OPROGRAMOWANIE DO SYMULACJI ZJAWISK DYNAMICZNYCH W SILNIKU INDUKCYJNYM Z WYKORZYSTANIEM MODELU DWUOSIOWEGO

DOI 10.21008/j.1897-0737.2017.91.0019

_______________________________________

* Politechnika Poznańska.

Lech NOWAK*

Krzysztof KOWALSKI*

Paweł ILKÓW*

OPROGRAMOWANIE DO SYMULACJI ZJAWISK DYNAMICZNYCH W SILNIKU INDUKCYJNYM Z WYKORZYSTANIEM MODELU DWUOSIOWEGO

Przedstawiono model matematyczny i oprogramowanie do analizy stanów dyna- micznych trójfazowego silnika indukcyjnego. Parametry schematu zastępczego są wy- znaczane z wykorzystaniem modelu polowego.

Do analizy dynamiki wykorzystywany jest model, w którym układ trójfazowy został przekształcony do układu dwuosiowego. Dzięki temu uzyskano zmniejszenie liczby

„prądowych” zmiennych stanu z 6 do 4. Do układu włączono dodatkowe równanie bilansu momentów obrotowych. W algorytmie uwzględniono strumienie rozproszone i zjawisko nasycania się obwodu głównego. Wykorzystując środowisko Microsoft Visual Studio 2012 z językiem programowania C# opracowano program komputerowy umożliwiający symulację zjawisk nieustalonych. Zaprezentowano wybrane wyniki symulacji.

SŁOWA KLUCZOWE: silniki indukcyjne, dwuosiowy model maszyny elektrycznej, stany dynamiczne maszyn elektrycznych

1. WPROWADZENIE

W procesie rekursywnego projektowania urządzeń elektromagnetycznych, a w szczególności w procesie automatycznej optymalizacji (z wykorzystaniem np. algorytmów genetycznych – AG lub metody roju cząstek – PSO) konieczne jest opracowanie dokładnego, ale jednocześnie obliczeniowo efektywnego mode- lu matematycznego optymalizowanego urządzenia. W procesie optymalizacji bowiem, obliczenia są wykonywane dla wielu wariantów urządzenia (osobników w pokoleniu AG, cząstek w jednym kroku czasowym PSO) [6]. Obliczenia są przy tym powtarzane wielokrotnie w kolejnych pokoleniach – dla poszczególnych osobników generacji. Liczba wywołań funkcji celu (przystosowania) może w całym procesie sięgać kilku tysięcy. Obliczenia optymalizacyjne z wykorzysta-

niem w pełni polowego modelu zjawisk w silnikach indukcyjnych byłyby długo- trwałe; w realnym czasie praktycznie niewykonalne. Szczególnie dotyczy to przy- padku, gdy w procesie optymalizacji wykorzystywane są (np. w kompromisowej funkcji celu lub w zbiorze ograniczeń) parametry dynamiczne, opisujące np. roz- ruch silnika. W takim przypadku, wyznaczenie przystosowania (funkcji celu) dla jednego osobnika (z populacji obejmującej dziesiątki, a nawet setki osobników) w jednym tylko pokoleniu wymaga analizy pełnego stanu dynamicznego, to jest wyznaczenia rozkładu pola dla kilkuset kroków czasowych. W całym procesie optymalizacji rozkład pola musiałby być wówczas wyznaczany nawet kilkaset tysięcy razy. Dlatego zaproponowano model pośredni.

W artykule przedstawiono tzw. obwodowo-polowy model trójfazowego silnika indukcyjnego. Parametry silnika, takie jak indukcyjności własne, indukcyjności rozproszenia i indukcyjności wzajemne są wyznaczane z wykorzystaniem modelu polowego. Parametry te zostały stablicowane dla dyskretnych wartości zmien- nych decyzyjnych. W trakcie procesu projektowego parametry są pobierane z bazy danych  z wykorzystaniem zasad interpolacji względem zmiennych pro- jektowych. Do analizy nieustalonych stanów pracy zastosowano model obwodo- wy – z uwzględnieniem równania dynamiki. Układ 6 równań napięciowych opi- sujących stany dynamiczne we współrzędnych naturalnych został przekształcony do układu dwuosiowego, co oznacza zmniejszenie liczby zmiennych stanu do 4.

