M a riu s z M A K U C H O W S K I P o lite ch n ika W ro c ła w s k a
PR O B L EM G N IA Z D O W Y Z O G R A N IC Z E N IE M B EZ CZEK A N IA . R Ó W N O LEG ŁE A L G O R Y T M Y TABU
Streszczenie. W
pracy opisane są rów no leg łe a lg o ry tm y p o szu kiw a nia z zabro- n ie n ia m i, dedykow ane gniazdow em u p ro b le m o w i z ograniczeniem bez czekania.Proponowane a lg o ry tm y zbudowane są z nadrzędnego a lg o rytm u bazującego na w spom nianej technice oraz sterowanego a lg o rytm u konstrukcyjnego. P oszuki
w ania ograniczone są ty lk o do rozw iązań m o ż liw y c h do w ygenerow ania przez w spo m n ian y a lg o ry tm ko n stru kcyjn y.
W
pracy przedstaw ia się analizę p o ró w nawczą zaproponow anych a lg orytm ów .T H E N O -W À IT JO B SH O P PRO BLEM . PARA LLEL TABOO A L G O R ITH M S
Sum m ary.
T h is paper deals w ith p a ra lle l tabu search a lg o rith m s fo r a jo b shop p ro b le m w ith a n o -w a it co nstrain t and a makespan c rite rio n . The proposed a lg o rith m s consist o f a m aster a lg o rith m based on the m entioned technique and slave co nstructive a lg o rith m . T h is approach reduces the num ber o f solutions to check o n ly to solutions that can be generated b y means o f the constructive a lg o rith m . In this paper a com parative analysis o f the proposed a lg orith m s is presented.1. W prow adzenie
M o ż n a zauważyć, iż w obecnych czasach postęp te chn olo giczn y m aszyn lic z ą cych zm ie n ia kierun e k sw ojego ro z w o ju . Jeszcze parę la t tem u z roku na ro k p ow staw ały procesory taktow ane coraz szybszym i zegarami. O becnie zw iększanie m ocy o b lic z e n io w ej procesorów u zyskuje się g łó w n ie przez zrów no leg len ie je d n o ste k liczących , w p o staci p ro d u k c ji procesorów nie je d n o -, lecz d w u - i czte ro rdze niow ych . Ponadto w szyst
k ie superkom putery u zyskują ogrom ne m oce o bliczen io w e, w łaśn ie d z ię k i rozłoże n iu o b lic z e ń na tysiącach, p ołączonych ze sobą bardzo szybką siecią, procesorach. O becnie najszybszy superkom puter B lu eG e n e/L , m ający m oc o b lic z e n io w ą rzędu 478 T F lops, posiada 212.992 rdzeni [1 ]. O czyw iście , aby w yko rzysta ć p otencjał n ow ych te chn olo g ii, należy stosować specjalne dedykow ane ty m system om a lg o ry tm y rów noległe.
Procedury o p ty m a liz a c ji dyskretnej, a w szczególności a lg o ry tm y popraw (ang.
im p ro v e m e n t a lg o rith m ), dobrze nadają się do z rów no leg lan ia. N a jła tw ie js z e z ró w n o le g le nie ty c h a lg o ry tm ó w m oże polegać na u ru cho m ie niu k ilk u je d n a k o w y c h niezależ
nych k o p ii (w ą tk ó w p rogram u) z zadbaniem o to, b y każda z nich przeglądała inną
część przestrzeni rozw iązań. Ponieważ w a lg orytm ach p op ra w u ż y tk o w n ik sam usta
la ko m p ro m is p om ię d zy ja k o ś c ią uzyskiw anego ro zw ią za n ia a czasem pracy a lg o rytm u , zrów n o le g la n ie o blicze ń m ożna w y k o rzysta ć do znajdow ania lepszych rozw iąza ń w tym sam ym czasie, lu b rozw iązań o podobnej ja k o ś c i w kró ts z y m czasie, n iż ro b i to analo
giczn y je d n o w ą tk o w y a lg o ry tm sekw encyjny.
