Gottlob Frege jako twórca pierwszego systemu aksjomatycznego współczesnej logiki zdań.

GOTTLOB FREGE JAKO TWÓRCA PIERWSZEGO SYSTEMU AKSJOMATYCZNEGO WSPÓŁCZESNEJ

LOGIKI ZDAŃ

SKRÓTY BIB LIO G R A FIC ZN E

F r e g e , == B egriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formel- sprache des reinen Denkens, von Dr G o t t l o b F r e g e Privatdor centen der M athem atik an der U niversitat Jena, Halle a. s. 1879..

F r e g e j = Anwendungen der Begriffsschrift, vorgetraeen von Dr F r e g e- am 24 Jan n ar 1879, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellachaft fur Mediein a n d N a tur wissenschaft fur das J a h r 1879, 29—33.

F r e ge 3 = Uber den Zweck der B egriffsschrift, vorgetragen von Dr F r e g e am 27 Jan n ar 1882, Sitzungsberichte der Jenaischen Gesellachaft fur Mediein und Natur wissenschaft fur das J a h r 1882, 1— 10.

F r e g e 4 = Ueber die wissenschaftliche Berechtigung einer B egriffsschrift, von Dr F r e g e , Professor an der U niversitat Jena, Zeitschrift fur Philosophie nnd philosophische K ritik, L X X X I (1882) 48—56.

F r e g e 6 = F r e g e G., Ueber die B egriffsschrift des H e rm Peano und’

meine eigene, Berichte iiber die Yerhandlungen der koniglich sachsi- schen Gesellschaft der Wissenschaften zu Leipzig, M atbem atisch— >

physische Classe, X L V III (1896) 361— 378.

F r e g e , = Grundgesetse der Arithm etik, begriffsschriftlich abgeleitet vo n Dr F r e g e , Professor an der D niversitat Jena, I — II, Jena 1893—

• 1903.

H o p p e = Archiv der M athem atik und Physik, L X III (1879) Litterari- scher Bericht, CCLII, 44—45.

L a s s w i t z = Jenaer Literaturzeitung, V I (1879) 248 — 249.

Ł u k a s i e w i c z = : Ł u k a s i e w i c z J a n , Z historji lo g ik i zd ań, Prze­

gląd Filozoficzny, X X X V II (1934) 417 — 437.

Ł u k a s i e « i c z - T a r s k i = : L u k a s i e w i c z J. i T a r s k i A., Un- tersuchungen uber den Aussagenkalkiil, Comptes Rendus des seances de la Societe des Sciences et des Lettres de Varsovie, Classe III,.

X X III (1930) 30—50.

M i c h a g l i s = Zeitschrift fiir V@Ikerpsychologie und Sprachwissen- schaft, X II (1880) 232—240.

S c h o I z l = S c h o l z H., Geschichte der L ogik (Geschichte der Philoso­

phie in L3ngsschnitten, herausgegeben von Prof. Dr W illy Moogr Heft 4) Berlin 1931.

S c h o l z 2 = S c h o l z H., Dk klassische deutsche Philosophie und die neue' L o g ik, Actes da Congres International de Philosophie scientifique, ... Sorbonne, V III (1935) Histoire de la Logique et de la Philosophie

scientifique, Paris 1936.

S c h o l z ■ B a c h m a n n == S c h o l z H., n n d B a c h m a n n F., D er wissenschaftliche Nachlass von Gottlob Frege, Actes du Congres International de Philosophie scientifique, Sorbonne, V III (1935) Hi­

stoire de la Logique et de la Philosophie scientifique, Paris 1936- S c h r S d e r = Zeitschrift fiir M athem atik un d Physik, X X V (1880) Histo­

riach—literarische A btheilung, 81—94.

S e x t u s = Sexti E m p irici Opera, ex Mss codicibus castigavlt, versiones em endavit supplevitque, et to ti operi notas a d d id it Jo. A lbertus

• Fabricius, Lipsiae 1718.

Ś l e s z y ń s k i = Teoria dowodu (Podług w y kład ów uniwersyteckich prof. dra Ja n a Śleszyńskiego opracowana przez S. K. Zarembę) 1— II, K raków 1925—1929.

H e r m e s - S c h o l z = H e r m e s H. und S c h o l z H., E in neuer Volls- łdndigkeitsbeweis fiir das reduzierte Fregesche Axiomensystem des Aussagenkalkiils, Deutsche M athem atik, Jahrgang I, Heft 6 (1936) 733—772.

W roku 1879 ukazał się w Hali niewielki traktat logicz­

ny, obejmujący 88 stronic, p. t.: Begrijfsschrift, eine der arith- meiischen ncichgebildete Formelsprache des reinen Denkens1

Autorem tego traktatu jest Gottlob Frege, docent pry­

watny matematyki Uniwersytetu w Jenie, urodzony w r. 1848r a zmarły w r. 1925.

1 W ykaz bibliograficzny prac logicznych F r e g e g o jest um iesz­

czony w w ydaw nictw ie am erykańskim The Jo u rn a l o f symbolic L ogicr w tom ie I, nr 4 (December 1936) oraz w tom ie III, nr 4 (December 1938), który zawiera listę uzu pe łnie ń i sprostowań do biblio grafii logiki symbo­

licznej z roku 1936, sporządzoną przy w spółudziale prof. A. Fraenklar prof. H. Scholza i autora niniejszej pracy przez Alonzo Church’a. O ręko­

pisach pośm iertnych Fregego inform uje H. Scholz i F. Bachm ann w re~

feracie D er wissenschaftliche N achlass von Gottlob Frege (Scholz— Bach- m ann, ss. 24—30).

Ten traktat jest pierwszą publikacją tego uczonego z dziedziny logiki i stanowi początek nowego okresu w roz­

woju tej nauki.

Ze względu na niezwykle i trwałe jego wartości nauko­

we chciałbym w niniejszej pracy w sposób możliwie jasny i prosty poddać po raz pierwszy dokładnej analizie jego treść, a w związku z tym przedstawić także pierwsze stadium roz­

woju ideografii Fregego, uwzględniając przy tym i inne pisma lego autora, które się wiążą z niniejszym traktatem.

Traktat B egrifjsschrijł był w ciągu dłuższego czasu za­

pomniany. Dopiero Bertrand Russell pierwszy, jak sam to mówi, zwrócił na niego uwagę i po wielu latach wydobył go -z zapomnienia2. Podobny los niegdyś dzielił i słynny cztero­

tomowy traktat logiczny z r. 1837 p. t.: Wissenschaftslehre Bernharda Bolzana, wydobyty z zapomnienia także dopiero po wielu latach przez Edmunda Husserla.

O znaczeniu traktatu Fregego i zasługach naukowych jego autora mówią: K. Lasswitz3, R. Hoppe4, E. Schroder5, C. Th. Michaelis6, L. Rabus7, a w ostatnich latach J. Luka­

sie wicz8 i H. Scbolz9.

2 R u s s e l l , s. 25, q w. 2: „These definitions and the generalised theory of induction are due to Fregs, and were published so long ago .as 1879 in his Begriffsschrift. In spite of the great value of this work,

I wasj I believe, the first person who ever read it, — morę th an t wen­

ty years after its publication".

