Mechanika i wytrzymałość materiałów

(1)

Mechanika i wytrzymałość materiałów

Wydział Inżynierii Mechanicznej i Robotyki

Katedra Wytrzymałości, Zmęczenia Materiałów i Konstrukcji

Dr hab. inż. Tomasz Machniewicz

Wykład Nr 15

Złożony stan naprężenia – wytężenie materiału

stan krytyczny materiału, pojęcie wytężenia, cel stosowania hipotez wytężeniowych, naprężenie zredukowane, przegląd hipotez wytężeniowych: hipoteza Galileusza, hipoteza de Saint-Venanta, hipoteza Coulomba (C-T-G), hipoteza Hubera (H-M-H), zginanie ze skręcaniem przekrojów kołowosymetrycznych: moment zredukowany i warunek bezpieczeństwa

(2)

15.1. Pojęcie wytężenia

Wytężenie – stopień zbliżenia się materiału do stanu krytycznego.

Stan krytyczny – ogół zmian w stanie fizycznym ciała prowadzących do wystąpienia trwałych odkształceń (R_e - mat.

elasto-plastyczne), lub utraty spójności (R_m, R_c – mat kruche).

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝝈_𝒚

𝝉𝒚𝒛

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚 z

x O y

𝝈_𝒛 𝝉_𝒛𝒚

𝝈_𝒚 𝝉𝒚𝒛

𝝉𝒙𝒛

𝝉_𝒙𝒚 𝑷_𝟏

𝑷_𝒏

𝑷_𝟐

𝑷_𝒊 𝑴_𝒊

𝒒 _𝒊

𝑴_𝐒 𝑴_𝐠𝐲

y x

z

C 𝑵

𝑻_𝒚

𝑻_𝒙 𝑴_𝐠𝐱 𝑷_𝟏

𝑷_𝒏 𝑴_𝒊

Wytężenie

Wytężenie (W) jest funkcją stanu naprężenia materiału oraz jego odpowiednich o stałych materiałowych (C):

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝒙, 𝝈_𝒚, 𝝈_𝒛, 𝝉_𝒙𝒚, 𝝉_𝒚𝒛, 𝝉_𝒛𝒙, 𝐂) 𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

© T. Machniewicz

(3)

15.2. Naprężenie zredukowane

Aby określić stopień zbliżenia się materiału poddanemu złożonemu stanowi naprężenia do stanu krytycznego, wytężenie dla tego stanu porównuje się z wytężeniem dla przypadku jednoosiowego rozciągania tzw. naprężeniem zredukowanym _zr:

Złożony stan naprężenia

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 z

x O y

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

1

_zr

Jednoosiowe rozciąganie:

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝋(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝑪) 𝑾 = 𝒇(𝝈_𝒛𝒓, 𝐂)

Hipoteza wytężeniowa

𝒇 𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂

= 𝒇(𝝈_𝒛𝒓, 𝐂)

𝒇, 𝝋 – funkcje zależne od przyjętej hipotezy wytężeniowej Naprężenie zredukowane (_zr) – taka wartość naprężenia, wyznaczona dla danego złożonego stanu naprężenia przy użyciu przyjętej hipotezy wytężeniowej, która przy jednoosiowym rozciąganiu tego samego materiału, wywołałaby identyczne wytężenia jakie ma miejsce w rozpatrywanym stanie naprężenia.

Hipoteza wytężeniowa – założenie dotyczące tego, jaka wielkość fizyczna, związana ze stanem naprężenia i odkształcenia, decyduje o wytężeniu materiału.

© T. Machniewicz

(4)

15.2. Naprężenie zredukowane Złożony stan naprężenia

𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 z

x O y

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

1

_zr

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝒛𝒓, 𝐂) Hipoteza

wytężeniowa 𝒇 𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂

= 𝒇(𝝈_𝒛𝒓, 𝐂)

𝝈

_𝒛𝒓

≤ 𝒌

_𝒓

Warunek bezpieczeństwa:

Wytężenie

≡

𝝈

_𝒓𝒆𝒅

0

R_kr

R_kr– naprężenia krytyczne (R_e, R_m, R_c)

𝒌_𝒓– dopuszczalne naprężenia rozciągające

© T. Machniewicz

(5)

15.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 15.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń rozciągających (_max).

𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈_𝟏

Złożony stan naprężenia 𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 ≤ 𝒌_𝒓

𝝈_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈_𝒛𝒓

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝒛𝒓, 𝐂)

Cechy:

 nie uwzględniony wpływ naprężeń ₂ i ₃ na wytężenie materiału,

 nie uwzględniona możliwość zniszczenia pod wpływem osiowego ściskania.

