Odwzorowania kartograficzne nieregularnych obiektów pozaziemskich

ROCZNIKI GEOMATYKI 2014 m T XII m Z 2(64): 231–244

ODWZOROWANIA KARTOGRAFICZNE

NIEREGULARNYCH OBIEKTÓW POZAZIEMSKICH

MAP PROJECTIONS

OF IRREGULAR EXTRATERRESTRIAL OBJECTS

Pawe³ Pêdzich, Kamil Latuszek

Politechnika Warszawska, Wydzia³ Geodezji i Kartografii, Zak³ad Kartografii S³owa kluczowe: kartografia planetarna, mapy planet i innych obiektów pozaziemskich, odwzorowania kartograficzne cia³ niebieskich

Keywords: planetary cartography, maps of planets and other extraterrestrial objects, map projections of celestial bodies

Wprowadzenie

W ostatnich latach mo¿emy zaobserwowaæ znaczny wzrost zapotrzebowania na opraco-wania kartograficzne obiektów pozaziemskich, takich jak: planety, satelity planet, komety i asteroidy. Ze wzglêdu na coraz wiêksz¹ iloœæ danych pozyskiwanych przez sondy kosmicz-ne powstaje coraz wiêcej tego typu opracowañ. Wspó³czeœnie wykonuje siê nie tylko mapy (topograficzne, geologiczne, geochemiczne, mapy obrazowe, hipsometryczne, tektoniczne), ale równie¿ cyfrowe modele terenu, systemy informacji przestrzennej o planetach i innych cia³ach niebieskich oraz wirtualne globusy. Jako przyk³ad zastosowania systemów typu GIS w kartografii planetarnej mo¿emy wymieniæ miêdzy innymi opracowany przez Laboratorium MexLAB w MIGAIK GIS dla Fobosa (rys. 1).

System pozwala na zapoznanie siê z informacjami przestrzennymi o satelicie Marsa. In-terfejs umo¿liwia u¿ytkownikom na wykonywanie podstawowych czynnoœci, takich jak: przesuwanie mapy, powiêkszanie, odczyt wspó³rzêdnych, zmianê odwzorowania kartogra-ficznego oraz wyœwietlanie warstw tematycznych.

Innym przyk³adem GIS planetarnego jest opracowany przez NASA system danych plane-tarnych (PDS – Planetary Data System) (rys. 2), który archiwizuje i udostêpnia dane z amerykañskich misji kosmicznych, obserwacji astronomicznych oraz pomiarów laborato-ryjnych. Dane udostêpniane s¹ bezp³atnie na stronie http://pds.jpl.nasa.gov/.

Kolejnym przyk³adem opracowania tego typu jest internetowy system udostêpniaj¹cy dane planetarne o nazwie PIGWAD (Planetary Interactive G.I.S. – on – the – Web Analyzable Data-base) (rys. 3), który opracowany zosta³ przez S³u¿bê Geologiczn¹ Stanów Zjednoczonych.

G³ówne zadania tego systemu to:

m wspomaganie innych systemów informacji geograficznej w zakresie graficznych, sta-tystycznych i przestrzennych narzêdzi do analizy danych planetarnych;

m rozpowszechnianie materia³ów edukacyjnych, narzêdzi, programów i informacji; m tworzenie bazy danych planetarnych zawieraj¹cej cyfrowe mapy geologiczne,

topo-graficzne i dane teledetekcyjne;

m zachêcanie do stosowania technolgii GIS w badaniach planetarnych, w tym tworzenie ogólnie dostêpnych standardów http://webgis.wr.usgs.gov/index.html.

Jednym z pierwszych i wa¿niejszych etapów opracowania ka¿dej mapy jest dobór od-wzorowania kartograficznego. W przypadku opracowania map powierzchni Ziemi zadanie to naczêœciej sprowadza siê do wyboru odwzorowania z listy dostêpnych w systemie, w którym wykonujemy mapê. W przypadku map obiektów pozaziemskich zadanie nie jest ju¿ tak proste. Ze wzglêdu na to, ¿e powierzchnie tych cia³ s¹ bardzo nieregularne, niezbêdne jest stosowanie nieco bardziej wyszukanych odwzorowañ kartograficznych. Takim odwzoro-waniom poœwiêcony jest niniejszy artyku³.