3 L a s s w i t z , ss. 248— 249.

4 H o p p e , ss. 44—45.

s Schroder,

6 M i c h a e l i s , s. 233.

7 L. R a b n s , Die neusten Bestrebungen a u f dem Gebiete der L o g ik bei den Deutschen und die logische Frage, Erlangen 1880.

8 Ł n k a s i e w i c z , s. 435: „ I oto spotykam y się naraz ze zja­

w iskiem , które w histo rji lo giki jest w swoim rodzaja jedyne. Bez ża­

d nego pośrednictwa, ta k że niepodobna sobie fa k tu tego historycznie wytłumaczyć, wyskakuje współczesna logika zdań w postaci nie m al z u ­ pełnie doskonałej z genialnej głowy G ottloba Fregego, tego największe­

g o logika naszych czasów. W roku 1879 Frege wydaje niew ielką, ale ze

Traktat Begriffsschrift składa się z Przedmowy autora i trzech części głównych.

W części pierwszej (§§ 1— 12) autor wyjaśnia znaczenie- stworzonych przez siebie symbolów.

W części drugiej (§§ 13—22) stosuje te symbole do logiki i przy ich pomocy wyraża zdania oraz stosunki między zda- niami.

W części trzeciej (§§ 23—31) stosuje te symbole do ogól- nej teorii ciągów.

W Przedmowie autor zadaje sobie pytanie: jak daleko można dojść w arytmetyce przy pomocy samego rozumowa­

nia, opierając się nie na intuicji, a na prawach myśli. Pro­

blem ten próbuje zbadać i rozwiązać dopiero w późniejszych pismach, szczególnie w Grundgesetse der Arithmełik, gdzie się stara uzasadnić logicznie podstawowe prawa arytmetyki10.

W rozprawie Ueber die wissenschafiliche Berechłigung ei- ner Begriffsschrift mówi Frege za Leibnizem, że w naukach ścisłych daje się ciągle odczuwać brak pewnego narzędzia, przy pomocy którego możnaby było unikać nieporozumień i błędów w rozumowaniu. Źródłem zaś nieporozumień i błę­

dów jest wadliwość mowy potocznej, wypływająca głownia

względu na treść swą w ażną rozpraw ę p. t.: „Begriffsschrift, eine d e r arithm etischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens".

W rozprawie tej cala logika zdań przedstaw iona jest po raz pierwszy w ściśle aksjomatycznej form ie jako system dedukcyjny.11

9 S c h o l z i , s. 57. Por. także S c h o 1 z 2, ss. 1 — 2: „Das J a h r 1879 ist ein G pochenjahr erster O rdnung fu r die Geschichte der aben- dlandischen Logik; denn es ist das Erscheinungsjahr von Freges „Ber- g nffsschrift“ , folglich das Geburtsjahr des exakten AussagenkeDfiils und eines auf.d ie sem Aussagenkalktils fussenden Praedikatenkalktils“...

10 F r e g e , , V o rw o rt: „Indem ich m ir n u n die Frage vorlegter zu welcher dieser beiden A rten die arithm etischen Urtheile gehortenr musse ich zun&chst versuchen, wie weit m an in der A rith m e tik durch Schllissę allein gelangen kOnnte, n ur gestfitzt auf die Gesetze des D e n ' kens“...

z wieloznaczności wyrazów. Wadliwość przeto mowy potocz­

nej wywołuje potrzebę posługiwania się w naukach ścisłych symboliką11. Dla unikania nieporozumień i błędów w rozu­

mowaniu stworzył Frege swoistą symbolikę (ideografię), którą zaczął się posługiwać w traktacie Begriffsschrift i następnie w pracy Grundgesetze der Arithmetik. Symbolika Fregego jest bardzo dokładna i subtelna, a nadto posiada ona jeszcze tę zaletę, że brak w niej nawiasów, punktów i innych swoi­

stych znaków, używanych np. przez Peana i autorów Princi­

pia Mathematica Whitebeada i Russella; jest jednak ona'tak zawiła i trudna, że już z tego względu „dzieła Fregego — jak słusznie zauważył Śleszyński — są wprost nie do czytania” 13.

Ażeby móc ze względną łatwością czytać pisma Fregego, szczególnie jego Grundgesetze der Arithmetik, należy przestud- jować symbolikę Fregego na podstawie traktatu Begriffsschrift.

Pismo symboliczne w Begriffsschrift jest wcześniejszym stad­

ium rozwoju symboliki Fregego, pismo zaś, którym się on posługuje w Grundgesetze der Arithmetik, należy do stadium późniejszego13.

W Przedmowie do traktatu Begriffsschrift mówi Frege także za Leibnizem, że stosunek między pismem symbolicz­

nym a mową potoczną jest taki, jak między mikroskopem -a okiem. Podobnie jak przy dokładnych obserwacjach nau­

kowych nie wystarcza nam oko i dlatego musimy często po­

11 F r e g e 4, ss. 48, 52: ,.In den abstracteren Theilen der Wissen- schaft m acht sich im m er anf’s Neue der Mangel eines M ittels fuhlbar, Missverstandnisse bei A ndern un d zugleich Fehler im eignen Denken za

■vermeiden. Beide haben ihre Drsache in der U avollkom m enheit der Sprache... Die hervorgehobenen Mangel haben ihren G rund in einer ge- wissen W eichheit und Veranderlichkeit der Sprache... So geniigt auch .die W ortsprache nicht. W ir bediirfen eines G anzen ,von Zeichen, aus /dem jede Vieldentigkeit verbannt isł“...

12 Ś l e s z y ń s k i , I, s. 51.

** F r e g e6, I, s. 5, uw i 1: „Meine Begriffsschrift (Halle a. s. 1879) entspricht nicht m ehr ganz m einem jetzigen Standpunkte, ist also zur E rlauterung des hier A usgefiihrten nur m it Yorsicht heranzuziehen".

sługiwać się mikroskopem, tak samo w subtelnych badaniach naukowych nie wystarcza nieraz zwykła mowa potoczna i wówczas musimy posługiwać się specjalnym językiem sym­

bolicznym, formalnym jako narzędziem pomocniczym. W dzie­

dzinie symboliki Frege kontynuował właśnie pomysły Leibniza.

Pismo symboliczne Fregego jest przeto tylko dalszym rozwo­

jem symboliki Leibniza*1.

Dnia 24 stycznia 1879 roku na posiedzeniu Towarzystwa Lekarsko-Przyrodniczego w Jenie wygłosił Frege wydrukowany później w Sprawozdaniach tego posiedzenia referat: Anwen-

■dungen der Begriffsschrift; w tym referacie po raz pierwszy próbuje Frege stosować swoje pismo symboliczne do matema­

tyki, a szczególnie do arytmetyki i geometrii15.