2. Sform ułow anie problem u
P roblem gniazd ow y z ograniczeniem bez czekania z k ry te riu m będącym d łu g o ścią uszeregowania oznaczany je s t w n o ta c ji Graham a [2 ] przez J \n o — w a it\C ma.x- Jego m odel m atem atyczny został przedstaw iony w pie rw sze j części p u b lik a c ji [3 ]. W bieżą
cej części pracy o bo w ią zują w s zystkie b y ty zdefiniow ane w części w cześniejszej [3 ].
3. O pis algorytm ów
W pracy prezentuje się jeden se kw e ncyjn y oraz dw a ró w n o le g łe a lg o ry tm y dedy
kowane p ro b le m o w i gniazdow em u z ograniczeniem bez czekania z k ry te riu m będącym d ługością uszeregowania. Prezentowane p ro gram y oparte są na m etodzie p oszu kiw a ń z za bron ien ia m i. P ierw szy z p rezentow anych a lg o ry tm ó w HTS1 je s t sekw encyjny i w z g lę dem niego będzie oceniana ja k o ś ć pozostałych dw óch. K ry te riu m stopu w e w s z y s tk ic h prezentow anych alg orytm ach to ustalona liczb a przeglądanych rozw iązań.
3.1. A lgorytm sekw encyjny - HTS1
Przedstaw iany a lg o ry tm składa się z d w ó ch cz ło n ó w : sterującego i w yko n a w cze go. C zło n sterujący, oparty na technice p o szu kiw a n ia z za bron ien ia m i [4 ], dobiera para
m etry sterujące członem w y k o n a w c z y m , nazyw anym procedurą w ykon aw czą H [3 ], D la dalszego opisu a lg o ry tm u nadrzędnego ważne je s t ty lk o , iż param etrem ste
ru ją cym procedurą H je s t p erm utacja zadań; 7r = 7 r( l), 7t(2), . . . , n ( r ) , ir(ż) e J , 1 < i < r , zwana perm utacją ładującą. N adrzędne sterow anie je s t w ię c a lg orytm em , w k tó ry m zm ienną d ecyzyjną je s t jed na perm utacja, zaś fu n k c ją k ry te ria ln ą je s t w ar
tość fu n k c ji celu rozw iąza nia otrzym anego procedurą H . T akie podejście u n ie m o ż liw iło a u to ro w i znalezienie p ra ktycznych zależności p om ię d zy zm ianą w p erm u ta cji ła d u ją cej a zm ianą d łu g o ści o trzym yw an eg o harm onogram u. D o pokazania za dziw ia jących w łasności tak analizowanego p ro ble m u m oże p o służyć p rz y k ła d , w k tó ry m w y ję c ie za
dania z p e rm u ta c ji ładującej będzie sku tko w a ło generacją częściow ego harm onogram u, dłuższego n iż w cześniejszy ko m p le tn y harm onogram ! Istn ien ie pow yższego zja w iska oznacza, że w w y n ik u dodania (lu b zabrania) zadania do częściow ej p erm u ta cji ła d u ją cej o trz y m y w a n y harm onogram m oże się zarów no w y d łu ż y ć , ja k i s k ró c ić ! Poniew aż o g ó ln y opis a lg o ry tm u p o szu kiw a nia z za bron ien ia m i m ożna znaleźć m ię d zy in n y m w pracy [4 ], w poniższych podrozdziałach przedstaw ione zostaną szczegółow o n ajw aż
niejsze składow e elem enty tego a lg orytm u.