Rodzaje nieregularnych obiektów pozaziemskich

Miêdzynarodowa Unia Astronomiczna rozró¿nia w Uk³adzie S³onecznym nastêpuj¹ce grupy obiektów: planety, planety kar³owate, ma³e cia³a Uk³adu S³onecznego oraz naturalne satelity (ksiê¿yce) tych obiektów. Planet¹ Uk³adu S³onecznego nazywany jest obiekt astronomiczny kr¹¿¹cy bezpoœrednio wokó³ S³oñca, który pod wp³ywem si³ w³asnej grawitacji osi¹gn¹³ stan równowagi hydrostatycznej oraz osi¹gn¹³ dominacjê w przestrzeni wokó³ w³asnej orbity, przez oczyszczenie jej z innych wzglêdnie du¿ych obiektów. Planet¹ kar³owat¹ nazywane jest cia³o niebieskie, które spe³nia wymienione kryteria za wyj¹tkiem osi¹gniêcia dominacji w otoczeniu swojej orbity. Ma³ymi cia³ami Uk³adu S³onecznego s¹ natomiast pozosta³e obiekty orbituj¹ce S³oñce. Obiekty kr¹¿¹ce wokó³ planet, planet kar³owatych lub ma³ych cia³ Uk³adu S³onecznego nosz¹ miano naturalnych satelitów (ksiê¿yców).

Z punktu widzenia problematyki kartografii planetarnej, a w szczególnoœci odwzorowañ kartograficznych, istotne jest rozró¿nienie dwóch grup obiektów w Uk³adzie S³onecznym. Pierwsz¹ grupê stanowi¹ planety, planety kar³owate oraz ksiê¿yce planet i planet kar³owa-tych, które w wyniku dzia³ania si³ w³asnej grawitacji wytworzy³y kszta³t odpowiadaj¹cy równowadze hydrostatycznej (prawie kulisty). Za powierzchniê odniesienia tej grupy obiek-tów mo¿na przyj¹æ sferê, elipsoidê obrotow¹ sp³aszczon¹ lub elipsoidê trójosiow¹. Druga grupa obiektów, która nie spe³nia kryterium równowagi hydrostatycznej gromadzi praktycz-nie wszystkie ma³e cia³a Uk³adu S³onecznego oraz wiêkszoœæ ksiê¿yców. Kszta³t tych cia³ niebieskich jest z regu³y silnie nieregularny.

Na rysunku 4 przedstawione s¹ rzuty ortogonalne siatek planetocentrycznych powierzchni fizycznych wybranych cia³ niebieskich, które nie s¹ w stanie równowagi hydrostatycznej (siatka planetocentryczna jest uogólnieniem siatki geograficznej – patrz nastêpny rozdzia³ wzór 20 i dalej). WyraŸny brak wspó³kszta³tnoœci i nieeliptycznoœæ obrazów poszczególnych równole¿ników wskazuje, ¿e przyjêcie elipsoidy jako powierzchni odniesienia dla tych obiek-tów mo¿e okazaæ siê niewystarczaj¹ce, tzn. przedstawienie wzajemnego po³o¿enia obiekobiek-tów powierzchniowych na p³aszczyŸnie mapy bêdzie dodatkowo obarczone b³êdami wynikaj¹cy-mi ze znacznego niedopasowania przyjêtej powierzchni odniesienia.

Przypadkiem granicznym miêdzy planet¹ kar³owat¹ a ma³ym cia³em Uk³adu S³onecznego jest asteroida Westa. Wed³ug najnowszych analiz kszta³tu oraz pola grawitacyjnego, dla któ-rych Ÿród³em danych s¹ pomiary wykonane w ramach misji kosmicznej Dawn (czerwiec 2011–wrzesieñ 2012), Westa nie jest obecnie w stanie równowagi hydrostatycznej. Asteroida najprawdopodobniej by³a w stanie równowagi hydrostatycznej we wczesnym okresie roz-woju, jednak¿e póŸniejsze zderzenia kosmiczne skutkuj¹ce formacj¹ rozleg³ych kraterów uderzeniowych na terenie pó³kuli po³udniowej (Veneneia oraz Rheasilvia) zaburzy³y ten stan. W owym czasie plastycznoœæ Westy by³a ju¿ zbyt ma³a, by przy swojej masie powróciæ do stanu równowagi hydrostatycznej. Obecnie przyjmuje siê, ¿e rozleg³y region na pó³kuli pó³-nocnej jest prawdopodobnie reliktow¹ powierzchni¹ reprezentuj¹c¹ stan równowagi hydro-statycznej z wczesnego okresu rozwoju Westy (Fu i in., 2014, Asmar i in., 2012).

Na rysunku 5 przedstawiono rzuty ortograficzne pó³kuli pó³nocnej i po³udniowej Westy. Przyjmuje siê, ¿e kszta³t Westy mo¿na wzglêdnie dobrze przybli¿yæ powierzchni¹ elipsoidy trójosiowej, przy czym wiêksze b³êdy dopasowania wynikaj¹ce z nieregularnoœci kszta³tu obserwowane s¹ dla pó³kuli po³udniowej.

Powierzchnie odniesienia i uk³ady wspó³rzêdnych

Dobór powierzchni odniesienia za-le¿y przede wszystkim od kszta³tu obiektu. Planety oraz du¿e obiekty, ta-kie jak ksiê¿yc czy Mars, maj¹ regu-larny kszta³t i jako powierzchniê od-niesienia przyjmuje siê sferê, elipsoidê obrotow¹ sp³aszczon¹ lub elipsoidê trój-osiow¹ (rys. 6).

