CZĘSTOŚĆ DRGAŃ WŁASNYCH SŁUPA O ZMIENNYM PRZEKROJU POPRZECZNYM*

(1)

O R I G I N A L P A P E R

CZĘSTOŚĆ DRGAŃ WŁASNYCH SŁUPA O ZMIENNYM PRZEKROJU POPRZECZNYM*

Vazgen Bagdasaryan

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska, Szkoła Główna Gospodarstwa Wiejskiego w Warszawie, Warszawa

STRESZCZENIE

W pracy wyznaczone zostały częstości drgań własnych wspornikowego słupa o zmiennym przekroju poprzecznym, wykonanego z jednorodnego materiału sprężystego. Rozwiązania otrzymano metodą macierzy sztywności, przybliżając w sposób inżynierski ciągłą zmianę przekroju poprzecznego na zmiany skokowe.

Otrzymane częstości drgań własnych porównano z wynikami otrzymanymi metodą Rayleigh’a. Wykazano, iż stosunkowo proste obliczenia inżynierskie już przy niewielkiej liczbie elementów podziału dają wyniki satysfakcjonujące pod względem zastosowań inżynierskich.

Słowa kluczowe: częstość drgań własnych, zmienny przekrój poprzeczny, macierz sztywności

Received: 09.10.2019 Accepted: 24.10.2019

WSTĘP

Częstość drgań własnych odgrywa kluczową rolę pod- czas projektowania konstrukcji inżynierskich szcze- gólnie w przypadku słupów, masztów, kominów itp. Ze względów inżynierskich wpływ drgań na konstrukcje powinien być uwzględniany przy sprawdzaniu stanu granicznego użytkowalności. W literaturze jest wiele metod pozwalających wyznaczyć częstości drgań własnych konstrukcji. Bardzo ciekawe są zawsze wyniki ścisłe, do których można odnosić otrzymane rozwiązania przybliżone, a wśród nich np. metody oparte na metodzie funkcji Greena (Szewczyk, Kukla i Zamojska, 2007) czy też ścisłe rozwiązania równania Eulera–Bernoulliego (Naguleswaran, 1994). Istnie- ją również liczne metody przybliżone, a wśród nich metody numeryczne, którymi zajmował się m.in. Ca- runtu (2009), wyznaczając częstości drgań własnych

belek o zmiennym przekroju poprzecznym. Metodą Rayleigh’a wyznaczania częstości drgań własnych słupów o zmiennym przekroju poprzecznym zajmo- wali się np. Bagdasaryan, Chalecki, Gierasimiuk, Jaworski i Szlachetka (2018). Celem niniejszej pracy jest wykazanie, iż rozwiązania otrzymane inżynier- ską metodą zamiany obliczeń słupa o ciągłej zmianie przekroju poprzecznego na obliczenia słupa o skoko- wo zmiennym przekroju dają wyniki satysfakcjonują- ce pod względem zastosowań inżynierskich już przy niewielkiej liczbie elementów podziału.

MATERIAŁ I METODY

W pracy rozważono jednostronnie utwierdzony słup o zmiennym przekroju poprzecznym w kształcie ścię- tego stożka (rys. 1). Założono dla niego gęstość masy (ρ_s) oraz moduł odkształcenia podłużnego (E_s).

* Due to complexity of the article text was formatted in one-column page style.

(2)

W dalszej części rozpatrzono pięć przypadków po- działu rozpatrywanego słupa na jedną, dwie, trzy, cztery oraz pięć części o równych długościach i o stałym, kołowym przekroju poprzecznym (rys. 2), przyjmując promienie wyznaczonych części jako wartość średnią z długości podziału. Masy prętów zostały uwzględnia- ne, dlatego też stosuje się tzw. metodę „przez sztyw- ność” nazwaną w pracy metodą macierzy sztywności.

Macierze sztywności dla wybranych słupów otrzymano, stosując metodę przemieszczeń.