Do tego dochodzi oczywiście równanie mechaniczne – równowagi momentów obrotowych. Wykorzystując środowisko Microsoft Visual Studio 2012 z językiem programowania C# opracowano program komputerowy umożliwiający symulację zjawisk nieustalonych.

2. MODEL MATEMATYCZNY ZJAWISK DYNAMICZNYCH

Założono, że trójfazowe obwody silnika stanowią układ symetryczny – za- równo pod względem elektrycznym jak też magnetycznym.

W porównaniu z klasycznym dwuosiowym opisem obwodowym [4, 5] zapro- ponowano model udoskonalony – z uwzględnieniem w indukcyjnościach skład- ników związanych ze strumieniem głównym i strumieniem rozproszenia.

W pierwszym wariancie oprogramowania przyjęto, że charakterystyka magne- sowania obwodu głównego jest liniowa. Następnie udoskonalono opracowany model i oprogramowanie – uwzględniając zjawisko nasycania się obwodu ma- gnetycznego.

Z uwagi na założoną symetrię elektryczną i magnetyczną obwodu stojana, przy założeniu liniowości obwodu magnetycznego, rezystancje i indukcyjności własne uzwojeń fazowych stojana i wirnika są identyczne i równe odpowiednio R₁, L₁ oraz R₂, L₂, przy czym indukcyjności własne są sumą indukcyjności roz- proszenia oraz indukcyjności głównych:L₁L_1L_1; L₂L_2L_2.

Zgodnie z założeniami, przyjęto ponadto, że indukcyjności wzajemne po- między uzwojeniami stojana (M₁₁) oraz indukcyjności wzajemne pomiędzy uzwojeniami wirnika (M22) są stałe, niezależne od kąta położenia wirnika, przy czym:



 

 _{1 1}

11 L cos120 0,5L

M ^ ; M₂₂ L_2cos120^0,5L_2 (1) Natomiast indukcyjności wzajemne pomiędzy uzwojeniami stojana i uzwoje- niami wirnika wyrażają się zależnościami:

)

12cos(





M M M

M_{Aa Bb Cc} (2a)

) 120

12cos(

 







M M M

M_{Ab Bc Ca} (2b)

) 120

12cos(

 







M M M

M_{Ac Ba Cb} (2c)

przy czym: M₁₂ L_1L_2 oznacza wartość maksymalną indukcyjności wza- jemnych stojan-wirnik, występującą przy pokrywaniu się magnetycznych osi uzwojeń.

Dynamikę silnika opisuje układ 7 równań różniczkowych, w tym 6 równań bilansu napięć (pierwszego rzędu) i jedno równanie bilansu momentów obroto- wych (drugiego rzędu) [1,2,4]. Wektory napięć i prądów w naturalnym, trójfa- zowym układzie współrzędnych mają postać:



_{A B C a b c}



^T

N  u u u u u u

U oraz I_N ^



ⁱ_A ⁱ_B ⁱ_C ⁱ_a ⁱ_b ⁱ_c



^T

przy czym duże litery odnoszą się do stojana, małe natomiast – do wirnika.

