ZSZYTY NAUKOWE P O L IT E C H N IK I ¿ L A S K IE J Seria: AUTOMATYKA z . 100
__________1 9 9 0 Nr k o l .1082
Eugeniusz N ow icki Czesław Sm u tn ic k i Politechnika W ro c ław ska
Instytut C y b e r n e t y k i T e c h n i c z n e j
r>
ANALIZA N AJGORSZEGO PRZYPADKU ALGORYTMÓW APROKSYMACYJNYCH DLA PROBLEMU PRZEPŁYWOWEGO
S t r e s z c z e n i e . W p r a c y r o z w a ż a s i ę p e r m u tą c y jn y przep ły w o w y problem s z e r e g o w a n ia z a d a ń z k r y t e r iu m m i n i m a l i z a c j i m aksym alnego term in u z a k o ń c ze n ia w y ko n y w a n ia w s z y s t k ic h z a d a ń . D l a t e g o prob lem u podano s z e reg a lgorytm ó w a p r o k s y m a c y jn y c h o r a z p r z e d s t a w io n o » otrzy m a n e o s t a t n io , w y n ik i a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u .
1. Wstęp
W l i t e r a t u r z e p r z e d s t a w i o n o w i e l e alg ory tm ó w a p r o k sy m a cy jn y c h d l a J e d n e go z n a j b a r d z i e j typow ych problem ó w s z e r e g o w a n i a , ja k i m j e s t w ielom a szy n ow y permutącyjny p r o b le m p r zep ły w o w y . A lg o r y tm y porównywano na d r o d z e e k s p e r y mentalnej m .i n . w p r a c a c h C 3 3 , C 1 3 3 , C l6 3 , C 1 7 3 . W w yniku ty c h badań s t w i e rdzono, Ze k i l k a z n i c h z a s ł u g u j e n a s z c z e g ó l n a uwagę z e w zg lę d u na d o k ł a dność i c z a s o b l i c z e ń . Sa t o : a lg o r y tm P alm e ra [ 1 4 3 , a lg o r y tm C a m p b ella i in. [23, a lg o r y tm y RA, RACS i RA ES p o d a n e p r z e z D a n n e n b r in g a C 3 3 , algorytm Nawaza i i n . C93 o r a z o s t a t n i o p o d a n y a lg o r y tm Osmana i P o t t s a C 1 3 3 . S p o śród w ym ienionych, a lg o r y t m P alm e ra i a lg o r y tm RA D a n n e n b r in g a c h a r a k t e r y zują s ie n a jm n ie j s z y m c z a s e m o b l i c z e ń . Z k o l e i a lg o r y tm N aw aza i alg o ry tm Osmana i P o t t s a generuje^ n a j b a r d z i e j d o k ł a d n e r o z w i ą z a n i e .
Do niedaw na brak b y ł o i s t o t n y c h r e z u l t a t ó w d o t y c zą c y c h a n a l i z y n a j g o r szego przypadku tych a lg o rytm ó w . D o p ie r o o s t a t n i o p o j a w i ł y s i e t r z y p r a c e ii03, [
1 1 3
, [ 1 2 3 , k t ó r e w z n a c z ą c y s p o s ó b w y p e ł n ił y t^ l u k e . W n i n i e j s z e j p rzed sta w ia m y s z c z e g ó ł o w o w spo m niane wyZej a lg o r y tm y i omawiamy n a j m n ie js z e w y n iki d o t y c z ą c e a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u z a w a r t e w C 1 0 3 ,( 1 3 3 , a t a k Z e i n n e n a jn o w s z e r e z u l t a t y badań .
Permutącyjny m-maszynowy p rob le m p r z e p ł y w o w y f o r m u ł u j e s i e n a s t ę p u ją c o :
^ ny jest z b ió r z a d a ń J = < 1 , 2 , . . . , n > , k t ó r e n a l e Z y wykonać na m aszynach z e zsioru M-<1,2 m>. K a Z d e z a d a n i e j e s t wykonywane k o l e j n o na m aszynach
Z a d a n i e j na m a s z y n ie i w y k o n u je s i e w c z a s i e p _ ^ > 0 , ie M , j e J .
^Uada s i e . Z e: C i } w y k o n y w a n ie z a d a n i a na d a n e j m a s z y n ie n i e może być Porywane, Ciii) k a Z d a m aszyna w y k o n u je n i e w ie c e j n i Z j e d n o z a d a n i e w d o wolnej c h w ili c z a s o w e j o r a z C i i i } k o l e j n o ś ć w yko n yw a n ia z a d a ń na w s z y s t k ic h Czynach J e s t i d e n t y c z n a . P o s z u k u j e s i e k o l e j n o ś c i w ykonyw ania z a d a ń , k t ó
2 1 2 ... . . E. N o w i c k i , C. Smutni cki . . ■ .»j«*« ...■■■■ • — ...-—■■■—■... . .. —--- -
r a m i n i m a l i z u j e term in z a k o ń c z e n i a w yko nyw ania w s z y s t k i c h z a d a ń . Oznaczm y p r z e z nr dow oln a per m u t a c je elem en tó w z b i o r u J , z a ś p r z e z Tl z b ió r w s z y s t k ic h t a k i c h p e r m u t a c ji . D a l e j , p r z e z C ^ ^ C r c } o z n a c zm y term in z a k o ń c z e n i a w ykonywania w s z y s t k ic h z a d a ń d l a k o l e j n o ś c i w yko n yw a n ia zadań o k r e ś l o n e j p r z e z neTl. P e r m u t a c je n eTl, d l a k t ó r e j z a c h o d z i
C C
77
* } = m in C Cn} Cl)max _ max
n«=Tl
będ ziem y n azy w ać r o z w ią z a n ie m optymalnym.
2 . Algo rytm y a p r o k sy m a cy jn e
A lg o rytm y a p r o k sy m a c y jn e d l a prob lem u F -] |c max można p o d z i e l i ć na dwie n a s t ę p u ją c e grupy:
Ca} m etody k o n s t r u k c y jn e w y z n a c z a ją c e r o z w i ą z a n i a p o p r z e z a n a l i z ę pewnego p roblem z a s t ę p c z e g o ,
Cb} m etody po praw y r o z w i ą z a n i a p o p r z e z l o k a l n e p r z e s z u k i w a n i e z b i o r u roz
w ią z a ń d o p u s z c z a ln y c h .
