OBCIĄŻALNOŚĆ ROZSUNIĘTEGO TELESKOPOWEGO SIŁOWNIKA HYDRAULICZNEGO PRZY UWZGLĘDNIENIU WYBOCZENIA ORAZ WYTĘŻENIA MATERIAŁU

(1)

MODELOWANIE INŻYNIERSKIE 2018 nr 68, ISSN 1896-771X

OBCIĄŻALNOŚĆ ROZSUNIĘTEGO TELESKOPOWEGO SIŁOWNIKA HYDRAULICZNEGO

PRZY UWZGLĘDNIENIU WYBOCZENIA ORAZ WYTĘŻENIA MATERIAŁU

Sebastian Uzny

^1a

, Łukasz Kutrowski

^1b

1Instytut Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Częstochowska

auzny@imipkm.pcz.pl, ^bkutrowski@imipkm.pcz.pl

Streszczenie

Uszkodzenia siłowników hydraulicznych mogą być spowodowane wieloma czynnikami. Można wśród niech wyróżnić utratę stateczności oraz wytężenie materiału cylindrów, wywołane działaniem wysokiego ciśnienia wewnątrz układu.

W niniejszej pracy w celu rozpatrywania pierwszego z czynników sformułowano zagadnienie brzegowe stateczności teleskopowego siłownika hydraulicznego przy uwzględnieniu obciążenia Eulera. Do określenia wytrzymałości wytę- żeniowej poszczególnych członów siłownika wykorzystano teorię Lamégo w przypadku rur grubościennych.Zesta- wiając ze sobą uzyskane wyniki, określono zakresy parametru grubości cylindrów oraz parametru grubości elementów uszczelniających, przy których do zniszczenia układu dochodzi na skutek utraty stateczności konstrukcji lub wytę- żenia materiału cylindrów.

Słowa kluczowe: stateczność, teleskopowy siłownik hydrauliczny, obciążenie Eulera, wytężenie materiału

LOAD CAPACITY OF A FULLY EXPANDED HYDRAULIC TELESCOPIC CYLINDER WITH CONSIDERATION

OF BUCKLING AND THE MATERIAL EFFORT

Summary

Damage of the hydraulic cylinders can be caused by many factors.Loos of stability and material effort, caused by the pressure inside the cylinder barrels can be distinguished.For analysis of the first factor, boundary value problem of the stability of a hydraulic telescopic cylinder, subjected to Euler’s load was formulated. For determination of the strength of individual cylinders, the Lamé’s theory for thick pipes was used. By comparing obtained results, the ranges of the cylinder thickness parameter and the sealing elements thickness parameter were determined, in which the destruction of the system occurs as a result of the loss of stability of the structure and the effort of the cylinder material.

Keywords: stability, telescopic hydraulic cylinder, Euler’s load, material effort

1. WSTĘP

Siłowniki znalazły bardzo szerokie zastosowanie w wielu gałęziach przemysłu. Są to urządzenia, w których nastę- puje konwersja energii ciśnienia czynnika roboczego w energię mechaniczną ruchu postępowego. Podziału tych silników można dokonać ze względu na wiele czynników.

Z punktu widzenia zastosowanego medium roboczego wy- różnia się siłowniki hydrauliczne oraz pneumatyczne.

W tych przypadkach ciśnienie w układzie wywołane jest poprzez działanie odpowiednio oleju hydraulicznego oraz powietrza. Wyróżnić można również siłowniki

(2)

elektryczne, w których posuw tłoczyska realizowany jest za pomocą układu śruby roboczej oraz nakrętki, połączo- nej z przekładnią zębatą i silnikiem elektrycznym. Układy pneumatyczne znalazły swoje zastosowanie w szeroko po- jętej automatyce przemysłowej. Związane jest to między innymi z wymaganą stosunkowo niską siłą roboczą siłow- ników. Dodatkowymi zaletami tego rozwiązania są niższa cena oraz czystsze środowisko pracy z uwagi na brak oleju hydraulicznego. Ponadto stacjonarność linii produkcyj- nych czy montażowych pozwala na efektywne doprowa- dzenie do układu sprężonego powietrza. Układy hydrauliczne stosowane są wszędzie tam, gdzie wymagana jest znacznie większa siła, generowana przez siłowniki.

