11.1. Pojęcie wytężenia

Podstawy wytrzymałości materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

IMiR - MiBM - Wykład Nr 11

Złożony stan naprężeń - wytężenie materiału

stan krytyczny materiału, pojęcie wytężenia, cel stosowania hipotez wytężeniowych, naprężenie zredukowane, przegląd hipotez wytężeniowych: hipoteza Galileusza, hipoteza de Saint-Venanta, hipoteza Coulomba (C-T-G), hipoteza Hubera (H-M-H), zginanie ze skręcaniem przekrojów kołowosymetrycznych, moment zredukowany, warunek bezpieczeństwa, przykłady obliczeniowe.

11.1. Pojęcie wytężenia

Wytężenie – stopień zbliżenia się materiału do stanu krytycznego.

Stan krytyczny – ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzących do wystąpienia trwałych odkształceń (R

- mat.

elasto-plastyczne), lub utraty spójności (R

, R

– mat kruche).

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚

𝑷

𝑷

𝑷

𝑷

𝑴

𝒒

𝑴

𝑴

y x

z

C 𝑵

𝑻

𝑻

𝑴

𝑷

𝑷

𝑴

Wytężenie

Wytężenie (W) jest funkcją stanu naprężenia materiału oraz jego odpowiednich o stałych materiałowych (C):

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝝉

, 𝝉

, 𝝉

, 𝐂) 𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

© T. Machniewicz

11.2. Naprężenie zredukowane

Aby określić stopień zbliżenia się materiału poddanemu złożonemu stanowi naprężenia do stanu krytycznego, wytężenie dla tego stanu porównuje się z wytężeniem dla przypadku jednoosiowego rozciągania tzw. naprężeniem zredukowanym 

:

Złożony stan naprężenia

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 z

x O y

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

1





Jednoosiowe rozciąganie:

𝝈

= 𝝋(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝑪) 𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂)

Hipoteza wytężeniowa

𝒇 𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂

= 𝒇(𝝈

, 𝐂)

𝒇, 𝝋 – funkcje zależne od przyjętej hipotezy wytężeniowej Naprężenie zredukowane (

) – taka wartość naprężenia, wyznaczona dla danego złożonego stanu naprężenia przy użyciu przyjętej hipotezy wytężeniowej, która przy jednoosiowym rozciąganiu tego samego materiału, wywołałaby identyczne wytężenia jakie ma miejsce w rozpatrywanym stanie naprężenia.

Hipoteza wytężeniowa – założenie dotyczące tego, jaka wielkość fizyczna, związana ze stanem naprężenia i odkształcenia, decyduje o wytężeniu materiału.

© T. Machniewicz

11.2. Naprężenie zredukowane Złożony stan naprężenia

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 z

x O y

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

1





Jednoosiowe rozciąganie:

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂) Hipoteza

wytężeniowa 𝒇 𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂

= 𝒇(𝝈

, 𝐂)

𝝈

≤ 𝒌

Warunek bezpieczeństwa:

Wytężenie

≡

𝝈

0

R

R

– naprężenia krytyczne (R

, R

, R

)

𝒌

– dopuszczalne naprężenia rozciągające

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 11.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń rozciągających (

).

𝝈

= 𝝈

Złożony stan naprężenia 𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

𝝈

= 𝝈

≤ 𝒌

𝝈

= 𝝈

Jednoosiowe rozciąganie:

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂)

Cechy:

 nie uwzględniony wpływ naprężeń 

i 

na wytężenie materiału,

 nie uwzględniona możliwość zniszczenia pod wpływem osiowego ściskania.

Modyfikacja hipotezy Galileusza: Clebsch (1862) i Rankin (1856)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość ekstremalnych naprężeń normalnych: max(

, - 

).

𝝈

= 𝒎𝒂𝒙 𝝈

, − 𝝈

𝒛 ≤ 𝒌

- dopuszczalne naprężenia rozciągające

𝒛 = 𝒌

𝒌

- dopuszczalne naprężenia ściskające gdzie

czyli, żadne z naprężeń normalnych nie może być większe od k

ani mniejsze od k

Obecnie hipoteza Galileusza, nawet w postaci zmodyfikowanej jest stosowana rzadko i jedynie w zastosowaniu do materiałów kruchych.