W o b r ę b i ę g r u p y Ca} można w y ró ż n ić t r z y p o d gr u p y metod:
C a . l } M eto dy p r io r y t e t o w e : D l a k a ż d e g o z a d a n i a d e f i n i u j e s i e p r i o r y t e t jako f u n k c j e c zas ó w w yko nyw ania t e g o z a d a n i a n a p o s z c z e g ó l n y c h maszynach, a n a s t ę p n i e s z e r e g u j e s i e z a d a n i a w k o l e j n o ś c i n i e r o s n ą c y c h wartości p r io r y t e t ó w .
Ca. 2 } M eto dy b a z u j ą c e na p r o b le m ie F 2 j P ro b lem w y jś c i o w y sprow adza s i e d o je d n e g o l u b k i l k u p o m o c n ic zy c h problem ów F21 |crnax p o p r z e z zde
f i n i o w a n i e d l a k a ż d e g o z a d a n i a c z a s ó w w yko nyw an ia n a dwóch z a s t ę p c z y c h m aszynach. Po r o z w i ą z a n i u problem ów p o m o c n ic z y c h , pe rm u ta cje o n a j m n i e j s z e j w a r t o ś c i d l a problem u w y jś c io w e g o p r z y j m u j e s i e ja
ko r o z w i ą z a n i e p r z y b l i ż o n e .
Ca. 3 } M etody b a z u j ą c e na p e r m u t a c ja c h c z ę ś c io w y c h : W f a z i e w s tę p n e j ustala s i e l i s t ę za d a ń p r z e z z a s t o s o w a n i e pew nej m etody p r i o r y t e t o w e j . W f a z i e z a s a d n i c z e j k o n s t r u u j e s i e c i ą g n p e r m u t a c ji c z ę ś c io w y c h poczy
n a ją c od p e rm u ta c ji j e d n o elem e n to w ej i ko ń c zą c n a p e r m u t a c ji n-ele- m entow ej. K o l e jn a per m u ta c ja c z ę ś c io w a j e s t t w o r z o n a n a b a z i e poprze
d n i e j i k o l e j n e g o z a d a n i a z l i s t y . P e r m u t a c ja o trzy m a n a w w y n i k u fazy z a s a d n i c z e j j e s t r o z w i ą z a n i e m p r z y b liż o n y m .
Typowym r e p r e z e n t a n t e m g r u p y C a . l } j e s t a lg o r y t m CP} zap ro p o n o w a n y przez P alm e ra £ 1 4 1 . W a l g o r y t m ie tym p r i o r y t e t y s a d e f i n i o w a n e n a s t ę p u ją c o :
S j = ^ C2i- m - l}pi j , j = l , . . . , n , C2) i =1
z a ś j e g o z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a j e s t OC n m +n lo g n }. O g ó l n i e n o ż n a p r z y ją ć f u n k c j e p r i o r y t e t u rOwns» = j,™,. .g d z ie a ^ s ą ^ w n y m i ^ g a '
Analiza n a j g o r s z e g o
2 1 3
oi; celowe w y d a je s i e p r z y tym n a ł o ż e n i e na oc^ n a s t ę p u ją c y c h warunków
a i = " “ m - i+ l ’ ai
5
° * i = 1 > - - ’Lm''2J
. C3:>Reprezentantam i g r u p y Ca. 2D s a m. i n . a lg o r y tm y po d ane D a n n e n b r in g a C33 CD), Rocka i S c h m id ta C15] CR D, C a m p b e lla i i n . 1 2 ) C O . Algo rytm CD3 k o n struuje j e d e n problem p o m o c n ic z y z c zasam i w ykonyw ania
m m
aj = l Cm - i*lD P i J , b j = I i P i J • J = 1 ... ¿43
i = l i = l
odpowiednio na p i e r w s z e j i d r u g i e j m a s z y n ie . Alg o rytm CRD p o d o b n ie k o n s t r u uje jeden p ro b le m p o m o c n ic zy F
2
|| c max z c zasa m i w yko nyw ania[m/
2
l maj =
2
pi j ' b j =2
pu •J,=1
n - <5:)i
=1
i = fm/2
]+1
2 kolei a lg o r y tm C O k o n s t r u u j e m-1 problem ó w po m o c n ic zych F*21 | z cza- sami wykonywania
k m
a j =
2
p u ’ b j =2
p u ’ J" 1
... n - C 6 >i
—1
, i=ro-k+lodpowiednio na p i e r w s z e j i d r u g i e j m a s z y n ie d l a k- tego problem u pom ocnicze- /-• k=l,. . , m-1. A lg o rytm y CD} i CR} m aja z ł o Z o n o ś ć o b l i c z e n i o w a OCm n+nlogn}, zaś algorytm C O OCm n+ranlogn}. O g ó l n i e można p r z y j ą ć , Z e c z a s y a^ b^ d l a problemu p o m o c n ic zeg o s a d e f i n i o w a n e n a s t ę p u j ą c o
m m
a j =
2
a i p i j ' b j =2
fti p u •J = 1
n>C73
i
—1
i=1
ędzie , fi. s a pewnymi w agam i; c e lo w e w y d a je s i e p r z y tym n a ł o ż e n i e na
^ u s t ę p u j ą c y c h warunków:, ol n i e r o s n ą c e w zg lęde m i o r a z
ck. = fi , . , ct, , fi, — 0 , 1 = 1 ... m. C8}
x ' m-i+l i ‘ i
v grupie Ca. 3} p r z e d s t a w i c i e l e m J e s t a lg o r y tm w s t a w ia n i a CN} po dan y
^zez Nawaza i i n . [ 9 3 . W f a z i e w ste p n e j te g o algor> tm u tw o r z y s i e porooc- Uczą l i s t ę z a d a ń fi z w y k o r z y s t a n ie m p r i o r y t e t ó w w n a s t ę p u ją c e j p o s t a c i
m
s j =
2
pu •J = 1
...n -C93
i
=1
* k-tym kroku f a z y z a s a d n i c z e j C k = l , . . . . n } na b a z i e p e rm u ta c ji c z ę ś c io w e j