Modyfikacja hipotezy Galileusza: Clebsch (1862) i Rankin (1856)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość ekstremalnych naprężeń normalnych: max(₁, - ₃).

𝝈_𝒛𝒓 = 𝒎𝒂𝒙 𝝈_𝟏, −𝝈_𝟑

𝒛 ≤ 𝒌_𝒓

- dopuszczalne naprężenia rozciągające

𝒛 = 𝒌_𝒄 𝒌_𝒓

- dopuszczalne naprężenia ściskające gdzie

czyli, żadne z naprężeń normalnych nie może być większe od k_r ani mniejsze od k_c Obecnie hipoteza Galileusza, nawet w postaci zmodyfikowanej jest stosowana rzadko i jedynie w zastosowaniu do materiałów kruchych.

© T. Machniewicz

(6)

P

15.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 15.3.1. Hipoteza Galileusza (1632)

Hipoteza Galileusza stanowi m.in. teoretyczną podstawę pozwalającą na

wyznaczanie wytrzymałości na rozciąganie w badaniu na rozłupywanie 𝒇_𝒄𝒍^𝒔𝒑𝒍 materiałów kruchych (ang. indirect tensile strength test)

i1.ytimg.com

𝝈_𝒚 = − 𝟔𝑷 𝛑𝑫𝒍 𝝈_𝒙 = 𝟐𝑷

𝛑𝑫𝒍

𝒇_𝒄𝒍^𝒔𝒑𝒍 = 𝟐𝑷_𝒎𝒂𝒙 𝛑𝑫𝒍 P

x y

Ponieważ w przypadku materiałów kruchych wytrzymałość na ściskanie (R_c) jest znacznie większa niż wytrzymałość na rozciąganie (R_m), przyjmuje się, że za zniszczenie elementu (rozłupanie) pod wpływem siły P_max odpowiadają dodatnie co wartości naprężenia _x.

x y

O

Stąd wytrzymałość na rozciąganie przy rozłupywaniu obliczana jest jako:

O D

l

© T. Machniewicz

(7)

15.3. Przegląd hipotez wytężeniowych 15.3.2. Hipoteza de Saint Venanta (1832)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość największego odkształcenia osiowego (₁).

𝜺_𝒎𝒂𝒙 = 𝜺_𝟏 = 𝟏

𝑬 𝝈_𝟏 − 𝝂 𝝈_𝟐 + 𝝈_𝟑 Złożony stan naprężenia

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 − 𝝂 𝝈_𝟐 + 𝝈_𝟑 ≤ 𝒌_𝒓

𝜺_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈_𝒛𝒓 𝑬

Dopuszczalna wartość naprężeń ściskających w świetle hipotezy de Saint Venata 𝝈

𝝈

𝝈_𝟏 = 𝟎 𝝈_𝟐 = 𝟎 𝝈_𝟑 = −𝝈

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 − 𝝂 𝝈_𝟐 + 𝝈_𝟑 𝝈_𝒛𝒓 = 𝝂𝝈 ≤ 𝒌_𝒓

𝝈 ≤ 𝒌_𝒄

…a tymczasem wiadomo, że:

𝒌_𝒄 = 𝒌_𝒓 𝝂

jeżeli: =0.10.3 𝒌_𝒄 = (𝟑 ÷ 𝟏𝟎)𝒌_𝒓 Obecnie hipoteza de Saint Venanta bywa stosowana do materiałów kruchych.

(𝝈_𝟏≥ 𝝈_𝟐 ≥ 𝝈_𝟑)

© T. Machniewicz

(8)

15.3. Przegląd hipotez wytężeniowych

15.3.3. Hipoteza Coulomba–Tresci–Guesta (hip. C-T-G, hip. _max)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość maksymalnych naprężeń stycznych (_max).

𝝉_𝒙𝒚 = −𝝉_𝒚𝒙 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐

𝟐 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝜶

𝝉_𝒎𝒂𝒙^𝟐−𝟑 = 𝝈_𝟐 − 𝝈_𝟑 𝟐

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝝉_𝒎𝒂𝒙^𝟏−𝟑 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 𝟐

𝝉_𝒎𝒂𝒙^𝟏−𝟐 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐 𝟐

𝝉_𝒎𝒂𝒙^𝟏−𝟑 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 𝟐

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐 𝝈_𝟐

𝝈_𝟏 𝝈_𝟏

𝝈_𝟐

(𝝈

_𝟏

≥ 𝝈

_𝟐

≥ 𝝈 © T.