Niektóre z cia³ niebieskich maj¹ bar-dzo nieregularne kszta³ty i wówczas wy¿ej wymienione powierzchnie nie maj¹ zastosowania. W takich

przypad-kach mo¿na przyj¹æ jako najlepsz¹ aproksymacjê powierzchni takiego obiektu elipsoidê o wiêkszej liczbie osi, tzn. 4, 5 lub 6. Na rysunku 7 przedsta-wiono elipsoidê szeœcioosiow¹.

Do okreœlenia po³o¿enia punktu na powierzchni odniesienia stosuje siê naj-czêœciej wspó³rzêdne planetocentrycz-ne lub geodezyjplanetocentrycz-ne (czasem zwaplanetocentrycz-ne te¿ planetograficznymi).

Szerokoœæ planetocentryczna f jest to k¹t zawarty pomiêdzy prost¹ prze-chodz¹c¹ przez œrodek elipsoidy i dany punkt na jej powierzchni a p³aszczyzn¹

Rysunek 6. Elipsoida trójosiowa

równika (rys. 8). Zale¿noœæ pomiêdzy wspó³rzêdnymi planetocentrycznymi a wspó³rzêdnymi prostok¹tnymi na elipsoidzie trójosiowej przedstawia wzór:

gdzie: (1)

  

>

 

 



@

     _{FRV VLQ VLQ} FRV FRV O D I O  E I O  J I  I U F E D      _{E J} D (2) Szerokoœæ geodezyjna j oznacza k¹t zawarty pomiêdzy normaln¹ do powierzchni elipsoidy a p³aszczyzn¹ równika. Natomiast d³ugoœæ geodezyjna jest to k¹t dwuœcienny zawarty po-miêdzy dwoma p³aszczyznami przekrojów przechodz¹cych przez oœ biegunow¹ elipsoidy oraz pocz¹tkowy i dany punkt.

Zale¿noœæ pomiêdzy wspó³rzêdnymi prostok¹tnymi a wspó³rzêdnymi geodezyjnymi ma nastêpuj¹c¹ postaæ: : H D = : H D < : D ; D  VLQ     VLQ FRV     FRV FRV   M O M O M   gdzie: (3) O M M     _{VLQ FRV VLQ}  H HD :  

e – pierwszy mimoœród biegunowy, e_a – pierwszy mimoœród równikowy.

Równania 1-4 s¹ równaniami parametrycznymi elipsoidy trójosiowej.

Aby opisaæ elipsoidê szeœcioosiow¹ dzieli siê j¹ na 8 stref i traktuje je jako czêœci elipsoid trójosiowych. W tabeli 1 zaprezentowano opis poczczególnych stref elipsoidy szeœcioosio-wej.

Dla ka¿dej strefy otrzymujemy osobne równanie, np. dla strefy I-1 pó³osie s¹ oznaczone jako a, b, c’, oraz równanie:

gdzie: (4) : H D = : H D < : D ; D  VLQ     VLQ FRV     FRV FRV   M O M O M   O M M     _{VLQ FRV VLQ}  H HD :           _{D F D} H  c _H _D _E_D D  (5) (6)

 

I O I O U  FRV FRV ;

 

I O I O U  FRV VLQ <

 

I O I U  VLQ =         _{D F D} H  _H _D _E_D D 

Dla strefy III-2, gdzie pó³osie – a’, b’, c rów-nanie bêdzie mia³o nastêpuj¹c¹ postaæ:

gdzie:

W procesie konstrukcji odwzorowañ karto-graficznych czêsto tak¿e maj¹ zastosowanie sze-rokoœci zredukowane oraz szesze-rokoœci quasi-geo-dezyjne. Szerokoœæ quasi-geodezyjna j₀ jest to k¹t zawarty miêdzy normaln¹ (na rysunku 8 od-cinek AP) do elipsy po³udnika a p³aszczyzn¹ rów-nika. W przypadku elipsoidy obrotowej sp³asz-czonej prosta ta jest jednoczeœnie normaln¹ do elipsoidy. Jednak dla elipsoidy trójosiowej nie jest to normalna do powierzchni, a w zwi¹zku z tym k¹t j₀ nie oznacza szerokoœci geodezyjnej.

Je¿eli w p³aszczyŸnie po³udnika narysujemy okr¹g o promieniu równym d³ugoœci odcinka

0B wówczas k¹t pomiêdzy odcinkiem 0B oraz 0P’ nazywamy szerokoœci¹ zredukowan¹.