W przemyśle metalurgicznym spotykane są między innymi napędy hydrauliczne pras o dużej sile nacisku. In- nym obszarem ich zastosowań są wszelkiego rodzaju układy napędowe maszyn budowlanych, transportowych czy rolniczych, w przypadku których wymagane są znaczne siły robocze. Do tego typu maszyn zaliczyć można podnośniki koszowe, koparki budowlane, HDS czy układy stabilizujące podwozia dźwigów samojezdnych. W przypadku, gdy instalacja układu zasilania pneumatycz- nego czy hydraulicznego jest nieefektywna i nieopłacalna, wykorzystuje się układy elektryczne. Takie siłowniki spo- tyka się najczęściej jako napędy bram rozwiernych oraz okien automatycznych.

W zależności od wykonywanego ruchu roboczego urządze- nia można wyróżnić siłowniki hydrauliczne jednostron- nego oraz dwustronnego działania. W pierwszym przypadku wymuszany ruch siłownika obejmuje jedynie wy- suw tłoczyska. Jego powrót realizowany jest innym me- chanizmem, na przykład poprzez układ sprężynowy, który po ustaniu ciśnienia w układzie powoduje zsunięcie tłoczyska. W przypadku siłowników stosowanych do podnoszenia ciężkich przedmiotów (np. hydrauliczne podno- śniki samochodowe) powrót tłoczyska do pozycji wejścio- wej wywołany jest oddziaływaniem masy ładunku. Siłow- niki dwustronnego działania posiadają sterowane zarówno wysuwanie jak i zsuwanie tłoczyska.

Innym rodzajem siłowników hydraulicznych są konstruk- cje teleskopowe, które charakteryzują się większą liczbą stopni. Takie rozwiązania konstrukcyjne pozwalają na uzyskanie znacznie większego zasięgu roboczego siłownika w połączeniu ze stosunkowo małym rozmiarem układu złożonego. Z tego powodu stosowane są one przede wszystkim w układach podnoszenia naczep samochodów ciężarowych oraz windach hydraulicznych o zasięgu do kilku pięter.

Budowę klasycznego siłownika hydraulicznego dwustronnego działania przedstawiono na rys. 1 [10]. Składa się on z cylindra 1, w którym umieszczony został tłok 4 połą- czony z tłoczyskiem 2. Cylinder jest zamknięty od dołu za pomocą dna cylindra 7 oraz od góry w wyniku zasto- sowania dławicy 3 oraz nakrętki 5. Tłoczysko zakończone

jest najczęściej uchem 6, które pozwala na jego przegu- bowy montaż. Na tłoku umiejscowiona jest uszczelka 8 oraz pierścień uszczelniający 9. Z kolei na dławicy zamon- towane są pierścienie uszczelniające 11 i 12, pierścień zgarniający 10 oraz pierścień prowadzący 13 (por. [10]).

Konstrukcja siłowników teleskopowych jest podobna.

Występuje w niej większa liczba cylindrów oraz odpowiednio nakrętek, dławic i elementów uszczelniająco – prowadzących.

Rys. 1. Jednostopniowy siłownik hydrauliczny dwustronnego działania typu CB [10]

Uszkodzenia siłowników hydraulicznych mogą być na- stępstwem wielu czynników. Podczas prawidłowej ich ob- sługi układy te najczęściej ulegają uszkodzeniu w wyniku zużycia elementów uszczelniających i prowadzących.

W takim przypadku remont urządzenia sprowadza się do wymiany zniszczonych elementów oraz sprawdzenia, czy nie wstąpiła korozja cylindrów i tłoczyska, bądź inne uszkodzenia mechaniczne, które mogą przyczyniać się do szybszego zużycia pierścieni uszczelniających i prowadzą- cych. Podczas konstruowania siłowników hydraulicznych, a zwłaszcza wariantów teleskopowych, należy wziąć pod uwagę stateczność konstrukcji oraz wytrzymałość wytęże- niową materiału cylindrów.

W niniejszej pracy rozważa się zagadnienie stateczności teleskopowego siłownika hydraulicznego przy uwzględnie- niu obciążenia eulerowskiego. Dwa modele obliczeniowe siłowników hydraulicznych zostały opracowane przez Tomskiego [4, 5]. Pierwszy z nich odnosi się do drgań wzdłużnych i stosowany jest w przypadku układów o mniejszych smukłościach [4]. Drugi z kolei stosowany jest w przypadku analizy stateczności oraz drgań po- przecznych siłowników, charakteryzujących się znaczną smukłością [5]. Analiza stateczności siłowników hydraulicznych podejmowana była w ramach publikacji [1, 3-9].

