LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 1 - Rachunek zdań

LOGIKA MATEMATYCZNA wykład 1 - Rachunek zdań

Logika matematyczna to dział matematyki zajmujący się analizowaniem zasad rozumowania oraz pojęć z nim związanych za pomocą sformalizowanych i uściślonych pojęć i narzędzi matematycznych. Nauka ustalająca reguły badania prawdziwości stwierdzeń oraz reguły dowodzenia twierdzeń.

”To zdanie jest fałszywe.” ”Ja teraz kłamię.”

Zdaniem w sensie logicznym (zdaniem logicznym) jest stwierdzenie, które ma jednoznacznie określoną wartość logiczną. W przypadku logiki klasycznej jest albo prawdziwe albo fałszywe. Wartość logiczna zdania prawdziwego wynosi 1, a fałszywego wynosi 0.

Dla zdania p i wartościowania w: w(p) = 1 dla zdania prawdziwego, w(p) = 0 dla zdania fałszywego.

Funkcją zdaniową (formą zdaniową) jest wyrażenie, które staje się zdaniem logicznym po wstawieniu na miejsce zmiennej x każdego z elementów należących do dziedziny.

Funktory (spójniki logiczne):

• negacja ¬p ,

• alternatywa p ∨ q,

• koniunkcja p ∧ q,

• implikacja p ⇒ q,

• równoważność p ⇔ q, gdzie p, q to zdania logiczne.

Przy pomocy spójników logicznych tworzymy zdania złożone (formuły zdaniowe).

Tautologią nazywamy zdanie logiczne, które jest zawsze prawdziwe, niezależnie od wartości logicznych zmiennych w nich występujących.

Najważniejsze prawa rachunku zdań (tautologie):

• ¬(¬p) ⇔ p (prawo podwójnego przeczenia)

• p ∨ ¬p (prawo wyłączonego środka)

• ¬(p ∧ ¬p) (prawo sprzeczności)

• ¬(p ∨ q) ⇔ ¬p ∧ ¬q (pierwsze prawo De Morgana)

• ¬(p ∧ q) ⇔ ¬p ∨ ¬q (drugie prawo De Morgana)

• (p ∨ q) ∧ r ⇔ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r) (prawo rozdzielności koniunkcji względem alternatywy)

• (p ∧ q) ∨ r ⇔ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r) (prawo rozdzielności alternatywy względem koniunkcji)

• p ⇒ q ⇔ ¬q ⇒ ¬p (prawo kontrapozycji)

• ¬(p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q (prawo zaprzeczenia implikacji)