Macierz impedancji Z układu równań napięciowych: _N U_N Z_NI_N, zgodnie z przyjętymi założeniami i oznaczeniami można zapisać w postaci:





















































































p L R p

M p

M pM

pM pM

p M p

L R p

M pM

pM pM

p M p

M p

L R pM

pM pM

pM pM

pM p L R p

M p

M

pM pM

pM p

M p

L R p

M

pM pM

pM p

M p

M p

L R

2 2 22

22 12

1 12 2 12

22 2

2 22

2 12 12

1 12

22 22

2 2 1 12 2 12 12

12 2 12 1 12 1

1 11

11

1 12 12

2 12 11

1 1 11

2 12 1 12 12

11 11

1 1

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

cos cos

cos

(3)

w której: pd dt – operator różniczkowania względem czasu; ₁120^, 120

2 

 ( – kąt obrotu wirnika).

Dla zwiększenia dokładności obliczeń numerycznych, zmienne stanu po- winny być unormowane, to znaczy ich wartości nie powinny mocno się różnić.

Z tego powodu, a także dla uproszczenia wizualizacji przebiegów nieustalo- nych, w obliczeniach posługiwano się wielkościami strony wtórnej (wirnika) sprowadzonymi na stronę pierwotną (stojana), przy czym dalej, w zapisie pomi- nięto symbol „prim”.

W celu ograniczenia liczby zmiennych stanu trójfazowe układy uzwojeń sto- jana (A, B, C) i wirnika (a, b, c) przetransformowano do układów dwufazowych



, , przy czym osie  układów dwufazowych pokrywają się z osiami faz „A”

i „a”. Dla pojedynczego układu (stojana lub wirnika) przekształcenie można zapisać w postaci u _c Cu_N, i _c Ci_N. W celu zapewnienia inwariantności mocy w układzie dwufazowym należy wprowadzić dodatkowe uzwojenie, które nie generuje przepływu (usytuowane „w osi maszyny” - indeks „0”). Wówczas macierz przekształcenia [4, 7]:













































2 1 2 1 2 1

2 3 2

0 3

2 1 2 1 1

3

C 2 (4)

Macierz impedancji układu dwufazowego wyznacza się z zależności:

C Z C

Z_c  ^T _N . Po przekształceniach, z uwzględnieniem sprowadzenia wielkości strony wtórnej na stronę pierwotną, otrzymuje się:



























































































































































02 2 2 01 1 1

2 2 2 2 2 2 1 1

1 1 1 1

02 2 2 01 1 1

0 0

0 0

0

0 0

0 cos

sin

0 0

0 sin

cos

0 0

0 0

0

0 cos

sin 0

0

0 sin

cos 0

0

i i i i i i

p L R p L R Mp

Mp

p L R Mp

Mp

p L R

Mp Mp

p L R

Mp Mp

p L R

u u u u u u





















(5)

przy czym zastępcza indukcyjność wzajemna M 3 M2 ₁₂.

Jeżeli skuteczna wartość napięć symetrycznego układu trójfazowego jest równa U, to skuteczna wartość napięć u ,_ u_ układu dwufazowego jest równa

U 2

3 , a napięcie uzwojenia „osiowego” U₀ 0. Analogiczna sytuacja ma miejsce w odniesieniu do prądów. W analizie układu niesymetrycznego, równa- nia dotyczące składowych „osiowych” muszą być uwzględnione. Jednak jak wynika z układu (5), równania dla składowych „osiowych” mają postać:



_{1 1}



₀₁

01 R L i

u   _ , u₀₂



R₂L_2



i₀₂ .

Składowe te nie są więc powiązane z pozostałymi zmiennymi stanu. Mogą być wyznaczanie niezależnie. W globalnym systemie równań dwufazowego układu elektromechanicznego z silnikiem indukcyjnym muszą być uwzględnione, oprócz równania bilansu momentów tylko 4 równania napięciowe z poszukiwa- nymi zmiennymi stanu i_1

 

t ,i_1

 

t ,i_2

 

t ,i_2

 

t oraz ich pochodnymi.

