2 Zbie»no±¢ jednostajna ci¡gów funkcyjnych.Wªasno±ci ogólne

Materiaªy do ¢wicze«

z Analizy matematycznej II 2020/2021

Maria Frontczak, Ludwika Kaczmarek, Katarzyna Klimczak, Maria Michalska,

Beata Osi«ska-Ulrych, Tomasz Rodak, Adam Ró»ycki, Grzegorz Skalski, Stanisªaw Spodzieja Teoria podana przed ¢wiczeniami pochodzi z pozycji [Sp].

Ci¡gi i szeregi funkcyjne

1 Zbie»no±¢ punktowa i jednostajna ci¡gów funkcyjnych

Denicja 1.1 (ci¡g funkcyjny). Funkcj¦ okre±lon¡ na zbiorze N o warto±ciach w zbiorze R^X nazy- wamy ci¡giem funkcyjnym i oznaczamy (fn)_n∈N, (fn)^∞_n=1lub fn: X → R, n = 1, 2, . . . . Wtedy piszemy (f_n)_n∈N⊂ R^X lub (fn)^∞_n=1⊂ R^X.

Denicja 1.2 (ci¡g funkcyjny zbie»ny). Mówimy, »e ci¡g funkcyjny fn: X → R, n = 1, 2, . . . jest zbie»ny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, »e dla ka»dego x ∈ X zachodzi

f (x) = lim

n→∞f_n(x) to znaczy

∀_x∈X∀_ε>0∃_{N ∈R}∀_n∈N(n > N ⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε)

Funkcj¦ f nazywamy granic¡ ci¡gu (fn)_n∈N i piszemy f = limn→∞fn. Ci¡g funkcyjny, który nie jest zbie»ny, nazywamy rozbie»nym.

Uwaga 1.1. Niech (fn)_n∈N, (g_n)_n∈N⊂ R^X b¦d¡ ci¡gami funkcyjnymi zbie»nymi odpowiednio do f, g : X → R. Wprost z wªasno±ci granic ci¡gów liczbowych dostajemy, »e: suma (fn + g_n)_n∈N, ró»nica (f_n − g_n)_n∈N i iloczyn (fngn)_n∈N s¡ ci¡gami zbie»nymi odpowiednio do f + g, f − g oraz fg. Je±li ponadto g(x) 6= 0, gn(x) 6= 0dla x ∈ X oraz n ∈ N, to ci¡g ^f_gⁿ_n^

n∈N jest zbie»ny do ^f_g.

Denicja 1.3 (ci¡g funkcyjny jednostajnie zbie»ny). Mówimy, »e ci¡g funkcyjny fn : X → R, n = 1, 2, . . . jest jednostajnie zbie»ny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka, »e

∀_ε>0∃_{N ∈R}∀_n∈N∀_x∈X (n > N ⇒ |f_n(x) − f (x)| < ε).

Wtedy mówimy, »e ci¡g (fn)_n∈N jest jednostajnie zbie»ny do funkcji f i piszemy fn⇒ f . Wªasno±¢ 1.1. Niech fn: X → R, n = 1, 2, . . . i f : X → R. Oznaczmy

M_n= sup{ |f_n(x) − f (x)| : x ∈ X} dla n ∈ N.

Wówczas nast¦puj¡ce warunki s¡ równowa»ne:

(a) fn⇒ f

(b) istnieje m ∈ N, »e Mn∈ R dla n > m oraz limn→∞M_n= 0.

Twierdzenie 1.1 (warunek Cauchy'ego zbie»no±ci jednostajnej ci¡gu funkcyjnego). Ci¡g funkcyjny fn: X → R, n = 1, 2, . . . jest jednostajnie zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia nast¦puj¡cy warunek Cauchy'ego:

∀_ε>0∃_{N ∈R}∀_n,l∈N∀_x∈X ((n > N ∧ l > N ) ⇒ |f_n(x) − f_l(x)| < ε).

Twierdzenie 1.2. Niech ci¡g funkcyjny (fn)^∞_n=1 ⊂ R^X, gdzie X ⊂ R, b¦dzie zbie»ny jednostajnie do funkcji f : X → R. Je±li wszystkie funkcje fn, n ∈ N, s¡ ci¡gªe w punkcie x0 ∈ X, to f jest funkcj¡

ci¡gª¡ w punkcie x0.