_𝟑

) Machniewicz

(9)

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 𝟐

Złożony stan naprężenia 𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 ≤ 𝒌_𝒓

𝝉_𝒎𝒂𝒙 = 𝝈_𝒛𝒓 𝟐

(𝝈_𝟏≥ 𝝈_𝟐 ≥ 𝝈_𝟑)

Doświadczenie potwierdza słuszność hipotezy C-T-G w przypadku materiałów sprężysto- plastycznych, szczególnie poddanych działaniu płaskiego stanu naprężenia (w stanach trójosiowych pominięty zostaje wpływ pośredniego co do wartości naprężenia ₂).

© T. Machniewicz

(10)

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 ≤ 𝒌_𝒓

Szczególny przypadek: działanie naprężeń normalnych i stycznych:

𝝈_𝒙 = 𝝈 𝝈_𝒚 = 𝟎 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝉

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑

𝝈_𝟏,𝟑 = 𝝈_𝒙 + 𝝈_𝒚 𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈_𝒙 − 𝝈_𝒚 ^𝟐 + 𝟒𝝉_𝒙𝒚^𝟐 𝝈_𝟏,𝟑 = 𝝈

𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈^𝟐 + 𝟒𝝉^𝟐 𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈^𝟐 + 𝟒𝝉^𝟐

y

_x

_xy x

_x

_xy

_yx

3

1

Czyste ścinanie: 𝝈_𝒙 = 𝝈_𝒚 = 𝟎, 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝉: 𝝈_𝒛𝒓 = 𝟐𝝉 ≤ 𝒌_𝒓 𝝉 ≤ 𝒌_𝒕

…a tymczasem wiadomo, że: 𝒌_𝒕 = 𝟎. 𝟓 ∙ 𝒌_𝒓

𝒌_𝒕- dopuszczalne naprężenia styczne

© T. Machniewicz

(11)

15.3.4. Hipoteza Hubera–Misesa–Hencky’ego (hip. H-M-H)

Założenie: O wytężeniu decyduje wartość energii właściwej odkształcenia postaciowego (_P).

=

^𝝈^ś𝒓

+

𝝈_ś𝒓 3

1 O 2

𝝈_ś𝒓

_O ^(𝝈^𝟐^{− 𝝈}^ś𝒓⁾

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓) 3

1 O 2

(𝝈_𝟑− 𝝈_ś𝒓)

(𝝈_𝟐− 𝝈_ś𝒓)

_P

𝝈_𝟐

𝝈_𝟑 3

1 O 2

𝝈_𝟑

𝝈_𝟐





₁ ₂ ₃



²

6 2

1   _ _



^O E

 

²

6 2 1

z y x

O  E  _ _



     



3 1 ²



2 3 2 2

2

6 1

1  _ _  _ _  _











^P ^O E

       



² ² ² ⁶ ² ² ²



6 1

zx yz xy x

z z

y y

x O

P   E  _ _  _ _  _ _  _ _



Energia właściwa odkształcenia objętościowego

Energia właściwa odkształcenia postaciowego Por. p. 8.8.4. …..

© T. Machniewicz

(12)

𝚽_𝒑 = 𝟏 + 𝝂

𝟔𝑬 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐 ^𝟐 + 𝝈_𝟐 − 𝝈_𝟑 ^𝟐 + 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 ^𝟐 Złożony stan naprężenia

𝑾 = 𝒇(𝝈_𝟏, 𝝈_𝟐, 𝝈_𝟑, 𝐂)

𝝈_𝒛𝒓 = 𝟏

𝟐 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟐 ^𝟐 + 𝝈_𝟐 − 𝝈_𝟑 ^𝟐 + 𝝈_𝟏 − 𝝈_𝟑 ^𝟐 ≤ 𝒌_𝒓 𝚽_𝒑 = 𝟏 + 𝝂

𝟑𝑬 𝝈_𝒛𝒓^𝟐 Jednoosiowe rozciąganie:

Słuszność hipotezy Hubera została potwierdzona dla materiałów sprężysto-plastycznych, w przypadku których znajduje ona obecnie szerokie zastosowanie.

