Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czekania. Algorytmy konstrukcyjne

(1)

ZESZYTY NAUKOWE POLITECHNIKI ŚLĄSKIEJ Seria: AUTOMATYKA z. 150

2008 N r ko l. 1796

M a riu s z M A K U C H O W S K I P o lite c h n ik a W ro c ła w s k a

PR O B L EM G N IA Z D O W Y Z O G R A N IC Z E N IE M B EZ CZEK A N IA . A L G O R Y T M Y K O N ST R U K C Y JN E

Streszczenie.

W pracy opisana je s t pewna procedura k o n s tru k c ji rozw ią za n ia dla p ro ble m u gniazdow ego z ograniczeniem bez czekania. Pokazano także sposób je j w yko rz y s ta n ia do b ud ow y bardzo w y d a jn y c h a lg o ry tm ó w zarów no k o n s tru k c y j

nych, ja k i popraw . W pracy prezentuje się a lg o ry tm y konstrukcyjn e, bazujące na w spom nianej procedurze. Ich e fektyw n ość przebadano na dobrze znanych w literaturze p rzykład a ch testowych.

T H E N O -W A IT JO B SH O P PR O BL EM . H E U R ISTIC ALG O R ITH M S

Sum m ary.

T h is paper describes some so lu tio n co nstructive procedure dedicated to a jo b shop p ro ble m w ith the n o -w a it co nstraint and a makespan c rite rio n . Very e ffic ie n t h eu ristic a lg orith m s based on the presented procedure are discussed. The e ffic ie n c y o f the a lg o rith m s is tested on w e ll-k n o w n literature benchm arks.

1. W prow adzenie

W pracy analizuje się s iln ie N P -tru d n y p ro ble m g niazd ow y z dod atko w ym ogra

nicze nie m bez czekania z k ry te riu m o p ty m a liz a c ji będącym m om entem zakończenia w y k o n y w a n ia w s z ystkich zadań. O m aw ian y p ro b le m w y w o d z i się z klasycznego p ro blem u gniazdow ego przez nałożenie dodatkow ych w y m o g ó w dotyczących rozw iąza nia dopuszczalnego. R óżnica pom ię d zy analizow anym p roblem em a je g o klasyczn ym od

p o w ie d n ik ie m polega na konieczności w y k o n y w a n ia ko le jn y c h operacji danego zada

nia d o kła d n ie w m om encie zakończenia się ic h p o p rze d n ikó w techn olo giczn ych. W y m óg ten je s t często spotykany w rzec z y w is ty c h procesach p ro d u k c y jn y c h , w k tó ry c h to obrabiane elem enty z biegiem czasu z m ie n ia ją sw oje param etry fiz y c z n o -c h e m ic z n e . P rzykła d o w o , podczas w y ro b u elem entów sta low ych należy podgrzać surowce do od p o w ie d n io w y s o k ie j tem peratury, aby następnie przystąpić do fo rm o w a n ia g oto w ych elem entów . Proces fo rm o w a n ia m usi rozpocząć się d okład nie w m om encie o trzym a nia gorącego p ó łp ro d u k tu [1 ]. Podobnie podczas p ro d u k c ji n ie k tó ry c h p ro d u k tó w sp o żyw czych, ze w z g lę d ó w zarów no sanitarnych, ja k i zachodzących procesów c h e m ic z n o - b io lo g ic z n y c h , niezbędne je s t w y k o n y w a n ie je d n e j czyn no ści bezpośrednio po d ru gie j [2 ], Teoria złożoności o b lic z e n io w e j klasyczny p ro ble m g niazd ow y k la s y fik u je do g ru p y p ro b le m ó w s iln ie N P -tru d n y c h ; dow ód zaw arty je s t w pracy [3 ]. W tej samej pra

cy pokazane je s t, iż w p rzypadku dodania ograniczenia bez czekania p ro ble m także

(2)