Tomski i Uzny [6] badali wpływ stopnia przekrycia siłow- nika na jego stateczność. Praca [8] obejmuje badania sztywności zamocowania przegubowego jednostopniowego siłownika hydraulicznego. Zawarto w niej wyniki obliczeń numerycznych oraz eksperymentalnych. Zakresy wartości współczynnika asymetrii sztywności na zginanie tłoczyska i cylindra, w których dochodzi do zniszczenia siłownika hydraulicznego w wyniku utraty stateczności oraz wytę- żenia materiału podano w pracy [7]. Porównanie modelu przybliżonego obliczeń stateczności siłownika hydraulicznego zgodnego z DNV-GL oraz metodą elementów skoń- czonych zaprezentowano w publikacji [3]. Wpływ

(3)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski niedokładności wykonania elementów siłownika oraz

wpływ zużycia elementów uszczelniających na stateczność jednostopniowego siłownika hydraulicznego na podstawie badań numerycznych oraz eksperymentalnych przedstawiono w pracy [1]. Publikacja [9] odnosi się do stateczno- ści teleskopowego siłownika hydraulicznego. Rozważano wpływ rotacyjnej sztywności między członowej trójstop- niowego siłownika hydraulicznego na parametr obciążenia krytycznego układu, przy uwzględnieniu różnych grubości rur cylindrów. Wyniki te porównano z układem o nieskoń- czonej sztywności pomiędzy kolejnymi elementami siłow- nika. Odnosząc granicę plastyczności do modułu Younga, przedstawiono wykresy na płaszczyźnie bezwymiarowej, na podstawie których określono przedziały zniszczenia układu spowodowane utratą stateczności oraz wytęże- niem materiału cylindrów.

Celem badań przeprowadzonych w niniejszej pracy jest określenie wpływu dwóch bezwymiarowych parametrów

siłownika: parametru grubości cylindrów oraz parametru grubości uszczelnień na stateczność teleskopowego siłow- nika hydraulicznego oraz wytrzymałość wytężeniową ma- teriału cylindrów.

2. ZAGADNIENIE BRZEGOWE

Schemat rozważanego teleskopowego siłownika hydraulicznego przy uwzględnieniu obciążenia Eulera przedsta- wiono na rys. 1. Układ ten składa się z n elementów, gdzie elementy oznaczone w przedziale (1÷n -1) to cylindry si- łownika, natomiast element oznaczony jako n to tłoczy- sko. W niniejszej pracy rozważa się układ zamocowany przegubowo na obu jego końcach oraz w pełni rozsunięty.

Zakłada się nieskończoną sztywność pomiędzy kolejnymi członami siłownika. Poszczególne podzespoły siłownika charakteryzują się sztywnością na zginanie (EJ)i.

Rys. 2. Schemat teleskopowego siłownika hydraulicznego, poddanego działaniu obciążenia Eulera

Zagadnienie brzegowe odnośnie do stateczności rozważa- nego siłownika formułuje się na podstawie zasady mini- mum energii potencjalnej:

V 0

δ = (1)

Energię potencjalną V rozpatrywanego układu można za- pisać w następującej formie:

( ) ( ) ( )

2 2

1 0 2

2 1 0

1 , 2 1 , 2

i

n l

i i

n l i i

i i i

w x t

V EJ dx

x w x t

P x dx

=

∂ 

 

= +

 ∂ 

 

∂ 

 

−  ∂ 

∑∫

(2)

Po uwzględnieniu energii potencjalnej w równaniu (1), wykonując niezbędne przekształcenia matematyczne, otrzymuje się różniczkowe równania przemieszczeń układu (3) oraz po wykorzystaniu geometrycznych wa- runków brzegowych (4a-d), naturalne warunki brzegowe poszczególnych członów siłownika (4-5):

( )

⁴

( )

₊ ²

( )

4 2

i i i i

i i i

d w x d w x

EI P

dx dx ⁽³⁾

= +₁

( ) (0)

i i i

w l w ^(4a)

+

=

+ +

+ =

=

1

1 1

1 0

( ) ⁱ ( )

i

x l

i i i i

i i x

dw x dw x

dx dx ^(4b)

1(0) 0=

w ^(4c)

( ) 0=

n n

w l ^(4d)

( ) ( ) ( ) ( )

+

=

+ +

+ + =

− =

1

3 3

1 1

3 1 3

1 0

0

i i

i

x l

i i i i

i i

i i x

d w x d w x

EI EI

dx dx ^(5a)

( ) ( ) ( ) ( )

