Dzień 26 (czwartek 23 kwietnia 2020)

(1)

Dzień 26 (czwartek 23 kwietnia 2020)

Wczorajszy wykład zakończyłem podaniem szeregu anharmonicznego i jego permutacji¹:

1 −1 2+1

3

| {z }

=5/6

+ −1 4+1

5

!

| {z }

<0

+ −1 6+1

7

!

| {z }

<0

+ −1 8+1

9

!

| {z }

<0

+ − 1 10+ 1

11

!

| {z }

<0

+ − 1 12+ 1

13

!

| {z }

<0

+ . . .

1 +1 3−1

2

| {z }

=5/6

+ 1 5+1

7−1 4

!

| {z }

=¹₅+¹₇−¹₈−¹₈>0

+ 1 9+ 1

11−1 6

!

| {z }

=¹₉+₁₁¹−₁₂¹−₁₂¹>0

+ 1

13+ 1 15−1

8

!

| {z }

>0

+ 1

17+ 1 19− 1

10

!

| {z }

>0

+ . . .

i postawiłem następujące pytanie:

Czy suma szeregu anharmonicznego jest mniejsza czy większa od 5/6?

Patrząc na pierwszy szereg, czyli oryginalny szereg anharmoniczny, widzimy pierwsze trzy wyrazy o sumie 5/6, a następujące dalej wyrazy można połączyć w pary o ujemnej sumie. Płynie stąd wniosek, że suma szeregu anharmonicznego jest mniejsza od 5/6.

Z kolei patrząc na drugi szereg, czyli spermutowany szereg anharmoniczny, widzimy pierwsze trzy wyrazy o sumie 5/6, a następujące dalej wyrazy można połączyć w trójki o dodatniej sumie. Płynie stąd wniosek, że suma tego szeregu jest większa od 5/6.

Pozornie wygląda to na sprzeczność, bo dodajemy te same wyrazy, a otrzymujemy różne sumy. Ale przecież przemienność dodawania dotyczy skończenie wielu składników, a w szeregu składników jest nieskończenie wiele. Być może nie można beztrosko zmieniać kolejności wyrazów szeregu. Tę kwestię wyjąśnię dogłębnie jutro, a na razie zajmijmy się szeregiem harmonicznym i podaną wyżej jego permutacją.

348. Zakładając, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = S obliczyć sumę permutacji szeregu anharmonicz- nego, w której na przemian występują dwa wyrazy dodatnie i jeden ujemny:

1 1+1

3−1 2+1

5+1 7−1

4+1 9+ 1

11−1 6+ 1

13+ 1 15−1

8+ 1 17+ 1

19− 1 10+ 1

21+ 1 23− 1

12+ . . . Wskazówka: Obliczyć sumę częściową 3n początkowych wyrazów i wyłączyć z niej sumę częsciową szeregu anharmonicznego.

Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.

1Permutacją danego szeregu nazywamy każdy szereg, który ma te same wyrazy, ale być może wystę- pujące w innej kolejności.

(2)

Rozwiązanie:

Sposób I:

Ponieważ wyrazy szeregu dążą do zera, jego zbieżność (i sumę) można zbadać rozwa- żając tylko co trzecią sumę częściową. Otrzymujmy²

S_3n=

2n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 2i=

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

2n X i=n+1

1 2i − 1. Skoro zakładamy, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = S, definicja zbieżności szeregu daje

n→∞lim

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹ i = S . Ponadto oznaczając f (x) = 1/(2x) otrzymujemy³

n→∞lim

2n X i=n+1

1

2i − 1= lim

n→∞

1 n·

2n X i=n+1

1

(2i − 1)/n = lim

n→∞

1 n·

2n X i=n+1

f i − 1/2 n

!

=

Z2

1

f (x) dx =

=

Z2

1

dx

2x=ln|x|

2

x=1

=ln2 2 −ln1

2 =ln2 2 . Ostatecznie

n→∞lim S_3n= lim

n→∞



 2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

2n X i=n+1

1 2i − 1



= S +ln2 2 .

Odpowiedź:

Suma danego szeregu jest równa S +ln2 2 .

A teraz inny sposób rozwiązania – dość trudno na niego wpaść, ale przy- najmniej prześledź, że to też działa. I nie wymaga żadnych całek i sum Rie- manna.

2Jeśli brak Ci biegłości w operowaniu sumami zapisanymi przy pomocyP, zapisz każdą sumę wy- stępującą w przedstawionych rachunkach ”z kropeczkami”, aby wyobrazić sobie, jakie składniki w niej występują.

3Korzystamy tu ze wzoru: lim

n→∞

1 n·

2n

X

i=n+1

f i − 1/2 n

=

2

Z

1

f (x)dx. Wzór ten przedstawia całkę po prze- dziale [1, 2] jako granicę ciągu sum całkowych Riemanna odpowiadających podziałowi przedziału [1, 2]

na n przedzialików równej długości i wzięciu wartości funkcji f w środku każdego z przedzialików po- działu. Jeśli ten wzór wygląda dla Ciebie zbyt abstrakcyjnie, weź n = 5, wypisz pięć składników sumy Riemanna

10

X

i=6

1

5f i − 1/2 5

i zinterpretuj je na rysunku jako pola prostokątów wystawionych na prze- dzialikach podziału do wysokości wartości funkcji w środku każdego przedzialika.