Przestrzenny stan naprężenia:

Płaski stan naprężenia (₃=0): 𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏^𝟐 + 𝝈_𝟐^𝟐 − 𝝈_𝟏𝝈_𝟐 ≤ 𝒌_𝒓

© T. Machniewicz

(13)

Działanie naprężeń normalnych i stycznych:

𝝈_𝒙 = 𝝈 𝝈_𝒚 = 𝟎 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝉

𝝈_𝟏,𝟐 = 𝝈 𝟐 ± 𝟏

𝟐 𝝈^𝟐 + 𝟒𝝉^𝟐

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈^𝟐 + 𝟑𝝉^𝟐

y

_x

_xy x

_x

_xy

_yx

2

1

Czyste ścinanie: 𝝈_𝒙 = 𝝈_𝒚 = 𝟎, 𝝉_𝒙𝒚 = 𝝉: 𝝈_𝒛𝒓 = 𝟑𝝉 ≤ 𝒌_𝒓 𝝉 ≤ 𝒌_𝒕

…a tymczasem wiadomo, że: 𝒌_𝒕 = 𝒌_𝒓

𝟑 ≅ 𝟎. 𝟓𝟗𝒌_𝒓

Płaski stan naprężenia (₃=0): 𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏^𝟐 + 𝝈_𝟐^𝟐 − 𝝈_𝟏𝝈_𝟐 ≤ 𝒌_𝒓

𝝈_𝒛𝒓 = 𝝈_𝟏^𝟐 + 𝝈_𝟐^𝟐 − 𝝈_𝟏𝝈_𝟐

© T. Machniewicz

(14)

𝑷

15.4. Zginanie ze skręcaniem – przypadki „z życia” bioinżynierów

Narzędzia medyczne

http://www.innomed.net

𝑷 b a 𝑴_𝒈 = 𝑷𝒃

𝑴_𝒔 = 𝑷𝒂

Wałki przekładni mechanicznych

news.thomasnet.com

𝑷

y

z 𝑴_𝒈

𝑴_𝐒

x

O

(15)

𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

A

15.4. Zginanie ze skręcaniem – moment zredukowany

y 𝑴_𝒈 z

𝑴_𝐒 x

O

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

A

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} 𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝒈

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈 𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝑺

𝑾_𝑶 ≤ 𝒌_𝑺

𝑾_𝑶 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑

𝟏𝟔 = 𝟐 ∙ 𝑾_𝒈 𝑾_𝒈 = 𝝅 ∙ 𝒅^𝟑

𝟑𝟐

Dla przekroju kołowego o średnicy d

𝝈_{𝒛𝒓,𝑨} = 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}^𝟐 + 𝟒𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}^𝟐 = 𝑴_𝒈 𝑾_𝒈

𝟐

+ 𝟒 𝑴_𝒔 𝟐 ∙ 𝑾_𝒈

𝟐

Zgodnie z hipotezą C-T-G (hip. _max):

= 𝟏

𝑾_𝒈 𝑴_𝒈^𝟐 + 𝑴_𝒔^𝟐 𝑴_𝒛𝒓

𝝈_{𝒛𝒓,𝑨} = 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}^𝟐 + 𝟑𝝉_{𝒔𝒎𝒂𝒙}^𝟐 = 𝑴_𝒈 𝑾_𝒈

𝟐

+ 𝟑 𝑴_𝒔 𝟐 ∙ 𝑾_𝒈

𝟐

Zgodnie z hipotezą H-M-H:

= 𝟏

𝑾_𝒈 𝑴_𝒈^𝟐 + 𝟑 𝟒𝑴_𝒔

𝟐

𝑴_𝒛𝒓 𝑴_𝒛𝒓 - moment zredukowany

(16)

15.5. Zginanie ze skręcaniem – warunek bezpieczeństwa

y 𝑴_𝒈 z

𝑴_𝐒 x

O

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} A

𝑴_𝒛𝒓 = 𝑴_𝒈^𝟐 + 𝑴_𝒔^𝟐 Warunek bezpieczeństwa

𝝈_{𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙} = 𝑴_𝒛𝒓

𝑾_𝒈 ≤ 𝒌_𝒈

𝒌_𝒈- dopuszczalne naprężenia przy zginaniu

𝑾_𝒈- wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie

𝝈_{𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙} = 𝟑𝟐𝑴_𝒛𝒓

𝝅 ∙ 𝒅^𝟑 ≤ 𝒌_𝒈

Moment zredukowany wg hipotezy C-T-G

𝑴_𝒛𝒓 = 𝑴_𝒈^𝟐 + 𝟑 𝟒𝑴_𝒔

𝟐 Moment zredukowany wg hipotezy H-M-H

Dla przekroju kołowego

o średnicy d 𝒅 ≥ 𝟑𝟐𝑴_𝒛𝒓

𝝅 ∙ 𝒌_𝒈

:

𝟑

𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙} A 𝝈_{𝒈𝒎𝒂𝒙}

(17)

15.6. Zginanie ze skręcaniem – przykłady obliczeń

Przykład 15.1: Dla pręta ja na rysunku narysować wykresy momentów:

skręcającego (M_s), gnącego (M_g) i zredukowanego (M_zr), a następnie obliczyć średnicę pręta (d). Porównać wyniki uzyskane przy użyciu hipotezy Hubera oraz hipotezy Coulomba.

