"!#%$'&)(*"+-,
(Ω, F, P)
.-/-01 (*231 *54763 1 *98:(;<23>=.-?@.
(BAC(D476E@+
1
8;@FHG
0JI1
=J3>=
IK?
8L(*
X : Ω → R n 8 ?1 EJM
IK?ON
E
15N (*98:8
?
AP=49=
I
;Q=
IK?
376R=S9+5(
?
+",
I
R nTVU *5S-AW( 0 A?YX@?#Z#0 *\[]= A ∈ B(R n )
1#. (^O3 X − 1 (A) ∈ F
F
"!#`_bac=
1-X9d>?@0
* N 23
?OIK0
="2:=
0 = . (*9eV476
IK?
8 ?
R n 8 ?#1
E
IK?ON
E 0 = I
=OAC8;
N (? 3/ 2f3>=
.-?].
(BAC(D476gE@+
1
8f;
µ
h6R=1 8 ? + 1 E
µ(R n ) = 1
i 8 ?(R n , B(R n ))
F"!#kjlac=
1-X9d>?@0
* N 2f3
?JIK0
="2:=
0 = . (*5e:4-6
IK?m15N (*98:8*
U
AP=49=
I *U
X
= IK? 376\=JS5+9(?
+-,
I
R n 8 ?1
E
IK?JN Em3>=
1-Xdn?@0
2f3
?JIK0
="2:=
0 = . (*5e:476
IK?
µ X = X 3>*5S-Ao=J8:Ep8
?
(R n , B(R n ))
1#? AP* Z 8f=S9+5(;µ X (B) = P(X − 1 (B)), B ∈ B(R n ).
qsrnt>u:vPwnxny{z}|~}zVrst-~|J|w "}z}~Oxswm>]9:~]z}J|
"!#ac=
1-X9d>?@0
µ
8 ?R n
8
?1
E
IK?JN E 0
E4
X
3>*56g8:E
N
TU
*7S7AC((D4768L(*
U
*m23
1
*9AC(+
1#?
AC8:E2:=
0#1.
(^J3
S ⊂ R n 6?X (T
Z *
µ(S) = 1
F"!#`bac=
1-X9d>?@0
µ
8 ?R n 8 ?1
E
IK?ON Ek+5(;[
dE N TU
*5S7AC(
0 A? 2V*
I
8*
Uc-
8 X +U (
f : R n → R
T + ?9dgX = IK? AC8f*UN{?JN
E
µ(A) :=
Z
A
f (x)µ(dx), A ∈ B(R n ).
V"J|~]z}~@ YV]t"w99uVwOxs#5vowmzVrnt>"V:~@u]ts]
"!#k l E47637E
. ? 8L6\;3>=
1-X9d>?@0
µ
8 ?R
8 ?#1E
IK?ON
E
-
8 X +U /
F : R → R
1#?@0]? 8f; I1 =J3>* NF(t) :=
µ((−∞, t])
F*5S7AC(3>=1"Xdn?]0<I E 1 8 ? + 1
=O8:E
U
*54762f3
1 * 1m19N
(*98:8f;{AP=J45=
I ;
X
0 E47637E . ? 8L6/ 8 ?#1 E IK?ON EF X
F
KV $¢¡£E
X
=O8
7U
* N E 0
=S
I (
?@0 + 1
*98:(
?<¤
*5378f=
AC(*\[=
T
?Z0
=£+",
I
(BAC(=J6g3
1 E NY?
8:(
?
2(*93
I 4 1
*\[={4
X +-*74
F&(*-+",
X
= 1 8 ? +
1#?
AW(+
1#.-/I E X
=O8
?
8LE@+",
0
=JS
I (
?@0 + 1
*5efF¡£E
1 8 ? + 1 3>=
1-Xdn?@0
X
T I E 1 8 ? + 10 E476g37E . ? 8:6/F XF
KV ¥_l¦=4
7U
* N Ep2
8 X 6 1 = 0
+9(B8
X]?
[0, 1]
F§¡£EJAP=J45=IK?
8f;
IK?