W rozprawie Ueber die Begriffsschrift des H erm Peano und meine eigene zestawia i porównuje Frege swoje pismo Begriffsschrift z logiką Boole’a i logiką Peana. Boole, mówi Frege, uwzględnia w logice tylko formę; logika Boole’a jest przeto logiką czysto abstrakcyjną, formalną, przyodzianą

14 F rege,, Vorwort: „Das Verhaltnis m einer Begriffsschrift zu der Sprache des Lebens glaube ich a m deutlichsten mach en za kSnnen, w eno ich es m it dem des Mikroskops z i m Auge vergleiche... Sobald laber wissenschaftlicue Zwecke grosse A nforderungen an die Scharfe der D nterscheidung stellen, zeigt sich das Auge ais ungeniigend. Das M i­

kroskop hingegen ist gerade solchen Zwecken a u f das vollkom m enste angepasst, aber eben dadnrch fur alle andern unbraucbbar. So ist diese

Bergriffsschrift ein fur bestimm te wissenschaftliche Zwecke ersonnenes E ilfs m itte l, das m a i nicht deshaib yerurtheilen darf, w eil es fur andere nichts taugt... Man k a n n in den arithm etischen, geometrischen, chemi- schen Zeichen Verwirklichunlgen des Leibnizischen Gedankens fiir ein- zelne Gebiete sehen. Die hier vorgesch!agene Begriffsschrift ftigt die- sen ein neues hinza und zwar das in der M itte gelegene, welches allen andern benachbart ist. V on hier ans ISsst sich daher m it der grSssten Anssicht a u f Erfolg eine AusfiiJIung der Liicken der bestehendćn For- ,melsprachen...“

16 F r e g e 2, s. 29: „E s sollen im Folgenden einige Beispiele ge- geben werden, wie m it H ilfe m einer Begriffsschrift arithmetische un d geom etrische Yerhaitnisse ausgedriickt werden konnen".

w szatę matematyczną. Jeśli się położy główny nacisk nai dowodzenie, to pod tym względem zachodzi bliższe pokre­

wieństwo między Begriffsschrift a logiką Boole’a, niż między Begriffsschrift a logiką Peana, gdzie dowodzenie schodzi na drugi plan. Peano zaś uwzględnia w logice obok formy i treść, związaną z formą. Pod tym znowu względem zacho­

dzi bliższe pokrewieństwo między Begriffssckrijt a logiką Peana, niż między Begriffsschrtft a logiką Boole’a, czyli logi­

ka Boole’a jest dla Fregego, wedle terminologii Leibniza, tylko calculus ratiocinator, logika Peana jest przeważnie lin­

gua characteristica, ale przy tym i calculus ratiocinator, nato­

miast Begrijfsschrift jest w równej mierze i lingua characte­

ristica i calculus ratiocinator16.

W recenzji traktatu Begrijfsschrift robi Schroder zarzut Fregemu, że jego praca nie ma prawie nic wspólnego z ra­

chunkiem logicznym pojęciowym Boole’a, a odpowiada raczej, rachunkowi logicznemu zdaniowemu Boole’a. Wobec tego i tytuł tego traktatu nie jest trafny, albowiem nie odpowiada jego treści; należałoby przeto, zdaniem Schrodera, dać temu

16 F r e g e 5, s. 370 — 371: „Boole’s Logik ist Logik n n d niehts ais- dies. N ar auf die logische Form ko m m t es ihr an, gar n ich t darauf, ei- nen In h a lt in diese Form zu giessen, und das grade ist dię Abdicht des- Herrn Peano. In dieser Hinsicht steht sein U nternehm en meiner Be- griffsschrift naher ais der Logik von Boole. In andrer H insicbt kann m an anch eine engere V erwandtschaft zwiscbea der Boole’schen Logik un d meiner Bergriffsschrift anerkennen, sofern nam lich der H anptnach' druck a u f das Schliessen f&llt, was in der P^ano’schen rechnenden Lo­

gik weniger betont wird. M it Leibnizischen Ausdriicken kan n m an sa- gen: Boole’s Logik ist ein calculus ratiocinator, aber keine lin g ua cha*

racteristica, die Peano’sche m athem atische Logik ist in der Hauptsache- eine lin g ua characteristica, daneben auch ein calculus ratiocinator, w&- hrend meine Begriffsschrift beides m it gleichem Nachdrucke sein soli".

Por. także Frege3, s. 4: „tiberblicken wir die boolesche Formelsprache im Ganzen, so erkennen wir, dass sie eine Einkleidung der abstracten Logik in das Gew and algebraischer Z*ichen ist: zur Wiedergabe eines Inhaltes ist sie nicht geeignet, und das ist auch nicht ihr Zweck. U nd dies ist gerade meine Absicht". Por. także Frege1} Yorwort.

traktatowi tytuł Urłheilsschrijł ( = pismo zdaniowe), a nie Begriffsschrift ( = pismo ideograficzne, pojęciowe)11.

Na ten zarzut Frege w referacie U ber den Zweck der Begriffsschrift tak odpowiada: wobec tego, że punktem wyjś­

cia Begriffsschrift jest logika zdań, przeto istnieje wielka róż­

nica między Begriffsschrift a logiką Boole’a i logiką Arysto­

telesa. Chociaż punktem wyjścia Begriffsschrift jest logika zdań, mimo to należy uwzględniać

stosunki między pojęcia­

mi, a szczególnie stosunek podporządkowania pojęć. Frege podaje następujący przykład stosunku podporządkowania po-

|~ . x * == Ś1

jęć: zdanie | x2 __ „ znaczy tyle; co: jeśli x 2 = 9, to x 4 §§= 81. Jeśli liczbę, której potęgą drugą jest liczba 9, nazwiemy pierwiastkiem kwadratowym z liczby 9, liczbę zaś, której potęgą czwartą jest liczba 81, nazwiemy pierwiastkiem stopnia czwartego z liczby 81, to będziemy mogli to zdanie wyrazić jeszcze tak: wszystkie pierwiastki kwadratowe z licz­

by 9 są pierwiastkami stopnia czwartego z liczby 81. W tym wypadku, mówi Frege, pojęcie „pierwiastek kwadratowy z licz­

by 9* jest podporządkowane pojęciu „pierwiastek stopnia czwartego z liczby 81 18

17 S c h r S d e r , s. 87: „M it dem eben charakterisirten Tbeil deś Logikcalculs, d. i. der Boole’schen Rechnnng m it Begriffen, bat n u n Frege’s „Begriffsschrift'1 in der T hat fast Nichts gem ein * (* Anch in dieser Hinsicht ist der Titel n ich t correct un d ware eigentlich durcb, Urt- heilsschrift, zu ersetzen) W o h l aber m it dem zweiten Theile, der Boole’- schen Rechnnng m it Urtheilen“.

’ 8 F r e g e , , ss. 4— 5, 8—9: „Schroder sagt, m it der booleschen Rechnnng m it Begriffen habe m eine Begriffsschrift fast nichts gemein;

w ohl aber m it der booleschen Rechnung m it Urteilen. In der Tat, es ist einer der bedeutendsten Unterschiede m einer Anffassnngsweise von der booleschen n n d ich k a n n w ohl hinzufiigen von der aristoteliscben, dass ich nicht von den Begriffen, sondern von den Urteilen ausgehe.

D am it ist aber keineswegs gesagt, daas ich nicht das Yerhiiltnis der U nterordnnng von Begriffen anszudrficken wiisste... E in Beispiel wird Yom Gegenteil tiberzeugen. Das Urteil I--- x4 = 81 lautet in Wor-

!__ x2 = 9

W części pierwszej traktatu Bergriffsschrijł wyjaśnia Frege znaczenie stworzonych przez siebie symbolów.