3.1.1. Sąsiedztwo
Sąsiedztw o p erm u ta cji w y k o rz y s ty w a n e w a lg o ry tm ie HTS1 bazuje na ruchach typu wstaw. R uch v = (a, b), 1 < a < r , a ^ b, a ^ b — 1, typ u w staw w y ko n a n y na p e rm u ta c ji tt 6 I I polega na przesunięciu elem entu 7r(a) z p o z y c ji a na p ozycję ó; w w y n ik u tw o rz y się now a perm utacja oznaczana n^v) € I I . L ic z b a ruchów , a ty m sam ym
ro z m ia r sąsiedztwa d la p erm u ta cji r-e le m e n to w e j, w yno si ( r — l ) 2. W prezentow anym a lg o ry tm ie postanow iono o graniczyć w ielkość analizowanego sąsiedztwa ty lk o do ro z
w iązań o trzym a nych rucham i o ograniczonym rozm iarze. R ozm iar ruchu v — (a, b) o b licza się ja k o liczbę p o z y c ji, o ja k ą zostaje przestaw iony elem ent, |a — b\. Ostatecznie analizowane sąsiedztwo pow staje z ruch ów v = (a, b), 1 < a < r , a ^ b, a -fi b — 1, m o v e S iz e M in < |a — ó| < m o v e S iz e M a x . Jeśli k ilk a ruch ów generuje rozw iąza nie je d n a k o w o dobre, w yb ie ra n y zostaje ruch o w ię kszym rozm iarze. W prezentow a
n ym a lg o ry tm ie HTS1 ustalono następujące w artości param etrów m o v e S iz e M in — 1, m o v e S iz e M a x — 10.
3.1.2. L is ta tabu
E lem entam i lis ty tabu T , zgodnie z ideą zawartą w pracy [4 ], są pewne a trybuty p erm u ta cji i ruchu A V ( n , v) ostatnich ite ra c ji a lg orytm u. N iech (x —> y ) oznacza relację ko le jn o ś c io w ą zadań x i y w p erm u ta cji. Po w y k o n a n iu ruchu v — (a, b), przekształca
jącego perm utację 7r € I I w perm utację tT(u) € I I , na listę tabu zapisyw ana je s t pewna para ( x , y ) , d la k tó re j w p erm u ta cji zachodziła relacja ( x —> y), a w p erm u ta cji zam ie
n iła się w relację p rze ciw n ą (y —> x). O czyw iste jest, iż dla danego ruchu m oże istnieć w ie le ta k ic h par. W a lg o ry tm ie zastosowano m etodę w y b o ru pary zadań zabraniających m o ż liw ie najw iększej lic z b y ruchów :
R uch uważany je s t za zabroniony, je ż e li na liś c ie tabu znajduje się p rz y n a jm n ie j jed na para zadań (x, y), d la któ re j w ystępuje relacja ( x —> y) w pow stającej p erm u ta cji 7T(V). W pracy [4 ] pokazany je s t e fe k ty w n y sposób w yznaczania statusu danego ruchu.
3.1.3. R ozw iąza nie startowe
Pam iętając, iż zm ienną decyzyjną w a lg o ry tm ie HTS1 je s t ko le jno ść zadań prze
kazyw ana do p rocedury i i , ja k o rozw iąza nie startow e p rz y jm u je się perm utację ładującą otrzym a ną a lg o ry tm e m H N E H opisanym w pierw szej części [3 ],
3.2. A lg o r y tm y ró w n o le g łe - H T S 2 , H T S 3
A lg o ry tm HTS2 je s t a lgorytm em ró w n o le g le urucham iającym dw a a lg o ry tm y HTS1 z ró ż n y m i param etram i sterującym i. Różne w ysterow anie a lg o ry tm ó w ma na celu w ym u szen ie różn ych tra je k to rii poszukiw ań. W badanym a lg o ry tm ie HTS2 d ru gi w ątek urucham iany je s t z lis tą tabu dłuższą o 1 n iż długość lis ty tabu w ątku pierwszego.