‚wiczenie 1.1. Udowodni¢, »e dla dowolnego A ∈ (0, 1) ci¡g funkcyjny fn(x) = xⁿ, x ∈ (0, A) jest jednostajnie zbie»ny.

‚wiczenie 1.2. Udowodni¢, »e ci¡g funkcyjny fn(x) = ^x_n, x ∈ R, jest zbie»ny do funkcji f = 0, ale nie jest on jednostajnie zbie»ny w caªym R.

‚wiczenie 1.3. 1. Udowodni¢, »e ci¡g funkcyjny fn(x) = _1+n^x_2x2 jest jednostajnie zbie»ny w [0, 1].

2. Udowodni¢,»e ci¡g funkcyjny fn(x) = _1+n^nx_2x2 nie jest jednostajnie zbie»ny w [0, 1].

‚wiczenie 1.4. Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych:

1. fn(x) = xⁿ x ∈ [0, 1]; x ∈ R, 2. fn(x) = _1+nx¹ , x ∈ [0, +∞), 3. fn(x) = _1+x^xnn, x ∈ [0, 1], 4. fn(x) = _1+x^xnn, x ∈ [1, +∞), 5. fn(x) = ^x+3n_x+n, x ∈ [0, +∞), 6. fn(x) =^qx²+ ¹_n, x ∈ R, 7. fn(x) =^qx²− _n¹₂, x ∈ [1, +∞), 8. fn(x) =^qx+3n_x+n, x ∈ (0, +∞), 9. fn(x) = nxe^−nx2, x ∈ R, 10. fn(x) = ne^−nx2, x ∈ (0, +∞),

11. fn(x) = x +^e−nx_n , x ∈ [0, +∞), 12. fn(x) = e^−nx2, x ∈ [−1, 1], 13. fn(x) = ^ne_1+ne^2x+e2x^x+1, x ∈ R, 14. fn(x) = (1 − x)xⁿ, x ∈ [0, 1], 15. fn(x) = n(1 − x)xⁿ, x ∈ [0, 1], 16. fn(x) = n(1 − x)ⁿx, x ∈ [0, 1], 17. fn(x) = ln^x+2n_x+n, x ∈ (0, +∞), 18. fn(x) = _n2+x^x ₂, x ∈ R,

19. fn(x) = _n2^nx_+x2, x ∈ R, 20. fn(x) = _(n+2)^x(n+2)_2+x2, x ∈ R, 21. fn(x) = _nⁿ₂²_+x^x2₂, x ∈ R.

2 Zbie»no±¢ jednostajna ci¡gów funkcyjnych.Wªasno±ci ogólne

‚wiczenie 2.1. Zbada¢ zbie»no±¢ jednostajn¡ ci¡gów funkcyjnych:

1. fn(x) = _n¹[nx], x ∈ R, 2. fn(x) = n sin_n^x, x ∈ R 3. fn(x) = x +_n¹ sin nx, x ∈ R, 4. fn(x) = ln (x + _n¹), x ∈ [1, +∞), 5. fn(x) = ln_n+xⁿ , x ∈ (0, +∞), 6. fn(x) = ln^2x_n+x²⁺ⁿ₂ , x ∈ R, 7. fn(x) = ^x_nln_n^x, x ∈ (0, 1),

8. fn(x) = ^x_n−_n¹ ln(1 + nx) + x², x ∈ [0, 1], 9. fn(x) = ln 1+^x_n
−ln 1+_n+1^x
, x ∈ [0, +∞), 10. fn(x) = n ln^1+nx_nx , x ∈ (0, +∞),

11. fn(x) = n ln^1 +^x_n^2, x ∈ R, 12. fn(x) = arctg(x²+ n), x ∈ R, 13. fn(x) = arctg (x²+ nx + n²), x ∈ R, 14. fn(x) = arctg _x¹ + n
, x ∈ (0, +∞), 15. fn(x) = arctg_x2^2x_+n2, x ∈ R,

16. fn(x) = arc sin_x2+n^{x 2}, x ∈ R, 17. fn(x) = x²+ arctg(ne^x), x ∈ R,

18. fn(x) = x + arctg((x + 1)²− n), x ∈ R, 17^∗ f_n(x) = √ⁿ

1 + x²ⁿ, x ∈ R, 18^∗ f_n(x) =√

n + 1 sinⁿx cos x, x ∈ R.

