniami o β_{, 1} i β₁.

(ii) Dla za lo˙ze´n z poprzedniego punktu rozszerz ´cwiczenie symulacyjne tak, aby za ka˙zdym razem szacowa´c parametry r´ownania (i) MNK oraz (i) wa˙zona MNK ze znanymi wagami (a wi_, ec korzystaj_, ac z zale˙zno´_, sci, tj. σ_i²= xiσ²), oraz (iii) wa˙zona MNK z nieznanymi wagami (tj. szacowanymi wagami, a wi_, ec uzyskanymi na postawie odpowiedniej_, regresji, w kt´orej zmienna obj_, a´_,sniana s_, a kwadraty reszt). Por´_, ownaj rozk lady uzyskanych oszacowa´n w zale˙zno´sci od wykorzystanej metody.

(iii) Przeprowad´z powy˙zsze obliczenia dla r´o˙znych warto´sci κ, np. κ ∈ {0.5, 2}. Czy Twoje wnioski z poprzedniego punktu pozostaja te same ?_,

(iv) Przeprowad´z obliczenia z punktu (ii) dla r´o˙znych wielko´sci zbioru danych, np. N ∈ {30, 100, 10000}. Czy Twoje wnioski z punktu (ii) pozostaja te same ?_,

Zadanie 6 (Autokorelacja). U˙zywajac danych USMacroG z pakietu AER oszacuj prosty model popytu na pieni_, adz_, postaci:

logM

P = β0+ β1i + β2log Y, (7)

gdzie ^M_P jest miara realnego pieni_, adza w gospodarce, i jest stop_, a procentow_, a, a Y realnym produktem_,

(i) Czy i to realna czy nominalna stopa procentowa? Dlaczego w specyfikacji nie zosta la ona zlogarytmowana?

Uzasadnij.

(ii) Zinterpretuj uzyskane szacunki

(iii) Narysuj wykres reszt tw czasie oraz scatterplot reszt tjako funkcje op´_, oznionych reszt t−1. Co z nich wynika?

Jaka jest korelacja miedzy tymi zmiennymi losowymi?_,

(iv) Przetestuj reszty testami: Durbina-Watsona, Ljunga-Boxa oraz Breuscha-Godfreya. Jaki rzad dla test´_, ow powinno sie dobra´_, c? Czy yesty te potwierdzaja wyniki analizy z poprzedniego punktu._,

(v) Zastosuj test Ljunga-Boxa w petli dla op´_, oznienia od 1 do 16, zaspisujac jedynie p-values z ka˙zdej iteracji. Jakie_, sa wnioski?_,

(vi) Przeprowad´z wnioskowanie o istotno´sci parametr´ow w korygujac macierz wariancji metod_, a Neweya-Westa. Czy_, wnioski sie zmieniaj_, a?_,

(vii) Dokonaj estymacji r´ownania (7) przy wykorzystaniu metody Cochrane’a-Orcutt’a (ustaw parametr convergence

= 6). Por´ownaj otrzymane wyniki z poczatkowymi._,

(viii) Jakie mo˙ze by´c ´zr´od lo autokorelacji reszt? Przejrzyj wykresy zmiennych, kt´ore sa u˙zywane w modelu. Jak mo˙zna_, przekszta lci´c zmienne lub model, aby ograniczy´c problem autokorelacji?

Zadanie 7 (Efektywno´s´c estymatora FGLS Cochrane’a -Orcutta). Rozwa˙z nastepuj_, acy proces generuj_, acy dane DGP_, (data generating process) dla szeregu czasowego yt,

yt= β0+ β1xt+ εt, (8)

3

gdzie x_t to zmienna obja´sniajaca, β_{, 0} to wyraz wolny, β₁ to parametr strukturalny oraz ε_t to sk ladnik losowy. Za l´o˙z r´ownie˙z, ˙ze sk ladnik losowy charakteryzuje sie autokorelacj_, a pierwszego rz_, edu, tj._,

ε_t= ρε_t−1+ η_t, (9)

gdzie ρ to parametr autoregresyjny a ηtto idiosynkratyczne zaburzenie losowe. Wiadomo, ˙ze ηt∼ N 0, σ²_η
.

(i) Za l´o˙z, ˙ze β0= 1.5, β1= 1, xt∼ N (2, 2), ρ = 0.8 oraz ση = 1. Przeprowad´z 1000 symulacji dla szeregu czasowego o d lugo´sci 100 obserwacji i wyznacz parametry β0 i β1. Por´ownaj rozk lad uzyskanych oszacowa´n punktowych z prawdziwymi warto´sciami, a wiec za lo˙zeniami o β_, 0 i β1.

(ii) Dla za lo˙ze´n z poprzedniego punktu rozszerz ´cwiczenie symulacyjne tak, aby za ka˙zdym razem szacowa´c parametry r´ownania MNK oraz iterowana UMNK (metod_, a Cochrane’a -Orcutta dost_, epna w pakiecie orcutt). Por´_, ownaj rozk lady uzyskanych oszacowa´n w zale˙zno´sci od wykorzystanej metody.

4