Zale¿noœæ miêdzy wspó³rzêdnymi prostok¹tnymi elipsoidy trójosiowej a wspó³rzêdnymi zredukowanymi przed-stawiaj¹ wzory: O VLQ FRVX G ; O FRV FRVX G ; X F = VLQ gdzie:





   _FRV N O E G   _{ ¸} ¹ · ¨ © §  D E N

Zale¿noœæ pomiêdzy szerokoœci¹ quasi-geodezyjn¹ a szerokoœci¹ zredu-kowan¹ przedstawia wzór: X F G WDQ WDQ_M : H D = : H D < : D ; D  VLQ     VLQ FRV     FRV FRV   M O M O M  c  c c O M M     _{VLQ FRV VLQ}  H HD :       _{D F D} H c  c (7) (8) (9) (10) (11) Tabela 1. Podzia³ na strefy elipsoidy

szeœcioosiowej (Nyrtsov i in., 2007)

r e m u N y f e rt s Wspór³zêdne[stopnei] Pó³osei al u k ³ ó p ai n d o h c s W 1 -I jzmeinai sêiod-90do0 lzmeinai sêiod0do90 a,b, 'c 2 -I jzmeinai sêiod0do90 lzmeinai sêiod0do90 a,b,c 1 -I I jzmeinai sêiod-90do0 lzmeinai sêiod90do180 b,a,' 'c 2 -I I jzmeinai sêiod0do90 lzmeinai sêiod90do180 b,a,'c al u k ³ ó p ai n d o h c a Z 1 -I II jzmeinai sêiod-90 do0 lzmeinai sêiod180 do270 a,'b,' 'c 2 -I II jzmeinai sêiod0do90 lzmeinai sêiod180 do270 a,'b,'c 1 -V I jzmeinai sêiod-90 do0 lzmeinai sêiod270 do360 b,'a, 'c 2 -V I j zmeinai sêiod0do90 lzmeinai sêiod270 do360 b,'a,c     _{D E D} HD c  c c

Rysunek 8. Szerokoœæ quasi-geodezyjna oraz zredukowana na elipsoidzie trójosiowej

Natomiast wzajemne relacje pomiêdzy szerokoœci¹ geodezyjn¹, quasi-geodezyjn¹ oraz zredukowan¹ przedstawiaj¹ wzory (Bugayevskiy, Snyder 1995):



]



G X X F X G       VLQ  FRV VLQ VLQ   M lub     FRV  VLQ VLQ M M M ]  gdzie:



O



O    FRV    VLQ N N ] 

Jacobi wprowadzi³ pojêcie wspó³rzêdnych eliptycznych u₁, u₂, u₃ na elipsoidzie trójosiowej. Wspó³rzêdne te odnosz¹ siê do trzech powierzchni drugiego stopnia, posiadaj¹cych te same pary ognisk (hiperboloidy jednopow³okowej, hiperboloidy dwupow³okowej oraz elip-soidy trójosiowej). Dla danej elipelip-soidy wartoœæ u₃ jest sta³a. Wspó³rzêdne te otrzymuje siê w

wyniku rozwi¹zania równania (Nyrtsov i in., 2014):

            F X ] X E \ X D [ gdzie a > b > c.

Pierwiastkami powy¿szego równania s¹:

    S S T X         S S T X    X  gdzie:       _{\ ] D E F} [ S                       _{E [ F \ D \ F ] D ]E D E E F D F} [ T         

Wspó³rzêdne te wykorzystuje siê miêdzy innymi do konstrukcji odwzorowañ konforem-nych Jacobiego.

Wiêcej na temat wspó³rzêdnych eliptycznych mo¿na znaleŸæ w pracy (Nyrtsov i in., 2014).

Odwzorowania kartograficzne obiektów nieregularnych

Odwzorowania morfograficzne s¹ zmodyfikowanymi odwzorowaniami azymutalnymi sfery, w których sta³y promieñ wodz¹cy powierzchni zast¹piono zmiennym promieniem, okreœlonym jako suma promienia wodz¹cego R powierzchni sfery oraz wysokoœci h danego punktu nad t¹ sfer¹. D³ugoœæ i szerokoœæ planetocentryczna j, l, wraz z promieniem wo-dz¹cym R_i = R + h, stanowi¹ razem wspó³rzêdne biegunowe opisuj¹ce powierzchniê cia³a o

(12) (13) (14) (15) (16) (17)

nieregularnym kszta³cie. Ogólny wzór na wspó³rzêdne p³askie w odwzorowaniu morfogra-ficznym azymutalnym jest postaci (Nyrtsov i in., 2006; Wahlisch i in., 2013):

Podobnie mo¿na modyfikowaæ inne rodzaje odwzorowañ. Wzór ogólny zmodyfikowa-nych odwzorowañ powierzchni nieregularzmodyfikowa-nych ma postaæ:

Rzuty ortograficzne cia³ niebieskich zaprezentowane w poprzednim rozdziale (rys. 4, 5) s¹ odwzorowaniami morfograficznymi (ortograficznymi) postaci:

Nale¿y mieæ na uwadze miejscow¹ nieregularnoœæ tych odwzorowañ wywo³an¹ waha-niem d³ugoœci promienia wodz¹cego R_i = R + h powierzchni dla poszczególnych

równole¿-ników.