168 M. Makuchowski

należy do tej samej kla sy - p ro b le m ó w s iln ie N P -tru d n y c h . C hoć teoretyczna z ło ż o ność obu w a ria n tó w analizowanego pro ble m u je s t identyczna, to w ie lu badaczy uważa, z p raktycznego p un ktu w idze nia, p ro b le m z o graniczeniem bez czekania za znacznie trudniejszy. W y n ik a to m ię dzy in n y m i z fa ktu , iż ro z m ia r instan cji, któ re udaje się ro z w iązać d okład nie , np. m etodą p od zia łu i ograniczeń, je s t znacznie m niejszy d la w arian tu z ograniczeniem bez czekania. P rzykład ow o , w pracy [4 ] pokazano a lg o ry tm zn ajdu ją cy rozw ią za n ie optym aln e w sensownym czasie d la in s ta n c ji p ro b le m u bez czekania, w k tó ry c h ro z m ia r nie przekraczał 15 zadań w y k o n y w a n y c h na 5 m aszynach łu b 10 zadań w y k o n y w a n y c h na 10 m aszynach. Ponadto różnego rodzaju a lg o ry tm y p rz y b liż o n e , al

g o ry tm oparty na technice p oszu kiw a ń z za bron ien ia m i [5 ], a lg o ry tm oparty na technice sym ulow anego w yżarzania [6 ] oraz a lg o ry tm genetyczny z elem entam i sym ulow anego w yżarzania [7 ] dostarczają rozw iąza ń z dość d u żym błędem lic z o n y m w zglę de m ro z w iązań referencyjnych.

Na początku pracy o m a w ia się pewną procedurę (zw aną procedurą H ) dedykow a

ną p ro b le m o w i g niazdow em u z o graniczeniem bez czekania. Prezentowana procedura H m a szerokie zastosowanie p rz y budow ie zarów no a lg o ry tm ó w k o n s tru k c y jn y c h , ja k i a lg o ry tm ó w popraw . Procedura ta p rz y jm u je ja k o param etr perm utację zadań zw aną dalej perm utacją ładującą, m oże w ię c ona u m o ż liw ić uzyskanie do r ! różn ych ro z w ią zań, gdzie r je s t lic z b ą szeregowanych zadań. Stosowanie p rocedury H gw arantuje, iż dow oln e ustaw ienie param etru sterującego uzyskanego przez a lg o ry tm nadrzędny za

wsze w yge ne ruje rozw iąza nie dopuszczalne. G enerowane ro zw iąza nia są stosunkow o w y s o k ie j ja k o ś c i w sensie w artości fu n k c ji celu. N iestety, zdarza się, iż podejście takie u n ie m o ż liw ia znalezienie rozw ią za n ia o ptym alnego, naw et d la n ajle p ie j dobranej per- m u ta c ji ładującej.

W pracy p roponuje się dw a a lg o ry tm y H B B i H N E H bazujące na w spom nianej procedurze H . Prezentowane a lg o ry tm y został)' przebadane num erycznie na lite ra tu ro w ej g ru p ie p rz y k ła d ó w testow ych. Pracę kończą w n io s k i autora na tem at p ro ced ury H oraz pro po no w an ych a lg orytm ów .

2. S fo rm u ło w a n ie p ro b le m u

P roblem g niazd ow y z ograniczeniem bez czekania m ożna zam odelow ać ja k k la syczny p ro b le m g niazdow y, w prow adzając d od atko w y w arun e k dotyczący dopuszczal

ności rozw iązania. K la s y c z n y p ro b le m g niazd ow y m ożna s fo rm u ło w a ć w następujący sposób:

D any je s t z b ió r zadań J — { 1 , . . . , r } , z b ió r o peracji O — { 1 , . . . , n } oraz z b ió r m aszyn M — { 1 , . . . , m } . Z b ió r operacji p od zie lon y je s t na r rozłącznych p o d z b io ró w o dp ow iadających poszczególnym zadaniom . Z adanie k € J utożsam ia się z zadaną sekw encją ok, o pe ra cji; T,keJ ok = n. Sekw encja ta określa w ym aganą ko le jno ść w y k o n yw a nia o pe ra cji zadania o num erze k i d la uproszczenia n o ta c ji p rz y jm u je się, że ma ona następującą postać: j k + 1, jk + 2 , . . . , j k + ok, gdzie j k = Y liZ i o, je s t lic z b ą ope

ra c ji w zadaniach 1 , 2 , . . . , k — 1 oraz j 0 = 0. D od atkow o d la u ła tw ie n ia dalszej n ota cji ciąg o pe ra cji zadania k, tj. ( j k + 1, j k + 2 , . . . , j k + ok), oznaczm y przez O k. Ponadto d la każdej o pe ra cji h € O określona je s t je d n a maszyna p (h ), na któ re j ma b yć ona w y k o n y w a n a w czasie pk > 0. D od atkow o w m odelu o b o w ią zu ją trz y typ ow e , d la tego rodzaju p ro ble m ó w , ograniczenia:

(3)

Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czekania. Algorytmy konstrukcyjne 169

• każda m aszyna m oże w y k o n y w a ć w danej c h w ili nie w ięce j n iż je d n ą operację,

• n ie m ożna jednocześnie w y k o n y w a ć w ięce j n iż jed ne j o pe ra cji danego zadania w każdej c h w ili,

• w y k o n y w a n ie o pe ra cji na m aszynie n ie m oże b yć przeryw ane.