© T. Machniewicz

P

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 11.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Hipoteza Galileusza stanowi m.in. teoretyczną podstawę pozwalającą na

wyznaczanie wytrzymałości na rozciąganie w badaniu na rozłupywanie 𝒇

materiałów kruchych (ang. indirect tensile strength test)

i1.ytimg.com

𝝈

= − 𝟔𝑷 𝛑𝑫𝒍 𝝈

= 𝟐𝑷

𝛑𝑫𝒍

𝒇

= 𝟐𝑷

𝛑𝑫𝒍 P

x y

Ponieważ w przypadku materiałów kruchych wytrzymałość na ściskanie (R

) jest znacznie większa niż wytrzymałość na rozciąganie (R

), przyjmuje się, że za zniszczenie elementu (rozłupanie) pod wpływem siły P

odpowiadają dodatnie co wartości naprężenia 

.

x y

O

Stąd wytrzymałość na rozciąganie przy rozłupywaniu obliczana jest jako:

O D

l

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 11.3.2. Hipoteza de Saint Venanta (1832)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość największego odkształcenia osiowego (

).

𝜺

= 𝜺

= 𝟏

𝑬 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

Złożony stan naprężenia

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

𝝈

= 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

≤ 𝒌

𝜺

= 𝝈

𝑬

Jednoosiowe rozciąganie:

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂)

Dopuszczalna wartość naprężeń ściskających w świetle hipotezy de Saint Venata 𝝈

𝝈

𝝈

= 𝟎 𝝈

= 𝟎 𝝈

= −𝝈

𝝈

= 𝝈

− 𝝂 𝝈

+ 𝝈

𝝈

= 𝝂𝝈 ≤ 𝒌

𝝈 ≤ 𝒌

…a tymczasem wiadomo, że:

𝒌

= 𝒌

𝝂

jeżeli: =0.10.3 𝒌

= (𝟑 ÷ 𝟏𝟎)𝒌

Obecnie hipoteza de Saint Venanta bywa stosowana do materiałów kruchych.

(𝝈

≥ 𝝈

≥ 𝝈

)

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

11.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. 

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych (

).

𝝉

= −𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐

𝝉

= 𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐

𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐

𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐

(𝝈

≥ 𝝈

≥ 𝝈 © T.

) Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

11.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. 

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych (

).

𝝉

= 𝝈

− 𝝈

𝟐

Złożony stan naprężenia 𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

𝝈

= 𝝈

− 𝝈

≤ 𝒌

𝝉

= 𝝈

𝟐

Jednoosiowe rozciąganie:

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂)

(𝝈

≥ 𝝈

≥ 𝝈

)

Doświadczenie potwierdza słuszność hipotezy C-T-G w przypadku materiałów sprężysto- plastycznych, szczególnie poddanych działaniu płaskiego stanu naprężenia (w stanach trójosiowych pominięty zostaje wpływ pośredniego co do wartości naprężenia 

).

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

11.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. 

)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych (

).

𝝈

= 𝝈

− 𝝈

≤ 𝒌

Szczególny przypadek: działanie naprężeń normalnych i stycznych:

𝝈

= 𝝈 𝝈

= 𝟎 𝝉

= 𝝉

𝝈

= 𝝈

− 𝝈

𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈

− 𝝈

+ 𝟒𝝉

𝝈

= 𝝈

𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈

+ 𝟒𝝉

𝝈

= 𝝈

+ 𝟒𝝉

y

_x



_x







3

1

Czyste ścinanie: 𝝈

= 𝝈

= 𝟎, 𝝉

= 𝝉: 𝝈

= 𝟐𝝉 ≤ 𝒌

𝝉 ≤ 𝒌

…a tymczasem wiadomo, że: 𝒌

= 𝟎. 𝟓 ∙ 𝒌

𝒌

- dopuszczalne naprężenia styczne

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

11.3.4. Hipoteza Hubera–Misesa–Hencky’ego (hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( 

).