(3)

Sposób II:

Ponieważ wyrazy szeregu dążą do zera, jego zbieżność (i sumę) można zbadać rozwa- żając tylko co trzecią sumę częściową. Otrzymujmy⁴

S_3n=

2n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 2i=

2n X i=1

1

2i − 1− 2 ·

n X i=1

1 4i=

2n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 4i−

n X i=1

1 4i=

=

2n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 4i−

n X i=1

1 4i − 2+

n X i=1

1 4i − 2−

n X i=1

1 4i=

2n X i=1

1 2i − 1−

2n X i=1

1 2i+

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹ 2i =

=

4n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹ i +1

2·

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹ i , co przy n → ∞ dąży do 3

2·

∞ X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i =3 · S 2 . Odpowiedź:

Suma danego szeregu jest równa 3 · S 2 .

Rozwiązując zadanie dwoma sposobami otrzymaliśmy dwie odpowiedzi różnej postaci:

S +ln2

2 oraz 3 · S

2 . Ponieważ obie te liczby muszą być równe, otrzymujemy stąd S = ln2.

Zapamiętaj:

Suma szeregu anharmonicznego jest równa ln2.

Na razie wygląda to na wynik wyciągniety z kapelusza, ale niedługo poznamy powody, dla których suma szeregu anharmonicznego jest właśnie taka.

349. Wiedząc, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = ln2, obliczyć sumę permutacji szeregu anharmonicznego, w której na przemian występują trzy wyrazy dodatnie i jeden ujemny:

1 1+1

3+1 5−1

2+1 7+1

9+ 1 11−1

4+ 1 13+ 1

15+ 1 17−1

6+ 1 19+ 1

21+ 1 23−1

8+ 1 25+ 1

27+ 1 29− 1

10+. . . Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.

4Bardzo uważnie sprawdź, że

n

X

i=1

1 4i+

n

X

i=1

1 4i − 2=

2n

X

i=1

1 2i,

n

X

i=1

1 4i − 2−

n

X

i=1

1 4i=

2n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹ 2i oraz

2n

X

i=1

1 2i − 1−

2n

X

i=1

1 2i=

4n

X

i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i .

(4)

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrazy szeregu dążą do zera, jego zbieżność (i sumę) można zbadać rozwa- żając tylko co czwartą sumę częściową. Otrzymujmy

S_4n=

3n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 2i=

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

3n X i=n+1

1 2i − 1. Skoro wiemy, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = ln2, definicja zbieżności szeregu daje

n→∞lim

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i = ln2 . Ponadto oznaczając f (x) = 1/(2x) otrzymujemy

n→∞lim

3n X i=n+1

1

2i − 1= lim

n→∞

1 n·

3n X i=n+1

1

(2i − 1)/n = lim

n→∞

1 n·

3n X i=n+1

f i − 1/2 n

!

=

3 Z

1

f (x) dx =

=

3 Z

1

dx

2x=ln|x|

2

3

x=1

=ln3 2 −ln1

2 =ln3 2 . Ostatecznie

n→∞



 2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

3n X i=n+1

1 2i − 1



= ln2 +ln3 2 . Odpowiedź: Suma danego szeregu jest równa ln2 +ln3

2 .

350. Wiedząc, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = ln2 obliczyć sumę permutacji szeregu anharmonicznego, w której na przemian występuje 100 wyrazów dodatnich i jeden ujemny:

1 1+1

3+ . . . + 1 199−1

2+ 1 201+ 1

203+ . . . + 1 399−1

4+ 1 401+ 1

403+ . . . + 1 599−1

6+ + 1

601+ 1

603+ . . . + 1 799−1

8+ 1 801+ 1

803+ . . . + 1 999− 1

10+ 1

1001+ 1

1003+ . . .

Zanim zajrzysz na kolejną stronę, rozwiąż powyższe zadanie, a przynaj- mniej podejmij próbę rozwiązania, aby wiedzieć, gdzie napotykasz trudności.

(5)

Rozwiązanie:

Ponieważ wyrazy szeregu dążą do zera, jego zbieżność (i sumę) można zbadać rozwa- żając tylko co 101-szą sumę częściową. Otrzymujmy

S_101n=

100n X i=1

1 2i − 1−

n X i=1

1 2i=

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

100n X i=n+1

1 2i − 1. Skoro wiemy, że

∞ X n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = ln2, definicja zbieżności szeregu daje

n→∞lim

2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i = ln2 . Ponadto oznaczając f (x) = 1/(2x) otrzymujemy

n→∞lim

100n X i=n+1

1

2i − 1= lim

n→∞

1 n·

100n X i=n+1

1

(2i − 1)/n= lim

n→∞

1 n·

100n X i=n+1

f i − 1/2 n

!

=

100 Z

1

f (x) dx =

=

100 Z

1

dx

2x=ln|x|

2

100

x=1

=ln100 2 −ln1

2 =ln100

2 = ln10 . Ostatecznie

n→∞



 2n X i=1

(−1)ⁱ⁺¹

i +

100n X i=n+1

1 2i − 1



= ln2 + ln10 = ln20 . Odpowiedź: Suma danego szeregu jest równa ln20 ≈ 2, 9957.

Dzień 26 (czwartek 23 kwietnia 2020)