Uszeregowanie dopuszczalne definiow ane je s t przez m om enty rozpoczęcia S (h ) > 0 oraz m om en ty zakończenia C (h ) — S (h ) + p (h ) w y k o n y w a n ia o peracji h € O takie, że w szystkie pow yższe ograniczenia są spełnione. Problem polega na znalezieniu usze

regow ania dopuszczalnego m in im a liz u ją c e g o m om en t w y k o n a n ia w s z ystkich operacji m a x /i€o C {h ). Z akładając d od atko w y w ym ó g :

• bez czekania - każda nie pierw sza operacja danego zadania m usi rozpocząć się d o kła d n ie w m om encie zakończenia w y k o n y w a n ia o peracji w cześniejszej tego sa

m ego zadania,

o trz y m u je m y m odel p ro b le m u gniazdow ego z ograniczeniem bez czekania oznaczanego w n o ta cji G raham a [8 ] przez J |n o — w a it\C max.

Z au w ażm y teraz, że te rm in tk rozpoczęcia w y k o n y w a n ia zadania k (m o m e nt ro z poczęcia w y k o n y w a n ia p ierw szej operacji tego zadania; 4 — )) określa p re c y z y j

n ie te rm in y rozpoczęć oraz zakończeń w y k o n y w a n ia w szystkich operacji h € Ok tego zadania. D la p rzypadku bez czekania ro zw iąza nie pro ble m u m oże w ięc być reprezento

wane przez w e k to r T = ( t i , ¿

2

, • ■ •, t r ) te rm in ó w rozpoczęcia w y k o n y w a n ia w szystkich zadań.

3. P ro c e d u ra w y k o n a w c z a H

O g óln a idea proponow anego a lg orytm u polega na tw o rze n iu rozw iąza nia przez system atyczne d okładanie zadań do częściow o utw orzonego w e w cześniejszych ite racjach uszeregowania. Parametrem sterującym , m ogącym być jednocześnie zm ienną d ecyzyjną d la a lg o ry tm u nadrzędnego, je s t kolejność szeregowania zadań. K o lejn ość ta zwana je s t dalej perm utacją ładującą i oznaczana przez 7r = 7 r( l), 7t(2), . . . , i r( r ) , 7r(ż) € J , 1 < fi < r . Z b ió r w szystkich m o ż liw y c h p erm u ta cji ładujących oznacza

m y przez I I . W i - t e j ite ra c ji szeregowaniu poddawane zostaje zadanie o num erze 7r(i).

Proces dodania zadania 7r(i) do częściowego harm onogram u polega na w yznaczeniu w s z y s tk ic h m o m en tó w rozpoczęcia S (h ) oraz m om en tó w zakończenia C (h ) w y k o n y w ania się każdej operacji tego zadania h € O ^ y Raz uszeregowane zadanie n ie z m ie n ia ju ż swego p ołoże nia w harm onogram ie, tzn. w yznaczone w i - t e j ite ra c ji m om enty S (h ) i C (h ), h 6 0 _ (z) będą m om entam i rozpoczęcia i zakończenia w y k o n y w a n ia się ty c h o pe ra cji w k o ń c o w y m uszeregowaniu. W i - t e j ite ra c ji sposób w yznaczenia m o m e n tó w rozpoczęcia i zakończenia operacji zadania o b lic z a się w zględem m o ż liw ie najm niejszego (spełniającego w szystkie w ym agane ograniczenia) m om entu t ^ ) > 0 rozpoczęcia w y k o n y w a n ia się zadania. Zauw ażm y, że każda perm utacja ładująca (per- m utacja z b io ru J ) d e fin iu je d okładnie je d n o uszeregowanie, co w ięce j, uszeregowanie to je s t zawsze dopuszczalne, a w y n ik a to bezpośrednio ze sposobu je g o ko n s tru k c ji. Z ło

żoność o b lic z e n io w a przedstaw ionej procedury H w y n o s i 0 ( n 2N ) , gdzie N oznacza n ajw ię kszą lic z b ę o pe ra cji w yko n yw a n ych na tej samej m aszynie w pojed ynczym zada

n iu ; N - m a x jej rn a x k £ ,\t\{h : /¿(/¿) = k , h € O j} |. W lite ra tu ro w y c h p rzykładach testow ych N = 1.