^ o C l } , . . . ,o < k - l } } , o t rz y m a n e j w p o p r ze d n im k r o k u , o r a z z a d a n i a f?Ck} g ę b u j ę s i e k p e r m u t a c ji p r z e z w s t a w i a n i e z a d a n i a ^3Ck} na w s z y s t k i e m ożliw e P°zycje w t z n . .p e r m u t a c je p o s t a c i C / 3 C k } , o < l } , . . . . , o < k - l } } ,
E . N o w i c k i . C . S m u tn ic k l
Co C l} ,/?Ck} ,o C 2 } , . . . .o C k - l }} , . . . ,C © C 1 D , . . . ,© Ck- l} ,f5Ck }}. P o r m u t a c ja o naj
m n i e j s z e j w ar to śc i <-m ax* wyt>rana s p o ś r ó d w y gen ero w a n yc h , j e s t przyjmowana j a k o p e rm u ta c ja c z ę ś c io w a do n a s t ę p n e g o kro ku t e j f a z y . Z ł o ż o n o ś ć oblicze- ni owa a lg o ry tm u ChO J e s t OCmn } . M o ż liw a j e s t pewna m o d y f ik a c j a C N I} tego
3
a lg o r y tm u , z m n i e j s z a j ą c a j e g o z ł o ż o n o ś ć o b l i c z e n i o w a do OCmn } . P o leg a ona
2
na tym, ż e w k-tym kro ku f a z y z a s a d n i c z e j g e n e r u j e si e t y l k o
2
permutacje p o s t a c i C / 3 C k } .© C l } ,.. . ,c < k - l } } . C o C l ) , j . . ,o C k - l} ,/?Ck}} .W o b r ę b i ę g r u p y Cb} można w y r ó ż n ić d w ie p o d g r u p y metod:
' b . l } S z u k a n i e z s t ę p u j ą c e : D l a k a ż d e j p e r m u t a c ji n- elem ento w ej d e f i n i u j e s i e J e j o t o c z e n i e . P r o c e s s z u k a n i a r o z p o c z y n a si e od pew nej permuta
c j i p o c zą tk o w ej i p o l e g a na p o s z u k i w a n iu w j e j o t o c z e n i u permutacji
2
m n ie j s z a w a r t o ś c ią t a k i e j p e r m u t a c ji n i e zn ajd ziom yj to p r o c e s p o s z u k i w a n ia s i e k o ń c zy . W p r zec iw n y m w ypadk u , d l a otrzymanej p e r m u ta c ji k o n s t r u u je m y o t o c z e n i e i p r o c e s p o s z u k iw a ń j e s t kontynuo
wany. M o żliw e -sa d w ie a l t e r n a t y w n e m etody p r z e s z u k i w a n i a : C i } metoda p i e r w s z e j po praw y, C i i } m etoda n a j w i ę k s z e j popraw y. W m e t o d z ie Ci}
p r z e g lą d a m y o t o c z e n i e do c h w i l i z n a l e z i e n i a p i e r w s z e j “ l e p s z e j * ’ per
m u t a c j i ; p r z e g l ą d a n i e można p r z e p r o w a d z a ć wg w c z e ś n i e j u s t a lo n e j ko
l e j n o ś c i C ta k i e j sam ej d l a k a ż d e g o o t o c z e n i a } l u b lo s o w o . W metodzie C i i } p r z e g lą d a n e j e s t z a w s z e c a ł e o t o c z e n i © i w y b ie r a n a j e s t permuta- c j a o n a j m n i e j s z e j w a r to ś c i
Cb. 2} B ł ą d z e n i e lo s o w e : W m eto dac h t y c h p r o c e s p r z e g l ą d a n i a o t o c z e n i a dane
.1
p e rm u ta c ji n , p o l e g a na p o s z u k i w a n i u p e r m u t a c ji o w a r t o ś c i n*e w ię k s z e j n i ż
9
^ z i e <5>0 j e s t w y b ie r a n e lo s o w o . D l a per mutac j i t e j k o n s tr u u je m y o t o c z e n i e i p r o c e s p o s z u k i w a ń j e s t kontynuowany P o d o b n ie ja k w Cb. I D , p r z e g l ą d a n i e o t o c z e n i a można przep ro w a d za ć wg u s t a l o n e j k o l e j n o ś c i l u b lo so w o .
W m etodach z p. Cb} z a k ł a d a s i e , p i e r w s z a p e r m u t a c ja po czą tk o w ą została d o s t a r c z o n a z z e w n ą t r z , t z n . u s t a l o n a a r b i t r a l n i e , w ylo so w a n a l u b wyznaczo
na p r z y u
2
y c iu j e d n e j z metod o p is a n y c h w p. C a } . Z a s t o s o w a n y warunek stop:p o w o du je , ż e z w y k le p r z e g l ą d a n i u p o d le g a b a r d z o du ża l i c z b a o t o c z e ń , c o z k o le i wpływa n i e k o r z y s t n i e na c z a s o b l i c z e ń . Z t e g o t e ż w zg lę d u wprowadza s i e p o m o cn icze k r y t e r iu m s t o p u z a t r z y m u ją c e p o s z u k i w a n i a po przeglądniecie u s t a l o n e j l i c z b y o t o c z e ń . O t o c z e n i e p e r m u t a c ji n d e f i n i u j e s i e j a k o pewien p o d zb ió r OCrOSTI. Typowo r o z w a ż a n e są dwa r o d z a j e o t o c z e ń : o t o c z e n i e wymian o r a z o t o c z e n i e p rzesu w a ń . O t o c z e n i e wymian O^Cn} j e s t tw o r z o n e po przez wy*
bór p o z y c j i i . j , l < i < j < n o r a z z a m ia n ę m iejsc a m i z a d a ń rrCi} , nC j } ; t z n .
O^CrO - { C n C 1 3 .. ,-jrCi-ID . rcC j j . n C i + l D , . . nC j -1} . n C i j . nC j +1 , . , n C n i j : i<i<jif>-
S p e c y f i c z n y m ro d z a je m o t o c z e n i a wymian j e s t o t o c z e n i e wymian s ą s ie d n ic h OwsCrO z a w j e r a j a c e n-i p e r m u t a c j i , t z n .
O C n > -ws iCnCii) .1 ..nCl- i3 . nC i i1 ł . rrCi -> . r f i-t-Pi . , . f i i n ' .