‚wiczenie 2.2. Poda¢ przykªad ci¡gu funkcyjnego fn: [0,¹₂] → R, który nie jest zbie»ny jednostajnie w przedziale [0,¹₂].

‚wiczenie 2.3. Poda¢ przykªad ci¡gu (fn)_n∈N funkcji ci¡gªych, zbie»nego do funkcji ci¡gªej, ale ta- kiego, »e zbie»no±¢ nie jest jednostajna.

‚wiczenie^∗ 2.4. Niech (fn)_n∈N b¦dzie ci¡giem funkcji ci¡gªych na przedziale domkni¦tym [a, b]. Je±li dla ka»dego x ∈ [a, b] ci¡g (fn(x))_n∈N jest monotoniczny i zbie»ny do funkcji ci¡gªej, to jest zbie»ny jednostajnie.

‚wiczenie 2.5. Udowodni¢, »e je±li (fn)_n∈N jest ci¡giem funkcji jednostajnie ci¡gªych na zbiorze E ⊂ R, jednostajnie zbie»nym do funkcji f , to f jest funkcj¡ jednostajnie ci¡gª¡ na E.

‚wiczenie 2.6. Niech (fn)_n∈Ni (gn)_n∈Nb¦d¡ ci¡gami funkcyjnymi jednostajnie zbie»nymi odpowied- nio do funkcji f i g na zbiorze X ⊂ R. Zaªó»my, »e istniej¡ staªe M > 0 i K > 0, »e |f(x)| 6 K i

|g_n(x)|> M dla x ∈ X. Wówczas ci¡g

f_n gn



n∈N

jest zbie»ny jednostajnie do funkcji f/g na zbiorze X.

‚wiczenie 2.7. Niech (fn)_n∈N b¦dzie ci¡giem funkcji ci¡gªych jednostajnie zbie»nym do funkcji f na zbiorze zwartym P ⊂ R. Niech Mn= max_x∈Pf_n(x), M = maxx∈Pf (x). Pokaza¢, »e limn→∞M_n= M.

3 Zbie»no±¢ jednostajna szeregów funkcyjnych

Denicja 3.1 (szereg funkcyjny). Niech (fn)^∞_n=1 ⊂ R^X. Ci¡g funkcyjny (sn)^∞_n=1 ⊂ R^X okre±lony wzorem sn(x) =^Pn_j=1fj(x)dla x ∈ X, n ∈ N, nazywamy ci¡giem sum cz¦±ciowych ci¡gu (fn)^∞_n=1.

Szeregiem funkcyjnym nazywamy par¦ uporz¡dkowan¡ ((fn)^∞_n=1, (sn)^∞_n=1) i oznaczamy ^P∞n=1fn. Wtedy ci¡g (sn)^∞_n=1 nazywamy ci¡giem sum cz¦±ciowych szeregu ^P∞n=1f_n.

Denicja 3.2 (szereg funkcyjny zbie»ny). Szereg funkcyjny ^P∞n=1fn, gdzie (fn)^∞_n=1 ⊂ R^X nazy- wamy zbie»nym, gdy zbie»ny jest jego ci¡g sum cz¦±ciowych. Je±li s : X → R jest granic¡ ci¡gu sum cz¦±ciowych szeregu ^P∞_n=1f_n, to mówimy, »e szereg ten jest zbie»ny do s, funkcj¦ s za± nazywamy sum¡ tego szeregu i piszemy s =^P∞n=1fn.

Szereg funkcyjny, który nie jest zbie»ny nazywamy rozbie»nym.

Denicja 3.3 (szereg funkcyjny jednostajnie zbie»ny). Mówimy, »e szereg funkcyjny ^P∞_n=1f_n, gdzie fn : X → R dla n ∈ N, jest jednostajnie zbie»ny, gdy ci¡g sum cz¦±ciowych tego szeregu jest jednostajnie zbie»ny.

Twierdzenie 3.1 (warunek konieczny zbie»no±ci szeregu funkcyjnego). Je±li szereg ^P∞_n=1fn

jest zbie»ny jednostajnie, to ci¡g funkcyjny (fn)^∞_n=1 jest zbie»ny jednostajnie do zera.