(4)

170 M. Makuchowski

4. A lg o r y t m H B B

A lg o ry tm H B B je s t a lg orytm em d w u p o z io m o w y m , w k tó ry m procedura nad

rzędna, oparta na m etodzie p o d zia łu i ograniczeń, w y b ie ra najlepsze m o ż liw e w yste ro w anie d la p rocedury H . Z łożo no ść samego a lg o rytm u sterującego je s t p o n a d w ie lo m ia - nowa. P raktyczne zastosowanie a lg o rytm u H B B ko ńczy się na p rzykład a ch o rozm iarze do 10 zadań. N ie m n ie j dla n in iejszej pracy o pisyw an y tu a lg o ry tm je s t bardzo ważny, bo za je g o pom ocą m ożna oszacować średnią odległość (w sensie w artości fu n k c ji celu od rozw iąza nia o ptym aln eg o), na ja k ą m ogą się zb liża ć się a lg o ry tm y oparte na ro z w ią z a niach generow anych procedurą H .

5. A lg o r y tm H N E H

K o n s tru k c y jn y a lg o ry tm H N E H je s t także a lg o rytm e m d w u p o z io m o w y m . P ro

cedura H generująca rozw iąza nie została opisana p o w yże j, natom iast człon em ste

rującym je s t a lg o ry tm N E H 110]. A lg o ry tm N E H dedykow any je s t p erm u ta cyj- nem u p ro b le m o w i p rze p ływ o w e m u , w k tó ry m to p ro b le m ie (p rz y ty p o w y m m odelu p e rm u ta c y jn o -g ra fo w y m ) zm ienną d ecyzyjną je s t perm utacja zadań. Poniew aż param e

trem sterującym a lg o rytm u w ykonaw czego H je s t także perm utacja zadań, m o ż liw e b y ło bezpośrednie zastosowanie a lg o ry tm u N E H w je g o o ry g in a ln e j fo rm ie . N iestety, w zw ią z k u z b ra kie m w y k ry c ia pra ktycznych re la c ji p om ię d zy p erm u ta cja m i sterującym i a d ługością o trz y m y w a n y c h uszeregowań a u to ro w i nie udało się stw o rz y ć a kcelera cji a nalogicznych do akceleracji pow szechnie stosow anych w p rzypadku perm utacyjnego p ro ble m u p rze pływ ow e go . O statecznie złożoność o b lic z e n io w a a lg o ry tm u H N E H w y nosi 0 ( r 2n 2N ) .

6. B a d a n ia n u m e ry c z n e

Jak ju ż w cześniej w spom inano, naw et spraw dzenie w s z y s tk ic h m o ż liw y c h per- m u ta c ji ład ują cych prezentowanej p rocedury H n ie daje g w a ra n c ji znalezienia ro z w ią zania o ptym alnego. N iestety, a uto ro w i nie udało się przeprow adzić teoretycznej a n a lizy najgorszego przypadku tego zagadnienia. Jednakże w ykonane badania num eryczne dają w yob ra że nie o ska li tego zjaw iska. Interesujące je s t zarów no, ja k często zdarza się, aby najlepsze m o ż liw e do otrzym a nia rozw iąza nie (oznaczm y je a * * ) n ie b y ło rozw iąza nie m o p ty m a ln y m , oznaczonym a * oraz ja k i je s t średni błąd w artości fu n k c ji celu rozw iązań a * * w zglę de m w artości fu n k c ji celu rozw iązań o p tym a ln ych . Ż eb y o d p ow ied zieć sobie na ta k postaw ione pytania, należy dysponow ać m o ż liw ie dużą serią in sta n cji o znanych w artościach fu n k c ji celu rozw iązań o p tym a ln ych oraz należy znać w artości fu n k c ji celu najlepszych m o ż liw y c h do w ygenerow ania rozw iąza ń a **. W ty m celu posłużono się 22 lite ra tu ro w y m i p rz y k ła d a m i znanym i pod nazw am i L a 0 1 -L a 0 5 , L a l6 - L a 2 0 , O r b O l- O rb lO , F t0 6 i F tlO . D la tych p rz y k ła d ó w znane są ro zw iąza nia optym aln e osiągnięte a lg o ry tm e m o p a rtym na technice pod zia łu i ograniczeń [4 ], R ów nocześnie lic z b a zadań w tych p rzykład a ch nie przekracza 10, r < 10, co u m o ż liw ia zastosowanie a lg o ry tm u H B B .