Wariant 1 – słup o stałym przekroju poprzecznym

Dla słupa z rysunku 2a wyznaczono niezbędne do ob- liczeń wielkości:

¹¹ ⁴ ⁴

1 4

1

3 0,0324

4 4 5

S G S^§_¨ G^·_¸ SG

© ¹

J ;

² ²

1 1 1 2

1 1 1

3 0,36

P U^sA U S G^s U S^s ©^§¨5G¹¸^· SU G^s . K

K 0,2K

s, EsJs

x y

x = 0 y = K x = 6K y = 0,2K

Rys. 1. Schemat rozpatrywanego słupa o zmiennym przekroju poprzecznym Fig. 1. Diagram of the considered pole with variable cross-section

K

K J11, 11

a)

K J₁², 12

b) _K

J₂², 22

K

K ^J¹

3, 13

c) _K

J23, 23 J₃³, 33

K

J14, 14

d)

J24, 24 J₃⁴, 34 J44, 44

K K

K

J15, 15

e)

J25, 25 J35, 35 J45, 45 J55, 55

K

Rys. 2. Schemat wariantów uproszczonych o stałym przekroju poprzecznym: a – podział na jedną część; b – podział na dwie części; c – podział na trzy części; d – podział na cztery części; e – podział na pięć części

Fig. 2. Diagram of simplified variants with constant cross-section: a – division into one part; b – division into two parts;

c – division into three parts; d – division into four parts; e – division into five parts

(3)

Założono dalej E_sJ₁¹ = EJ, μ¹₁ = μ.

Dla całego słupa wyznaczono parametr Q₁¹ , gdzie 6Q Q G⁴ PZ² EJ .

Ze względu na konieczność wprowadzenia niewiadomej metody przemieszczeń rozpatrywany słup przedsta- wiono jako schemat utwierdzenie–podparcie (niewiadomy przesuw swobodnego końca słupa).

Macierz sztywności ma w tym wypadku prostą postać

M = ^ª¬^{0,0046 ' 6}^{F Q}

^º¼, gdzie ^{F Q}^'

^Q³_{cosh sin}_Q^{1 cosh cos} _Q ^Q_{sinh cos}_Q^Q _Q ^.

Warunkiem wyznaczenia częstości drgań własnych jest zerowanie się wyznacznika macierzy sztywności, co prowadzi tutaj do wyznaczenia równania ^{0,0046 ' 6}^{F Q}

^.⁰

Wariant 2 – podział słupa na dwie części

Dla słupa z rysunku 2b wyznaczono niezbędne do obliczeń wielkości:

2 4 4

2 1 4

1

2 4 4

2 2 4

2

4 0,1024 ;

4 4 5

2 0,0064 ;

4 4 5

J

S G S G SG

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

Przy założeniu E_sJ₁² = EJ mamy E_sJ₂² = 0,063EJ.

2 2

2 2 2 2

1 1 1

2 2

2 2 2 2

2 2 2

4 0,64 ;

5

2 0,16 ;

5

s s s s

A A

P U U S G U S G SU G

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

Analogicznie przy założeniu μ²₁ = μ mamy μ²₂= 0,25μ.

Dla poszczególnych części słupa wyznaczono parametry v²₁ = 3v oraz v²₂ = 4,2v.

W przypadku podziału słupa na dwie części o stałych przekrojach macierz sztywności ma postać

M =

0,333 3 0,021 '' 4, 2 0,111 3 0,007 '' 4, 2 0,111 3 0,007 '' 4, 2 0,037 3 0,002 '' 4, 2

D Q D Q - Q - Q

- Q - Q J Q J Q

ª º

« »

¬ ¼,

gdzie:

^{cosh sin}^Q_{1 cosh cos}^Q ^{sinh cos}^Q ^Q

D Q Q

Q Q

;

^{sinh cos} ^{cosh sin}

'' 1 cosh cos

Q Q Q Q

D Q Q

Q Q

;

²_{1 cosh cos}^{sinh sin}^Q ^Q

- Q Q

Q Q

;

² ^{sinh sin}

'' 1 cosh cos Q Q - Q Q

Q Q

;

³^{cosh sin}^Q_{1 cosh cos}^Q ^{sinh cos}^Q ^Q

J Q Q

Q Q

;

³^{sinh cos} ^{cosh sin}

'' 1 cosh cos

Q Q Q Q

J Q Q

Q Q

;

(4)

Wariant 3 – podział słupa na trzy części

Dla słupa z rysunku 2c wyznaczono niezbędne do obliczeń wielkości

3 4 4

3 1 4

1

3 4 4

3 2 4

2

3 4 4

3 3 4

3

13 0,1410 ;

4 4 15

3 0,0324 ;

4 4 5

1 0,0031 .

4 4 3

J

S G S G SG

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

Przy założeniu E J_s ₁³ EJ mamy E J_s ₂³ 0, 230EJ oraz E J_s ₃³ 0,021EJ .

2 2

3 3 3 2

1 1 1

2 2

3 3 3 2

2 2 2

2 2

3 3 3 2

3 3 3

13 0,751 ;

15

3 0,360 ;

5

1 0,111 .