D la każdej in sta n cji m ożna w ygenerow ać instancję „lu strzan ą ” , w któ re j zam ie
nio no na p rze ciw n e ko le jno ścio w e relacje technologiczne. P raktycznie je s t to taka sa
ma instancja, jednakże a lg o ry tm generujący rozw iązanie układa zadania w in n y sposób n iż d la in sta n cji o ry g in a ln e j. U zyskane rozw iąza nie instan cji lustrzanej je s t, o c z y w i
ście, lustrza nym o db icie m pewnego rozw iąza nia instan cji o ry g in a ln e j. Oznacza to, iż pewne „z ło ś liw o ś c i” instan cji, pow odujące m ię dzy in n y m i brak m o ż liw o ś c i w ygenero
w ania rozw iąza nia optym alnego, m ogą nie istnieć dla in sta n cji lustrzanej. Co w ięcej, je ś li a lg o ry tm nadrzędny d la pew nych danych ma trudności ze znalezieniem dobrego rozw iąza nia , to m oże się okazać, iż w p rzypadku in sta n cji lustrzanej dana trudność nie w ystępuje. T rudność dla a lg o ry tm ó w popraw może być tutaj rozum iana ja k o p ro b le m y z opuszczeniem z b y t g łębokiego bądź zb yt szerokiego m in im u m lokalnego lu b p ro ble m y z poruszaniem się po płaskiej (w sensie w artości fu n k c ji celu) przestrzeni rozw iązań.
d la a < b
d la a > b
(
1)
Tabela 1 Wartości funkcji celu, błąd <J[%] względem rozwiązań optymalnych i czas t [s]
Przykład r x m c°p t qHTS 1 qHTS2 ę H T S 3 f oHTSl / ¡HTS2 J / / T S 3 t I l T S 1 t H T S 2 t H T S 3
ft06 6 x 6 73 73 73 73 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0
ftlO 10x10 1607 1607 1607 1607 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
laOl 10x 5 971 975 975 971 0.4 0.4 0.0 0.1 0.1 0.1
Ia02 10x 5 937 961 961 937 2.6 2.6 0.0 0.2 0.1 0.1
la03 10x 5 820 820 820 820 0.0 0.0 0.0 0.1 0.1 0.1
la04 10x 5 887 8 8 8 8 8 8 887 0.1 0.1 0.0 0.2 0.1 0.1
la05 10x 5 777 781 781 777 0.5 0.5 0.0 0.1 0.1 0.1
la 16 10x10 1575 1575 1575 1575 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
la l? 10x10 1371 1384 1384 1384 0.9 0.9 0.9 0.4 0.2 0.2
lal8 10x10 1417 1507 1507 1507 6.4 6.4 6.4 0.4 0.2 0.2
la l9 10x10 1482 1512 1512 1491 2.0 2.0 0.6 0.4 0.2 0.2
Ia20 10x10 1526 1526 1526 1526 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orbOl 10x10 1615 1615 1615 1615 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orb02 10x10 1485 1485 1485 1485 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orb03 10x10 1599 1599 1599 1599 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orb04 10x10 1653 1738 1653 1653 5.1 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orb05 10x10 1363 1370 1370 1367 0.5 0.5 0.3 0.4 0.2 0.2
orb06 10x10 1555 1555 1555 1555 0.0 0.0 0.0 0.3 0.2 0.2
orb07 10x10 689 705 705 701 2.3 2.3 1.7 0.4 0.2 0.2
orb08 10x10 1319 1319 1319 1319 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orb09 10x10 1445 1445 1445 1445 0.0 0.0 0.0 0.4 0.2 0.2
orblO 10x10 1557 1575 1575 1571 1.2 1.2 0.9 0.4 0.2 0.2
Średnia 1.0 0.8 0.5 0.3 0.2 0.2
A lg o ry tm HTS3 urucham ia d w ie ko p ie a lg o ry tm u HTS1: je d n ą dla in s ta n c ji o ry g in a ln e j, a drugą d la in sta n cji lustrzanej.