Rozróżnia on symbol treści (znaczenia) i symbol zdania.

Przykład symbolu treści:

(1) j — — ‘2 + 3 = 5

Ten symbol wyraża znaczenie wyrażenia „2 + 3 = 5”.

Przykład symbolu zdania:

(2) |---- 2 + 3 = 5

Ten symbol wyraża prawdziwość znaczenia wyrażenią

„2 + 3 = 5”. 19

Symbol zdania został później przyjęty przez autorów

„Principia Mathematica”.

Frege rozróżnia także symbol negacji treści i symbol negacji zdania.

Przykład symbolu negacji treści:

(3) — j— 4 + 2 = 7

Ten symbol znaczy tyle, co: 4 + 2 nie jest równe 7.

Przykład symbolu negacji zdania:

(4) |- p - 4 + 2 = 7

Ten symbol znaczy tyle, co: prawdą jest, że 4 + 2 nie jest równe 7.80

ten: w enn x2 — 9 ist, so ist x* = 81. Man kan n n n n eine Z ahl, dereń Q uadrat 9 ist, eine Q uadratw urzei aus 9 nnd eine solche, dereń vierte Potenz 81 ist, eine vierte W urzel ans 81 nennen n n d dann iibersetzen:

alle Quadrat\vurzeln aus 9 sind vierte W nrzeln ans 81. H ierin w ird der Begriff „Q uadratw urzel aus 9“ dem Begriffe „V ierte W urzel aus 81 un- tergeordnet".

19 F r e g e 3, s. 5: „Vor den A usdruck eines beurteilbaren Inhalts wie 2 + 3 = 0 setze ich einen wagerechten Strich, den Inhaltrsstrich, der sich durch grossere Lange vom Minuszeichen unterscheidet: — 2+ 3=5...

W enn ich einen In h a lt ais richtig behaupten w ill, so setze ich an das lin k ę Ende des Inhaltsstriches den Urteilsstrich: |---- -2 + 3 = 5“. Por.

takżo Frege,, ss. 1—2.

20 F r e g e , , s. 5: „D m die V erneinung eines In halts auszudriic- ken, bringe ich am Inhaltsstriche den Verneinungsstrich an; Z. B.:

— I— 4 + 2 = 7. H ierm it ist die Falschheit dieser Gleichung nóch nicbt

Między treścią A i treścią B mogą zachodzić według IFregego następujące cztery wypadki:

1) A i B 2) A i nie B 3) nie A i B 4) nie, A i nie B

Symbol (5) I— :— ^ wyraża negację wypadku trzeciego I__ B

i znaczy tyle, co: — [ — A, + B], t. j.: nie jest prawdą, że A jest fałszem, skoro B jest prawdą, czyli: nie (jeśli B, to nie A), a więc: jeśli B, to A .21

Jest to definicja symbolu I— :— A jako symbolu implika- I__ B

cji czyli okresu warunkowego przy pomocy negacji jako wy­

rażenia pierwotnego. Tak samo niegdyś zdefiniował implika­

cję stoik Filon z Megary.22

Symbol I_____A w połączeniu z symbolem negacji tworzy 1 I__ B

-symbole złożone.

Symbol (6) | | , A wyraża “ egację wypadku pierwszego i znaczy tyle, co: — [+ A, + B], t. j.: nie jest prawdą, że A jest prawdą, skoro B jest prawdą, czyli: nie (jeśli B, to nie—

nie A), a więc: jeśli B, to nie A.

behauptet; es ist n a r ein neuer bearteilbarer In h a lt gebildet, der erst durch den Urteilsstrich in |— ;— 4 + 2 = 7 za dem CJrteile „4-f- 2 ist nich t gleich 7“ w ird.“ Por. także F r e g e ,, s. 10.

21 F r e g e , , ss. 5—6: „W e n n m an zwei beurteilbare Inhalte

A

-nnd B in Beziehang za einander setzen w ill, h a t m an folgende Fa 11 e za . beachten: 1) A nnd B, 2) A nnd n icht B, 3) n ich t A und B, 4) n icht A und nicht B. Ich verstehe nun unter ——,— A die Verneinung des dritten

' !— B F alle s“. Por. także Frege ! , s. 5.

S e x t u s , Pyrr. Hyp., II, 110; por. także Adv. m ath., V III, 113,

Symbol (7)

__ — A wyraża negaci§ wypadku czwartego-

~r

i znaczy tyle, co: — [ — A, — B 1, t. j.: nie jest prawdą, ż&

A jest fałszem, skoro B jest fałszem, czyli: nie (jeśli nie B,.

to nie A), a więc: jeśli nie B, to A (A lub B).

Symbol (8) | y ,■A wyraża neSacię wypadku drugiego

i znaczy tyle, co: — [ + A, — B ], t. j.: nie jest prawdą, że A jest prawdą, skoro B jest fałszem, czyli: nie (jeśli nie B to nie—nie A), a więc: jeśli nie B, to nie A.

Symbol (9) |— 'A ZnaCZy tyle’ co: + [ “ A, + B ], t. j.:

prawdą jest, że A jest fałszem, skoro B jest prawdą, czyli nie—nie (jeśli B, to nie A), a więc: jeśli B, to nie A.

Jest to wypadek trzeci: nie A i B.

Symbol (10) I---A znaczy tyle, co: + [ + A, + B ] I-- B

t. j.: prawdą jest, że A jest prawdą, skoro B jest prawdą, cżyli: nie—nie (jeśli B, to nie—nie A), a więc: jeśli B, to A.

Jest to wypadek pierwszy: A i B.

Symbol (11) |---A znaczy tyle, co: + [ — A , — B ] I— B

t. j.: prawdą jest, że A jest fałszem, skoro B jest fałszem, czyli: nie—nie (jeśli nie B, to nie A), a więc: jeśli nie B, to nie A. Jest to wypadek czwarty: nie A i nie B.

Symbol (12) |_____ A znaczy tyle, co: + [ + A, — B ] ' —j—B

t. j.: prawdą jest, że A jest prawdą, skoro B jest fałszem, czy­

li: nie—nie (jeśli nie B, to nie—nie A), a więc: jeśli nie B*

io A. Jest to wypadek drugi: A i nie B .2S

23 F r e g e 3, sa. 6—7: „Betrachten wir n u n die VerbiridoDgen vo n Bedingnngs und Yerneinungsstrich an folgender Zusammenstellungr-'

Symbol (13) -A znaczy tyle, co:

_B _r

-Ą _B ’

t. j.: — [ — A, + B, + F ], to znaczy: nie jest prawdą, ie A jest fałszem, skoro B jest prawdą i T jest prawdą, czyli:

nie [jeśli T, to (jeśli B, to nie A)], a więc: jeśli T, to (jeśli B, to A )2*

Symbol (14) |---r znaczy według interpretacji Fre- I____ A

l—B

gego tyle, co:— [ + B , — A, — F ], to znaczy: nie jest praw­

d ą, że T jest fałszem, skoro prawdą jest, że jeśli B jest praw-

I— B

Der Fali „nicht A und 2) ----— A B “ wird Yerneint

I

3 ) Der Fali „n ich t A nnd nicht B“ w ird yerneint:

A oder B.