Twierdzenie 3.2 (warunek Cauchy'ego zbie»no±ci jednostajnej szeregu funkcyjnego). Niech (f_n)^∞_n=1 ⊂ R^X. Wówczas szereg ^P∞_n=1fn jest jednostajnie zbie»ny wtedy i tylko wtedy, gdy speªnia nast¦puj¡cy warunek Cauchy'ego:

∀_ε>0∃_{N ∈R}∀_m,l∈N∀_x∈X m > l > N ⇒     

m

X

n=l

f_n(x)     

< ε

! .

Twierdzenie 3.3 (kryterium Weierstrassa). Niech (fn)^∞_n=1 ⊂ R^X. Je±li istnieje ci¡g liczbowy (M_n)^∞_n=1 taki, »e dla ka»dego n ∈ N zachodzi |fn(x)|6 Mn dla x ∈ X oraz szereg liczbowy ^P∞_n=1Mn

jest zbie»ny, to szereg funkcyjny ^P∞n=1fn jest jednostajnie zbie»ny.

Twierdzenie 3.4 ( kryterium Abela). Niech (fn)^∞_n=1, (gn)^∞_n=1⊂ R^X. Je±li (a) istnieje M ∈ R, »e dla ka»dego n ∈ N oraz x ∈ X zachodzi |fn(x)|6 M , (b) dla ka»dego x ∈ X ci¡g (fn(x))^∞_n=1 jest malej¡cy,

(c) szereg ^P∞n=1gn jest jednostajnie zbie»ny, to szereg ^P∞n=1f_ng_n jest zbie»ny jednostajnie.

Twierdzenie 3.5 (kryterium Dirichleta). Niech (fn)^∞_n=1, (gn)^∞_n=1⊂ R^X. Je±li (a) istnieje M ∈ R, »e dla ka»dego k ∈ N oraz x ∈ X mamy |^Pk_n=1f_n(x)|6 M , (b) dla ka»dego x ∈ X ci¡g (gn(x))^∞_n=1 jest malej¡cy,

(c) ci¡g (gn)^∞_n=1 jest jednostajnie zbie»ny do funkcji g(x) = 0 dla x ∈ X, to szereg ^P∞n=1fngn jest zbie»ny jednostajnie.

‚wiczenie 3.1. Zbada¢ zbie»no±¢ i zbie»no±¢ jednostajn¡ szeregów:

1. ^P∞n=0 1 2ⁿ√

1+nx, x ∈ [0, +∞), 2. ^P∞n=1e^−n2x2

n² , x ∈ R, 3. ^P∞_n=1n^e2⁵⁻ⁿ+x², x ∈ R, 4. ^P∞n=1

arctg(x+n)

n! , x ∈ R, 5. ^P∞_n=1n2(1+n^{1 2}x²), x ∈ R, 6. ^P∞n=1 sin nx

√3

n⁴+x⁴, x ∈ R, 7. ^P∞n=1 sin nx

1+n²e^x, x ∈ (0, +∞), 8. ^P∞n=1 cos nx

√5

n⁶+x², x ∈ R, 9. ^P∞n=1

arctg (n²x²)

2ⁿ+x² , x ∈ R, 10. ^P∞_n=1 √²3^{sin (nx)}

n⁵+x², x ∈ R, 11. ^P∞_n=1^{2arctg (nx)}_n! , x ∈ R, 12. ^P∞n=1

√4−x²ⁿ

n! , x ∈ [−1, 1],

13. ^P∞_n=1(1+x^x2)ⁿ, x ∈ R, (wyznaczy¢ sum¦), 14. ^P∞n=1 x²

(1+x²)ⁿ, x ∈ R, (wyznaczy¢ sum¦), 15. ^P∞_n=1(1+x^x32)ⁿ, x ∈ R, (wyznaczy¢ sum¦), 16. ^P∞n=1 n³x²

1+n⁹x⁴, x ∈ R,

17. ^P∞n=1 x

1+n⁴x², x ∈ R,

18. ^P∞_n=1^ln(1+nx)_nxn , x ∈ (1, +∞), 19. ^P∞n=0xe^−nx, x ∈ (0, +∞), 20. ^P∞_n=1x²e^−nx, x ∈ [0, +∞), 21. ^P∞n=1 e^x

