Dzień 3 (środa 18 marca 2020)
Porównaj swoje odpowiedzi do wczorajszych zadań z odpowiedziami podanymi poniżej.
W zadaniach 136–141 należało zinterpretować całkę jako pole pewnego półkola lub ćwierćkola.
W każdym z poniższych 21 zadań podaj w postaci uproszczonej wartość całki ozna- czonej. Wskazówka: W niektórych zadaniach lepiej nie całkować bezpośrednio, tylko narysować odpowiednią figurę i obliczyć jej pole.
121.
2020 Z
2017
7 dx = 21 122.
3 Z
0
x2dx = 9 123.
2 Z
0
x3dx = 4 124.
1 Z
0
x10dx = 1/11
125.
Z4
1
√x dx = 14/3 126.
Z27
1
√3
x dx = 60 127.
Z10
−2
|x| dx = 52 128.
Z3
1
dx
x = ln 3
129.
Z3
1
dx
x + 1= ln 2 130.
Z7
1
dx
x + 2= ln 3 131.
Z1
0
dx x2+ 1=π
4 132.
√3 Z
0
dx x2+ 1=π
3
133.
√ 3 Z
1
dx
x2+ 1 = π
12 134.
1/√ 3 Z
0
dx x2+ 1=π
6 135.
1 Z
1/√ 3
dx
x2+ 1 = π 12
136.
1 Z
−1
√1 − x2dx =π
2 137.
1 Z
0
√1 − x2dx =π
4 138.
0 Z
−1
√1 − x2dx =π 4
139.
Z2
−2
√
4 − x2dx = 2π 140.
Z2
0
√
4 − x2dx = π 141.
√2 Z
−√ 2
√
2 − x2dx = π
Całkowanie przez części w całce oznaczonej
A teraz wyjaśnimy sobie, jak w całce oznaczonej całkować przez części. Ktoś powie:
A co tu wyjaśniać? Przecież jak umiemy obliczać całki nieoznaczone i mamy prosty wzór wyrażający całkę oznaczoną jako przyrost funkcji pierwotnej, to czego nam więcej trzeba? Ano popatrzmy na taki przykład:
Przykład: Obliczyć całkę
2 Z
1
x3· exdx.
Aby obliczyć tę całkę, trzeba trzykrotnie całkować przez części. Na boku1 obliczymy całkę nieoznaczoną, a potem wykorzystamy otrzymaną funkcję pierwotną do obliczenia całki oznaczonej:
Z
x3· exdx =
= x3· ex− 3 ·Z x2· exdx =
= x3· ex− 3 · x2· ex+ 6 ·
Z
x · exdx =
= x3· ex− 3 · x2· ex+ 6 · x · ex− 6 ·Z exdx =
= x3· ex− 3 · x2· ex+ 6 · x · ex− 6 · ex+ C . Wobec tego:
Z2
1
x3· exdx =x3· ex− 3 · x2· ex+ 6 · x · ex− 6 · ex
2
x=1
=
=8 · e2− 12 · e2+ 12 · e2− 6 · e2− (e − 3 · e + 6 · e − 6 · e) = 2 · e2+ 2 · e .
Wyszło, ale widać w tym pewne niedogodności. Po pierwsze, trzeba obliczać całkę nieoznaczoną na boku. Po drugie, licząc tę całkę, przy kolejnych całkowaniach przez części trzeba pracowicie przepisywać kawałek funkcji pierwotnej, którego dokładna postać i tak nam nie jest do niczego potrzebna, bo interesuje nas tylko jej przyrost.
Można jednym ciągiem przeprowadzić rachunek z całkowaniem przez części w wersji dla całki oznaczonej, obliczając na bieżąco przyrosty fragmentów funkcji pierwotnej po- jawiających się w trakcie kolejnych całkowań przez części. Wówczas rozważany przykład można rozwiązać następująco:
Z2
1
x3· exdx = x3· ex
2
x=1
−3 ·
Z2
1
x2· exdx = 8e2− e − 3 ·
x2· ex
2
x=1
+ 6 ·
Z2
1
x · exdx =
= 8e2−e−3·4e2− e+6·
x · ex
2
x=1
−6·
2 Z
1
exdx = −4e2+2e+6·2e2− e−6·
ex
2
x=1
=
A oto inny przykład:
Przykład: Obliczyć całkę
π Z
0
sin x · exdx.