Der F a li „n ich t A und B“ wird bejaht: B un d

nicht A.

Der F a li „n ich t A nnd n icht B“ wird bejaht:

weder A noch B. h •

W enn w ir an den Inhaltsstrichen der links den Yerneinungastrich anbringen, a o erhalten wir

•5)

7)

-A -B

-A

_B

- A -B

4)

6)

8

) I I I

] I I

- A - B -A -B

A -B

Der F a li „A un d B5?

wird yerneint: A und B schliessen einander ans.

Der F a li „A un d nicht B“ w ird yerneint.

Der Fali „A un d B‘‘

w ird bejaht: A und B.

Der Fali „A und nicht B“ w ird bejaht: A und n icht B.

stehenden Ausdriicke die rechts daneben stehenden. Der links yerneinte Fali w ird rechts im m er bejaht- Der zweite Ausdruck entsteht aus dem ersten dadurch, dass a n die Stelle von A das verneinte A tritt. In dem W ortausdrucke heben sich dann die bei- den Y erneinungen von A auf. Der dritte Ausdruck geht aus dem ersteń und der vierte aus dem zweiten dadurch herYor, dass B in das verneinte B verw andelt wird. Dag „oder“ im dritten Falle ist das nicht ausschlles- sende“. Por. ta k ie Frege i , ss. 10— 13.

24 F r e g e , , ss. 6— 7: „den F a li leugnet, wo A verneint, B und f bejaht wiirden...“ A ist die nothw endige Folgę vpn B und F; oder:

'w ean die Um stande B n n d T eintreten, so tritt auch A ein“.

dą, to A jest fałszem, czyli: nie [jeśli (jeśli B, to nie A), to­

nie T], a więc: jeśli (jeśli B, to nie A), to F .25

Fregego interpretacja tego podstawowego symbolu jest jednak fałszywa, bo nie jest prawdą, że jeśli B jest prawdą*

to A jest fałszem, gdyż z prawdy może wynikać tylko praw­

da, podczas gdy w tym wypadku z prawdy wynika fałsz.

Ten symbol tak należałoby poprawnie wyrazić i inter­

pretować: — [ ± B , + A, — Tl, to znaczy: nie jest prawdą, że F jest fałszem, skoro prawdą jest, że jeśli B jest prawdą lub fałszem, to A jest prawdą, czyli: nie [ jeśli (jeśli B lub nie B, to A), to nie T], a więc: jeśli (jeśli B lub nłe B, to A), to F .26"

Symbol (15) |--- ( A = B) znaczy tyle, co: prawdą jest, że treść (znaczenie) A jest równoważna treści (znaczeniu) B- i odwrotnie, a zatem A można położyć na miejsce B, a B na miejsce A .87

Symbol (16) j--- i --- <E> (a) znaczy tyle, co: prawdą jest, że dla każdej wartości a zachodzi 4> (a).28

Zdania typu: A, E, O, I wyraża Frege przy pomocy na­

stępujących symbolów:

Zdanie typu A: każde X jest P wyraża Frege przy po­

mocy symbolu I_____^ ____ P (a), który znaczy tyle, co: nie

!____ X(a)

25 F r e g e , , s. 7: ,;den F a li leagnet, wo B bejaht wird, A und F aber verneint werden... w enn A die nothwendige Folgę von B Ist, so- kann geschlossen werden, dass r stattfind et‘\

26 Zam iast „den Fali leugnet, wo B bejaht w ird, A und F a b e r ve rn e in t w erden“ m a być „den F a li leugnet, wo B b ejaht u n d A be- • ja h t, oder B verneint werden, F aber in beiden Fallen v e rn e in t w ird“..

Por. także Frege,, s. 36 teza (11 i s. 48, teza 46j.

21 F r e g e , , s. 15: „das Zeichen A nnd das Zeichen B haben denselben begrifflichen In h a lt, sodass m an iiberall an die Stelle von A B setzen k a n n und um gekehrt-‘.

28 F r e g e , ' , s. 19: „Der lin ks von der HOhlung befindliche- a

wagerechte Strich in | <|> (a) ist der In h a ltsstric h t dafiir, dass- (a) gelte, was m an auch an die Stelle von a setzen ^)0ge...‘,.

jest prawdą, że P(a) jest fałszem, a X(a) prawdą, to znaczy:

nie jest prawdą, że jeśli X(a), to nie P(a), a więc: prawdą jest, że jeśli X(a), to P(a), czyli: dla każdej wartości a z X(a) wy­

nika P(a).29

Zdanie typu E: żadne W nie jest P wyraża Frege przy pomocy symbolu I____ ---P(a), który znaczy tyle, co: nie

I 1 ^ (a )

jest prawdą, że P(a) jest prawdą i 'J* (a) prawdą, to znaczy:

nie (jeśli (a), to nie—nie P(a)), czyli: dla żadnej wartości a z ^ ( a ) nie wynika P(a).so

Zdanie typu O: pewne A nie jest P wyraża Frege przy pomocy symbolu I----^ --- P(a), który znaczy tyle, co: nie

' I----A (a)

jest prawdą, że każde A jest P, a więc: prawdą jest, że pe­

wne A nie jest P, czyli: istnieją wartości a, dla których z A(a) nie wynika P(a).81

Zdanie typu I: pewne M jest P wyraża Frege przy po­

mocy symbolu |----^ ---- P(a), który znaczy tyle, co: nie ____ M(a)

jest prawdą, że żadne M nie jest P, a więc: prawdą jest, że pewne M jest P, czyli: istnieją wartości a, dla których z M(a) wynika P(a).32

W części drugiej traktatu Begriffsschrift stosuje Frege stworzone przez siebie symbole do logiki i przy ich pomocy wyraża zdania oraz stosunki między zdaniami.

29 F r e g e , , s. 23: „Was m an auch an die Stelle von a setzen mOge, der Fali, dass P (a) ve rn e in t und X (a) b ejaht werden milsste, ko m m t nlcht vor“.

30 F r e g e , , s. 23: „dem a kann k eine solche Bedeutung gege- b e n werden, dass P (a) und Vf (a ) belde b e ja h t w erden kOnnten“.

81 F r e g e , , s. 24: „ v e r n e in t___ » ____ P (a) und kann daher wie-

. |_A (a)

dergegeben w erden durch:, einige /\’s sind nicht P’s\

32 F r e g e , , g. 24: „Ieognet, dasa kein M ein P sef, un d bedeu- te d daher: einige * (*... w eitI2ufiger wtirde m a n sagen:, einigę oder m indestena doch ein ’j M’s sind P’s.“.

W traktacie BegriJJsschrift podaje Frege 133 zdania, z których 68 (1;—68) należy do logiki zdań i tworzy zbudo­

wany aksjomatycznie system dedukcyjny logiki zdań, pozp- stałe zaś zdania (69—133) należą do ogólnej teorii ciągów.