+

=

+ +

+ + =

− =

1

2 2

1 1

2 1 2

1 0

0

i i

i

x l

i i i i

i i

i i x

d w x d w x

EI EI

dx dx ^(5b)

( )

₁ ² ₂¹ ¹ ¹⁰

1

( ) 0

d w x x

EI d x

=

= (5c)

(4)

( )

_n ² ₂ⁿ^{( )}ⁿ ^{x l}ⁿ ⁿ ⁰

n

d w x EI d x

=

= (5d)

Rozwiązanie równań różniczkowych (3) można przedsta- wić za pomocą funkcji:

= + + +

( ) sin( ) cos( )

i i i i i i i i i i i

w x A k x B k x C x D ₍₆₎

gdzie:

=

( )

i

k P

EI ⁽⁷⁾

Podstawiając rozwiązania (6) do warunków brzegowych geometrycznych (4a-d) oraz naturalnych (5a-d), otrzymuje się układ równań, którego wyznacznik macierzy współczynników przyrównany do zera jest równaniem przestępnym, wykorzystywanym do wyznaczania obciąże- nia krytycznego układu.

3. TEORIA LAMÉGO

Do wyznaczenia niszczącego obciążenia układu z punktu widzenia wytężenia materiału cylindrów wykorzystano teorię Lamégo dla rur grubościennych. Naprężenia pro- mieniowe (8a) oraz obwodowe (8b) rury grubościennej otwartej można obliczyć na podstawie następujących wzo- rów [2]:

2 2

2^{a w} 2 1 ^z2 r

z w

p r r

r r r

σ = − ^ − ^ (8a) σ = − ^ + ^

2 2

2^{a w} 2 1 ^z2 t

z w

p r r

r r r ^(8b)

gdzie: rw – promień wewnętrzny cylindra, rz – promień zewnętrzny cylindra, r – odległość od osi cylindra do po- wierzchni walcowej, w której liczone są naprężenia, pa – ciśnienie panujące w rurze.

W przypadku, gdy rura jest zamknięta dnami, można przyjąć, że w odpowiednich odległościach od den wystę- pują równomiernie rozłożone w przekroju naprężenia osiowe, równe ilorazowi siły przypadającej na pole po- wierzchni wewnętrznej rury przez pole przekroju po- przecznego rury [1]:

2 2w 2 a z

z w

r p

r r σ =

− (8c)

Korzystając z hipotezy Hubera, otrzymuje się wzory na naprężenia zredukowane w przypadku rury otwartej (9a) oraz zamkniętej dnami (9b):

2 4 a

2 ^w 2 1 3 ^z

red

z w

p r r

r r r

σ = − +  ^{ }   (9a)

2 2 a

2 2 2

3_{z w}

red

p r r r r r σ =

− (9b)

Badaniom numerycznym poddawany jest układ w pełni rozsunięty dla przypadku krytycznego, w którym siła po- chodząca od ciśnienia w poszczególnych cylindrach siłow- nika równoważona jest poprzez działanie siły zewnętrznej obciążającej siłownik. W takim przypadku cylindry siłow- nika rozważa się jako otwarte. Wówczas, gdy siła pocho- dząca od ciśnienia w układzie nie byłaby równoważona przez zewnętrzną siłę obciążającą, zasadne byłoby korzy- stanie ze wzoru (9b).

W niniejszej pracy zakłada się, że maksymalne dopuszczalne naprężenia są znane i równe granicy plastyczności materiału, z którego wykonany jest siłownik. Po przekro- czeniu granicy plastyczności powstaje trwałe odkształce- nie elementów siłownika, które powoduje zniszczenie układu. Przekształcając wzór (9a), otrzymano zależność określającą maksymalne ciśnienie panujące w cylindrze przy założonych dopuszczalnych naprężeniach (10) oraz wzór na maksymalną siłę obciążającą układ Pσ, przy dzia- łaniu której nie powstaną trwałe odkształcenia cylindrów (11). Analizuje się naprężenia występujące na wewnętrz- nej ściance cylindra, zatem przyjęto, że r=rw.