=

+

𝝈_ś𝒓 3

1 O 2

𝝈_ś𝒓

𝝈_ś𝒓



(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓) 3

1 O 2

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)



𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1 O 2

𝝈_𝟑

𝝈_𝟐







6 2

1    _  _ 





E  

6 2 1

z y x

O

  E   _  _ 



     





2 3 2 2

2

6

1    _  _  _  _  _ 













E

       



⁶



6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P

      E   _  _  _  _  _  _  _  _ 



Energia właściwa odkształcenia objętościowego

Energia właściwa odkształcenia postaciowego Por. p. 8.8.4. …..

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

11.3.4. Hipoteza Hubera–Misesa–Hencky’ego (hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( 

).

𝚽

= 𝟏 + 𝝂

𝟔𝑬 𝝈

− 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

Złożony stan naprężenia

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝝈

, 𝝈

, 𝐂)

𝝈

= 𝟏

𝟐 𝝈

− 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

≤ 𝒌

𝚽

= 𝟏 + 𝝂

𝟑𝑬 𝝈

Jednoosiowe rozciąganie:

𝑾 = 𝒇(𝝈

, 𝐂)

Słuszność hipotezy Hubera została potwierdzona dla materiałów sprężysto-plastycznych, w przypadku których znajduje ona obecnie szerokie zastosowanie.

Przestrzenny stan naprężenia:

Płaski stan naprężenia (

=0): 𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

𝝈

≤ 𝒌

© T. Machniewicz

11.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

Działanie naprężeń normalnych i stycznych:

𝝈

= 𝝈 𝝈

= 𝟎 𝝉

= 𝝉

𝝈

= 𝝈 𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈

+ 𝟒𝝉

𝝈

= 𝝈

+ 𝟑𝝉

y

_x



_x







2

1

Czyste ścinanie: 𝝈

= 𝝈

= 𝟎, 𝝉

= 𝝉: 𝝈

= 𝟑𝝉 ≤ 𝒌

𝝉 ≤ 𝒌

…a tymczasem wiadomo, że: 𝒌

= 𝒌

𝟑 ≅ 𝟎. 𝟓𝟗𝒌

11.3.4. Hipoteza Hubera

–Misesa

–Hencky’ego

(hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego ( 

).

Płaski stan naprężenia (

=0): 𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

𝝈

≤ 𝒌

𝝈

= 𝝈

+ 𝝈

− 𝝈

𝝈

© T. Machniewicz

𝑷

11.4. Zginanie ze skręcaniem – wybrane problemy inżynierskie

𝑷 b a 𝑴_𝒈 = 𝑷𝒃

𝑴_𝒔 = 𝑷𝒂

Wałki przekładni mechanicznych

news.thomasnet.com

y

z 𝑴

𝑴

x

O

𝑷 b

a

© T. Machniewicz

𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

A

11.4. Zginanie ze skręcaniem – moment zredukowany

y 𝑴

z

𝑴

x

O

𝝈

𝝈

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

A

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} 𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝑺

𝑾_𝑶 ≤ 𝒌_𝑺

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑

𝟏𝟔 = 𝟐 ∙ 𝑾_𝒈 𝑾_𝒈 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑

𝟑𝟐

Dla przekroju kołowego o średnicy d

𝝈

= 𝝈

+ 𝟒𝝉

= 𝑴

𝑾

𝟐

+ 𝟒 𝑴

𝟐 ∙ 𝑾

𝟐

Zgodnie z hipotezą C-T-G (hip. 

):

= 𝟏

𝑾

𝑴

+ 𝑴

𝑴

𝝈

= 𝝈

+ 𝟑𝝉

= 𝑴

𝑾

𝟐

+ 𝟑 𝑴

𝟐 ∙ 𝑾

𝟐

Zgodnie z hipotezą H-M-H:

= 𝟏

𝑾

𝑴

+ 𝟑 𝟒 𝑴

𝟐

𝑴

𝑴

- moment zredukowany

© T. Machniewicz

11.5. Zginanie ze skręcaniem – warunek bezpieczeństwa

y 𝑴

z

𝑴

x

O

𝝈

𝝈

A

𝑴

= 𝑴

+ 𝑴

Warunek bezpieczeństwa

𝝈

= 𝑴

𝑾

≤ 𝒌

𝒌

- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

𝑾

- wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

𝝈

= 𝟑𝟐𝑴

𝝅 ∙ 𝒅

≤ 𝒌

Moment zredukowany wg hipotezy C-T-G

𝑴

= 𝑴

+ 𝟑 𝟒 𝑴

𝟐

Moment zredukowany wg hipotezy H-M-H

Dla przekroju kołowego

o średnicy d 𝒅 ≥ 𝟑𝟐𝑴

𝝅 ∙ 𝒌

:

𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

A

𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

© T. Machniewicz

11.6. Zginanie ze skręcaniem – przykłady obliczeń

Przykład 11.1: Dla pręta ja na rysunku narysować wykresy momentów:

skręcającego (M

), gnącego (M

) i zredukowanego (M

), a następnie obliczyć średnicę pręta (d). Porównać wyniki uzyskane przy użyciu hipotezy Hubera oraz hipotezy Coulomba.

Dane: Szukane:

P= 1 kN, k

=100 MPa, M

, M

, M

, d a=50 cm, b=1 m, (hip. Hubera oraz Coulomba) P

b a

A

B C

Momenty skręcające:

𝑴

= 𝟎 𝑴

= 𝑷𝒂 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝑺 (𝑵𝒎)

Momenty zginające:

𝑴

𝟏)

= −𝑷𝒛

𝑴

= 𝑴

= −𝑷𝒂 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴

= 𝑴

𝟏=𝟎)

= 𝟎

𝑴

𝟐)

= −𝑷𝒛

𝑴

= 𝑴

𝟐=𝟎)

= 𝟎 𝑴

= 𝑴

𝟐=𝒃)

= −𝑷𝒃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝒈 (𝑵𝒎)

© T. Machniewicz

11.6. Zginanie ze skręcaniem – przykłady obliczeń

Przykład 11.1: Dane: Szukane:

P= 1 kN, k

=100 MPa, M

, M

, M

, d a=50 cm, b=1 m, (hip. Hubera oraz Coulomba) P

b a

A

B C

Momenty zredukowane:

𝑴_𝑺 (𝑵𝒎)

𝑴

= 𝟎

𝑴

= 𝟓𝟎𝟎

+ 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟎

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴_𝒈 (𝑵𝒎)

𝑴

= 𝑴

+ 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝑴

𝑴

= 𝟎

+ 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟓𝟎𝟎

= 𝟒𝟑𝟑 𝑵𝒎

𝑴

= 𝟏𝟎𝟎𝟎

+ 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟓𝟎𝟎

= 𝟏𝟎𝟖𝟗. 𝟕𝟐 𝑵𝒎 Średnica:

𝒅

≥ 𝟑𝟐𝑴

𝝅 ∙ 𝒌

𝟑

= 𝟑𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟖𝟗. 𝟕𝟐 ∙ 𝟏𝟎

𝝅 ∙ 𝟏𝟎𝟎

𝟑

= 𝟒𝟖. 𝟎𝟔 𝒎𝒎

𝑴_𝒛𝒓^𝑯 (𝑵𝒎)

© T. Machniewicz

11.6. Zginanie ze skręcaniem – przykłady obliczeń

Przykład 11.1: Dane: Szukane:

P= 1 kN, k

=100 MPa, M

, M

, M

, d a=50 cm, b=1 m, (hip. Hubera oraz Coulomba) P

b a

A

B C

Momenty zredukowane:

𝑴_𝑺 (𝑵𝒎)

𝑴

= 𝟎

𝑴

= 𝟓𝟎𝟎

+ 𝟎

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴_𝒈 (𝑵𝒎)

𝑴

= 𝑴

+ 𝑴

𝑴

= 𝟎

+ 𝟓𝟎𝟎

= 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴

= 𝟏𝟎𝟎𝟎

+ 𝟓𝟎𝟎

= 𝟏𝟏𝟏𝟖 𝑵𝒎 Średnica:

𝒅

≥ 𝟑𝟐𝑴

𝝅 ∙ 𝒌

𝟑

= 𝟑𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎

𝝅 ∙ 𝟏𝟎𝟎

𝟑

= 𝟒𝟖. 𝟒𝟕 𝒎𝒎

𝑴_𝒛𝒓^𝑯 (𝑵𝒎)

𝑴_𝒛𝒓^𝑪

(𝑵𝒎)

© T. Machniewicz