Spośród 68 zdań 9 zdań (1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54, 58) przyjmuje Frege jako tezy podstawowe czyli naczelne (aksjo­

maty).33 Te tezy, przyjęte bez formalnych dowodów, są wy­

jaśnione na podstawie definicji symbolu |---- jako symbolu implikacji. Wszystkie zaś zdania, które nie są ani tezami podstawowymi ani definicjami, są udowodnione formalnie.

W dowodach zdań posługuje się Frege dwiema reguła­

mi wnioskowania: regułą podstawiania, której wcale nie for­

mułuje, i regułą odrywania (t. zw. modus ponens), którą for­

mułuje wyraźnie. Regułą odrywania nazywa Frege taki spo­

sób wnioskowania: jeśli litery A, B reprezentują zdania, to ze zdania |_--- A i ze zdania |____ B wynika zdanie |_____ A.’4

' " 1 _ B

Ten sposób wnioskowania zapisuje Frege w dwojaki sposób.

Jeśli ,x’ symbolizuje numer zdąnia I____ A, a ,xx’ — nu- l_ B

i — b

mer zdania |--- B, to Frege pisze albo (x):--- , albo I — A I— r- A $

I—B (xx) : : --- —

I----A

33 F r e g e , , s. 26: „Die Z ah l der Satze, die in der folgenden Dar- stęllung den Kern bilden, ist n e u n “.

34

r ’ 1 _ A

|----A kann geschlossen węrden: I—•gs-C 1 ist di? ąinzige Schlugswęi- se, die ich m einer Begriffsschrift angew endęt habe, and m an kann m it ih r auch aask om m en“.

*® F r e g et , ss. 7—9.

W spisie zdań dowody zaznaczone są krótko w ten spo­

sób: (x ): (xx)::

W niniejszej pracy podamy 9 tez podstawowych Frege­

go, na których oparł on i aksjomatycznie zbudował cały swój system dedukcyjny logiki zdań, oraz dwie pierwsze tezy po­

chodne, oznaczone przez (3 i przez (4.

PIERWSZA TEZA PODSTAWOWA (1) I-

I— b

Na mocy interpretacji symbolu (13) teza ta znaczy tyle, co: jeśli a, to (jeśli b, to a), czyli: jeśli jakiekolwiek zdanie jest prawdziwe, to wynika ono z każdego innego zdania, to znaczy: jeśli a jest prawdziwe, to wynika ono ze zdania do­

wolnego (prawdziwego lub fałszywego)

P R Z Y K Ł A D

Jeśli 2+ 2 = 4, to (jeśli 2 + 2 = 4 lub 2 + 2 = 5, to 2 + 2 = 4).

Jęst to prawo, nazywane p r a w e m s y m p l i f i k a c j i lub c h a r a k t e r y s t y k ą p r a w d y .

Istotnie, używając znaku, = ’ dla wyrażenia równoznacz- ności czyli równoważności definicyjnej, mamy:

-a b = —

i- b , + a [ ' a> + h, + a], co jest prawdą, bo ostatni wzór wyraża, że zdanie, w którym zawiera się przeczenie a i twierdzenie a, jest fałszem, t. j.:

nie jest prawdą że a jest fałszem, skoro b jest prawdą i a jest prawdą, a więc: prawdą jest, że a jest prawdą, skoro b jest prawdą i a jest prawdą, czyli: nie [jeśli a, to (jeśli b, to nie a)], a więc: jeśli ą, to (jeśli b, to a).36

36 F r e g e , , s. 26: „der F a li, wo a v e rn e in t, b b ejaht un d a be- ja h t w ird, ist ausgeschlossen“. Dies le uc hte t ein, da a nicht zugleicłi

■yerneint un d b e ja h t werden ka n n “.

DRUGA TEZA PODSTAWOWA

(2) I- ^{__ a}

U c

—

b

U 1—a b

— c

Na mocy interpretacji symbolu (5) i (13) teza ta znaczy tyle, co: jeśli[ (jeśli c), to (jeśli b, to a)], to [jeśli (jeśli c, to b), to (jeśli c, to a) ]

P R Z Y K Ł A D

Jeśli [ (jeśli 6 jest podzielne -przez 2), to (jeśli 6 jest podzielne przez 3, to 12 jest podzielne przez 2 i przez 3) I to jeśli [ (jeśli 6 jest podzielone przez 2, to 6 jest podzielne przez 3), to (jeśli 6 jest podzielne przez 2, to 12 jest podziel­

ne przez 2 i przez 3) ].

Jest to prawo, które za Scholzem nazywamy p r a w e m F r e g e go.37

Istotnie, mamy:

I- -c

-b -c -a -b -c

i— c,

.a -c -b,

-C

+

__ a L b

—

c

+ _b

-c, — I V, + C I—b,

41 H e r m e s— S c h o 1 z, s. 735.

9, -f- b, + c,

a, -f- b, -(- c

-f- b, -(- c

co jest prawdą, bo ostatni wzór wyraża, że zdanie, powsta­

jące z połączenia zdań sprzecznych, jest fałszem, t.j.: nie jest prawdą, że jeśli prawdą jest, że [ (jeśli c), tO (jeśli b, to a) ]r to nie jest' prawdą, że [ (jeśli c, to b), to (jeśli c, to a) ],.

a więc: prawdą jest, że jeśli [ (jeśli c), to (jeśli b, to a) ], to [ jeśli (jeśli c, to b), to (jeśli c, to a) ], czyli: nie [ (jeśli c), to (jeśli b, to a), to nie (jeśli c, to b), to (jeśli c, to a) ], a więc- jeśli [ (jeśli c), to (jeśli b, to a) ], to [ jeśli (jeśli c, to b), to (jeśli c, to a) ].’*

TRZECIA TEZA PODSTAWOWA

(8) __ a

L d __ b

L ab __ d

38 Przy przejściu od przedostatniego zdania do ostatniego posłu­

guje się Frege regułą odryw ania (D ie B ejahung von —.--- b und <?

I__ c zieht aber die B ejahung von b nach sich)

[ + c> + ^ I „ J = [ + b ’ + c]

F r e g e j , ss. 26—28: „der Fali, wo -a

k b e ja h t wird, fin d e t nicht s ta tt“

-a yerneint u n d -c

-b -C

Na mocy interpretacji symbolu (13) teza ta znaczy tyle, co: jeśli [ (jeśli d), to (jeśli b, to a) ], to [ (jeśli b), to (jeśli d, to a) ], czyli: jeśli z pierwszego zdania (d) wynika to, że z drugiego zdania (b) wynika zdanie trzecie (a), to z drugie­

go zdania (b) wynika to, że z pierwszego zdania (d) wynika zdanie trzecie (a).

P R Z Y K Ł A D

Jeśli [ (jeśli 6 jest podzielne przez 2), to (jeśli 6 jest po- dzielne przez 3, to 12 jest podzielne przez 2 i przez 3) ], to [ (jeśli 6 jest podzielne przez 3), to (jeśli 6 jest podzielne przez 2, to 12 jest podzielne przez 2 i przez 3) ]

Jest to p r a w o k o m u t a c j i czyli p r a w o p r z e m i e n - n o ś c i i m p l i k a c j i .