3

s s s s

A

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

Analogicznie przy założeniu μ³₁= μ otrzymujemy μ³₂ = 0,48μ oraz μ³₃ = 0,15μ.

Dla poszczególnych części słupa wyznaczono parametry: v³₁= 2v, v³₂= 2,4v oraz v³₃= 3,3v.

W przypadku podziału słupa na trzy części o stałych przekrojach macierz sztywności ma postać

M =

0,5 2 0,115 2, 4 0,115 2, 4 0,058 2, 4 0, 25 2 0,058 2, 4

0,115 2, 4 0,115 2, 4 0,012 '' 3,3 0,005 '' 3,3 0,058 2, 4 0,058 2, 4 0,058 2, 4 0,005 '' 3,3 0,058 2, 4 0,029 2, 4 0,003 '' 3,3 0,029 2, 4 0, 25 2

D Q D Q E Q G Q - Q - Q

E Q D Q D Q - Q - Q G Q

G Q - Q - Q J Q J Q H Q

- Q

^{0,058 2, 4}^- ^Q ^{0,058 2, 4}^G ^Q ^{0,029 2, 4}^H ^Q ^{0,125 2}^{J Q} ^{0,029 2, 4}^J ^Q

ª º

« »

¬ ¼

,

gdzie:

_{1 cosh cos}^sinh^Q ^sin^Q

E Q Q

Q Q

;

²_{1 cosh cos}^cosh^Q ^cos^Q

G Q Q

Q Q

;

³_{1 cosh cos}^sin^Q ^sinh^Q

H Q Q

Q Q

.

(5)

Wariant 4 – podział słupa na cztery części

Dla słupa z rysunku 2d wyznaczono niezbędne do obliczeń wielkości:

4 4 4

4 1 4

1

4 4 4

4 2 4

2

4 4 4

4 3 4

3

4 4 4

4

9 0,1640 ;

4 4 10

7 0,0600 ;

4 4 10

5 0,0156 ;

4 4 10

3 0,0020 .

4 4 10

J

S G S G SG

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

§ ·

¨ ¸

© ¹

Przy założeniu E_sJ₁⁴ = EJ mamy: E_sJ₂⁴ = 0,366EJ, E_sJ₃⁴ = 0,095EJ oraz E_sJ₄⁴ = 0,012EJ.

2 2

4 4 4 2

1 1 1

2 2

4 4 4 2

2 2 2

2 2

4 4 4 2

3 3 3

2 2

4 4 4 2

4 4 4

9 0,81 ;

10

7 0, 49 ;

10

5 0, 25 ;

10

3 0,09 .

10

s s s s

A

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

§ ·

¨© ¸¹

Analogicznie przy założeniu μ⁴₁ = μ otrzymujemy: μ⁴₂ = 0,605μ, μ⁴₃ = 0,309μ oraz μ⁴₄ = 0,111μ.

Dla poszczególnych części słupa wyznaczono parametry: v⁴₁ = 1,5v, v⁴₂ = 1,7v, v⁴₃ = 2,0v oraz v⁴₄ = 2,6v.

W przypadku podziału słupa na cztery części o stałych przekrojach macierz sztywności ma postać

M = ª¬m , dla i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6,^ijº¼ gdzie:

11 0,667 1,5D Q 0, 244 1,7 ;D Q 12 0, 244 1,7 ;E Q 13 0;

m m m

14 0, 444 1,5- Q 0,163 1,7 ;- Q 15 0,163 1,7 ;G Q 16 0

m m m ;

22 0, 244 1,7D Q 0,063D Q2 ; 23 0,063E Q2 ; 24 0,163 1,7 ;G Q

m m m

25 0,163 1,7- Q 0,042- Q2 ; 26 0,042 2 ;G Q

m m

33 0,063D Q2 0,008 '' 2,6 ;D Q 34 0; 35 0,042 2 ;G Q

m m m

36 0,042- Q2 0,005 '' 2,6 ;- Q 44 0, 296 1,5J Q 0,108 1,7 ;J Q

m m

45 0,108 1,7 ;H Q 46 0; 55 0,108 1,7J Q 0,028 2 ;J Q 56 0,028 2 ;H Q

m m m m

66 0,028 2J Q 0,004 '' 2,6J Q

m oraz m_ij= m_ji, dla i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

(6)

Wariant 5 – podział słupa na pięć części

Dla słupa z rysunku 2e wyznaczono niezbędne do obliczeń wielkości:

5 4

1 4

5 4

1

5 4

2 4

5 4

2

5 4

3 4

5 4

3

5 4

4 4

5 4

4

5 4

5

0,92 0,1797 ;

4 4

0,76 0,0834 ;

4 4

0,6 0,0324 ;

4 4

0, 44 0,0094 ;

4 4

0, 28 0,0015 .