Macierz impedancji Z_c o wymiarach 4 4 można przedstawić w postaci sumy trzech składników: macierzy rezystancji Rc, macierz indukcyjności wła-

snych i wzajemnych Lc oraz tzw. macierzy żyratorów rNc, zawierających ele- menty wymnożone przez prędkość kątową r:



























































0 0

sin cos

0 0

cos sin

sin cos

0 0

cos sin

0 0

] [

M M

M M

M M

M M

M _r

r (6)

Ponieważ moc jest inwariantem przekształcenia, zatem moment elektromagne- tyczny:

         

_C ^T _C

r C r T C r

e Pmech i M i i M i

T 



 

  (7)

Po wykonaniu wskazanych działań otrzymuje się:

   



sin 1 2 1 2 cos 1 2 2 1



2  _{ }  _{ }   _{ }  _{ }



 M i i i i i i i i

T_e (8)

3. NUMERYCZNY ALGORYTM I OPROGRAMOWANIE DO SYMULACJI DYNAMIKI SILNIKA W UKŁADZIE

DWUOSIOWYM

W celu rozwiązania układu sprzężonych równań napięciowych i równania równowagi mechanicznej, opracowano oprogramowanie w środowisku programi- stycznym Microsoft Visual Studio 2012 [3]. W środowisku tym dostępne są trzy podstawowe rodzaje projektów wynikające z wyboru języka programowania. W opracowanej aplikacji wybrano język C#.

Do rozwiązywania układu równań różniczkowych wykorzystano metodę Rungego-Kutty czwartego rzędu. W tym celu, układ równań różniczkowych z sześcioma zmiennymi stanu należy przedstawić w postaci normalnej Cau- chy’ego, to znaczy w postaci ^dyj ^{dt f}j



^yj^,t



^{; j1,2,...,6}. Cztery pierw- sze zmienne to prądy w uzwojeniach; dwie dalsze – prędkość kątowa i kąt _r

 obrotu wirnika.

W każdym z 4–ch równań napięciowych występują pochodne 3 prądów.

W celu sformowania równań w postaci normalnej, powyższy układ potraktowano jak układ 4–ech równań algebraicznych zawierający 4 niewiadome – pochodne prądów:di_1 dt,di_1 dt, di_2 dt, di_2 dt. Po rozwiązaniu względem po- chodnych otrzymuje się układ czterech równań napięciowych oraz dwóch równań dynamiki w postaci normalnej:





























 







 







 







 

















 

















 

D

N i N i N i N i N t i

D

N i N i N i N i N t i

D

N i N i N i N i N t i

D

N i N i N i N i N t i

44 2 43 2 42 1 41 1 40 2

34 2 33 2 32 1 31 1 2 30

24 2 23 2 22 1 21 1 20 1

14 2 13 2 12 1 11 1 1 10

d d

d d

d d

d d

(9)

   

 

J

T i i i i i

i i i M t

r        o

  2 sin 1 2 1 2 cos 1 2 2 1

d

d (10)

t r

 d

d (11)

przy czym: użyte symbole oznaczają:































sin cos

cos sin

sin cos

2 2

14

2 2

13

2 12

2 1 11

2 2

1 2 10

M R M

L N

M R M

L N

M N

L R N

u M u

M u L N

r r

r











































sin cos

cos sin

cos sin

2 2

24

2 2

23

2 1 22

2 21

2 2

1 2 20

r r r

M L M

R N

M L M

R N

L R N

M N

u M u

M u L N













2 34

2 1 33

1 1

32

1 1

31

2 1 1

1 30

sin cos

cos sin

sin cos

M N

R L N

M R M

L N

M R M

L N

u L u

M u

M N

r r r













































2 1 44

2 43

1 1

42

1 1

41

2 1 1 1

40

cos sin

sin cos

cos sin

R L N

M N

M R M

L N

M R M

L N

u L u M u M N

r r r













































oraz: DL₁L₂M²

4. ANALIZA STANÓW PRACY Z UWZGLĘDNIENIEM NIELINIOWOŚCI OBWODU GŁÓWNEGO

W celu dokładnego uwzględnienia zjawiska nieliniowości obwodu magne- tycznego należy zastosować model w pełni polowy. Tylko bowiem za pomocą takiego modelu można uwzględnić różny stopień nasycenia poszczególnych części obwodu i wynikające z tego faktu różne wartości indukcyjności głów- nych i wzajemnych odnoszących się do poszczególnych faz uzwojenia stojana i wirnika. Silne i niestety zróżnicowane nasycenie poszczególnych zębów stojana i wirnika wpływa w istotny sposób także na wartości reaktancji rozproszenio- wych poszczególnych uzwojeń.

