Rachunek prawdopodobieństwa
2. Twierdzenia graniczne dla schematu Bernoulliego – zadania do samodzielnego rozwiązania
Zad. 2.1 Internat zakupił 500 jednakowych szklanek w hurtowni, w której towar zawiera prze- ciętnie 4% braków. Oszacuj prawdopodobieństwo, że wśród zakupionych szklanek jest mniej niż 30 uszkodzonych.
Zad. 2.2 Rzucamy 15 000 razy symetryczną kostką. Oszacuj prawdopodobieństwo, że liczba wy- rzuconych szóstek będzie się różnić od 2 500 o więcej niż 100.
Zad. 2.3 Ile razy należy rzucić symetryczną monetą, żeby prawdopodobieństwo tego, że częstość pojawienia się orła odchyli się od 0,5 o mniej niż 0,2 było większe niż 0,95?
Zad. 2.4 Jak dużą próbkę należy pobrać, aby z prawdopodobieństwem co najmniej 0,99 średnia z próbki różniła się od wartości oczekiwanej o mniej niż 2 odchylenia standardowe? Wyznacz wielkość próbki także dla rozkładu normalnego, korzystając z jego własności.
Uwaga: Próbka to ciąg niezależnych zmiennych losowych X1, X2, . . . , Xn o tym samym rozkładzie. Średnia ¯X = (X1 + . . . + Xn)/n.
Zad. 2.5 Z talii 52 kart losujemy trzy razy po jednej karcie ze zwracaniem i zapisujemy wynik.
Wykonujemy powyższe doświadczenie 1 100 razy. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że trzy 10 otrzymaliśmy przynajmniej 3 razy.
Zad. 2.6 Przy jednym wystrzale trafia się w dany cel z prawdopodobieństwem równym 0, 001.
Do uszkodzenia celu niezbędne są przynajmniej dwa celne trafienia. Jakie jest prawdopodo- bieństwo uszkodzenia celu, jeśli oddano 5 000 strzałów?
Zad. 2.7 Maszyna składa się z 10 000 części, z których każda, niezależnie od pozostałych, może się okazać wadliwa z prawdopodobieństwem pi, przy czym dla n1 = 1 000, n2 = 2 000, n3 = 7 000 części mamy, odpowiednio, p1 = 0, 0007, p2 = 0, 0003, p3 = 0, 0001. Maszyna nie działa, jeśli co najmniej dwie części są wadliwe. Jakie jest przybliżone prawdopodobieństwo, że nie będzie ona działać?
Zad. 2.8 Obliczyć przybliżone prawdopodobieństwo, że w serii 1 000 wyprodukowanych igieł dzie- wiarskich znajdują się co najmniej 2 braki, jeżeli wiadomo, ze przeciętny procent braków wynosi 3 promile.
Zad. 2.9 Wyznaczyć w przybliżeniu prawdopodobieństwo, że wśród 365 losowo wybranych osób 5 urodziło się 10 lub 11 listopada (zakładamy, że wszystkie daty urodzin są jednakowo prawdopodobne).
Zad. 2.10 Prawdopodobieństwo urodzenia się chłopca wynosi 0,517. Jakie jest prawdopodobień- stwo, że wśród n = 10 000 noworodków liczba chłopców nie przewyższy liczby dziewcząt?
Zad. 2.11 Wydział Matematyki chciałby przyjąć nie więcej niż 130 kandydatów. Zdających jest 400, a szansa zaliczenia egzaminu wstępnego wynosi 0,3. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wydział będzie miał kłopoty z nadmiarem studentów?
Zad. 2.12 Prawdopodobieństwo, że w czasie T przestanie świecić żarówka jest równe 0,1. Oblicz prawdopodobieństwo, że w czasie T spośród 200 przestanie świecić od 7 do 19 żarówek.
Zad. 2.13 Linie lotnicze odnotowały po latach doświadczeń, że 1/10 pasażerów, którzy mają rezerwację na dany lot, nie zgłasza się do odprawy. Linie te na pewien lot sprzedały 441 re- zerwacji przy 420 miejscach w samolocie. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dla co najmniej 1 pasażera zabraknie miejsca?