376R=S9¨©=
1 8 ? + 1#?JN
E<2f3
1 * 1
X
F«ª8 ?U 0¬ 3>= 1-Xdn?]0 (0
E47637E
. ? 8L6
/m19N (*98:8f*
U
AP=J49=
I *U
X
FKV jla
1 +
?JN
E
0OI (*
N{?®X
=J476
X]?JN
(F&(*-+-,
X
.-/-01 (* I (/"X 4 1 ; 1 AC(+ 1#. 1 E4 X@? 8:E@+-, 8 ? 2V=J4 1 + 1 *>[^JAC8LE@+",X
=J4-6
X]?
+-,VF
G . AC(+
1
E@¨
P(X ∈ [2, 4])
FKV '&)(*"+-,
Ω = [0, 1]
TF = B([0, 1])
(K23 ?OIK0 ="2:= 0 = . (*9eV476I * N¯1?]0@? 8:E N (2f3 1 * 1N (? 3 / ¦* . 4s[ *L°?| · |
Fª8
?U
0#¬
P(X ∈ [0, 1 2 ))
T [ 01 (*X (ω) = ω 2F
KV ¥b&)(*"+-,
X
."/-0#1 (*p+1#?
49*
N
=#+
1 * X ( IK?
8:(
? 8 ?
2f(*53
I 4 1
*\[]=±=J3
dn?£I 3 1
+5(*
N
=J8f*56R;@FYª8
?
AP*
¬ ¨
P(X ∈ 2N)
T[
01
(*
2N = {2n : n = 1, 2, 3, ...}
FKV l E47637E
. 8 ? 6? 3"=
1-X9d>?@0
µ
0@? 8 ? U *5476 I1 =J3"* NF µ =
0 dla x < 0, 0.1 + x dla 0 6 x < 0.5, 0.4 + x dla 0.5 6 x < 0.55, 1 dla x > 0.55.
¡£E
1 8 ? + 1
E@¨
µ( 1 2 )
Tµ([0, 1 2 ])
Tµ((0, 0.55))
FKV ¥²³¡µ´
1
5¶
? 8 0 (B(8
?U 8L(
Z 4 1#?
2
dn?
+
?<I EJ8f=47(
1000
T ?pNY?#X 47E N{? AC8 ?50000
F ´ 1#? 8V4 ? T Z * 0 =476 ? 8:(* N E I (/ +-*U8L(
Z
x
Tx ∈ (1000, 50000)
I EJ8=J4-((x−50000)(x+48000)
− 49000 2
F®ª8
?U 0¬
[ /
476R=S9¨ 6\*\[={3>=
1"Xdn?]0
F
KV ·l&)(*"+-,
Ω = [0, 1]
1)N (? 3>;Y¦* . *74n[ *:°? TX (ω) = 2ω − 1
F¸¹=OAC(+1Y0 E476E
. ? 8L6
/ F
»K¼V½¾¿À>Á9Â"ÃfÄÅ5Æ9ÇÂÈÉÊ
F (t) = 0
ËÌoÍt 6 0
ÎF (t) = 1
ËÌPÍt > 1
ÏÐ Í ÃÀ>Á#Ê Ë Á ÎÍOÌÊ[0, 1] F (t) = at 2 + bt + c
Ï¿®ÑÒ
Í
É5ÈÉ#Ê
F
Ç{ÑÉ#ÊÓ5Â@ÆË