1
<iAnaliza n a j g o r s z e g o 2 15
Wyróżnia s i © dwa t y p y o t o c z e ń p r zes u w a ń : o t o c z e n i e p r z e s u w a ć w prawo i o toczenie p r z e s u w a ń w le w o O ^ C r O . O t o c z e n i e p r z e s u w a ń w prawo Cw lew o } jest tw o rzo n e p o p r z e z wybór p o z y c j i i , j , l < i < j < n o r a z p r z e s u n i e c i e z a d a n i a nCi} C n C j}} b e z p o ś r e d n i o z a z a d a n i e rcCj} C b e z p o ś r e d n i o p r z e d z a d a n i e reCi}}, tzn.
OppCrc} = C C n C l } ,. , n C i -1} »rrCi+1} . . , rrC J } . n C i} . nC j +1} . . ,n C n } } : i< i< j< n > .
OplCrO = C C n C l } ,. ,'rrCi—Ó , n C j } , rrCi} , . , nC J -15 , rcC j + 1 3 , . ,
77
Cn3 3
: l< i< j< n > .Otoczenia O Crc3, O Cn3* O ^ C n } z a w i e r a j a n C n - 1 3 /2 p e r m u t a c ji . Z w yk le o t o czenie p r zes u w a ń C ł ą c z n e } d e f i n i u j e s i © J a k o O C n 3 = 0 p pp C n 3 u O , Cn3.pl
Reprezentantam i g r u p y C b .1 3 s a m. i n . a lg o r y tm y CD13 i CD23 po d an e p r z e z Dannenbringa [ 3 3 . W a lg o r y tm a c h ty c h s t o s o w a n e s a o t o c z e n i a wymian s a sie d - nich,zaś p e r m u t a c ja po c zą tk o w ą j e s t p e r m u t a c ja w y zn a c z o n a algorytm em CD3 Dannenbringa. P r z e s z u k a n i u p o d l e g a c a ł e o t o c z e n i e z g o d n i e z metoda n a j w i ę kszej poprawy. A lg o ry tm CDI 3 k o ń c z y d z i a ł a n i e po p r z e s z u k a n i u o t o c z e n ia permutacji p o c z ą t k o w e j, z a ś a lg o r y tm CD23 k o n t y n u u je p r z e s z u k a n i a k o l e j nych o t o c zeń do c h w il i z n a l e z i e n i a p e r m u ta c ji l o k a l n i e o p t y m a ln e j.
2
k o l e i w pracy [133 b a d a n o dwa w a r i a n t y a lg o ry tm u s k ł a d a j ą c e g o s i e z dwóch f a z : przeszukanie o t o c z e n i a wymian O <rc3 o r a z p r z e s z u k a n i e o t o c z e n i a p r z e s u w a ń OpCn^'. P e r m u t a c ja po c zą tk o w ą d l a f a z y p i e r w s z e j b y ł a w y zn a c z a n a algorytm em CłO Cdi a p i e r w s z e g o w a r ia n t u } l u b p o ł ą c z e n ie m algorytm ó w CP+C+D3 Cdi a drugiego w a r i a n t u } . P e r m u t a c ja począ tkow ą d l a f a z y d r u g i e j j e s t p e rm u ta c ja lokalnie o p ty m aln a w y zn a c z o n a w p i e r w s z e j f a z i e . O t o c z e n i a s a p r z e s z u k i w a ne do p ie r w s z e j popraw y wg u s t a l o n e j k o l e j n o ś c i . K o r z y s t a ją c z w yników pracy [53j można u z y s k a ć z n a c z n a po praw ę e f e k t y w n o ś c i p r z e s z u k i w a n i a o t o c z e ń (np. C1233. I n n e s p o s o b y d e f i n i o w a n i a o t o c z e n i a po dano m. i n . w 173, C 183.R eprezentantam i g r u p y C b . 2 } s a 4 w a r i a n t y a lg o r y tm u o p i s a n e w 1 1 3 3 . Wa
rianty te r ó ż n i ą s i e m ie d z y so bą sposo bem budow y o t o c z e n i a C o t o c z e n i e wy- oian. o t o c z e n i e p r z e s u w a ń } o r a z k o l e j n o ś c i ą p r z e g l ą d a n i a p e rm u ta c ji z o t o czenia C u p o r zą d k o w a n e , l o s o w e } . Ozn a c zm y p r z e z n* a k t u a l n i e p r z e g l ą d a n a permutacje z o t o c z e n i a p e r m u t a c ji jt, z a ś p r z e z A r ó ż n i c e C C n # 3-C Crt3 Permutacja n' j e s t a k c ep to w an a j a k o nowa p e r m u t a c ja g e n e r u ją c ą o t o c z e n i e ; Jeżeli A
<0
l u b A>0 i R<e~ , g d z i e R j e s t l i c z b a w ylo so w a na wg r o z k ł a d u równomiernego [ 0 ,1 3 ^ z a ś T j e s t param etrem zwanym "te m p e r a t u ra *'. Param etr T*^a charakter d y n a m ic zn y i m a le je w raz z e w zro ste m l i c z b y p r z e g lą d a n y c h o t o czeń. Dodatkow y warunek s t o p u p o w o du je z a t r z y m a n ie o b l i c z e ń po p r zeg lą d n ie"*
ciu u sta lo n e j l i c z b y o t o c z e ń . We w s z y s t k i c h w a r ia n t a c h p e rm u ta c je poczatko- wybiera s i e a r b i t r a l n i© j np. C l , 2 , . . . , n } .
