Przeci¦tn¡ (±redni¡) procentow¡ stop¡ zwrotu w zadanym okresie (np

Matematyka nansowa - 2. Stopy przeci¦tne i inacja I. Przeci¦tna stopa zwrotu

W tej cz¦±ci wykªadu b¦dziemy rozwa»a¢ lokaty o zmiennej stopie procentowej. Ju»

w przykªadowych zadaniach mieli±my do czynienia z lokatami, które w trakcie trwania zmieniaªy wysoko±¢ oprocentowania i okresy kapitalizacji. Oczywi±cie, chcieliby±my mie¢

mo»liwo±¢ ich porównania z innymi lokatami za pomoc¡ stopy zwrotu w danym okresie.

Jak to jednak zrobi¢, gdy ta stopa si¦ zmienia?

Denicja 1. Przeci¦tn¡ (±redni¡) procentow¡ stop¡ zwrotu w zadanym okresie (np. roczn¡) dla danej lokaty w czasie t nazywa si¦ stop¦ rprz o zadanym okresie, przy której kapitaª pocz¡tkowy generuje w czasie t z kapitalizacj¡ zgodn¡ odsetki o takiej samej warto±ci, jakie wygenerowaªa dana lokata.

Jak wida¢ z denicji, je±li chcemy porówna¢ pod wzgl¦dem opªacalno±ci lokat¦ o zmiennej stopie procentowej z inwestycj¡ o znanej stopie zwrotu, wystarczy dla lokaty obliczy¢

przeci¦tn¡ stop¦ zwrotu o okresie takim, jak stopa zwrotu inwestycji.

Twierdzenie 1. Je±li caªkowita stopa zwrotu z danej inwestycji trwaj¡cej N okresów ka- pitalizacji wyniosªa R (okres tej stopy=N OK), to przeci¦tna stopa zwrotu z tej inwestycji przypadaj¡ca na jeden okres kapitalizacji (OK) wynosi:

r_prz = ^N√

1 + R − 1.

Oczywi±cie OSrprz = _N¹OSR = OK.

Twierdzenie 2. Niech n1, n₂, . . . , n_p - b¦d¡ liczb¡ okresów bazowych w których obowi¡- zywaªy efektywne stopy zgodne z tymi okresami r1, r₂, . . . , r_p. Niech N = Σ^pi=1n_i. Wtedy:

r_prz = ^N q

(1 + r₁)ⁿ¹(1 + r₂)ⁿ² · . . . · (1 + r_p)^np − 1 i okres stopy przeci¦tnej jest równy okresom stóp r1, r₂, . . . , r_p.

Ten wzór mo»emy zastosowa¢ tylko gdy okresy kapitalizacji i okresy stóp dla wszystkich stóp we wzorze s¡ równe. Je±li okresy te nie s¡ równe - trzeba odpowiadaj¡ce im stopy przeliczy¢ wzorami na stopy wzgl¦dne i efektywne. P

rzeci¦tne procentowe stopy zwrotu s¡ stopami z zaªo»on¡ kapitalizacj¡ zgodn¡. Dlatego przeliczaj¡c przecietn¡ stop¦ zwrotu na inny okres czasu u»ywamy wzorów na stop¦

efektywn¡, a nie wzgl¦dn¡.

II. Inacja

Denicja 2. Przez inacj¦ w ramach kursu matematyki nansowej b¦dziemy nazywa¢

spadek siªy nabywczej kapitaªu w czasie. Dla uproszczenia (je±li nie jest w zadaniu napi- sane inaczej) zakªadamy, »e jest on to»samy ze wzrostem poziomu cen wszystkich towarów i usªug i »e ten wzrost jest taki sam dla ka»dego dobra. Stopa inacji w danym okre- sie, oznaczana przez i, wyra»a wzrost poziomu cen towarów i usªug (czyli spadek siªy nabywczej kapitaªu) w danym okresie oznaczanym przez OI.

Wzrost cen kumuluje si¦ z wzrostami cen z poprzednich okresów, wi¦c modelem opisu- j¡cym zmiany inacyjne jest model oprocentowania zªo»onego przy stopach zmiennych w czasie. W praktyce oznacza to, »e zmieniaj¡c okres inacji, musimy przeliczy¢ stop¦

inacji wzorami na stopy efektywne/równowa»ne i zawsze dla stóp inacyjnych OS = OI - czyli nie ma czego± takiego jak inacja niezgodna.

Denicja 3. Nominalna warto±¢ kapitaªu to warto±¢ obserwowana w rzeczywisto±ci np. jako zapis na lokacie - bez uwzgl¦dniania inacji, czy siªy nabywczej tego kapitaªu.