N ie ch C alg oznacza w artość d łu go ści uszeregowania rozw ią za n ia otrzym anego a lg o ry tm e m alg. Badano otrzym ane w artości fu n k c ji celu w zględem w arto ści C OPT

(5)

Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czekania. Algorytmy konstrukcyjne 171

Tabela 1 Wartości fu nkcji celu oraz błąd <5[%] względem rozwiązań optymalnych

Przykład r x m ę O P T qH B B ę V N S qH N E H S H B B ¿ V N S ¿ H N E H

ft06 6 x 6 73 73 73 73 0,0 0,0 0,0

ftlO 10x10 1607 1810 1607 1683 12,6 0,0 4,7

laOl 971 1064 975 1273 9,6 0,4 31,1

la02 937 1011 961 1116 7,9 2,6 19,1

Ia03 10x5 820 973 820 898 18,7 0,0 9,5

Ia04 887 1020 887 973 15,0 0,0 9,7

Ia05 777 861 781 861 10,8 0,5 10,8

la 16 1575 1673 1575 1905 6,2 0,0 21,0

lal 7 1371 1556 1384 1492 13,5 0,9 8,8

lal 8 10x10 1417 1713 1417 1910 20,9 0,0 34,8

la 19 1482 1786 1482 1903 20,5 0,0 28,4

la20 1526 1795 1526 1526 17,6 0,0 0,0

orbOl 1615 1927 1615 1799 19,3 0,0 11,4

orb02 1485 1814 1485 1684 22,2 0,0 13,4

orb03 10x10 1599 1603 1599 1871 0,3 0,0 17,0

orb04 1653 1898 1653 2006 14,8 0,0 21,4

orb05 1363 1490 1370 1499 9,3 0,5 10,0

orb06 1555 1790 1555 1912 15,1 0,0 23,0

orb07 689 777 705 823 12,8 2,3 19,4

orb08 10x10 1319 1319 1319 1420 0,0 0,0 7,7

orb09 1445 1742 1445 1744 20,6 0,0 20,7

orblO 1557 1843 1557 1760 18,4 0,0 13,0

Średnia 13,0 0,3 15,2

o p tym a ln ych rozw iązań odczytanych z pracy [4 ,7 ], W artości C VNS dla poszczególnych in s ta n c ji zaczerpnięto z prac [9, 7 ], a w artość C HBB i C HNEH otrzym ano, stosując prezentowane a lg orytm y. N astępnie d la każdej in s ta n c ji p o lic z o n o w zględne b łę dy ro z w iązań uzyskane k o le jn y m i a lg o ry tm a m i dla C REf = C OP1,

r^alg s~iREF

óalQ

= c r e f 100% >

al9

€

{ V N S ’ H B B ' H N E H } .

(1) O trzym ane re zu lta ty zostały zawarte w ta be li 1. D o d atkow o w ta be li tej zawarta je s t in fo rm a c ja o rozm iarze in sta n cji oraz średnie w artości a nalizow anych błędów.

W d ru g im eksperym encie porów nano ja k o ś ć generow anych rozw iąza ń o trzym a nych a lg o rytm e m H N E H w stosunku do rozw iązań uzyskanych przez a lg o ry tm V N S . Badania przeprow adzone zostały na 50 instancjach testow ych zw anych w literaturze Ia 0 6 -la l5 , Ia 2 1 -la 4 0 , s w v 0 1 -s w v 2 0 . Instancje te są znacznie w iększe n iż instancje u ży

te w p ie rw s z y m teście, lic z b a zadań zm ienia się w n ich od 15 do 50. Ze w zględu na nieznaną w artość rozw iązań o p tym a ln ych jako ść a lg o ry tm ó w m ierzona je s t w zględem rozw iązań refe ren cyjn ych zaczerpniętych z pracy [7 ], B ra k przeprow adzonej a nalizy czasów pracy a lg o rytm u H N E H w y n ik a z ograniczonego ro zm ia ru p u b lik a c ji. N a p i

szę ty lk o , iż sum aryczny czas o bliczeń w szystkich prezentow anych w pracy p rz y k ła d ó w w y n o s ił o k o ło 5 s (na kom puterze klasy PC z procesorem P e ntiu m D 2.8G H z).