3- A n a liza n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u
Oznaczmy p r z e z j>er m u t a c je g en e ro w a n y p r z e z o d p o w ie d n i a lgorytm aprok-
2 1 6 E . N o w i c k i * C . Sm u tn icki
sym ac y jny CAZ>. N ie c h C ^ C C . A o r a z ^ s=Pmax^ n *->* P o n i ż e j p o dano przegląd r e z u l t a t ó w d o ty c zą c y c h a n a l i z y n a j g o r s z e g o p r zy p a d k u algorytm ó w C , D ,D 1 ,D 2 , N » N l i R » ^ o r a z a lg orytm u C-k z d e f i n i o w a n e g o n a s t ę p u ją c o : a lg o r y tm CC-k} jest, u p r o s z c z o n a w e r s j a a lg o r y tm u C C ) , w k t ó r e j u w z g lę d n ia s i e t y l k o j e d e n k-ty problem po m o cniczy. P r z y om a w ia n iu p r z y k ł a d ó w ó s i a g a l n o ś c i b o d z ie m y wielo
k r o t n i e z a k ł a d a ć . Z e z b i ó r z a d a ń r o z b i j a s i e na v>l p o d z b io r ó w identycznych z a d a ń Wtedy d l a u p r o s z c z e n i a n o t a c j i ka Z d e z a d a n i e z p o d zb io ru Jj in d e k s o w a n e b e d z ie . p r z e z j . D o datk ow o, d l a o k r e ś l a n i a k o l e j n o ś c i wykony
w ania z a d a ń w pro w ad zony z o s t a ł symbol C^35^ na o z n a c z e n i e k- krotnego powtó
r z e n i a p e r m u ta c ji fi C c z e ś c io w a p e r m u ta c ja z b i o r u
< 1
, . . ,v > D ; p r zy k ład o w o C 3 * l D g p r z y v = 3 o k r e ś l a s e k w e n c je : j e d n o z a d a n i e z e z b i o r u J ^ , j e d n o zadan i e z e z b i o r u , je d n o z a d a n i e z e z b i o r u J ^ , J e d n o z a d a n i e z e z b i o r u . O m a w ian ie r e z u l t a t ó w r o z p o c z n ie m y od a lg o r y tm u CC-k}.
T w i e r d z e n i e 1 . C IO) D l a a lg o r y tm u C C - k }, k = l m
-1
z a c h o d z iCC _ k y C * < |m/2-k | + ra^Z
i o g r a n i c z e n i e to j e s t o s i ą g a l n e .
Z p o w y ż s ze g o t w i e r d z e n i a w y n ik a n a t y c h m ia s t n a s t ę p u ją c y w n io s e k .
W niosek i . C IO ) D l a a lg o r y tm u C O z a c h o d z i
C c/ C * < fm /2]
i o g r a n i c z e n i e to j e s t o s i ą g a l n e .
W t a b e l i 1 po dano p r z y k ł a d o s i a g a l n o ś c i o s z a c o w a n ia z w n io s k u 1 o g r a n ic z a ją c s i e do p rz y p a d k u m=5 m aszyn. P r z y k ł a d te n s k ł a d a s i e z t r z e c h podzbio- rów z a d a ń o l i c z n o ś c i a c h o d p o w ie d n io s , s , l , g d z i e s l i c z b a n a t u r a l n a wiek-
podzbi ór
1 2 3
m =
1
2
3 . 1
1 1
+s4
nj ■ s
25 1
T a b . 1 . P r z y k ł a d d l a a lg o ry tm u C O : J e s t l i c z n o ś c i a J- te g o p o d z b io r u ; p o le p u s t e o z n a c z a z e r o w y c z a s w yko n yw a n ia z a d a n i a na m a s zy n ie .
s z a . o d J e d e n . Z a d a n ia w każdym p o d z b i o r z e s a i d e n t y c z n e i i n d e k s o w a n e m i w
Analiza n a j g o r s z e g o . 2 1 7
rem tego p o d z b i o r u . Zauw ażm y, ż e sekwencja- C1 !>^
2
C22)^ C 32) jest, s e k w e n c j a o p tymalna d l a k a ż d e g o p rob le m u po m o cn ic zeg o w a l g o r y t m ie C O . S t a d mamyC C 2 *
n =C
1
!>s2
C2
Ds C3
D o r a z C = 3 s + 1 . Z k o l e i s e k w e n c j a op tym alna j e s t n ==C3X2!>s C 1 3 s 2 o r a z C * = s
2
+ 2 s + ł . Tak w i e c , CC/ C * d a Z y do 3 = [ 5 /2 "), p r z y s d ą żącym do n ie s k o ń c z o n o ś c i . O d p o w i e d n ie p r z y k ł a d y o s i a g a l n o ś c i o sza c o w ań z Tw. 1 oraz Wn. 1 d l a d o w o ln e g o m po dano w p r a c y £ 103.Twierdzenie 2 . £153 D l a a lg o r y tm u CRD z a c h o d z i
CR/ C * <
i o g ra n ic zenie t.o jest. o s i ą g a l n e . ■
Przykład, d l a k t ó r e g o o g r a n i c z e n i e J e s t o s i a g a l n e ; ma n=m z a d a ń . C z a s wyko
nywania i- te g o z a d a n i a na i- t e j m a s z y n ie j e s t ró w ny j e d e n , a p o z o s t a ł e c z a s y zero. Z a lg o r y tm u CR} w y n i k a . Z e np =C fm /2"]+ l... m , 1 . 3 ... [my3"j}. z a ś
P ii ii R *
u = [m/2"|. Z k o l e i n =Cm , m-1 , . . . , I D i C = 1 . S t a d o t r z y m u j e m y C / C = f’m /2 'J . P re z e n ta c ja k o l e j n y c h r e z u l t a t ó w wymaga u p r z e d n ie g o z d e f i n i o w a n i e , n i e z będnych p o ję ć . P o d o b n ie ja k w p r a c a c h C 1 1 3 , £123 d e f in u j e m y d l a t e C l , . . ,r > , r=|m/
2
j f u n k c j e9oCO=t + Ą r ' 9eCt3=t + f e
oraz oznaczam y o d p o w i e d n ie m inim a p r z e z gii
2
=m in<gz C O : t = l , . . , r > , z e < o ,e > .V wymienionych p r a c a c h p o k a z a n o , ź e f u n k c j a g^CtO o s i a g a sw e minimum d l a t=ft
1
z e < o ,e > » g d z i et * = C V £ r
2
+2
r+1
- l } /2
. t * = r / V g .o e
oraz że w a r to ś c i
9
* »9
* o b i e ró w ne w p r z y b l i ż e n i u m /> ^.Twierdzenie 3 . £ 1 1 3 , £123 D l a a lg o r y tm u C / O , A e C P , D ,D 1 ,D 2> z a c h o d z i : CO d la m n i e p a r z y s t e g o
£ g £
i oszacowanie t o jest. o s i ą g a l n e , U O dla m p a r z y s t e g o
C * / c M £ g * - -
1
s c a f t * ] - ! }
oraz i s t n i e j e p r z y k ł a d , d l a k t ó r e g o > g * . a
^tabeli 2 p o d an o p r z y k ł a d o s i a g a l n o ś c i o s z a c o w a n ia z T w . 3 d l a a lg o r y tm u
^P3 o g r a n ic z a ją c s i e do p r z y p a d k u m=5 m aszyn. P r z y k ł a d te n s k ł a d a s i e z Pięciu p o d z b io r ó w i d e n t y c z n y c h z a d a ń o JLlczności, s k a ż d y , g d z i e s l i c z b a
w ię k s z a , o d j^dan-
2 1 8 E . N o w i c k i , C. S m u tn i cki
p o dzbi ór
1 2
3 4 5m =
1 2
1 / 4
1 / 2
.1
1 / 4
3
1
.4
1
5 1 / 4
1/ 2
1 / 4nj s s s . s s
Ta b. 2 . P r z y k ł a d d l a a lg o r y tm u CPO: j e s t JLicznościa, J- te g o p o d z b io r u ; p o l e p u s t e o z n a c z a z e r o w y c z a s w yko n yw an ia z a d a n i a na m a s zy n ie .