4. B a d a n ia n u m e ry c z n e
Badania testowe zostały p odzielone na dw a etapy. W p ie rw s z y m z n ic h zbada
no zachowanie się prezentow anych trzech a lg o ry tm ó w na p rzykła d a ch stosunkow o ła tw y c h . W sz y s tk ie p rz y k ła d y tej g ru p y udało się rozw iązać o p ty m a ln ie a lg o ry tm e m do
k ła d n y m o pa rtym na m etodzie p o d zia łu i ograniczeń [5 ]. D la każdego z p rz y k ła d ó w w yznaczono rozw iąza nie C alg k o le jn y m i a lg o ry tm a m i a lg € { H T S1, H T S 2 , H T S3 , } w czasie t alg. D o d a tko w o d la każdego ro zw iąza nia C alg p o lic z o n o w zg lę d n y błąd
f^alg /'tjREF
ó<tla = C R E F - - • 100% ’ a l9 e { H T S 1 , H T S 2 , H T S 3 } (2) w stosunku do w artości fu n k c ji celu rozw iąza ń o p ty m a ln y c h (znanych z lite ra tu ry [6 ]),
C R E F — q O P T "W szystkie om aw iane w y n ik i zam ieszczono w ta b e li 1. Tabela za
kończona je s t w ersem podającym średnią w artość błę dó w o trzym a n ych rozw iąza ń oraz średnią w artość czasów pracy poszczególnych alg orytm ów .
Etap d ru g i badań przeprow adzony został w ana lo giczn y sposób ja k etap p ie rw szy. T y m razem om aw iane a lg o ry tm y testowane b y ły na p rzykład a ch na ty le „ tru d nych” (du żych), iż nieznana je s t po dzień d zisie jszy o ptym aln a w artość fu n k c ji ce
lu. W ty m p rzyp ad ku otrzym ane w arto ści fu n k c ji celu uzyskanych uszeregować po-
Tabela 2 Wartości funkcji celu, błąd S[%] względem rozwiązań referencyjnych i czas t [s]
Przykład r x m qR E F ( j U T S l qH T S 2 qH T S 3 ¡ I I T S1 ¡ U T S 2 f j HTS 3 t H T S 1 t H T S 2 ¿ HTS 3
l a l i 20 x 5 1714 1705 1696 1710 -0.5 -1.1 -0.2 1.9 1.0 1.0
la 12 20 x 5 1507 1602 1558 1543 6.3 3.4 2.4 2.0 1.0 1.0
lal3 20 x 5 1665 1724 1715 1724 3.5 3.0 3.5 1.9 1.0 1.0
lal 4 20 x 5 1757 1767 1722 1767 0.6 -2.0 0.6 1.9 1.0 1.0
lalS 20 x 5 1771 1779 1779 1779 0.5 0.5 0.5 1.8 0.9 1.1
la21 1 5 x10 2092 2059 2163 2144 -1.6 3.4 2.5 2.0 1.1 1.1
la22 1 5 x10 1928 1955 1955 1955 1.4 1.4 1.4 1.8 0.9 1.0
la23 1 5 x10 2038 2213 2134 2213 8.6 4.7 8.6 1.8 0.9 1.0
!a24 1 5 x10 2061 2072 2044 2108 0.5 -0.8 2.3 2.0 1.0 1.0
la25 1 5 x10 2034 2033 1995 2033 -0.0 -1.9 -0.0 1.8 0.9 1.0
la26 2 0 x 1 0 2664 2996 2788 2981 12.5 4.7 11.9 5.7 2.8 2.8
la27 2 0 x 1 0 2933 2881 2881 2881 -1.8 -1.8 -l.S 5.1 2.7 3.0
la28 2 0 x 1 0 2789 2833 2833 2833 1.6 1.6 1.6 5.2 2.8 2.7
la29 2 0 x 1 0 2565 2606 2606 2606 1.6 1.6 1.6 5.0 2.5 2.7
la30 2 0 x 1 0 2835 2808 2931 2779 -1.0 3.4 -2.0 4.9 2.6 2.5
la31 3 0 x 1 0 3822 3993 3989 3993 4.5 4.4 4.5 18.9 9.7 10.7
la32 3 0 x 1 0 4186 4201 4236 4339 0.4 1.2 3.7 21.3 10.7 10.7