Czasami równie» stopy wyra»aj¡ce zmiany nominalnej warto±ci kapitaªu nazywamy no- minalnymi, jednak nie nalezy myli¢ dwóch poj¦¢ sªowa: nominalny - nieuwzgl¦dniaj¡cy inacji oraz nominalny - nieuwzgl¦dniaj¡cy kapitalizacji, wi¦c b¦d¦ si¦ staraª jak najmniej u»ywa¢ tego sªowa w tym pierwszym kontek±cie.

1

2

Proces uwzgl¦dniania inacji w warto±ciach nominalnych nazywamy indeksacj¡ lub wa- loryzacj¡.

Denicja 4. Realna warto±¢ kapitaªu (Kre) to warto±¢ nabywcza kapitaªu, domy±lnie w porównaniu z jego warto±ci¡ nabywcz¡ w momencie startowym inwestycji - uwzgl¦dnia ona inacj¦. Innymi sªowy, jest to warto±¢ nominalna kapitaªu zaktualizowana na usta- lony moment czasu o czynnik inacji. Stopy wyra»aj¡ce zmiany realnej warto±ci kapitaªu nazywamy realnymi stopami zwrotu (rre).

Denicj¦ warto±ci realnej kapitaªu Kre w danym momencie t mo»na zapisa¢ w postaci wzoru:

K_re,t= K_t 1 + i_C,

gdzie Kt wyra»a warto±¢ nominaln¡ danego kapitaªu w tym momencie, a iC jest caªkowit¡

stop¡ inacji w okresie od 0 do t.

Skoro stopy realne obliczamy w kontek±cie stóp zwrotu, przeliczamy je na inne okresy za pomoc¡ wzorów na stopy efektywne, a nie wzgl¦dne i zawsze traktujemy tak¡ stop¦ jako zgodn¡.

Twierdzenie 3 (Wzór Fishera). Wzór Fishera to zwi¡zek:

(1 + rre)(1 + i) = (1 + r),

gdzie r jest procentow¡ stop¡ zwrotu (!) z lokaty w pewnym interesuj¡cym nas okresie w warto±ciach nominalnych, stopa inacji w tym okresie to i, a rre to realna stopa zwrotu w tym samym okresie. Po przeksztaªceniu tego wzoru mo»emy otrzyma¢:

r_re = 1 + r

1 + i − 1 = r − i 1 + i.

rwe wzorach powy»ej jest stop¡ zwrotu, wi¦c wkalkulowany w ni¡ jest okres kapitalizacji!

W innych zagadnieniach stopa inacji zachowuje si¦ mniej wi¦cej tak, jak inne stopy procentowe. Na przykªad od czasu do czasu mo»na usªysze¢ o waloryzacji pensji czy emerytur o jaki± czynnik zwi¡zany z inacj¡. = Je±li przez w oznaczymy poziom walo- ryzacji (np. je±li waloryzujemy o 75% stopy inacji to w = 0, 75, przez K0 pocz¡tkowy poziom pensji/emerytury/renty, a przez i inacj¦ w danym okresie, to po zadanym czasie pensja b¦dzie wynosiªa:

K = K₀(1 + wi).

Denicja 5. Przeci¦tn¡ (±redni¡) procentow¡ stop¡ inacji w zadanym okresie (np. roczn¡) w czasie t nazywa si¦ stop¦ iprz o zadanym okresie, przy której kapitaª pocz¡tkowy traci w czasie t siª¦ nabywcz¡ w tym samym stopniu, w jakim straciª go w czasie t z zadan¡ zmienn¡ inacj¡.

W tej kwestii mamy takie same wzory (i tak samo wyprowadzane) jak dla przeci¦tnych i caªkowitych stóp procentowych zwrotu w danym okresie.

Twierdzenie 4. Niech n1, n₂, . . . , n_p - b¦d¡ liczb¡ okresów bazowych w których obowi¡- zywaªy stopy inacji zgodne z tymi okresami i1, i₂, . . . , i_p. Niech N = Σ^p_i=1n_i, przez ic

oznaczymy inacj¦ caªkowit¡ z okresem równym N okresów bazowych, a przez iprz prze- ci¦tn¡ inacj¦ w pojedynczym okresie bazowym. Wtedy:

I. ic = (1 + i1)ⁿ¹(1 + i2)ⁿ² · . . . · (1 + ip)^np− 1;

II. i_prz = ^N√

1 + i_c− 1;

III. i_prz = ^N q

(1 + i₁)ⁿ¹(1 + i₂)ⁿ² · . . . · (1 + i_p)^np − 1.