Wzory ogólne na odwzorowania zmodyfikowane walcowe oraz pseudowalcowe przed-stawiaj¹ równania (21)–(22) (Nyrtsov i in., 2006).

Na rysunku 9 przedstawiono Fobosa w odwzorowaniu morfograficznym.

Opisane wy¿ej odwzorowania morfo-graficzne i zmodyfikowane pozwalaj¹ pra-wid³owo przedstawiæ skomplikowany kszta³t obiektu nieregularnego, jednak¿e ze wzglêdu na brak formalnego opisu po-wierzchni orygina³u, nie jest mo¿liwe wy-znaczenie zniekszta³ceñ odwzorowaw-czych.

Elipsoida trójosiowa mo¿e byæ po-wierzchni¹ odniesienia dla obiektów o kszta³cie zbli¿onym do reprezentuj¹cego stan równowagi hydrostatycznej takich jak Westa. W zale¿noœci od wymaganej do-k³adnoœci geometrycznej opracowania kar-tograficznego oraz dok³adnoœci danych Ÿród³owych, odwzorowanie kartograficzne elipsoidy trójosiowej mo¿e siê okazaæ w³aœciwe równie¿ dla niektórych innych, mniejszych i bardziej nieregularnych cia³ niebieskich.

Przyk³adem odwzorowania elipsoidy trójosiowej jest odwzorowanie konforemne Jaco-biego. Funkcje odwzorowawcze maj¹ nastêpuj¹c¹ postaæ (Nyrtsov i in. 2014):

gdzie u = u₁, v = u₂ wyra¿a siê wzorem (16).

(19)

(21) (22)

Rysunek 9. Fobos w odwzorowaniu morfograficznym (Ÿród³o: http://sbn.psi.edu/pds/asteroid/ EAR_A_3_RDR_STOOKEMAPS_V1_0/maps) O M O MFRV   FRV VLQ FRV  5 K < 5 K ;           5 K IM < 5 K I M O ;  









³

L _{  } X E GX X D X E X F X [     (18) (20)









³

L _ _{ } Y F GY Y D Y E Y F Y \     (23) (24)           5L M O < I 5L M O I ; O M O MFRV    VLQ   5 K I < 5 K I ;          5 K IM < 5 K I O ;  

Zak³adaj¹c, ¿e a > b > c powy¿sze ca³ki mo¿emy przedstawiæ za pomoc¹ ca³ek eliptycz-nych, wówczas otrzymujemy wzory:

gdzie P(j_i, k₂, k₁)oznacza ca³kê eliptyczn¹ trzeciego rodzaju, a F(j_i,k) ca³kê eliptyczn¹

pierwszego rodzaju.

We wzorze (25) przyjêto nastêpuj¹ce oznaczenia:

oraz we wzorze (26) przyjêto nastêpuj¹ce oznaczenia:

Rozwiniêcie w szereg ca³ki eliptycznej pierwszego rodzaju ma postaæ (Byrd, 1954):

Rozwiniêcie w szereg ca³ki eliptycznej trzeciego rodzaju wyra¿a siê jako

gdzie: (25) (26) (27) (28) (29) (30)



_ _

 

_ ª«_¬EF



3



NN



D)§_©¨_N_¹·¸»_¼º E F D [ ML S



 





D F

 

E

>

E D





N N



D )



N



@

N ) D N N D E E F D \ L L                           M M S S  3    » ¼ º « ¬ ª ¸ ¹ · ¨ © §  ¸ ¹ · ¨ © § 3  









 







   DUFVLQ F X E D E X F D L     M      _DD E_F N  









E F



D Y



Y E F D L _  _    DUFVLQ M







 



     E_D F_{F E}D N        _DE _FF N  







 



     _DD _FE _EF N   

 

 



 

     P P P ) N N W P M f §¨_¨ ·¸_¸  M © ¹

¦









 



 

         M P _P P P M N N W M M D D M D f §_ ·_{§ ·} ¨ ¸_{¨ ¸} ¨ ¸ _{© ¹} © ¹

¦¦

–



_{W M}

_

 

_M

_

 



_>

_{VLQ FRV}

_@

 W M M M M 

 







   VLQ FRV  VLQ_ W M ª_¬ M M M  M º_¼







 

 

 

       _{ VLQ FRV}   P P P P W W P P M M M M   _ Rysunek 10. Siatka kartograficzna w odwzorowaniu konforemnym Jacobiego Westy (elipsoida trójosiowa o pó³osiach: a=284,50 km, b=277,25 km, c=226,43 km) (31)

Przedstawione wzory pozwalaj¹ na obliczenie wspó³rzêdnych prostok¹tnych w odwzo-rowaniu Jacobiego. Na ich podstawie opracowano siatkê kartograficzn¹, któr¹ zaprezento-wano na rysunku 10.