Dane: Szukane:

P= 1 kN, k_g=100 MPa, M_s, M_g, M_zr, d a=50 cm, b=1 m, (hip. Hubera oraz Coulomba) P

b a

A

B C

Momenty skręcające:

𝑴_{𝑺(𝑪−𝑩)} = 𝟎 𝑴_{𝑺(𝑩−𝑨)} = 𝑷𝒂 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝑺 (𝑵𝒎)

Momenty zginające:

𝑴_𝒈(𝒁

𝟏) = −𝑷𝒛_𝟏

𝑴_{𝒈(𝑩𝟏)} = 𝑴_𝒈(𝒛_𝟏_=𝒂) = −𝑷𝒂 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴_𝒈(𝑪) = 𝑴_𝒈(𝒛

𝟏=𝟎) = 𝟎

𝑴_𝒈(𝒁

𝟐) = −𝑷𝒛_𝟐 𝑴_{𝒈(𝑩𝟐)} = 𝑴_𝒈(𝒛

𝟐=𝟎) = 𝟎 𝑴_𝒈(𝑨) = 𝑴_𝒈(𝒛

𝟐=𝒃) = −𝑷𝒃 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_𝒈 (𝑵𝒎)

(18)

Przykład 15.1: Dane: Szukane:

b a

A

B C Momenty zredukowane:

𝑴_{𝒛𝒓(𝑪)}^𝑯 = 𝟎

𝑴_{𝒛𝒓(𝑩𝟏)}^𝑯 = 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟎 ^𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴_{𝒛𝒓(𝒊)}^𝑯 = 𝑴_𝒈(𝒊) ^𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝑴_𝑺(𝒊) ^𝟐

𝑴_{𝒛𝒓(𝑩𝟐)}^𝑯 = 𝟎 ^𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟒𝟑𝟑 𝑵𝒎

𝑴_{𝒛𝒓(𝑨)}^𝑯 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟎. 𝟕𝟓 ∙ 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟏𝟎𝟖𝟗. 𝟕𝟐 𝑵𝒎 Średnica:

𝒅_𝑯 ≥ 𝟑𝟐𝑴_{𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙}^𝑯 𝝅 ∙ 𝒌_𝒈

𝟑 = 𝟑𝟐 ∙ 𝟏𝟎𝟖𝟗. 𝟕𝟐 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 𝝅 ∙ 𝟏𝟎𝟎

𝟑 = 𝟒𝟖. 𝟎𝟔 𝒎𝒎

𝑴_𝒛𝒓^𝑯 (𝑵𝒎)

(19)

Przykład 15.1: Dane: Szukane:

b a

A

B C Momenty zredukowane:

𝑴_{𝒛𝒓(𝑪)}^𝑪 = 𝟎

𝑴_{𝒛𝒓(𝑩𝟏)}^𝑪 = 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟎 ^𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

z₁

𝑴_{𝒛𝒓(𝒊)}^𝑪 = 𝑴_𝒈(𝒊) ^𝟐 + 𝑴_𝑺(𝒊) ^𝟐

𝑴_{𝒛𝒓(𝑩𝟐)}^𝑪 = 𝟎 ^𝟐 + 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟓𝟎𝟎 𝑵𝒎

𝑴_{𝒛𝒓(𝑨)}^𝑪 = 𝟏𝟎𝟎𝟎 ^𝟐 + 𝟓𝟎𝟎 ^𝟐 = 𝟏𝟏𝟏𝟖 𝑵𝒎 Średnica:

𝒅_𝑪 ≥ 𝟑𝟐𝑴_{𝒛𝒓,𝒎𝒂𝒙}^𝑪 𝝅 ∙ 𝒌_𝒈

𝟑 = 𝟑𝟐 ∙ 𝟏𝟏𝟏𝟖 ∙ 𝟏𝟎^𝟑 𝝅 ∙ 𝟏𝟎𝟎

𝟑 = 𝟒𝟖. 𝟒𝟕 𝒎𝒎

𝑴_𝒛𝒓^𝑯 (𝑵𝒎)

𝑴_𝒛𝒓^𝑪

(𝑵𝒎)