Z a lg o ry tm u CPU d o s ta n ie m y n P -C5^ C4} C 3 ) C2D C l } o r a z CP> 3 . 5 s . Z k o lei
s s s s s
d l a s e k w e n c j i rc°=Cl .Z, 3 , 4 . 5D mamy C C n °D < s + 2 . Tak w i e c , CP/ C * >
s m ax
CP/ C maxC n ° l > 3 . 5s/Cs-*-2} i p r z y s -♦ co w a r to ść C ^ / C * -♦ 3 . 5 , p o n ie w a ź CP/C*£
< 3 . 5 ; o d p o w ie d n ia w a r to ść g ^ d l a m-5 w ynosi 3 . 5 .
Z k o l e i w t a b e l i 3 p o d an o p r z y k ł a d o s i a g a l n o ś c i o s z a c o w a n ia z Tw. 3 dla algorytm ó w D , Dl , D 2 f o g r a n i c z a j a c s i c do p r z y p a d k u m=5 m aszyn. P r z y k ł a d ten s k ł a d a s i ę z p i ę c i u p o d z b io r ó w i d e n t y c z n y c h z a d a ń o l i c z n o ś c i a c h s , 4 s , 4 s ,
8
s .8
s o d p o w i e d n io , g d z i e s l i c z b a n a t u r a l na w ię k s z a od j e d e n . Z algorytmupo d zb ió r
1 2
3 4 5•wli£
1 / 4
1/8
1 / 3 22 1/8
3 1 / 4
4 1 / 4
5 1 / 4 1 / 1 6 1 / 3 2
n . J s 4 s 4 s
8
s8
sTab. 3. P r z y k ł a d d l a a lg o ry tm ó w D ,D 1 » D 2 : n^. j e s t l i c z n o ś c i a j —t e g o podzbio- r u ; p o le p u s t e o z n a c z a z e r o w y c z a s w yko n yw an ia z a d a n i a na maszynie.
CD} mamy n =i- ^
0
S^4
} Q s C3
} ^ s C2
} ^ s C l } s o r a z C^> 3. 5 s . Z k o l e i d l a s e k w en c ji 71 C 2 5 ^ C n a a m y Ci^ ^ C n ° } < s + 2 . S t a d , p o d o b n ie ja k w poprzednim przyk 1 a d z i e } w arto ść C ^ /C -*3.5 p r z y s-*oo. A lg o ry tm C D I} d o s t a r c z y np. se-
fcwencje n
01
, d l a k t ó r e j C01
>3. Ss- 1/4,c o prow a dzi do o t r z y m a n ia id e n t y c z n e g o r e z u l t a t u n a o s z a c o w a n i e C ^ / C * . Z
k o l e i a lg o r y tm CD£} d o s t a r c z a s e k w e n c j e
Analiza n a j g o r s z e g o . . . 2 1 9
"D
8
=CSi8
s -4
C4
:,l C554
C« e s - 3 C35
l C« 2 C334
s -2
e23
i C33
l C ^ 4 s - 2 C l3
l <:23
l C“ s-l-dla której C D2> 3 . 5 s - 7 /8 , c o r ó w n ie ż n i e z m i e n ia końcowego w yniku o s z a c o w a
nia. O d p o w ie d n ie p r z y k ł a d y o g ó ln e C d la do w o ln e g o nO p r z e d s t a w io n o w p r acach (
11
) , [1 2 1
; tam t e ż p o d an o w zm o c n ie n ie d o ln y c h o sza c o w ań w sp ó ł c zy n n ik a n a j gorszego p r z y p a d k u d l a a lg o r y tm u CPD w p r z y p a d k u m p a r z y s t e g o .2
p r z e d s t a w io n e j a n a l i z y w y n ik a , ż e w p ó łc zy n n i ki n a j g o r s z e g o p rzyp a d ku algorytmów C , D , D 1 , D 2 , P s a n i e m n i e j s z e n i ż [m/2"|. D o datk ow o, d l a algoryt-e ó w p rio ry teto w y c h Ca. ID można p o k a za ć n a s t ę p u j ą c e t w i e r d z e n i e , k t ó r e p o d a jemy bez dowodu.
Twierdzenie 4 . W g r u p i e metod p r io r y t e t o w y c h z f u n k c j a p r i o r y t e t u p o st a c i
Sj= p^ j , n a j m n i e j s z a w ar to ść współ c z y n n i k a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u ,
równa [*m/
2
‘] , ma a l g o r y t m ^ d l a k t ó r e g o ct^ =-1
, i =1
, . . . , [ra/2
j , =1
, i = |"m/2
']-*-1
, ...,m oraz ot|'m/2
'js:0
w p r z y p a d k u m n i e p a r z y s t e g o , aPodobnie, można p o k a z a ć , ż e d l a alg orytm ó w z g r u p y Ca. 2D n a j m n i e j s z a o s i ą galna w artość w s p ó ł c z y n n ik a n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u j e s t równa [m/
2
l .Wyniki b a d ań nad algorytm am i z g r u p y C a .3 D s u g e r u j ą , ż e n i e k t ó r e z n ic h noga mieć w s p ó ł c z y n n ik n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u m n ie j s z y n i ż [m/2*|. S z c z e g ó l nie i n t e r e s u j ą c y w y d a je s i e t u t a j a lg o r y t m CND. P o n i ż e j po dano a k t u a l n e częściowe w y n ik i b ad ań nad tym algorytm em o r a z nad pewnymi j e g o m u ta cja m i.