W algorytmie, w sposób przybliżony uwzględniono nieliniowość obwodu głównego dla modelu dwufazowego, ze sprowadzoną stroną wtórną. Parametry sprowadzone wyrażają się relacjami:



  ₂

2 u

u , i₂i_r  R₂R₂², L₂ L₂² przy czym przekładnia:

u f

u f

k z

k z m m

2 2

1 1 2

 1

 (12)

gdzie: m – liczby faz, z_f– liczby zwojów jednej fazy, k_u– współczynniki uzwojenia.

Sprowadzone indukcyjności główne i wzajemne wyrażają się zależnościami:



 

 ² ₂

2 L

L M₂₂ ²M₂₂, M₁₂ M₁₂ (13) Przy poczynionych założeniach

      

 M M M L

L_{2 11 22 12} (14)

Strumienie główne skojarzone z dwiema fazami stojana i wirnika są w takim przypadku równe:  L



i1i2



,  L



i1i2



.

Rozróżnienie indukcyjności głównych w osiach  i jest konieczne w anali- zie maszyny z obwodem nieliniowym. W przypadku liniowym L_ L_ L_.

Strumień wypadkowy:  ²_²_ . Położenie wektora strumienia wypadkowego względem osi fazy  określa kąt , przy czym tg_ _.

W programie, w postaci stablicowanej zdefiniowano funkcje



 



 

,L f ,

L opisujące zależność indukcyjności głównych od wartości strumienia wypadkowego, decydującego o wypadkowym stopniu nasycenia obwodu maszyny oraz od kąta  . W trakcie rekurencyjnych obliczeń numerycz-

nych metodą Rungego-Kutty, indukcyjności w n–tym kroku czasowym są okre- ślane następująco:

 



 ^1^, ^1



ⁿ  f ⁿ ⁿ

L ; L^{ }ⁿ  f



^{n1,90o}^n1



5. SYMULACJA WYBRANYCH STANÓW DYNAMICZNYCH

W celu sprawdzenia dokładności i efektywności opracowanego oprogramo- wania wykonano szereg testów obliczeniowych odwzorowujących stany dyna- miczne silnika SG 160M 2 A produkcji firmy CELMA-INDUKTA (grupa CANTONI

o mocy 11 kW. Pozostałe dane katalogowe przedstawiono w tabeli 1.

Tabela 1. Parametry znamionowe silnika SG 160M 2A, 11 kW

Napięcie UN 400V

Prędkość obrotowa n_N 2945 obr/min

Prąd IN 20,3A

Sprawność _N 90%

Współczynnik mocy cos_N 0,87

Moment: TN 35.7 Nm

Krotność prądu rozruchowego: 7,7

W pierwszej kolejności przeprowadzono symulację rozruchu silnika przy ob- ciążeniu maszyną roboczą o wentylatorowej charakterystyce mechanicznej:



N



N

N T

T

T()0,03    ²0,97 . Dla prędkości _N, moment T = TN. Przebiegi momentu elektromagnetycznego oraz prędkości obrotowej ilustruje rys. 1, natomiast na rys. 2 przedstawiono trajektorię punku pracy silnika w płasz- czyźnie T. Przebiegi prądów stojana i prądów wirnika pokazano na rys. 3a i 3b. Punt pracy układu powinien ustalić się na przecięciu się charakterystyk sil- nika i maszyny roboczej. Z uwagi na przyjęty kształt wentylatorowej charaktery- styki obciążenia powinien być to znamionowy punkt pracy silnika _N oraz

TN

T  . Jak wynika z rys. 1a, b oraz 2, w wyniku przeprowadzonej symulacji osiągnięto stabilny i prawidłowy punkt pracy. Dokładność programu potwierdza także rys. 3a. Amplituda prądów stojana ustala na poziomie około 28,5 A, a to oznacza, że skuteczna wartość prądu ustalonego I I_N = 20,3A.