Istotnie, mamy:

I--- — — a I—d I- __ b

-—

a I—b __ d

+ -b

-d

1— d ,

+ b ,— | a

“ I—b,

a, -j- d, -f- b, a, + b, + d

co jest prawdą, bo ostatni wzór wyraża, że zdanie, powstają­

ce z połączenia zdań sprzecznych, jest fałszem, t. j.: nie jest

prawdą, że jeśli prawdą jest, że [ (jeśli d), to (jeśli b, to a) ],

to nie jest prawdą, że [ (jeśli b), to (jeśli d, to a) ], a więc:,

prawdą jest, że jeśli [ (jeśli d), to (jeśli b, to a) ], to [ (jeśli b),

to (jeśli d, to a) ], czyli: nie [ (jeśli d), to (jeśli b, to a), to

riie (jeśli b), to (jeśli d, to a) ], a więc: jeśli [ (jeśli d), to (jeś­

li b, to a) ], to [ (jeśli b), to (jeśli d, to a) ].40 CZWARTA TEZA PODSTAWOWA

(28) I-

L - b

Na mocy interpretacji symbolu (5) i (8) teza ta znaczy tyle, co: jeśli (jeśli b, to a), to (jeśli nie a, to nie b), czyli:

jeśli z b wynika a, to z negacji a wynika negacja b, i od­

wrotnie: jeśli z negacji a wynika negacja b, to z b wynika a,

P R Z Y K Ł A D

Jeśli (jeśli 6 jest podzielne przez 2, to 12 jest podzielne przez 2), to (jeśli 12 nie jest podzielne przez 2, to 6 nie jest podzielne przez 2).

Jest to jedno z praw t r a n s p o z y c j i czyli k o n t r a p o - z y c ji.

Istotnie, mamy:

1 1

___a _________ b a

a

1 i i 1 |

- 1— a , + L - b i

____ b

+ b, — a, + b

, co jest prawdą, bo osta­

tni wzór wyraża, że zdanie, powstające z połączenia zdań sprzecznych, jest fałszem, t.j: nie jest prawdą, że jeśli praw­

40 F r e g e , , s. 35: „der Fali, wo- -a y e rn e in t nnd-

I— d

---b

1— b

_ d b e ja h t werde, ausgeschlossen sei. Dles kann aoch so ausgesprochen

■werden: „w enn ein Satz die Folgę von zwei Bedingungen ist, so ist d e ­ reń Reihenfolge gleichgiltig“.

dą jest, że [(jeśli b, to a)], to nie jest prawdą, że [ (jeśli nie a, to nie b) ], a więc: prawdą jest, że jeśli (jeśli b, to a), to (jeśli nie a, to nie b), czyli: nie [ (jeśli b, to a), to nie (jeśli nie a, to nie b) ], a więc: jeśli (jeśli b, to a), to (jeśli nie a, to nie b).41

PIĄTA TEZA PODSTAWOWA

| -- a (31) 1___ a

Na mocy interpretacji symbolu (7) teza ta znaczy tyle,

co: jeśli nie—nie a, to a, czyli: jeśli nie jest prawdą, że nie a, to a.42

P R Z Y K Ł A D

Jeśli nie jest prawdą, że 2 + 2 nie jest równe liczbie 4, to 2 + 2 jest równe liczbie 4.

Jest to pierwsze p r a w o p o d w ó j n e g o p r z e c z e n i a . SZÓSTA TEZA PODSTAWOWA

(41) I______a v ' 1 i II

I a

Na mocy interpretacji symbolu (6) teza ta znaczy tyle, co: jeśli a, to nie—nie a, czyli: jeśli prawdą jest, że a, to nie jest prawdą, że nie a43

41 F r e g e , , 9. 43: „der Fali, wo --- b yerneint und -- ■— a

i l a

Lb

b ejaht wird, findet nicht statt“. Die V erneinung von -- _ - b bedentet,

dass ~ a bejaht und ~p b ye rne int wird; d. h. dass a y e rn e in t und b b ejaht w ird. Dieser Fali wird dnrch --- a ausgeschlossen".

yCLb

42 F r e g e ! , s. 44: „ | | a bedentet die V erneinung der Vernei- nung, m ith iu die Bejahung von a. Es kan n also nicht a y e rn e in t und (zugleich) "Pi"a b ejaht werden. D uplex negatio affirm at. D ie Vernei- nung der V erneinung Ist Bejahung.

48 F r e g e j , s. 47: „D ie Bejahung von a y e rn e in t die Vernei- n ung von a“.

P R Z Y K Ł A D

Jeśli prawdą jest, że 2 + 2 jest równe liczbie 4, to nie jest prawdą, że 2 -f 2 nie jest równe liczbie 4.

Jest to drugie p r a w o p o d w ó j n e g o p r z e c z e n i a . Do tez podstawowych (5) i (6) odnosi się uwaga Frege- go, zrobiona w końcu przedmowy do traktu B egriffsschrift, że obie te tezy mogą być połączone w taką jedną tezę:

|---- (~ jf

a = a), która, na mocy interpretacji symbolu (15), znaczy tyle, co: prawdą jest, że nie—nie a jest równoważne -a i odwrotnie44

SIÓDMA TEZA PODSTAWOWA (52) I----— f (d)

l-~f (c)

— (c = d)

Na mocy interpretacji symbolu (13) i (15) teza ta zna­

czy tyle, co: jeśli c = d, to (jeśli f (c), to f (d)) Istotnie, mamy:

—

g y . (c)

— (c m d)

_f(d)

-f (C), + ( c ^ d )

— f (d), + f (c), + c = d co jest prawdą, bo ostatni -wzór wyraża, że nie jest prawdą, że f (d) jest fałszem, skoro f (c) jest prawdą i c = d jest prawdą, a więc: prawdą jest, że f (d) jest prawdą, skoro f (c) jest prawdą i c = d jest praw­

dą, czyli: jeśli c = d, to (jeśli f (c), to f (d) ).45

44 F r e g e ! , Vorwort: „N achtraglich habe ich bem erkt, dass die F o rm eln (31) und (41) in die einzige |--- ( [ | a = ą) zusamm engezogen -werden konnen, wodurch noch einige V e reinfachungen moglich w erden“.

45 F r e g e , , s. 50: „Der Fali, wo der In h a lt von c gleich dem , Inhalte von d ist, wo f (c) b ejaht un d f(d ) v e rn e in t wird, findet nicht statt. Dieser Satz drlickt aus, dass m an liberall statt c d setzen konne, -wenn c = d ist“.

