NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIAREK Z UŻYCIEM
AKCELEROMETRÓW
Paweł Majda
1a, Mirosław Pajor
1b1Instytut Technologii Mechanicznej, Wydział Inżynierii Mechanicznej i Mechatroniki, Zachodnio- pomorski Uniwersytet Technologiczny w Szczecinie
aPawel.Majda@zut.edu.pl, bMiroslaw.Pajor@zut.edu.pl
Streszczenie
Artykuł zawiera analizę niepewności wyznaczania sztywności obrabiarek, gdzie do pomiaru siły użyto jednoosio- wego siłomierza tensometrycznego, a przemieszczenia przeliczano ze wskazań przebiegów czasowych przyśpieszeń mierzonych sejsmicznymi czujnikami drgań (akcelerometrami). W budżetowaniu uwzględniono także składowe wnoszone przez wzmacniacze, karty akwizycji danych, histerezę siłomierza, dokładność pozycjonowania akcelero- metrów i siłownika oraz współczynniki wzmocnień uzyskane z wzorcowania siłomierza i wzorcowania wskazań przemieszczeń estymowanych na podstawie wskazań przyśpieszeń.
Słowa kluczowe: sztywność, niepewność pomiarów, obrabiarki
UNCERTAINTY OF DETERMINING STIFFNESS MACHINE TOOL USING ACCELEROMETERS
Summary
The article contains an analysis of the uncertainty of determining the stiffness of machine which is used to measure the strength of uniaxial strain gauge dynamometer and displacement converted indication of acceleration time histories measured seismic vibration sensors (accelerometers). In budgeting uncertainty also includes components contributed by amplifiers, data acquisition cards, hysteresis dynamometer and reinforcement ratios derived from the calibration and the calibration of the gauge indications displacements estimated on the basis of the indications of acceleration.
Keywords: stiffness, uncertainty, machine tool
1. WSTĘP
Badania sztywności polegają na pomiarze siły i przemieszczeń wywołanych działaniem tej siły. Metodę wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek z użyciem siłownika i czujników przyśpieszeń (akcelerometrów) szczegółowo opisano w literaturze [1,2,3]. Metoda ta zakłada, że jest możliwe obłożenie badanej maszyny akcelerometrami (nawet całej konstrukcji jednocześnie) i wyznaczenie w punktach pomiarowych przemieszczeń ze wskazań przyśpieszeń. Stwarza to bardzo komfortową sytuację, bo można mierzyć w ten sposób konstrukcje różnego typu bez konieczności budowania pomocniczego oprzyrządowania pomiarowego. Źródłem niepewności
metody oraz istotną wadą takiego podejścia jest pośred- nia metoda wyznaczania charakterystyk przemieszczeń.
Dlatego w tej pracy prezentowane są wyniki analizy niepewności mające na celu ustalenie zakresu stosowal- ności przedmiotowej metody w badaniach obrabiarek średniej wielkości. Budżetowaniu podlegały składowe związane z pomiarem siły wymuszającej o częstotliwości 10Hz i przemieszczeń estymowanych na podstawie znajomości szeregów harmonicznych wyznaczonych dla mierzonych przebiegów czasowych przyśpieszeń.
Uwzględniono także udział związany z dokładnością położenia akcelerometrów i siłownika na obrabiarce.
2. PRZELICZANIE SYGNAŁÓW POMIAROWYCH
PRZYŚPIESZENIA
NA PRZEMIESZCZENIA Z UŻYCIEM SZEREGÓW HARMONICZNYCH
Aby przeliczyć sygnał pomiarowy przyśpieszenia na przemieszczenia, należy go dwukrotnie scałkować. Aby zrobić to poprawnie, konieczna jest znajomość charakte- rystyki przyśpieszenia zawierającej także jej składową stałą. W zależności od konstrukcji akcelerometrów mogą one posiadać możliwość pomiaru składowej stałej. Jed- nak znacznie popularniejsze i częściej wykorzystywane w praktyce metrologicznej obrabiarek są akcelerometry bez tej możliwości. Warunkiem koniecznym przeprowa- dzenia pomiaru z zamiarem wyliczenia przemieszczeń ze wskazań takiego akcelerometru jest zastosowanie perio- dycznej siły wymuszającej. Prezentowana tutaj analiza dotyczy właśnie takiego przypadku. Inspirując się meto- dą estymacji charakterystyk sztywności połączeń styko- wych przedstawioną w pracy [4], proponuje się zastoso- wać szeregi harmoniczne do opisu charakterystyk mie- rzonych przyśpieszeń. Takie ujęcie problemu likwiduje konieczność całkowania numerycznego mierzonych sygnałów, ułatwiając ich przeliczenie na sygnały prze- mieszczeń. Sygnał przyśpieszenia poddawany jest trans- formacji Fouriera, by wyznaczyć amplitudy i częstotli- wości głównych harmonicznych (rys.1). Proponuje się użycie ich jako punktów startowych modelu dopasowa- nia, tj. szeregu postaci:
a =∑ Aୀଵ ୧∙ sin2 ∙ i ∙ π ∙ f୧∙ t + ω୧ (1) gdzie: t - czas oraz poszukiwane parametry szeregu harmonicznego; Ai - amplituda, fi - częstotliwość, i - przesunięcie fazowe.