4 4

J

S G S G SG

Przy założeniu E_sJ₁⁵ = EJ mamy: E_sJ₂⁵ = 0,466EJ, E_sJ₃⁵ = 0,181EJ, E_sJ₄⁵ = 0,052EJ oraz E_sJ₅⁵ = 0,008EJ.

2 2

5 5 5 2

1 1 1

2 2

5 5 5 2

2 2 2

2 2

5 5 5 2

3 3 3

2 2

5 5 5 2

4 4 4

5 5 5 2

5 5 5

0,92 0,8464 ;

0,76 0,5776 ;

0,6 0,36 ;

0, 44 0,1936 ;

s s s s

s s s

A A A A A

P U U S G U

S

^{0, 28}G

² ^0,0784SU Gs ²^.

Analogicznie przy założeniu μ₁⁵ = μ otrzymujemy: μ⁵₂ = 0,682μ, μ⁵₃ = 0,425μ, μ₄⁵ = 0,229μ oraz μ⁵₅ = 0,093μ.

Dla poszczególnych części słupa wyznaczono parametry: v⁵₁ = 1,2v, v⁵2 = 1,3v, v⁵3 = 1,5v, v⁵4 = 1,7v oraz v⁵5 = 2,2v.

W przypadku podziału słupa na pięć części o stałych przekrojach macierz sztywności przyjmie postać M = ª¬m , dla i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,^ijº¼

gdzie:

11 0,833 1, 2D Q 0,388 1,3 ;D Q 12 0,388 1,3 ;E Q 13 0; 14 0;

m m m m

15 0,694 1, 2- Q 0,324 1,3 ;- Q 15 0,324 1,3 ;G Q 17 0; 18 0;

m m m m

22 0,388 1,3D Q 0,151 1,5 ;D Q 23 0,151 1,5 ;E Q 24 0; 25 0,324 1,3 ;G Q

m m m m

26 0,324 1,3- Q 0,126 1,5 ;- Q 27 0,126 1,5 ;G Q 28 0;

m m m

33 0,151 1,5 0,043 1,7 ; 34 0,043 1,7 ; 35 0; 36 0,126 1,5 ;

m D Q D Q m E Q m m G Q

37 0,126 1,5- Q 0,036 1,7 ;- Q 38 0,036 1,7 ;G Q

m m

44 0,043 1,7D Q 0,007 '' 2, 2 ;D Q 45 0; 46 0; 47 0,036 1,7 ;G Q

m m m m

48 0,036 1,7- Q 0,006 '' 2, 2 ;- Q 55 0,579 1, 2J Q 0, 270 1,3 ;J Q

m m

56 0, 270 1,3 ;H Q 57 0; 58 0; 66 0, 270 1,3J Q 0,105 1,5 ;J Q

m m m m

(7)

67 0,105 1,5 ;H Q 68 0; 77 0,105 1,5J Q 0,030 1,7 ;J Q 78 0,030 1,7 ;H Q

m m m m

88 0,030 1,7J Q 0,005 '' 2, 2J Q

m oraz m_ij= m_ji, dla i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

WYNIKI

W wyniku obliczeń numerycznych otrzymano trzy pierwsze częstości drgań własnych dla każdego z rozpatry- wanych wariantów. Wyniki otrzymano za pomocą programu Mathematica.

Wariant 1

Trzy pierwsze miejsca zerowe wyznacznika przyjmują wartości:

v¹₀₁ = 0,313;

v¹₀₂ = 0,782;

v¹₀₃ = 1,309.

Zatem trzy pierwsze częstości drgań własnych to:

2 4

1 1 2

01 01 4 2 4 2

1 1 2

02 02 4 2

1 1 2

03 01 4 2

0,0324

0,313 0,029 ;

0,36

0,183 ;

0,514 .

s s

E E

EJ

E EJ

EJ E Z Q SG

PG SU G G U G

Z Q

PG U G

Z Q

PG U G

Wariant 2

Trzy pierwsze miejsca zerowe wyznacznika macierzy sztywności przyjmują wartości:

v₀₁² = 0,380;

v₀₂² = 0,646;

v₀₃² = 1,531.