Poni¿ej przedstawiono formu³y odwzorowawcze kilku wybranych odwzorowañ karto-graficznych. Wzory s¹ w postaci funkcji opisanych wczeœniej wspó³rzêdnych: planetocen-trycznych, geodezyjnych i quasi-geodezyjnych.

Odwzorowanie walcowe równod³ugoœciowe wzd³u¿ po³udników jako funkcja szeroko-œci quasi-geodezyjnej (http://geocnt.geonet.ru/en/3_axial):

gdzie:

Odwzorowanie walcowe równod³ugoœciowe wzd³u¿ po³udników jako funkcja szeroko-œci planetocentrycznej







O



O O O G H H H E [

_³

               FRV  FRV  









³

           VLQ   M M M G H H G \ G G HO (32) (33)



 



   D E  D H  O    FRV  H E GHO 



 



  _ HO HO G G E G H  (34)







O



O O O G H H H E [

_³

               FRV  FRV   ₍₃₅₎







I



I I I G H H H F \ G G G

³

           FRV  FRV   ₍₃₆₎

Odwzorowanie azymutalne równod³ugosciowe w kierunku po³udników jako funkcja sze-rokoœci planetocentrycznej

Ca³ki (32)–(39) oblicza siê stosuj¹c metody ca³kowania numerycznego. Wyniki obliczeñ wspó³rzêdnych oraz przyk³adowe siatki kartograficzne mo¿na zobaczyæ na stronie interneto-wej GIS Research Centre http://geocnt.geonet.ru/en/3_axial.

(37) (38) (39)







I



I I U S I G H H H F G G G

³

           FRV  FRV  







FRVO O U  [







VLQO O U  \

                              P S P P S P P S P P S P S G P  (42) Dla obiektów silnie nieregularnych wskazane jest zastosowanie odwzorowania morfo-graficznego lub odwzorowania powierzchni o bardziej skomplikowanym kszta³cie ni¿ elipso-ida trójosiowa. Zastosowanie elipsoidy szeœcioosiowej jako powierzchni orygina³u w odwzo-rowaniu obiektu nieregularnego ma nastêpuj¹ce zalety:

m umo¿liwia wierniejsze ukazanie wzajemnych relacji przestrzennych wskazanych zja-wisk oraz obiektów powierzchniowych cia³a o nieregularnym kszta³cie, ni¿ w przy-padku odwzorowañ elipsoidy trójosiowej,

m zachowuje mo¿liwoœæ obliczania zniekszta³ceñ odwzorowawczych,

m pozwala na wykorzystanie wzorów opisuj¹cych niektóre odwzorowania elipsoidy trój-osiowej.

Elipsoida szeœcioosiowa dzieli siê na osiem stref, z których ka¿da jest p³atem elipsoidy trójosiowej, okreœlonej przez inn¹ kombinacjê trzech spoœród szeœciu pó³osi a, b, c, a’, b’,

c’. Odwzorowanie walcowe równod³ugoœciowe w kierunku po³udników elipsoidy

trójosio-wej o odwzorowuj¹cym siê bez zniekszta³ceñ równiku jest przyk³adem odwzorowania, które mo¿e zostaæ zastosowane do przedstawienia powierzchni elipsoidy szeœcioosiowej. Aby tego dokonaæ wystarczy podstawiaæ w formu³ach odwzorowawczych kolejne wartoœci pó³osi dla poszczególnych stref odwzorowawczych. Uzyskane odwzorowanie jest regularne i spe³-nia warunek wiernego odwzorowaspe³-nia odleg³oœci wzd³u¿ po³udników. Formu³y odwzoro-wawcze odwzorowania s¹ nastêpuj¹ce (Nyrtsov, Bugayevskiy, 2007):

gdzie s(j, l) oznacza d³ugoœæ ³uku po³udnika i wyra¿a siê wzorem:

(41) (40) O O M     ) < V ;                                                 VLQ   VLQ   VLQ   VLQ                           P D P P D P P P D P P P P D P P P P P D % D % D % D % D % D V

Rysunek 11 przedstawia siatkê kartograficzn¹ odwzorowania walcowego równod³ugo-œciowego w kierunku po³udników powierzchni elipsoidy trójosiowej, przyjêtej jako powierzch-nia orygina³u dla asteroidy Eros (a= 14274,9 m, b=7583,6 m, c= 6250,2 m, a’= 15804,3 m,

b’= 4750,8 m, c’= 5839,6 m).