Rys. 1. Przykładowa charakterystyka amplitudowo częstotliwo- ściowa przyśpieszenia z dominującą składową harmoniczną
mierzonego akcelerometrem
Przedstawione podejście bardzo ułatwia i przyśpiesza metody obliczeniowe algorytmów dopasowania modelu do danych doświadczalnych. Mając wyznaczone parame- try szeregu harmonicznego (1), poszukiwaną charaktery-
stykę przemieszczenia wyznacza się (bez konieczności całkowania) z zależności (2):
∬ adt = ି∙ୱ୧୬ሺଶ∙୧∙∙∙୲ାனሻ ସ∙୧మ∙మ∙మ
ୀଵ (2)
Na rys. 2 przedstawiono przykładowe charakterystyki przyspieszenia, jakie uzyskano w wyniku pomiaru sygna- łu z dominującą składową harmoniczną oraz dopasowa- nia szeregu (1).
Rys. 2. Przykładowy widok dopasowanego (estymowanego) modelu na tle sygnału z akcelerometru o częstotliwości głównej
harmoniki 10Hz
Opisaną procedurę poddano sprawdzeniu, mierząc czujnikiem pojemnościowym przemieszczenia (dokład- ność <13nm przy k=2), jakich doznawał akcelerometr umieszczony na wzbudniku elektromagnetycznym.
Wyznaczono w ten sposób poprawki i niepewności rozszerzone dla różnych częstotliwości i amplitud mie- rzonych sygnałów periodycznych (sinus z dominującą główną harmoniką). Dla akcelerometru 352C33 firmy PCB (sensitivity 10,18 mV/m/s2) wykazano, że niepew- ność rozszerzona dla k=2 wyznaczonych przemieszczeń wg równania (2) jest mniejsza od 6% wartości estymo- wanej wielkości w zakresie amplitud od 5 do 200 m i częstotliwości głównej harmoniki powyżej 10Hz. Zakre- sy te w zupełności pokrywają zapotrzebowanie na prze- prowadzanie pomiarów dla obrabiarek średniej wielkości.
Widok stanowiska do sprawdzania dokładności wyzna- czania przemieszczeń ze wskazań akcelerometru przed- stawiono na rys. 3.
Rys. 3. Widok stanowiska do porównywania wskazań akcelero- metru i pojemnościowego czujnika przemieszczeń
3. NIEPEWNOŚĆ WYNIKAJĄCA Z WYZNACZANIA
PRZEMIESZCZEŃ UOGÓLNIONYCH
Należy podkreślić, że akcelerometry można rozmie- ścić na badanym obiekcie w punktach dowolnych. Jed- nak w prezentowanej metodzie zakłada się, że w najgor- szym przypadku należy wyznaczyć minimalną liczbę punktów pomiarowych, z których będzie możliwe wy- znaczenie współrzędnych uogólnionych badanej bryły, tj.
trzy przemieszczenia translacyjne i trzy rotacyjne.
Oczywiście czujników może być więcej niż sześć. Podej- ście takie pozwala transformować geometrycznie prze- mieszczenia punktów pomiarowych na współrzędne uogólnione do dowolnego punktu - np. do punktu przy- łożenia siły. Dlatego przed rozmieszczeniem akcelerome- trów proponuje się wykonać obliczenie optymalnego położenia czujników na bryle ze względu na minimaliza- cję niepewności wyznaczenia współrzędnych uogólnio- nych w interesującym nas punkcie. Danymi wejściowymi do takiej optymalizacji są niepewności wyznaczanych przemieszczeń w punktach pomiarowych i obszary, w których można przykleić akcelerometr na obrabiarce (rys. 4).