ÂÔ-ÕgÀ7Â@Ó9Ä
ÍJÖ Õ Í
À"ÑÁ-Ò9×
Í@Ë ÄØÕÂ
Ì
Ò]Ñ{ÙÕRÊ
Ë
 Ú
Ë Â
c = 0
Èa + b = 1
Èa > −1
Îb > 0
Ï»K¼V½Û}ܳÝ
Ë
ÑJÙKÑ
ËJÖ:ÎÞ ÈÉ#Ê
F X
Ç Í Ù×
Í Ô Ö ÑJÅ9ß
Î
• F X Þ
Ê5Ô7Õ
ÖLÎ Ê5Ç
ÍJÌ
Ê
Þ9à ß-Ê5ÈÕRÑÁ
ÖÍ ß"Á9Â
Þ
Ê5Å
ÌCÎ
s 6 t
ÈÕ\ÑF X (s) 6 F X (t)
á• lim t→∞ F X (t) = 1
Èlim t→−∞ F X (t) = 0
á•
¿¹Ñ#Ò Í É7ÈÉÊF X Þ
Ê5Ô7ÕÃfÀ
Í
ÙKÑJÔ-ÕgÀ>Ñ
Ö:Ö:Î ÊYß
Îà Ú#×
Í]ÏYâ ÑYÁ
ÖfÍ ß-Á9Â
lim s→t + F X (s) = F (t)
Ï»K¼V½ÛÛ
ÐÎ Ê-ß-ã
Ω = [0, 1] × [0, 1]
Ó-ä Ë Á ÎÊÒOÙ Í@Ë À Í ÕRÊ5ÇåÁYÇ ÎÍ À àÞ Ê ËOÖ ÑJÔ-ÕÍRÞ7ÖLÎÊ{À>Ñ#Á"×nÑÉ#Ñ Öà@ÏYÐ)ÎÊ"ß-ã
X (ω)
Ó"ä Ë Á ÎÊÑ
ËÌ Ê\Ú#×nÑJÅ5ß
Îà
ω ∈ Ω
Ñ Ë<ÖÍsÞ Ó ÌCÎÉ5Ô>Á#ÊÞ ÒJÀ Í ÙKä Ë Á Î ÙÒOÙ Í@Ë À Í ß ÎÊ Ï ¿®Ñ ÌCÎß-ÁF XÏ
»K¼V½ÛVæl¿¹ÑÒ
Í
É5ÈÉ#Ê
Î
Ô7Õ
ÖLÎ
Ê
Þ9à©Ë Ù Î
ÊYÀ>ç#É
Ö
Ê)Á9Ç
ÎÊ Ö:Ö
Ê Ì ÑÔ9ÑJÙKÊ
X
ÈX 0ÈKÒJÕRçJÀ"ÊÇ ÍsÞ9à
Õ\Ê
Ö Ô Í
ÇåÀ>ÑÁ-Ò×
Í]Ë@Ïèâ Ñ{Á
ÖÍ ß-Á9Â
µ X = µ X 0
»K¼V½Û}鿹ÑÒ
Í
É5ÈêÉ#Ê
Ë
ÂÔ7ÕgÀ7Â@Ó5Ä
ÍOÖ
ÕÍ
F X Þ
Ê5Ô7Õëß
Îà Ú#×
Í
ÙÃÄ
Ö
Ò@ß
ÎÊ
t
ÙÕRÊ Ë Â Î Õg ÌÒ]Ñ{ÙÕRÊË ÂÈÚ Ë ÂP X ({t}) = 0
Ï»K¼V½ÛìµíQÂÒ
Í
É5ÈêÉ#Ê À>ÑÁ-Ò×
Í]Ë
 ÚÊ"ÑOÇYÊ9ÕgÀ7Â@ß"Á
Ö Â Î ÙÂÒ9×
Í@ËJÖLÎ ß"Á9Â<Ç
ÍRÞ9à Ù×
Í Ô Ö ÑÅ9ÆÓ5À
Í
ÒOÄ Ã
Í Ç Î ä-ß
Î
Õ\ÑÁ
ÖfÍ ß-Á9Â
P(X > t + s|X > t) = P(X > s),
Ú Ë Á Î
ÊÙÃÀ>Á9Â"Ã
Í@Ë
ÒJÄ©À"ÑÁ-Ò9×
Í@Ë
ÄpÚ]Ê-ÑJÇ{Ê9ÕÀ7Â@ß-Á
Ö
Ê\Ú]Ñ
s, t ∈ N
ÈÙÃfÀ>Á5Â"à Í@ËÒJıÙÂÒ9×
Í@ËJÖLÎ ß"Á#Ê\ÚÑ
s, t ∈ R +Ï
»K¼V½ÛVî³íQÂÁ
ÖfÍ
ß-Á5Â@ÆÀ>Ñ#Á-Ò9×
Í@Ë Á9Ç
ÎÊ ÖLÖ
Ê
Þ)Ì ÑJÔ5ÑOÙKÊ
Þ
Y = 3X − 5
È Þ Ê-ÉÊ ÌCÎX
Ç Í À>ÑÁ-Ò×Í@Ë ÙÂÒ×
Í@ËOÖ:Î ß-Á9ÂÁ¹Ã
Í À Í Ç{Ê5ï
ÕgÀ>Ê9Ç