Ia33 3 0 x 1 0 3754 3976 4055 3933 5.9 8.0 4.8 20.7 10.4 10.4
la34 3 0 x 1 0 3938 4064 4064 4064 3.2 3.2 3.2 20.8 10.8 10.7
la35 3 0 x 1 0 3908 4118 4118 3824 5.4 5.4 -2.1 21.4 10.7 10.6
la36 15x15 2810 2890 2890 2918 2.8 2.8 3.8 3.2 1.6 1.8
la37 15x15 3044 2977 3086 3127 -2.2 1.4 2.7 3.5 1.7 1.8
la38 15x15 2726 2691 2691 2691 -1.3 -1.3 -1.3 3.2 1.7 1.7
la39 15x15 2752 2938 2883 2852 6.8 4.8 3.6 3.4 1.7 1.7
la40 15x15 2838 2594 2889 2804 -8.6 1.8 -1.2 3.3 1.7 1.8
swv01 2 0 x 1 0 2396 2358 2358 2358 -1.6 -1.6 -1.6 5.4 2.7 2.7
swv02 2 0 x 1 0 2485 2613 2418 2479 5.2 -2.7 -0.2 4.9 2.5 2.6
swv03 2 0 x 1 0 2489 2545 2519 2493 2.2 1.2 0.2 5.3 2.7 2.7
swv04 2 0 x 1 0 2506 2575 2546 2575 2.8 1.6 2.8 5.2 2.7 2.7
swv05 2 0 x 1 0 2482 2561 2474 2466 3.2 -0.3 -0.6 5.5 2.8 2.8
swv06 2 0 x 1 5 3291 3602 3602 3587 9.5 9.5 9.0 8.4 4.2 4.5
swv07 2 0 x 1 5 3331 3432 3432 3418 3.0 3.0 2.6 9.7 4.9 4.9
swv08 2 0 x 1 5 3611 3742 3608 3742 3.6 -0.1 3.6 10.3 5.1 5.1
swv09 2 0 x 1 5 3378 3390 3400 3400 0.4 0.7 0.7 9.6 4.9 4.8
sw v l0 2 0 x 1 5 3552 3715 3568 3610 4.6 0.5 1.6 9.7 4.9 5.2
Średnia 2 3 1.8 2.1 6.8 3.5 3.5
ró w n yw a n e b y ły z n a jle p szym i zn an ym i do tej p ory w arto ścia m i z lite ra tu ry [6, 7].
U zyskane rezu ltaty zamieszczone zostały w tabeli 2. U jem ne w artości błędów 6al9, a lg e { H T S l , H T S 2 , H T S 3 } oznaczają, iż odp ow ied ni a lg o ry tm znalazł rozw iąza n ie lepsze n iż najlepsze re zu lta ty o pu blikow a ne do tej pory.
Postaw m y hipotezę, iż u zyskiw ane rozw iąza nia a lg o ry tm a m i HTS2 i HTS3 są gorsze n iż ro zw ią za n ia otrzym ane alg orytm em H T S l. W y k o n u ją c statystyczne testy o trzym a n ych w y n ik ó w z ta b e li 1 i ta be li 2, m ożna s tw ie rd zić, iż na p o z io m ie isto tn o ści a = 0.05 hipotezę tę należy odrzucić. Ponadto, d la tego samego p o zio m u istotności a = 0.05 należy także o drzucić hipotezę, że a lg o ry tm HTS2 dostarcza średnio ro z w ią zań z ty m sam ym błędem co a lg o ry tm H T S l. Oznacza to, iż na podstaw ie uzyskanej p ró b k i w y n ik ó w p o m ia ro w y c h m ożna stw ierdzić, że na 95% a lg o ry tm HTS2 generuje rozw ią za n ia o średniej w artości fu n k c ji celu lepszej n iż a lg o rytm H T S l.
5. P o d s u m o w a n ie
P ierw szy w nio sek z przeprow adzonych badań je s t następujący: a lg o ry tm y HTS2 i HTS3 urucham iające dw a ró w n o le g łe w ą tk i d zia łają o dp o w ie d n io d w u k ro tn ie k ró ce j, dostarczając średnio rozw iązań o 0.5% lepszych w sensie w artości fu n k c ji celu n iż je d - n ow ątkow y a lg o ry tm HTS1.