Rys. 4. Widok powierzchni na obrabiarce, na których możliwym jest mocowanie akcelerometrów podczas pomiaru przemieszczeń
wrzeciennika
Rys. 5. Widok akcelerometrów (trzech z sześciu) montowanych na wrzecienniku obrabiarki w punktach zapewniających mini- malną niepewność wyznaczania przemieszczeń uogólnionych w
punkcie przyłożenia siły
Niepewność wyznaczania sześciu współrzędnych uogól- nionych jest zależna od niepewności wyznaczania prze- mieszczeń w punktach pomiarowych (czyli od wartości wielkości mierzonej) i odległości od środka układu współrzędnych, w którym będą wyznaczane. Czyli niepewność ta jest typowym składnikiem wynikającym z błędów metody pomiaru. Dodatkowo należy brać pod uwagę fakt, że fizyczne mocowanie czujników na obra- biarce można wykonać ze skończoną dokładnością.
Dlatego na potrzeby analizy niepewności przyjęto, że można je mocować w przyjętym układzie współrzędnych z maksymalnym błędem granicznym ±2mm.
Badając wpływ liczby czujników na dokładność wy- znaczania przemieszczeń uogólnionych, można wykazać, że niepewność ich wyznaczania może być mniejsza od niepewności pomiaru przemieszczeń w punktach pomia- rowych. Jest to efektem korzystnego uśredniania. Przy- kładowo dla sześciu czujników mierzących z niepewnością ±5 m niepewność wyznaczenia współ- rzędnych uogólnionych na powierzchni badanej bryły w najgorszym przypadku wynosi dla przemieszczeń translacyjnych mniej od ±8 m i rotacyjnych mniej od 15 rad. Po zwiększeniu liczby czujników do dziewięciu niepewności te zmniejszają się odpowiednio do ±4 m dla translacyjnych oraz do ±10 rad dla przemieszczeń rotacyjnych.
4. ŹRÓDŁA NIEPEWNOŚCI POMIARU SIŁY
Siłownik pneumatyczny generujący periodyczną siłę z dominującą składową harmoniczną o regulowanej amplitudzie montowano za pośrednictwem przegubów kulistych do stołu obrabiarki z jednej oraz oprawki narzędziowej z drugiej strony. Taki sposób mocowania eliminuje powstawanie momentów gnących. Widoczny na rys. 6 sposób pozycjonowania siłownika umożliwia zrzutowanie siły wymuszającej na trzy kierunki osi obrabiarki. Umożliwia to z jednego zamocowania wyko- nanie pomiarów dla trzech kierunków. Jednak należy mieć świadomość, że takie mocowanie wprowadza do pomiaru sił na kierunkach osi obrabiarki źródło niepew- ności wyznaczania kosinusów kierunkowych. Do analizy niepewności, prezentowanej w dalszej części artykułu, przyjęto maksymalny błąd graniczny wysięgów siłownika na kierunkach osi posuwowych na poziomie ±2mm.
Rys. 6. Widok siłownika i siłomierza oraz układ współrzędnych, w którym dokonano rzutowania siły na kierunki osi obrabiarki
Kolejne składowe to tensometryczny jednoosiowy si- łomierz o zakresie FS=±1000N, stałej mostka 1,49±2%, błędach liniowości ±0,108%FS, histerezy ±0,121%FS, zera ±0,6%FS i pełzaniu ±0,071%FS/10K. Siłomierz zasilano napięciem 5V z dokładnością ±0,1%, błędem zera ±5mV i pełzaniem ±0,01%/K. Wzmacniacz napię- cia mierzonego na mostku tensometrycznym posiadał stałą wzmocnienia 400 z dokładnością ±0,2%, liniowo- ścią 0,2%FS i pełzaniem 300ppm/K. Do akwizycji sygnału napięciowego siłomierza użęto karty NI4499 o maksymalnym błędzie granicznym wzmocnienia ±0,5%
i błędu zera ±500 V.