(

² ²

)

max 4

2 1 3

red z w

w z

w

r r

p r rr

σ −

=

  +   

(10)

2

max w

Pσ=p πr (11)

4. WYNIKI OBLICZEŃ NUMERYCZNYCH

Wyniki przedstawiono w formie wykresów za pomocą na- stępujących parametrów bezwymiarowych:

2 2

; ;

( ) ; ( )

U R C

GU GR L

t t t

wyb C C

wyb n n

g g l

d d d

P l P l

EI ^σ EI^σ

ζ ζ ζ

λ λ

= = =

= =

(12a-e)

gdzie: ζGU– parametr grubości uszczelnień; ζGR – parametr grubości cylindrów; ζL – parametr długości siłownika; λwyb

– parametr obciążenia zewnętrznego Pwyb, które powoduje zniszczenie w wyniku utraty stateczności; λσ- parametr obciążenia zewnętrznego Pσ, które powoduje zniszczenie w wyniku wytężenia materiału cylindra, gdzie σ jest na- prężeniem dopuszczalnym.

W pracy rozważano pięć różnych wartości σ (σ = 100; 200;

300; 400; 500 [MPa]) odpowiadających różnym materia- łom cylindrów. Na przykład wytężeniowemu parametrowi obciążenia zewnętrznego λ100 odpowiadają przyjęte naprę- żenia dopuszczalne materiału cylindra równe 100 [MPa].

W analizowanym przypadku założono stałą średnicę tło- czyska, a kolejne wyniki przedstawione zostały przy róż- nych wartościach parametru długości siłownika.

(5)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski Na rysunkach 3a-c oraz 4a-c przedstawiono wyniki obli-

czeń numerycznych wpływu bezwymiarowych parame- trów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów na war- tość parametru obciążenia niszczącego pod względem utraty stateczności λwyb oraz pod względem wytężenia ma- teriału poszczególnych elementów siłownika λσ. Każdy ze zbiorów wyników przedstawiony został na dwóch płaszczyznach. Na pierwszej z nich zaprezentowano

wpływ analizowanego parametru siłownika na wartość parametru niszczącego obciążenia wytężeniowego poszcze- gólnych cylindrów siłownika (przy zadanych różnych war- tościach naprężeń dopuszczalnych). Na drugiej z kolei po- kazano wpływ rozważanego parametru najbardziej wytę- żonego cylindra siłownika na parametry niszczącego ob- ciążenia wyboczeniowego oraz wytężeniowego.

Rys. 3a-c. Wpływ parametru grubości cylindrów na wartości bezwymiarowego parametru obciążenia wytężeniowego oraz wyboczeniowego: a) ζL = 10, b) ζL = 15, c) ζL = 20

Na podstawie przeprowadzonych symulacji numerycznych zauważono, że wraz ze wzrostem parametru grubości cylindrów obserwuje się nieliniowy wzrost bezwymiarowego parametru niszczącego obciążenia wytężeniowego λσ

dla poszczególnych cylindrów siłownika. Im większa śred- nica cylindra, tym większy wpływ jego grubości na obcią- żenie niszczące. Na podstawie otrzymanych wyników stwierdzono, że najbardziej narażonym na zniszczenie cy- lindrem z punktu widzenia wytężenia materiału jest cy- linder n-1. Przyjmując różne wartości dopuszczalnych na- prężeń w cylindrach (σ = 100; 200; 300; 400; 500 [MPa]), otrzymano wykresy, które, z zastosowaniem różnych skali

osi obciążenia, pokrywają się. Po zestawieniu wyników otrzymanych na podstawie teorii Lamégo oraz zagadnie- nia brzegowego stateczności układu przecinająca się krzywa wyboczeniowa λwyb z krzywymi wytężeniowymi określa zakresy, w których uszkodzenie układu następuje w wyniku utraty jego stateczności lub wytężenia mate- riału najsłabszego z cylindrów. Wraz ze wzrostem parametru długości siłownika ζL zaobserwowano przesuwanie się krzywych wytężeniowych w kierunku wyższych warto- ści, co oznacza, że wpływ zjawiska wyboczenia na wytrzy- małość układu znacznie wzrasta.

(6)

Rys. 4a-c. Wpływ parametru grubości uszczelnień na wartości bezwymiarowego parametru obciążenia wytężeniowego oraz wyboczeniowego: a) ζL = 10, b) ζL = 15, c) ζL = 20

Na rys. 4a-c przedstawiono wpływ bezwymiarowego parametru grubości uszczelnień na wartości niszczących ob- ciążeń wytężeniowych λσ. Otrzymano liniową zależność pomiędzy wzrostem grubości uszczelnień a wzrostem ob- ciążenia z punktu widzenia wytrzymałości materiału. Po- dobnie jak w przypadku wcześniejszych zależności, przy zastosowaniu odpowiednich skali osi obciążenia krzywe wytężeniowe pokrywają się. Wzrost parametru długości siłownika ζL powoduje wzrost parametru niszczącego ob- ciążenia wytężeniowego λσ, co oznacza, że wzrasta zagro- żenie zniszczenia w wyniku utraty stateczności konstrukcji. Przecinanie krzywej wyboczeniowej z krzywymi wytę- żeniowymi definiuje zakresy parametru grubości uszczel- nień, w których zniszczenie rozpatrywanego siłownika hydraulicznego następuje w wyniku utraty jego stateczności oraz na skutek wytężenia materiału cylindrów.