2 4

2 2 2

01 01 4 2 4 2

2 2 2

02 02 4 2

2 2 2

03 01 4 2

0,1024

0,380 0,058 ;

0,64

0,167 ;

0,938 .

s s

E E

EJ

E EJ

EJ E Z Q SG

PG SU G G U G

Z Q

PG U G

Z Q

PG U G

Wariant 3

v³₀₁ = 0,390;

v³₀₂ = 0,652;

v³₀₃ = 1,512.

(8)

2 4

3 3 2

01 01 4 2 4 2

3 3 2

02 02 4 2

3 3 2

03 01 4 2

0,1410

0,390 0,066 ;

0,751

0,184 ;

0,991 .

s s

E E

EJ

E EJ

EJ E Z Q SG

PG SU G G U G

Z Q

PG U G

Z Q

PG U G

Wariant 4

v⁴₀₁ = 0,407;

v⁴₀₂ = 0,681;

v⁴₀₃ = 1,002.

2 4

4 4 2

01 01 4 2 4 2

4 4 2

02 02 4 2

4 4 2

03 01 4 2

0,1640

0, 407 0,075 ;

0,81 0, 209 ;

0, 452 .

s s

E E

EJ

E EJ

EJ E Z Q SG

PG SU G G U G

Z Q

PG U G

Z Q

PG U G

Wariant 5

v⁵₀₁ = 0,422;

v⁵₀₂ = 0,695;

v⁵₀₃ = 1,025.

2 4

5 5 2

01 01 4 2 4 2

5 5 2

02 02 4 2

5 5 2

03 01 4 2

0,1791

0, 422 0,082 ;

0,8464 0, 222 ;

0, 483 .

s s

E E

EJ

EJ E

E EJ

Z Q SG

PG SU G G U G

Z Q

PG U G

Z Q

PG U G

(9)

PODSUMOWANIE

Choć istnieje wiele metod wyznaczania częstości drgań własnych słupów o zmiennym przekroju poprzecznym, w tym również metody ścisłe, to w celach inżynierskich uzasadnione wydaje się stosowanie metod przybliżonych. Otrzymane wartości pierwszych częstości drgań własnych porównano z wartościami otrzymanymi inną metodą przybliżoną, tj. metodą Rayleigh’a (Bagdasaryan, Chalecki, Gierasimiuk, Ja- worski i Szlachetka, 2018), wyznaczając błąd względ- ny ze wzoru

1 1

1

Z Z 100 Z ' ^R_R^MMS

W tabeli podano zestawienie pierwszych często- ści drgań własnych wyznaczonych metodą macierzy sztywności, pierwszą częstość drgań własnych rozpatrywanego słupa otrzymaną metodą Rayleigh’a oraz obliczone błędy względne.

Z wyników przedstawionych w tabeli wynika, iż rozwiązania przydatne do celów inżynierskich (błąd poniżej 5%) otrzymuje się przy podziale słupa na przynajmniej pięć przedziałów.

PIŚMIENNICTWO

Bagdasaryan, V., Chalecki, M., Gierasimiuk, M., Jaworski, J. i Szlachetka, O. (2018). First natural transverse fre- quency of truncated cone and wedge beams. Acta Sci.

Pol. Architectura, 17 (1), 3–12.

Caruntu, D. I. (2009). Dynamic modal characteristics of transverse vibrations of cantilevers of parabolic thick- ness. Mechanics Research Communications, 36 (3), 391–404.

Naguleswaran, S. (1994). A direct solution for the transverse vibration of Euler-Bernoulli wedge and cone beams.

Journal of Sound and Vibration, 172 (3), 289–304.

Szewczyk, M., Kukla, S. i Zamojska, I. (2007). Drgania własne układy płyt kołowych swobodnie podpartych połączonych elementami sprężystymi. Modelowanie Inżynierskie, 33, 153–158.

Tabela. Otrzymane wyniki pierwszej częstości drgań własnych Table. Obtained results of the first natural frequency

Parametr Parameter

Podział słupa na n części Division of pole per n pieces

n = 1 n = 2 n = 3 n = 4 n = 5

2 1

Z^MMS U G^s

Es 0,029 0,058 0,066 0,075 0,082

2 1

Z^R U G^s

Es 0,086

Δ [%] 66,3 32,6 23,3 12,8 4,7

NATURAL FREQUENCY OF A POLE WITH A VARIABLE CROSS-SECTION

ABSTRACT

In the paper natural frequencies of a pole with a variable cross-section were obtained. The pole was made of a homogeneous, elastic material. Solutions were obtained by approximation of the continuous change of the cross-section by changing by steps. The results are compared with the results obtained with Rayleigh’s method.

Key words: natural frequency, variable cross-section, stiffness matrix