5. NIEPEWNOŚĆ WYZNACZANIA SZTYWNOŚCI STATYCZNEJ OBRABIARKI ŚREDNIEJ WIELKOŚCI - PRZYKŁAD
Dla zobrazowania przedmiotowej metody jako przy- kład przedstawiono wyniki pomiarów typowej obrabiarki średniej wielkości (zakres przesuwu najdłuższej osi mniej od 1m). Mierzono przyśpieszenia wrzeciennika i stołu obrabiarki wynikające z generowania periodycznie zmiennej siły (z dominującą od zerowo tętniącą harmo- niką o częstotliwości 10Hz) siłownikiem pneumatycznym widocznym na rys. 5. Akcelerometry rozmieszczono na badanych bryłach zgodnie z procedurą przedstawioną uprzednio. Przebiegi zmierzonych przyśpieszeń estymo- wano szeregami harmonicznymi zgodnie z procedurą przedstawioną w p. 2.
W wyniku przeprowadzenia pomiarów wyznaczono charakterystyki siła-przemieszczenie (rys. 7). Siłę rzuto- wano na kierunki osi posuwowych badanej maszyny i wyznaczono na tych kierunkach przemieszczenia uogól- nione wywołane działaniem tej siły. Współczynnik sztywności statycznej obrabiarki na poszczególnych kierunkach rozumiany jest tutaj jako współczynnik kierunkowy prostej na charakterystyce siła- przemieszczenie.
Rys. 7. Przykład charakterystyki siła-przemieszczenie otrzyma- nej dla obrabiarki średniej wielkości
Obliczenie niepewności wyznaczania wskaźników sztywności przeprowadzono metodą Monte Carlo [5].
W procesie randomizacji (10000 powtórzeń) wielkości wejściowych przyjęto założenie, że zakres zmienności wszystkich niezależnych źródeł niepewności można
scharakteryzować rozkładem prostokątnym. Dla współ- czynnika rozszerzenia k=2 otrzymano wskaźniki sztyw- ności wraz z ich niepewnościami: kx=19,0±2,2, ky=23,1±2,9, kz=30,1±5,9 N/ m. Porównując otrzymane wartości,widać, że posiadają wspólne obszary w zakresie niepewności. Czyli nie można wykazać w tym przypadku istotnych różnic pomiędzy wartościami wskaźników sztywności wyznaczonymi dla różnych kierunków osi posuwowych. W celu sprawdzenia istotności wpływu poszczególnych źródeł niepewności na niepewność roz- szerzoną wskaźników sztywności wyznaczono budżet niepewności [6] - Tabela 1.
Tabela 1. Budżet niepewności wyznaczania współczynników sztywności statycznej obrabiarki średniej wielkości z użyciem akcelerometrów, siłomierza tensometrycznego i siłownika pneumatycznego (wartości w %)
W przedstawionym przykładzie najsłabszym ogni- wem, ze względu na udział wnoszony do niepewności wyznaczania wskaźników sztywności statycznej obrabia- rek średniej wielkości jest składowa, której wartość wynika z metody przeliczania sygnałów przyśpieszenia na przemieszczenia (blisko 60% udziału w całkowitym budżecie niepewności). Udział ten łatwo jest zmniejszyć przez zastosowanie większej liczby akcelerometrów w pomiarach. Stosując ich dziewięć zamiast sześciu oraz rozmieszczając je z dokładnością do ±1 zamiast ±2mm, uzyskano zmniejszenie niepewności rozszerzonej odpo- wiednio o 32% dla kx, 45% dla ky oraz 25% dla kz. Udział niepewności pochodzący od dokładności pozycjonowania każdego akcelerometru na kierunku, w którym mierzy on przyśpieszenie, liniowości i histerezy siłomierza, stabilno- ści zasilania oraz charakterystyk wzmacniacza siłomierza jest nieistotny, bo rozszerzona niepewność wskaźników sztywności wyznaczona z pominięciem tych składowych zmalałaby nie więcej od 2%. Dlatego w budżetowaniu można pominąć wymienione uprzednio składowe bez ryzyka istotnego niedoszacowania przedmiotowej nie- pewności.
6. PODSUMOWANIE
Ze względu na niepewność wyznaczania sztywności obrabiarek średniej wielkości najsłabszym
przedstawionego systemu pomiarowego jest sposób wyznaczania przebiegów czasowych przemieszczeń ze wskazań akcelerometrów. Skutecznym i łatwym w praktycznej realizacji sposobem minimalizacji wpływu tej wady na niepewność jest zwiększanie liczby akce rometrów oraz sposobu ich rozmieszczenia na badanej bryle.