ÓSMA TEZA PODSTAWOWA (54) |— ^ ( c = c )

Na mocy interpretacji symbolu (2) i (15) teza ta znaczy tyle, co: prawdą jest, że treść c jest równoważna treści c i odwrotnie.46

DZIEWIĄTA TEZA PODSTAWOWA L--- f(c)

1— f (a)

Na mocy interpretacji symbolu (5) teza ta znaczy tyle, co: nie jest prawdą, że f (c) jest fałszem, a f (a) prawdą, czy­

li: dla każdej wartości a: nie (jeśli f (a), to nie f (c)), a więc:

jeśli f (a), to f (c).47

W przygotowanym do druku w r. 1881 rękopisie p. t.:

„Booles rechnende Logik und Begriffsschrift*4 mówi F r e g e , że tezy podstawowe: czwarta (28), piąta (31) i szósta (41) mogą być zredukowane do dwu. Te dwie tezy są umiesz­

czone w rękopisie p. t.: „Mathematische Einfalle“ i są tam tak sformułowane:

(1) Jeśli (jeśli nie p, to q), to (jeśli nie q, to p) (2) Jeśli (jeśli p, to nie q), to (jeśli q, to nie p).48 Zdaniem Łukasiewicza układ tez podstawowych Frege­

go, jakkolwiek jest zupełny, nie jest jednak niezależny, bo tezę podstawową trzecią (8) można wywnioskować z dwu pierwszych, trzy zaś następne (28, 31, 41) można zastąpić przez tezę, która tak się wyraża: jeśli (jeśli nie p, to nie q), to (jeśli q, to p).49

46 F r e g e ; , s. 50: „ D e r In h a lt von c istg le ic h dem In h a lte v o n c “.

47 F r e g e , , s. 51:,,__________ f(a ) bedeutet, dass f ( a ) stattfinde was m an auch unter a verstehen mi5ge. W enn daher ___ ^ ___ f (a).

b e ja h t wird, so kann f (c) nicbt v e m e in t werden. Dies driickt unser Satz aus“.

48 H e r m e s— S c h o 1 z, s. 742.

49 Ł u k a s i e w i e z— T a r a k i , s. 35, nw. 9.

(58) |

TEZA POCHODNA, którą F r e ge oznacza przez (3.

|_-- — - a I—c i— c I—b

—

c

1— a I—b

Ta teza jest szczegółowym przypadkiem takiej tezy: jeśli a jest tezą prawdziwą, a (3 jest jakąkolwiek tezą, to prawdzi­

wą będzie także teza |- Dowód Fregego.

Na podstawie pierwszej tezy podstawowej prawdziwa jest teza |----j— « Stosując do tej tezy regułę odrywania, otrzy-

mamy, wskutek prawdziwozści «, teę |- -a

-P

Ażeby otrzymać tezę, oznaczoną przez (3, należy zasto­

sować do tezy |--- j— * regułę podstawiania, t. zn. należy

za a podstawić drugą tezę podstawową, która, jak już wiado­

mo, jest tezą prawdziwą, a za P — tezę |— j— a I— b

Po wykonaniu podstawień otrzymamy na mocy reguły odrywania w rezultacie tezę, którą Frege oznacza przez (8.

R oczniki Filozoficzne 1948

11*

TEZA POCHODNA, którą Frege oznacza przez (4.

I- _a

i—c __ b I— c

—

a

l _ b a I—b __ c a I Z b

Ta teza jest szczegółowym przypadkiem takiej tezy: jeśli teza

(o

teza (2)

-® jest tezą prawdziwą, to prawdziwą jest także i—p

I—T

T - P

Dowód Fregego.

Na podstawie drugiej tezy podstawowej prawdziwa jest teza |-

I —7 r P

'—T 1— *

—

T

Stosując do tej tezy regułę odrywania,

otrzymamy na podstawie tezy (1) tezę (2)

Ażeby otrzymać tezę, oznaczoną przez (4, należy zasto­

pować do ostatniej tezy regułę podstawiania, t. zn. należy za 3> T podstawić odpowiednio tezy:

'__ b ’ !____ c I— c

Po wykonaniu podstawień otrzymamy tezę, w której teza (1) jest tezą pochodną, oznaczoną przez (3, poprzednio udowodnioną, a teza (2), jest tezą, oznaczoną przez (4, otrzy­

maną na mocy reguły odrywania.

A zatem Fregego system aksjomatyczny logiki zdań jest -oparty na pewnych tezach i na pewnych regułach dowo­

dzenia.

Tezami systemu Fregego są następujące wyrażenia pod­

stawowe: jedno wyrażenie pierwotne czyli niezdefinjowane {negacja), jedno wyrażenie wtórne czyli zdefinjowane (impli­

kacja) i dziewięć tez naczelnych czyli aksjomatów.

Regułami dowodzenia są: reguła podstawiania i reguła odrywania.

Znaczenie historyczne Fregego polega głównie na tym, że zapoczątkował on nowy okres w historii logiki.

Logikę formalną dzieli się zwykle na logikę nazw (klas) i na logikę zdań.

Logika Arystotelesa jest systemem logiki nazw (klas), jakkolwiek jest zarazem i systemem logiki zdań, ale syste­

mem zdań logicznych tylko pewnego typu.

Logika stoików jest także systemem logiki zdań, ale sys­

temem wszelkich zdań logicznych.

Stoicy opierali logikę nazw (klas) na logice zdań.

Frege pierwszy w ostatnich czasach wszedł na drogę,

którą szli stoicy, i logikę zdań zaczął uważać za naukę na­

czelną i podstawową, logikę zaś nazw (klas) za naukę pocho­

dną—czyli Frege był zdania, że logika nazw (klas) może być zbudowana tylko na podstawie logiki zdań.

W traktacie B egriffsschrift skonstruował Frege po raz pierwszy dwuwartościową logikę zdań w postaci aksjomatycz- nej jako system dedukcyjny, zbudował więc pierwszy histo­

rycznie systęm aksjomatyczny logiki zdań—pierwszy system współczesnej teorii dedukcji.

K s. Antoni K orcik

Abbe ANTONI KORCIK Agrege a I ’U n iv e rsite

de Cracovie

GOTTLOB FREGE, AUTEUR DU PREMIER SYSTEME AXIOMATIQUE DE LA LOGIQUE CONTEMPORAINE

DES PROPOSITIONS

G o t t l o b F r e g e (1848—1925), auteur du premier śy- steme axiomatique de la logiąue contemporaine des proposi- tions marąue une nouvelle epoque dans 1’hłstoire de la logi­

ąue. Le systeme axiomatique de la logiąue des propositions, expose par F r e g e dans l’ouvrage intitule B egrifjsschrifł, eine der arithmełischen nachgebildete Formelsprache des reinen Den- kens, Halle a. S., 1879, se fonde sur certaines theses et regles de demonstration. Les theses du systeme de F r e g e sont sui- vąntes: un terme primitif ou indefinissable (la negation), un terme secondaire ou definissable (l’implication), et neuf the­

ses fondamentales ou axiomes. Les- regles de demonstration sont les suivantes: la regle de substitution et la regle d ’ inferen- ce (au sens de modus ponens). C’est pour la premiere fois qu’une analyse fouillee de la Begrijfsschrift est entreprise.

A cette occasion, 1’auteur, s’appuyant aussi sur les autres travaux de Fr ege, presente son ideographie dans la premie­

re phase de son evolution.

Abbe K A ZIM IERZ KŁÓSAK

. P ro f. a l'U n iv e rs ite de C raco v ie

LE PRINCIPE PHYSIQUE ET METAPHYSIQUE DE CAUSALITE ET LES RELATIONS D’INCERTITUDE

DE M. HEISENBERG

L’etude presente se propose de trouver, si les relations

d’incertitude de M. Heisenberg conduisent ou non a des con-

clusions destructives du principe physique et metaphysiąue de

causalite.