D ru g i w nio sek z pracy je s t ta ki, iż zaproponow ane a lg o ry tm y są bardzo w y d a j
ne. W y n ik i najlepszych z o pu blikow a nych a lg o ry tm ó w C L M [6 ], T S [7 ] pokazują, że u zyskują one re zu lta ty średnio 0,5% lepsze n iż p rz y k ła d o w o HTS2, lecz w re la ty w nie znacznie d łu ższym czasie. Pisząc o re la ty w n ie d łu ższym czasie pracy a lg orytm u u w zg lę d n io n o zarów no różnicę w szybkości kom puterów , ja k i fa k t ró w n o le g ły c h o b li
czeń a lg o rytm u HTS2. D od atkow o każdy z prezentow anych w pracy a lg o ry tm ó w znalazł k ilk a rozw iązań lepszych n iż najlepsze rezu ltaty o pu blikow a ne do tej pory.
B IB L IO G R A F IA
1. h ttp ://w w w .to p 5 0 0 .o rg /
2. G raham R., L a w le r E., Lenstra J., R in n o o y K an A .: O p tim iz a tio n and a p p ro xim a tio n in d e te rm in is tic sequencing and scheduling: a survey, A n na ls o f D iscrete M ath em a tics, 1979, 5, 287.
3. M a k u c h o w s k i M .: P roblem g niazd ow y z ograniczeniem bez czekania. A lg o ry tm y konstrukcyjne. Z eszyty P o lite c h n ik i Ś ląskiej (ten num er).
4. N o w ic k i E.: M etoda tabu w problem ach szeregowania zadań p ro d u k c y jn y c h . O fic y na W yd a w n icza P o lite c h n ik i W ro c ła w s k ie j, W ro c ła w 1999.
5. M ascis A ., P acciarelli D .: Job shop scheduling w ith b lo c k in g and n o -w a it constra
ints, European Journal o f O perational Research. 142(3), 2002, p. 498.
6. Fram inan J., Schuster C.: A n enhanced tim e ta b lin g procedure fo r the n o -w a it jo b shop p ro ble m : a com plete loca l search approach, C om puters and O perations
Research 33 (5), 2006, 1200.
7. Schuster C .: N o -w a it Job Shop S cheduling: Tabu Search and C o m p le x ity o f Subpro
blems, M ath em a tical M ethods o f O perations Research 63 (3), 2006, 473.
Recenzent: P rof. d r hab. inż. M a re k K ubale
A b s tr a c t
In the previous paper [3 ] some so lu tio n constructive procedure fo r a jo b shop p ro ble m w ith the n o -w a it constrain and a makespan c rite rio n has been proposed. T ha t so lu tio n co nstructive procedure, called H procedure, is c o n tro lle d b y some jo b p erm u ta tion ca lle d loa din g perm utation. The H procedure generates r ! ( r - is the num ber o f tasks) h ig h q u a lity, in c rite rio n sense, solutions.
The a lg o rith m s (I I T S l, H T S 2 and H T S 3) presented, in this paper, consist o f tw o levels. A t the h ig h level, there is a certain h eu ristic ca lle d the m aster a lg o rith m and
at the lo w level, there is the H procedure. The m aster a lg orith m s choose a loa din g per
m u ta tio n fo r the H procedure. T he y are based on taboo search m ethod. T he a lg o rith m I i T S 1 is sequential, the a lg o rith m s H T S 2 and H T S 3 are p arallel. T hey run sim u lta neously tw o threads o f H T S1. The threads o f H T S 2 analysis d iffe re n t solutions, since the parameters o f the m aster a lg o rith m s are d iffe re n t. In H T S 3 , the threads analysis co m p le te ly d iffe re n t solutions since the first thread w orks on an o rig in a l instance, and the second thread w orks on the sym m e trica l one. C om pu ta tion al results show the h igh e ffic ie n c y o f the proposed alg orith m s. F o r w e ll-k n o w n fro m lite ra tu re benchm arks, each presented a lg o rith m finds a fe w solutions that are better than the best k n o w n fro m lite rature solutions.