(6)

172 M. Makuchowski

Tabela 2 Wartości funkcji celu oraz błąd ń[%] względem rozwiązań referencyjnych

Przykład ^{C R E F} C VNS ^q ^{H N E H} ⁵^{v n s} g H N E I t Przykład ^{C R E F} C VNS ^q ^{H N E U} ⁵^{v n s} ^j^{H N E H}

15 x 5 15 x 15

la06 1863 1431 1453 -23.2 -22.0 la36 4526 3199 3140 -29.3 -30.6

la07 1965 1366 1358 -30.5 -30.9 la37 4766 3665 3778 -23.1 -20.7

la08 1910 1390 1424 -27.2 -25.4 la3S 4426 3002 3300 -32.2 -25.4

Ia09 2189 1586 1580 -27.5 -27.8 la39 4295 3347 3401 -22.1 -20.8

la 10 2045 1527 1578 -25.3 -22.8 la40 4099 3365 3265 -17.9 -20.3

20 x 5 20 x 10

l a l i 2821 1915 1906 -32.1 -32.4 swv01 3824 2631 2558 -31.2 -33.1

la 12 2434 1694 1623 -30.4 -33.3 swv02 3800 2705 2751 -28.8 -27.6

la 13 2650 1907 1843 -28.0 -30.5 swv03 3797 2703 2636 -28.8 -30.6

lal4 2662 2313 1893 -13.1 -28.9 swv04 3895 2735 2892 -29.8 -25.8

la 15 2765 1898 1996 -31.4 -27.8 swv05 3836 2734 2627 -28.7 -31.5

15 x 10 20 x 15

la21 3574 2496 2451 -30.2 -31.4 swv06 5163 3757 3905 -27.2 -24.4

ta22 2879 2210 2213 -23.2 -23.1 swv07 5076 3505 3813 -30.9 -24.9

la23 3228 2397 2506 -25.7 -22.4 swv08 5547 3943 4022 -28.9 -27.5

Ia24 3075 2455 2339 -20.2 -23.9 swv09 5117 3705 3647 -27.6 -28.7

la25 2985 2344 2332 -21.5 -21.9 sw v l0 5347 3898 4104 -27.1 -23.2

20 x 10 50 x 10

la26 4268 3194 3228 -25.2 -24.4 sw vl 1 9258 5878 6107 -36.5 -34.0

la27 4674 3286 3384 -29.7 -27.6 sw v l2 9243 6023 6156 -34.8 -33.4

la28 4478 3134 3210 -30.0 -28.3 swv 13 9480 5967 6418 -37.1 -32.3

la29 4117 2838 2913 -31.1 -29.2 sw v l4 9450 5834 6263 -38.3 -33.7

la30 4097 3217 3167 -21.5 -22.7 sw v l5 9247 5743 6078 -37.9 -34.3

30 x 10 50 x 10

la31 6519 4070 4286 -37.6 -34.3 sw v l6 10659 6899 6773 -35.3 -36.5 Ia32 6912 4476 4918 -35.2 -28.8 sw v l7 10003 6522 6380 -34.8 -36.2 la33 6454 4361 4472 -32.4 -30.7 sw v l8 10102 6470 6618 -36.0 -34.5 la34 6380 4447 4294 -30.3 -32.7 sw v l9 10055 6697 6888 -33.4 -31.5

la35 6563 4378 4356 -33.3 -33.6 swv20 10663 6509 6615 -39.0 -38.0

Średnia -29.4 -28.7

7. P o d s u m o w a n ie

Z przeprow adzonych badań w y n ik a , iż sytuacje, w k tó ry c h nie m ożna osiągnąć rozw iąza nia o ptym aln eg o procedurą H , to o k o ło 30% p rz y k ła d ó w . Jednakże średnia od