Twierdzenie 5 . D l a a lg o r y tm u CND z a c h o d z i
c N/ c ’* < C m + lD /2 .
Istnieje p r z y k ł a d , z C ^ / C * > 1 / 4 + V m / 2 + l / 1 6 , m = k C k + 1 3 /2 , k = l , 2 , . . . .a
®tabeli 4 p o d an o p r z y k ł a d d l a a lg o r y tm u ChD o g r a n i c z a j ą c s i e do p r z y p a d k u a
=6
raaszyn. P r z y k ł a d t e n s k ł a d a s i e z ośm iu p o d z b io r ó w id e n t y c z n y c h z a d a ń opodzbiór 1 2 3 4 5 6 7 8
a =
1
32 1 / 2 1
3 1 / 2 1
4 1 / 8 1 / 2
5
1 / 8 1/ 2
6 1/8 1/ 2
"j
8 2 2 2 2 1 1 1
frb. 4. P r z y k ł a d d l a a lg o r y tm u C I O : n j j e s t l i c z n o ś c i a J- te g o p o d z b io r u ; p o le p u s t e o z n a c z a z e r o w y c z a s w yko n yw an ia z a d a n i a na m as zy n ie .
2 2 0 E . N o w i c k i , C . S m u t n ic k i
l i c z n o ś c i a c h
8
, 2 , 2 , 2 , 2 , 1 , 1 , 1 o d p o w i e d n io . P rz y g o to w a n a w f a z i e w stępn ej algorytm u l i s t a ma p o st ać C8
} ^C7!> ^ £6
} £ ^ 4 ) g*-3 -* 2 ^ * ^ 2 <"1 '>8
‘ u s t a le n ia uwagi p r z y jm ijm y . Z e w k-tym kr o k u f a z y z a s a d n i c z e j , p r z y rów nych w artośc ia c h C z a d a n i e j e s t w s t a w ia n e na p ie r w s z ą m oZliw a p o z y c j e . Zatem algo-
max n N
rytm CN) d o s t a r c z y n = C 1 )
9
C 2 )2
C 3 )2
C 4 }2
C 5 )2
C 6 )1
C 7} 1
C S ^ o r a z C =4. Ja k łatwos p r a w d z ić , s e k w e n c ja n * = C 4 )
2
C 3 }1
C l }9
C 3 }1
C 2 )2
C 7 )1
C 5 }2
C 6 )1
C S } i J e s t optymalnam N *
o r a z C =2 i s t a d C / C =2. M o Z liw e j e s t s k o n s t r u o w a n ie p r z y k ł a d ó w d l a dowol
n ego m C n i e k o n i e c z n i e s p e ł n i a j ą c e g o w arunek m = k C k + l } /2 , k = l , 2 , . . } , d l a
N h / '
k tó r y c h w arto ść C / C j e s t w p r z y b l i ż e n i u równa y m /2 . Do t e j p o r y n i e udało N x
s i e je d n a k sko n st ru o w a ć p r z y k ł a d u o w i ę k s z e j w a r to śc i C / C . W szy stk o w s k a z u je na t o , i Z w s p ó ł c zy n n ik n a j g o r s z e g o p r z y p a d k u a lg o r y tm u CN} je s t
r z ę d u V m /2. D o ść i s t o t n a w a lg o r y t m ie CN} j e s t f a z a w s t ę p n a , bowiem d la al
gorytmu N ' C j e s t to a lg o r y tm N z o p u s z c z o n a f a z a w s t ę p n a ) moZna podać przy- N ' M
k ła d z C / C = f‘m /2']. N i e s t e t y , p o d ob n y p r z y k ł a d moZna te Z podać d l a algory
tmu C N I} C a lg o ry tm te n ma n r a z y m n i e j s z a z ło Z o n o ś ć o b l i c z e n i o w a ni Z algo
rytm C N } } . 2 k o l e i d l a a lg o r y tm u C N I '} C a lg o r y tm C N I} b e z f a z y w stę p n e j) p r a w d z iw e j e s t n a s t e p u j a c e t w i e r d z e n i e , k t ó r e p o d ajem y b e z dowodu.
T w i e r d z e n i e
6
. D l a a lg o r y tm u C N I ' } z a c h o d z ic N 1 * / C * < C m +13^2
i o g r a n i c z e n i e t o j e s t o s i ą g a l n e . ■
Otrzym ane w y n iki a n a l i z y w s k a z u j ą . Z e z p u n k tu w i d z e n i a a n a l i z y najgor
s z e g o p r z y p a d k u n a j l e p s z y j e s t a lg o r y tm CN} o r a z d o b r e s ą a lg o r y tm y C C ), C C - ^m /2j} , C C - ) , CR) , i p r io r y t e t o w y z wagami o k r eś lo n y m i w Tw. 4. In te
r e s u j ą c y j e s t f a k t . Z e n i e k t ó r e m etody s z u k a h z s y p u j ą c y c h C D 1 .D 2 ) są przy tym w y r a ź n i e g o r s z e . P ro b lem k o n s t r u k c j i a lg o r y tm u z e w s p ó ł c z y n n ik ie m naj
g o r s z e g o p r z y p a d k u n i e z a l e ż n y m od m p o z o s t a j e w d a ls z y m c i ą g u o t w a r ty . P ra c a b y ł a c z ę ś c io w o f in a n s o w a n a p r z e z R P . I . 0 2 " T e o r i a s t e r o w a n ia i o p t y m a l iz a c ji u kła dó w d y n a m ic zn y c h i p r o c e s ó w d y s k r e t n y c h ".«
LITERATURA
f 13 B a r a n y I . : A v ec to r sum theorem and i t s a p p l i c a t i o n t o im p r o v in g f 1 ow-shop g u a r a n t e e s , Math. O p e r . R e s.