Średnia wartość amplitudy prądów stojana podczas rozruchu jest równa około 220 A. Wartość skuteczna zatem I_R 156 A. To oznacza że krotność prądu rozru- chowego I_R/I_N = 7,68 pokrywa się z wartością katalogową.

W przebiegach prądów wirnika (sprowadzonych na stronę pierwotną) obser- wuje się prawidłową zmianę częstotliwości w miarę wzrostu prędkości obroto- wej.

a) b)

Rys. 1. Rozruch silnika obciążonego maszyną o charakterystyce wentylatorowej:

(a) przebieg momentu elektromagnetycznego, (b) przebieg prędkości kątowej

Rys. 2. Trajektoria punktu pracy ^T ^ podczas rozruchu silnika obciążonego maszyną o charakterystyce wentylatorowej

Dla potwierdzenia dokładności i stabilności opracowanego schematu oblicze- niowego (odporności schematu na zakłócenia) przeanalizowano szereg stanów dynamicznych występujących przy skokowych zmianach parametrów obciążenia lub parametrów zasilania.

Rysunki 4 i 5 ilustrują stan dynamiczny występujący po skokowej zmianie momentu obciążenia  z T T_N do T 2,25T_N (chwilowym przeciążeniu silni- ka). Prąd stojana wzrósł w stosunku 2,244 razy. Także w tym przypadku wyniki są zgodne z oczekiwaniami wynikającymi z katalogowych parametrów i charak- terystyk silnika. Są nawet bardziej zbliżone do tych parametrów niż wyniki uzy- skane na drodze eksperymentalnej.

Kolejny eksperyment obliczeniowy ilustruje stan dynamiczny występujący po skokowym spadku napięcia do wartości 70% U_N, przy zachowaniu znamio- nowej częstotliwości i znamionowego momentu obciążenia. Wyniki przedsta- wiono na rysunkach 6 i 7.

a)

b)

Rys. 3. Rozruch silnika obciążonego maszyną o charakterystyce wentylatorowej:

(a) przebiegi prądów stojana, (b) przebiegi sprowadzonych prądów wirnika

Rys. 4. Stan dynamiczny po skokowej zmianie momentu obciążenia z T_N do 2,25T_N

a) b)

Rys. 5. Przebiegi prądów stojana i wirnika po skokowej zmianie momentu obciążenia

Rys. 6. Przebieg momentu oraz prędkości kątowej po skokowym spadku napięcia do 0,7U_N

Rys. 7. Przebiegi prądów po skokowym spadku napięcia do 0,7U_N

Przy spadku napięcia prąd stojana wzrósł 1,46 razy, a więc w jeszcze więk- szym stosunku niż (0,7)^–1. To oznacza, że silnik pracuje stosunkowo blisko punk- tu krytycznego – przy mniejszej sprawności.

Ostatni test związany jest z procesem częstotliwościowej regulacji prędkości obrotowej. Częstotliwość napięcia zasilającego została skokowo zmniejszono do wartości 40 Hz (0,8fN), przy niezmienionym, znamionowym obciążeniu i zachowaniu niezmienionego stosunku U/f (zmniejszeniu napięcia do wartości 0,8U_N). Wyniki przedstawiono na rysunkach 8 i 9.

