AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2010/11 MATEMATYKA - ETAP II
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Dany jest ostros lup prawid lowy tr´ojkaιtny o kraweιdzi podstawy d lugo´sci a = 1 cm i wysoko´sci opuszczonej na podstaweι H = 2 cm. Oblicz odleg lo´s´c wierz- cho lka podstawy od przeciwleg lej ´sciany.
2. Sprawd´z, czy ciaιg
1
4, 2 +√ 3
2 , 2 +√ 3 2 −√
3 jest ciaιgiem geometrycznym.
3. Dane saι punkty A = (−1, −8) oraz B = (5, 4). Znajd´z taki punkt C, ˙ze AC = 5 ~~ CB.
4. Rozwiaι˙z r´ownanie
log x−2(x3− x2− 7x + 10) = 2.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Liczby 1, 2, . . . , n, gdzie n > 2, przestawiamy w dowolny spos´ob. Oblicz praw- dopodobie´nstwo nasteιpujaιcych zdarze´n:
A− pierwszy wyraz otrzymanego ciaιgu beιdzie wieιkszy od ostatniego, B− liczby 1 i 2 nie beιdaι ustawione obok siebie,
C− liczby 1, 2 i 3 beιdaι ustawione obok siebie w kolejno´sci wzrastania.
6. Oblicz sumeι trzydziestu najwieιkszych ujemnych rozwiaιza´n r´ownania cos 2x + sin x = 0.
7. Zbadaj w zale˙zno´sci od parametru k wzajemne po lo˙zenie prostych l1 : kx + y = 2, oraz l2 : x + ky = k + 1.
Dla jakich k te proste przecinajaι sieι wewnaιtrz kwadratu, w kt´orym punkty A = (2, −2) i C = (−2, 2) saιko´ncami przekaιtnej?