6
,1 9 8 1
, 4 4 5- 45 2 .i 23 Cam pbell H. G. , Dudek R. A. , Sm ith M. L. : A h e u r i s t i c a l g o r i t h m fo r the n ob m m ach in e s e q u e n c in g pr o b le m , Mgmt S e i . 1 6 . 1 9 7 0 , S 6 3 0 - 6 3 7 .
C 33 D a n n e n b r in g D. G. : An e v a l u a t i o n o f f l o w —s h o p s e q u e n c in g h e u r i s t i c s , Mgmt S e i . 2 3 . 1 9 7 7 . 1 1 7 4 - 1 1 8 2 .
C 4 3 G o n z a l e s T. , Sa h n i S . : Flo w s h o p and j o b s h o p s c h e d u l e s : com plexity and a p p r o x im a t io n , O p er. R e s. 2 6 , 1 9 7 8 , 3 6- 52.
Analiza n a j g o r s z e g o .
2 2 1
I 53 Gr abowski J . , S k u b a l s k a E. » S m u tn ic k i C. : On f l o w sho p s c h e d u l i n g with- r e le a s e and d u e d a t e s to m in im iz e maximum l a t e n e s s . J . O p e r .,R e s . So c . 34. 1 9 8 3 . 6 1 5 - 6 2 0 .
163 Johnson S . H. : O p tim al two- a n d t r e e - s t a g e p r o d u c t io n schedulers w ith setup tim e i n c l u d e d . N av al R e s. Lo g. Q u a r t . 1 , 1 9 5 4 , 61- 68.
I 71 Krone M. J . , S t e i g l i t z K. : H e u r i s t i c program m ing s o l u t i o n o f a flow- -shop p r o b le m . O p e r a t io n s R e s e a r c h 2 2 , 1 9 7 4 , 6 2 9 - 6 3 8 .
1 83 Lawler E. J . , L e n s t r a J . K . , R in n o y Kan A. G. H. , Shmoys D. B. : Se q u e n c in g and S c h e d u l i n g : A l g o r it h m s and c o m p le x it y '*, R e p o r t B S- R 8909, D e p a r t ment o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h , S t a t i s t i c s a n d Sy stem T h e o r y , 1 9 8 9 . 1 93 Nawaz M. , E n s c o r e J r . E. E. , Ham I . : A h e u r i s t i c a l g o r it h m f o r th e
m-machine, n-Job flow - sho p s e q u e n c i n g p r o b le m , OMEGA I n t . J . o f Mgmt Sci. 1 1 , 1 9 8 3 . 9 1- 95.
(103 Nowicki E. , S m u tn ic k i C. : W o rst- c a se a n a l y s i s o f a n a p p r o x im a t io n a lg orith m f o r flo w - s h o p s c h e d u l i n g . O p e r a t i o n s R e s e a r c h L e t t e r s
8
»1 9 8 9 , 1 7 1 - 1 7 7 .
(113 Nowicki E. , S m u tn ic k i C. : W o rs t- c a s e a n a l y s i s o f D a n n e n b r i n g 's algorith m fo r flo w - sh o p s c h e d u l i n g . O p e r a t io n s R e s e a r c h L e t t e r s , 19 89 , C b e in g p u b l i s h e d } .
(123 Nowicki E. , S m u tn ic k i C. : New r e s u l t s i n t h e w o r s t- ca se a n a l y s i s for flow - sho p s c h e d u l i n g . M a th e m a tic s o f O p e r a t io n s R e s e a r c h , 1 9 9 0 , Cbeing p u b l i s h e d } .
1133 Osman I . H . , P o t t s C. N. : S i m u l a t i n g A n n e a l in g fo r P e r m u t a t io n Flow-Shop S c h e d u l in g . P r e p r i n t O R 1 7 , F a c u l t y o f M ath em a tic a l S t u d i e s ,
U n iv e r s it y o f S o u th am p to n , 1 9 8 9 .
f14) Palmer D. S . : S e q u e n c i n g J o b s T h r o u g h a M u lti- S t a g e P r o c e s s i n th e Minimum T o ta l Tim e - A Q u ic k Method o f O b t a i n i n g Near Optim um , Op era tio n s R e s e a r c h Q u a r t . 1 6 , 1 9 6 5 , 1 0 1 - 1 0 7 .
1153 Rock H. , Sc h m id t G. : M a c h in e A g g r e g a t io n H e u r i s t i c s i n Sh o p S c h e d u lin g , M ethods o f O p e r a t i o n s R e s e a r c h 4 5 , 1 9 8 2 , 3 0 3 - 3 1 4 . 1163 S i e t i a p u t r a W. : A s u r v e y o f flo w - sh o p p e r m u t a t io n s c h e d u l i n g
tech niques and an e v a l u a t i o n o f h e u r i s t i c s o l u t i o n m eth od. M a s t e r 's T h es is , P e n s y l v a n i a S t a t e .U n i v e r s i t y , 1 9 8 0 .
fl?J Turner S . , Booth D. : C o m p ariso n o f h e u r i s t i c s fo r f l o w shop s eq u e n cin g . OMEGA I n t . J . o f Mgmt S c i . 1 5 , 1-987, 7 5- 78.
118) Wala K. : M eto dy l o k a l n e j o p t y m a l i z a c j i z z a g a d n i e n i u harmonogramowa- nia, Z e s z y t y Naukowe P o l . S i a s . , S e r i a : Autom atyka 9 5 , 1 9 8 8 , 1 7 9- 19 0 .
R e c e n z e n t : Doc.dr h.ini.E.Toczylow-ski Wpłynęło do Redakcji do 1990-04-30.
2 2 2 E . N ow ic ki, Smutnickl
WORST—CASE A N A L Y S IS OF APPROXIM ATION ALGORITHM S FOR FLOW-SHOP PROBLEM
S tj m m a r y
The paper d e a l s w ith t h e p e r m u t a t io n flo w - sh o p problem . Some
a p p r o x im a tio n a lg o r it h m s a r e f o r m u l a t e d . R e c e n t r e s u l t s of t h e worst-case a n a l y s i s a r e p r e s e n t e d .
AHAJ1H3 H A H X Y n iiiE rO CJ
1
YH A3 All il POKCH MAlIH OHHbIX AnrOPHTM OB EJ7 £ nOTCH’tf nPOBJlEM BIP e e to n e
B p a