ległość w sensie w artości fu n k c ji celu rozw iązań najlepszych m o ż liw y c h do osiągnięcia przez procedurę H do rozw iązań o ptym a ln ych je s t m ała i w yn o si o k o ło 0,3% . Prze

prowadzone testy dają w yobrażenie o stosunkow o n ie w ie lk ie j niedogodności zjaw iska p o m ija n ia rozw iązań o p tym a ln ych przez a lg o ry tm y bazujące na tej procedurze. P rz y k ła d ow y a lg o ry tm H N E H pow stały ze znanego a lg o ry tm u N E H i procedury I I daje ro z

w iązania p raw ie 30% lepsze n iż literaturow e h e u rystyki konstrukcyjn e. Ponadto jako ść generow anych rozw iązań je s t na p o z io m ie a lg o ry tm u zstępującego, ja k im je s t V N S .

(7)

Problem gniazdowy z ograniczeniem bez czekania. Algorytmy konstrukcyjne 173

B IB L IO G R A F IA

1. W is m e r D .A .: S o lu tio n o f the flow shop sch ed uling -p rob le m w ith no interm ediate queues. O perations Research. 20, 1972, p. 689.

2. H a ll N ., Sriskandarajah C.: A survey o f m achine scheduling-problem s w ith b lo c k in g and n o -w a it in process. Operations Research. 4 4 (3 ), 1996, p. 510.

3. Lenstra J., R in n o o y Kan A .: C om pu ta tion al c o m p le x ity o f discrete o p tim iz a tio n p ro blems. A n n a ls o f D iscrete M athem atics, 4, 1979, p. 121.

4. M ascis A ., P a cciarelli D .: Job shop scheduling w ith b lo c k in g and n o -w a it constra

ints, European Journal o f O perational Research. 142(3), 2002, p. 498.

5. M a c c h ia ro li R., M o le S., R iem m a S.: M o d e llin g and o p tim iz a tio n o f in d u s tria l m a

n u fa c tu rin g processes subject to n o -w a it constrains, In te rn a tio n a l Journal o f P roduc

tio n Research, 37(11), 1999, p. 2585.

6. Raaym akers W., Hoogeveen J.: S cheduling m ultipu rpo use batch process industries w ith n o -w a it restriction s by sim ulated annealing, European Journal o f O p erational Research. 126, 2000, p. 131.

7. Schuster C ., F ram inan J.: A p p ro x im a tiv e procedures fo r n o -w a it jo b shop schedu

lin g , O perations Research Letters. 31, 2003, p. 308.

8. G raham R., L a w le r E., Lenstra J., R in n o o y K a n A .: O p tim iz a tio n and a p p ro xim a tion in d e te rm in is tic sequencing and scheduling: a survey, A n na ls o f D iscrete M ath em a tics, 5, 1979, p. 287.

9. Hansen P., M a ld e n o v ic N .: Variable neighborhood search. P rincip le s and app lica tions, European Journal o f O perational Research. 130, 2001, p. 449

10. N aw az M ., Enscore Jr.E.E., H am I.: A h eu ristic a lg o rith m fo r the m -m achine, n- jo b flo w -sh o p sequencing p ro ble m , O M E G A In te rn atio na l Journal o f M anagem ent

Science, 11, 1983, p. 91

Recenzent: Prof. d r hab. inz. M a re k K u ba le

A b s tr a c t

T h e paper deals w ith some so lu tio n co nstructive procedure fo r a jo b shop p ro b le m w ith the n o -w a it co nstrain t and a makespan c rite rio n . T he so lu tio n constructive procedure, ca lle d H procedure, is c o n tro lle d b y a jo b p erm utation, called loa din g per

m uta tion . The H procedure generates r ! ( r - is the num ber o f tasks) h igh q u a lity, in c rite rio n sense, solutions.

A lg o rith m s given in the paper (H B B and H N E H ) consist o f tw o levels. A t the h ig h level, there is a certain h eu ristic a lg o rith m ca lle d the m aster a lg o rith m and at the lo w level, there is the H procedure. The m aster a lg o rith m chooses a loa din g perm utation fo r the H procedure. In H B B the m aster a lg o rith m is based on a brand and bound m ethod, in H N E H the m aster a lg o rith m is a w e ll-k n o w n fro m literature the N E H a lg o rith m . C o m p u ta tio n a l results show very h ig h e ffic ie n c y o f the proposed algorithm s.