W niniejszej pracy przedstawiono postaci krzywych wytę- żeniowych pięciu przyjętych dopuszczalnych wartości na- prężeń. Zarówno w przypadku analizy parametru grubości cylindrów, jak i uszczelnień wzrost dopuszczalnych naprę- żeń w cylindrach powoduje proporcjonalny wzrost parametru niszczącego obciążenia wytężeniowego.

Wykorzystując tę własność, posiadając dane dotyczące zależności λσ (ζGU) lub λσ (ζGR) dla jednej wartości naprę- żeń, możliwe jest wyznaczenie tych relacji dla dowolnej wartości przyjętych naprężeń dopuszczalnych.

5. PODSUMOWANIE

W niniejszej pracy rozważano zagadnienie brzegowe do- tyczące stateczności teleskopowego siłownika hydraulicznego, poddanego działaniu obciążenia Eulera. Uwzględ- niono ponadto zjawisko wytężenia materiału cylindrów jako drugi czynnik mogący skutkować uszkodzeniem si- łownika hydraulicznego. Wyniki obliczeń numerycznych przedstawiono w postaci bezwymiarowej. Określono wpływ bezwymiarowych parametrów grubości uszczelnień oraz grubości cylindrów na stateczność oraz wytrzymałość wytężeniową poszczególnych cylindrów siłownika. Na podstawie uzyskanych wyników określono przedziały ana- lizowanych parametrów, w których do zniszczenia układu dochodzi w wyniku utraty stateczności oraz wytężenia materiału najsłabszego z cylindrów.

(7)

Sebastian Uzny, Łukasz Kutrowski Wyniki zaprezentowane w niniejszej pracy mogą być wy-

korzystane podczas projektowania teleskopowych siłowni- ków hydraulicznych.

Praca została wykonana w ramach pracy BS/PB 1-101- 3020/17/P Politechniki Częstochowskiej.

Literatura

1. Gamez-Montero P.J., Salazar E., Castilla R., Freire J., Khamashta M., Codina E.: Misalignment effects on the load capacity of a hydraulic cylinder. “International Journal of Mechanical Sciences”2009, Vol. 51, Iss. 2, p. 105- 113.

2. Jakubowicz A., Orłoś.: Wytrzymałość materiałów. Warszawa: WNT, 1978.

3. Narvydas E.: Buckling strength of hydraulic cylinders – and engineering approach and finite element analysis.

“Mechanika”, 2016, Vol. 22(6), p. 474-477.

4. Tomski L.: Dynamika stojaków hydraulicznych obudów górniczych. Praca habilitacyjna 1979, nr 17, Częstochowa:

Pol. Czest., 1979.

5. Tomski L.: Elastic carrying capacity of a hydraulic prop. “Engineering Transactions” 1977, 25(2), p. 247-263.

6. Tomski L., Uzny S.: Stateczność i drgania swobodne siłownika hydraulicznego sprężyście zamocowanego. ZN Pol.

Rzesz., s. “Mechanika”, 2008, 258, 74, s. 369-380.

7. Tomski L., Uzny S.: A hydraulic cylinder subjected to Euler's load in aspect of the stability and free vibrations taking into account discrete elastic elements. “Archives of Civil and Mechanical Engineering”, 2011, Vol.11, No. 3, p. 769-785.

8. Uzny S.: Free vibrations and stability of hydraulic cylinder fixed elastically on both ends. “Proc. Appl. Math.

Mech.”,2009, 9, p. 303-304.

9. Uzny S., Sokół K., Kutrowski Ł.: Stability of a hydraulic telescopic cylinder subjected to Euler’s load, In: Rusiński E., Pietrusiak D. (eds), Proceedings of the 13th International Scientific Conference. Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2017, p. 581-588.

10. http://www.bipromasz.pl/produkty/silownik-hydrauliczny-dwustronnego-dzialania-cb, Data dostępu: 09.07.2018r.

Artykuł dostępny na podstawie licencji Creative Commons Uznanie autorstwa 3.0 Polska.

http://creativecommons.org/licenses/by/3.0/pl