Rysunek 11. Siatka kartograficzna w odwzorowaniu walcowym równod³ugoœciowym w kierunku po³udników elipsoidy szeœcioosiowej (Nyrtsov, Bugayevskiy, 2007)

(43) (44) 

>

@

                                  FRV   VLQ  FRV FRV     VLQ  FRV   G F S N E G % S G 1 % 1 U N N ] % ] U      )  O O O                  FRV   D E N G F S N E G    O  gdzie:

Podsumowanie

Wraz z eksploracj¹ kosmosu rozwija siê specjalnoœæ zwana kartografi¹ planetarn¹. Jednym z problemów kartografii planetarnej jest wierne odwzorowanie powierzchni cia³ niebieskich o nieregularnych kszta³tach. Znane odwzorowania kartograficzne sfery oraz elipsoidy obrotowej sp³aszczonej okazuj¹ siê niewystarczaj¹ce do tego celu. Wymagane jest poszukiwanie zarówno nowych odwzorowañ, jak i bardziej skomplikowanych powierzchni odniesienia.

Zbiór obiektów nieregularnych stanowi¹ tzw. ma³e cia³a Uk³adu S³onecznego oraz wiêk-szoœæ naturalnych satelitów planet. Ma³a masa oraz liczne kolizje z innymi obiektami ko-smicznymi uniemo¿liwi³y tym cia³om niebieskim osi¹gniêcie kulistego kszta³tu.

Elipsoida trójosiowa jest odpowiedni¹ powierzchni¹ odniesienia dla obiektów takich jak Westa, o stosunkowo du¿ej masie i wzglêdnie regularnym kszta³cie. Dla obiektów o bardziej nieregularnym kszta³cie zasadne jest poszukiwanie bardziej skomplikowanych powierzchni odniesienia. Elipsoida szeœcioosiowa jest powierzchni¹ sk³adaj¹c¹ siê ze stref, które s¹ frag-mentami elipsoid trójosiowych o ró¿nych d³ugoœciach pó³osi. Powierzchnia ta mo¿e byæ znacznie lepiej wpasowana w  fizyczn¹ powierzchniê omawianych obiektów ni¿ tradycyjne powierzchnie odniesienia.

Przyk³adem odwzorowania elipsoidy trójosiowej jest odwzorowanie konforemne Jaco-biego, wykorzystuj¹ce wprowadzone przez badacza pojêcie wspó³rzêdnych eliptycznych. Znane s¹ równie¿ miêdzy innymi odwzorowania równod³ugoœciowe wzd³u¿ po³udników: azymutalne i walcowe. Odwzorowanie walcowe, równod³ugoœciowe w kierunku po³udniko-wym, o odwzorowuj¹cym siê bez zniekszta³ceñ równiku jest przyk³adem odwzorowania, którego formu³y dla elipsoidy trójosiowej mo¿na ³atwo wykorzystaæ dla elipsoidy szeœcio-osiowej.

Wierne przedstawienie wzajemnych relacji przestrzennych zjawisk i obiektów na po-wierzchni obiektu nieregularnego mo¿na równie¿ uzyskaæ wykorzystuj¹c tak zwane odwzo-rowania morfograficzne oraz inne konstruowane wed³ug podobnych zasad. Zalet¹ tych od-wzorowañ jest mo¿liwoœæ modyfikacji znanych zale¿noœci dla odod-wzorowañ sfery przez uwzglêdnienie zmiennej d³ugoœci promienia wodz¹cego powierzchni danego obiektu, co po-zwala przedstawiæ na mapie nawet bardzo skomplikowany kszta³t. S³ab¹ stron¹ tych odwzo-rowañ jest pominiêcie definicji powierzchni odniesienia, co uniemo¿liwia dalsze formalne okreœlenie zniekszta³ceñ odwzorowawczych.

Literatura

Asmar S.W., Konopliv A.S., Park R.S., Bills B.G., Gaskell R., Raymond C.A., Russell C.T., Smith D.E., Toplis M.J., Zuber M.T., 2012: The gravity field of vesta and implications for interior structure. 43rd Lunar and Planetary Science Conference, http://www.lpi.usra.edu/meetings/lpsc2012/pdf/2600.pdf Bugayevskiy L., Snyder J., 1995: Map projections. A reference manual. Taylor&Francis.

Byrd P., 1954: Handbook of elliptic integrals for engineers and physicists. Springer-Verlag.

GIS Research Centre of the Institute of Geography of the Russian Academy of Sciences, 2012: Cartographical Projections of Triaxal Ellipsoid http://geocnt.geonet.ru/en/3_axial

Fu R.R., Hager B. A., Ermakov A.I., Zuber M.T., 2014: Efficient early global relaxation of asteroid Vesta.

Icarus, Academic Press Elsevier, doi:10.1016/j.icarus.2014.01.023.

Nyrtsov M.V., Bugayevskiy L.M., Shingareva K.B., 2006: Mathematical Basis for Non-Spherical Celestial Bodies Maps, Journal of Geospatial Engineering 2 (2): 45-50.