Sama strategia całkowania jest taka sama jak w całce nieoznaczonej. Tutaj strategia mówi: Scałkuj dwukrotnie przez części, wrócisz do wyjściowej całki, ale ze współczyn- nikiem innym niż 1, ułóż i rozwiąż powstałe w ten sposób równanie. No to całkujemy różniczkując sinusa, a całkując ex. Pamiętajmy przy tym, że szukana całka w tym wy- padku jest liczbą, oznaczmy ją przez I. Otrzymujemy
I =
π Z
0
sin x·exdx = sin x · ex
π
x=0
| {z }
= 0
−
π Z
0
cos x·exdx = − cos x · ex
π
x=0
| {z }
= eπ+1
−
π Z
0
sin x · exdx
| {z }
= I
= eπ+1−I ,
co prowadzi do równania
I = eπ+ 1 − I , a to daje
I =eπ+ 1 2 . Wobec tego
Zπ
0
sin x · exdx =eπ+ 1 2 .
Zadania do rozwiązania
Uwaga: Pomimo iż dziś pisałem o całkowaniu przez części, nie wszystkie zadania wymagają całkowania przez części.
142. Obliczyć wartość całki oznaczonej
√ 3 Z
0
arctgx dx . Pamiętać o uproszczeniu wyni- ku.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Rozwiązanie:
Dopisujemy czynnik 1 i całkujemy przez części:
√ Z3
0
arctgx dx =
√ Z3
0
1 · arctgx dx = x · arctgx
√3
x=0
−
√ Z3
0
x · 1
x2+ 1 dx =
=√
3 · arctg√
3 − 0 · arctg0 −
ln (x2+ 1) 2
√ 3
x=0
=√ 3 ·π
3− ln4 2 −ln1
2
!
= π
√3− ln2 .
Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa π
√3− ln2.
143. Obliczyć całkę oznaczoną
Z25
1
√ dx x +√
x + 24.
Rozwiązanie:
Po skorzystaniu ze wzoru na różnicę kwadratów otrzymujemy
Z25
1
√ dx x +√
x + 24=
Z25
1
√x + 24 −√ x
24 dx = 1
24· 2
3· (x + 24)3/2−2 3· x3/2
!
25
x=1
=
= 1
36·(x + 24)3/2− x3/2
25
x=1
= 1
36· (343 − 125 − 125 + 1) =94 36=47
18.
144. Udowodnić nierówność
1/2 Z
1/4
x2xdx <1 8.
Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.
Rozwiązanie:
Pochodna funkcji podcałkowej f (x) = x2x dana jest wzorem f0(x) = d
dxx2x= d
dxe2x·lnx= e2x·lnx· d
dx(2x · lnx) = x2x· (2 · lnx + 2) = 2 · x2x· (lnx + 1) . Ponieważ f0(x) > 0 dla x > 1/e oraz f0(x) < 0 dla 0 < x < 1/e, funkcja f jest malejąca w przedziale (0, 1/e) i rosnąca w przedziale (1/e, +∞). Zauważmy ponadto, że
f (1/4) = 1/2 oraz
f (1/2) = 1/2 . Wobec tego f (x) < 1/2 dla x ∈ (1/4, 1/2), skąd
1/2 Z
1/4
x2xdx < 1 2−1
4
!
·1 2=1
8.
Uwaga: Obliczenia komputerowe pokazują, że dana w zadaniu całka ma wartość w przybliżeniu 0,1215. Wydaje się to być zbyt bliskie oszacowaniu 1/8 = 0, 125, aby zadziałały inne metody szacowania (zapewne obarczone większym błędem).
145. Niech f1(x)=√
x2− 2x + 1 oraz fn+1(x)=f1(fn(x)). Obliczyć wartość całki ozna- czonej
Z10
0
f5(x) dx .
Rozwiązanie:
Zauważmy, że f1(x)=|x−1|. W związku z tym wykres funkcji f1◦g powstaje z wykresu funkcji g przez przesunięcie tegoż wykresu w dół o 1 oraz symetryczne odbicie części wykresu, która znalazła się pod osią OX. Wykresy funkcji od f1 do f5 znajdują się odpowiednio na rysunkach od 1 do 5.
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7 8 9
rys. 1
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6 7
rys. 2
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5 6
rys. 4
x y
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 2 3 4 5
rys. 5
Szukana wartość całki oznaczonej jest równa polu zielonej figury z rysunku 5. Pole to wyliczamy sumując pola trójkątów, które się na nie składają:
1
2+ 1 + 1 +25 2 = 15 .
Odpowiedź: Wartość podanej całki oznaczonej jest równa 15.