Prace realizowane były w ramach projektu INNOTECH
Uniwersalne, wysokowydajne 5 osiowe centrum obróbkowe ze stołem uchylno obrotowym
Literatura
1. Kosmol J., Śliwka J., Kaźmierczak M.: Doświadczalne wyznaczanie sztywności obrabiarek metodą dynamiczną obrabiarki sterowane numerycznie i programowanie
domskiej, 2009, s. 76-89.
2. Patent nr 193916 udz. 201.10.2006 pt.
3. Śliwka J.: Identyfikacja sztywności statycznej obrabiarek ciężkich w warunkach przemy Pol. Śl., 2013.
4. Skrodzewicz J.: Estimation of the
data. "WIT Transactions on Engineering Sciences 5. Sadek J.: Dokładność pomiarów współrzędnościowych.
6. Jakubiec W., Zator S., Majda P.: Metrologia. Warszawa:
Ze względu na niepewność wyznaczania sztywności obrabiarek średniej wielkości najsłabszym ogniwem przedstawionego systemu pomiarowego jest sposób wyznaczania przebiegów czasowych przemieszczeń ze wskazań akcelerometrów. Skutecznym i łatwym praktycznej realizacji sposobem minimalizacji wpływu tej wady na niepewność jest zwiększanie liczby akcele- rometrów oraz sposobu ich rozmieszczenia na badanej
Jako perspektywę rozwijania metody w celu poprawienia dokładności wyznaczanych wielkości godnym uwagi wydaje się sprawdzenie innych postaci szeregów harm nicznych niż rozpatrywany w tej pracy.
W przedstawionym przykładzie niepewność rozsz rzona wyznaczania wskaźników sztywności typowej obrabiarki średniej wielkości osiągnęła wartości mniejsze niż 10% wartości rozpatrywanej
można uznać za zadowalający, bo pozwolił wykazać istotność różnic wartości wskaźników sztywności na rozpatrywanych kierunkach (tj. wzdłuż osi posuwowych obrabiarki).
Prace realizowane były w ramach projektu INNOTECH-K3/IN3/13/226352/NCBR/14 finansowanego przez NCBiR;
okowydajne 5 osiowe centrum obróbkowe ze stołem uchylno obrotowym
Kosmol J., Śliwka J., Kaźmierczak M.: Doświadczalne wyznaczanie sztywności obrabiarek metodą dynamiczną brabiarki sterowane numerycznie i programowanie operacji w technikach wytwarzania. Radom: Wyd
nr 193916 udz. 201.10.2006 pt. Sposób wyznaczania sztywności statycznej obrabiarek Śliwka J.: Identyfikacja sztywności statycznej obrabiarek ciężkich w warunkach przemysłowych.
he nonlinear mathematical model of the contact joint
WIT Transactions on Engineering Sciences" 1999, Vol. 24, DOI 10.2495/CON990511, p. 10.
ć pomiarów współrzędnościowych. Kraków: Wyd. Pol.Krak., 2011.
Majda P.: Metrologia. Warszawa: PWE, 2014.
Jako perspektywę rozwijania metody w celu poprawienia dokładności wyznaczanych wielkości godnym uwagi wydaje się sprawdzenie innych postaci szeregów harmo- nicznych niż rozpatrywany w tej pracy.
przedstawionym przykładzie niepewność rozsze- rzona wyznaczania wskaźników sztywności typowej obrabiarki średniej wielkości osiągnęła wartości mniejsze rozpatrywanej wielkości. Wynik ten można uznać za zadowalający, bo pozwolił wykazać ność różnic wartości wskaźników sztywności na wzdłuż osi posuwowych
K3/IN3/13/226352/NCBR/14 finansowanego przez NCBiR;
Kosmol J., Śliwka J., Kaźmierczak M.: Doświadczalne wyznaczanie sztywności obrabiarek metodą dynamiczną:
operacji w technikach wytwarzania. Radom: Wyd. Pol. Ra-
ztywności statycznej obrabiarek.
słowych. Gliwice: Wyd.
oint based on experimental . 24, DOI 10.2495/CON990511, p. 10.