Nyrtsov M.V., Bugayevskiy L.M., Stooke P.J., 2007: The multiple axis ellipsoids as reference surfaces for mapping of small celestial bodies [In::] Proceedings of XXIII International Cartographic Conference, Moskwa, http://icaci.org/files/documents/ICC_proceedings/ICC2007/html/Proceedings.htm

Nyrtsov M., Fleis M., Borisov M., Stooke P., 2014: Jacobi conformal projection of the triaxial ellipsoid: new projection for mapping of small celestial bodies. [In:] M. Buchroithner et al. Cartography from Pole to Pole. Lecture Notes in Geinformation and Cartography, Springer-Verlag, 235-246.

Wahlish M., Stooke P.J., Karachevtseva I.P., Kirk R., Oberst J., Willner K., Nadejdina I.A., Zubarev A.E., Konopikhin A.A., Shingareva K.B., 2013: Phobos and Deimos Cartography, Planetary and Space Science, http://dx.doi.org/10.1016/j.pss.2013.05.012 ród³a internetowe: http://cartsrv.mexlab.ru/geoportal/ http://pds.jpl.nasa.gov/ http://webgis.wr.usgs.gov/index.html http://sbn.psi.edu/pds/asteroid http://sbn.psi.edu/pds/asteroid/EAR_A_3_RDR_STOOKEMAPS_V1_0/maps Streszczenie

Informacja przestrzenna mo¿e dotyczyæ nie tylko powierzchni Ziemi, ale tak¿e innych cia³ niebieskich. Sondy kosmiczne przesy³aj¹ na Ziemiê coraz wiêcej danych, które s¹ nastêpnie przetwarzane i na ich podstawie tworzone s¹ ró¿nego rodzaju opracowania kartograficzne, takie jak: mapy hipsometrycz-ne, topograficzhipsometrycz-ne, albedo, wirtualne globusy, bazy danych przestrzennych, modele terenu itp. W przypadku planet Uk³adu S³onecznego, takich jak: Wenus, Mars, a tak¿e wiêkszych ksiê¿yców planet zewnêtrznych, typowa mapa zawiera najczêœciej informacje o rzeŸbie terenu oraz o wzajem-nych relacjach przestrzenwzajem-nych i kszta³cie charakterystyczwzajem-nych form ukszta³towania terenu (np. krate-rów, równin, pasm górskich). Za powierzchniê odniesienia dla tych cia³ niebieskich z regu³y mo¿na przyj¹æ elipsoidê obrotow¹, gdy¿ s¹ one na tyle masywne, by si³ami w³asnej grawitacji uzyskaæ kszta³t zbli¿ony do kulistego.

Istnieje jednak w Uk³adzie S³onecznym znaczna liczba tzw. ma³ych cia³ niebieskich, o œrednicy do kilkuset kilometrów (g³ównie planetoidy i komety), których kszta³t jest nieregularny. BodŸcem do rozwoju kartografii obiektów tego typu jest pozyskiwanie coraz dok³adniejszych danych Ÿród³owych, dotycz¹cych ich powierzchni. Na szczególn¹ uwagê zas³uguj¹ tutaj satelity Marsa: Fobos i Deimos. Opracowanie mapy takich obiektów wymaga zastosowania niekonwencjonalnych rozwi¹zañ w za-kresie doboru powierzchni orygina³u oraz odwzorowañ kartograficznych.

Autorzy w artykule przedstawili podstawowe problemy wspó³czesnej kartografii planetarnej. Szerzej opisali problem zastosowania odwzorowañ kartograficznych obiektów nieregularnych. Przedstawili podstawowe rodzaje odwzorowañ kartograficznych, ich charakterystykê, a tak¿e przyk³adowe mapy opracowane na ich podstawie.

Abstract

Spatial information may relate not only to the Earth's surface, but also to other celestial bodies. Space probes send back to Earth more and more data, which are then processed and on their basis different kinds of cartographic products are created, such as hypsometric, topographic and albedo maps, virtual globes, spatial databases, terrain models etc.

In the case of solar system planets such as Venus, Mars, and the larger moons of the outer planets, typical map contains most often information about the terrain and the mutual spatial relations and the shape of characteristic forms of terrain (e.g, craters, plains, mountain ranges). The ellipsoid of rotation is usually taken as reference surface for these celestial bodies, because they are so massive that their own gravity forces get them close to a spherical shape.

However, in the solar system there is a significant number of so-called small celestial bodies with a diameter of up to several hundred kilometers (mainly asteroids and comets) whose shape is irregular. The impulse for the development of this kind of mapping is to obtain more accurate data source related to their surface. Particular attention should be paid to the satellites of Mars: Phobos and Deimos. The mapping of these objects requires the use of unconventional solutions in the selection of the reference surface and map projections.

The authors presented the basic problems of modern planetary cartography. They broadly described the problem of the use of map projections of irregular objects. They present basic types of map projections, their characteristics, as well as sample maps.

dr hab. Pawe³ Pêdzich, prof. PW p.pedzich@gik.pw.edu.pl mgr in¿. Kamil Jan Latuszek kamil.latuszek@wp.pl

c