Rys. 8. Przebieg momentu oraz prędkości kątowej przy zmianie częstotliwości – do f 0,8f_N

Rys. 9. Przebieg prądów przy zmianie częstotliwości – do f0,8f_N

6. PODSUMOWANIE

Do analizy stanów dynamicznych silników indukcyjnych opracowano model obwodowo-polowy, w którym funkcje określające zależność parametrów obwodu elektrycznego silnika od parametrów opisujących jego strukturę geometryczną zostały wyznaczone z wykorzystaniem metod polowych i zmagazynowane w po- staci tablic. Taki algorytm zwiększa dokładność docelowego modelu obwodowego.

W porównaniu z dotychczas stosowanymi dwuosiowymi opisami obwodowymi, zaproponowany model umożliwia wyodrębnienie indukcyjności rozproszeniowych.

Opracowana procedura umożliwia także, uwzględnienie w sposób przybliżony zjawiska nasycania się obwodu magnetycznego głównego maszyny.

Wykorzystując środowisko Microsoft Visual Studio 2012 z językiem progra- mowania C# opracowano program komputerowy. Zastosowanie dwuosiowego modelu maszyny ze współrzędnymi stanu w postaci prądów oraz zastosowanie metody Rungego-Kutty do rozwiązywania układu równań różniczkowych opisują- cych dynamikę silnika umożliwiło bardzo efektywne, pod względem obliczenio- wym, działanie programu, który umożliwia symulację dowolnego stanu dynamicz- nego w czasie poniżej jednej sekundy.

Zrealizowane eksperymenty obliczeniowe, odwzorowujące szereg różnych co do charakteru stanów dynamicznych potwierdziły prawidłowe działanie oprogra- mowania. Oprogramowanie może być z powodzeniem wykorzystane do wyzna- czania parametrów dynamicznych silników oraz do ich syntezy, to znaczy w proce- sie projektowanie i optymalizacji.

LITERATURA

[1] Demenko A., Symulacja dynamicznych stanów pracy maszyn elektrycznych w ujęciu polowym. Wydawnictwo Politechniki Poznańskiej, Poznań 1997.

[2] Dmitrievskii V. et al, Choice of a numerical differentiation formula in detailed equivalent circuits models of linear induction motors, International Symposium

on Power Electronics, Electrical Drives, Automation and Motion, P. 458 – 463, 2016.

[3] Farbaniec D., Microsoft Visual Studio 2012. Programowanie w C#, Helion 2013.

[4] Krause P, Wasynczuk O., Sudhoff D., Pekarek S., Analysis of Electric Machinery and Drive Systems, 3rd Edition, Wiley–IEEE Press 2013.

[5] ModreanuM., et al., Numerical modeling of a small power high speed induction motor, 2011 7th International Symposium on Advanced Topics in Electrical Engineering, P.:1–4, 2011.

[6] Sarker R., et al, Evolutionary Optimization International Series in Operations Research & Management Science, Volume 48, Kluwer Academic Publishers 2003.

[7] Youpeng Huangfu Y., et al., Transient Performance Analysis of Induction Motor Using Field–Circuit Coupled Finite–Element Method, IEEE Transactions on Magnetics, Volume 50, Issue 2, ASN 7021604, 2014.

APPLICATION OF TWO-AXIAL MODEL FOR SIMULATION OF THE INDUCTION MOTOR DYNAMICS

In the paper the mathematical model and computer software for analysis of three phase induction motor dynamic operation have been presented. Parameters of the equivalent circuit have been determined on the basis of the magnetic field calculation.

In elaborated model, the three phase system was converted to two-axial model. This reduced number of variables from 6 to 4. Additionally, the equation of the torque balance was included. In the algorithm the leakage fluxes and the saturation of the iron core have been taken into account. Using Microsoft Visual Studio 2012 (programming language C #) the computer code for the simulation of induction motor dynamics has been elaborated. Selected results of simulation are presented.

(Received: 03. 02. 2017, revised: 17. 02. 2017)