1+n²e^x, x ∈ R, 22. ^P∞n=1

√ 1−x²ⁿ

2ⁿ , x ∈ [−1, 1], 23. ^P∞n=1(−1)ⁿ⁻¹_(1+x^x2_2)n, x ∈ R, 24. ^P∞_n=1⁽⁻¹⁾_n^nxn, x ∈ [0, 1], 25. ^P∞_n=1⁽⁻¹⁾_x+nⁿ, x ∈ (0, +∞), 28^{∗ P∞}_n=1^√n2

n!(xⁿ− x⁻ⁿ), x ∈ [¹₂, 2], 29^{∗ P∞}_n=1n¹x, x ∈ (1, +∞),

30^{∗ P∞}_n=1f_n(x), gdzie f_n(x) =

(₁

x, x ∈ [n, n + 1) 0, dla pozostaªych x 31^{∗ P∞}_n=2^{ln n}_n ^x, x ∈ (1, +∞), 32^{∗ P∞}_n=1x^{ln n}, x ∈ 0,¹_e
.

‚wiczenie 3.2. Zbada¢ w jakich podzbiorach zbioru R zbie»ne s¡ szeregi 1. ^P∞n=1lnⁿx,

2. ^P∞_n=11+x^xn2n,

3. ^P∞n=1 n

n+2(_3x+2^x )ⁿ.

Czy szeregi te s¡ zbie»ne jednostajnie?

‚wiczenie 3.3. Zbada¢ zbie»no±¢ szeregów ^P∞_n=1 ^{sin nx}_n ,^P∞_n=1^{cos nx}_n , x ∈ R.

Wskazówka: Skorzysta¢ z nast¦puj¡cych wzorów:

n

X

k=1

sin kx = sinⁿ⁺¹₂ x sinⁿ₂x sin^x₂ ,

n

X

k=1

cos kx = cosⁿ⁺¹₂ x sinⁿ₂x sin^x₂ , o ile sin^x₂ 6= 0.

‚wiczenie^∗ 3.4. Udowodni¢, »e istniej¡ funkcje ci¡gªe na R, które nie s¡ ró»niczkowalne w »adnym punkcie.

Wskazówka. Rozwa»y¢ funkcj¦ f(x) =^P∞_n=0aⁿcos(bⁿπx), gdzie 0 < a < 1, b ∈ 2N−1, ab > 1+³₂π.

4 Szeregi pot¦gowe. Rozwijanie funkcji w szereg pot¦gowy

Denicja 4.1 (szereg pot¦gowy). Niech (an)^∞_n=0 b¦dzie ci¡giem liczbowym oraz x0 ∈ R. Szereg postaci

∞

X

n=0

a_n(x − x₀)ⁿ,

gdzie x ∈ R, nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku x0 lub szeregiem Taylora o ±rodku w x0. Przyj- mujemy tutaj 0⁰= 1. Szereg pot¦gowy o ±rodku w 0 nazywamy szeregiem Maclaurina.

Denicja 4.2 (promie« zbie»no±ci, przedziaª zbie»no±ci). Niech dany b¦dzie szereg pot¦gowy P∞

n=0an(x − x₀)ⁿ. Element R ∈ R+∪ {+∞}taki, »e powy»szy szereg pot¦gowy jest zbie»ny dla x ∈ R takich, »e |x − x0| < Roraz rozbie»ny dla |x − x0| > Rnazywamy promieniem zbie»no±ci tego szeregu pot¦gowego. Zbiór {x ∈ R : |x − x0| < R}nazywamy przedziaªem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego.

Wªasno±¢ 4.1. Bior¡c % = lim supn→∞ ⁿ

p|a_n|, promieniem zbie»no±ci szeregu ^P∞n=0a_n(x − x₀)ⁿ jest

R =











0 dla % = +∞,

1/% dla 0 < % < +∞,

+∞ dla % = 0.

Twierdzenie 4.1. Niech R > 0 b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego ^P∞_n=0an(x − x₀)ⁿ. Wówczas dla ka»dego r ∈ R takiego, »e 0 < r < R, szereg ^P∞n=0an(x − x₀)ⁿ jest jednostajnie zbie»ny w przedziale {x ∈ R : |x − x0| 6 r}.

Denicja 4.3. Szeregiem pochodnych szeregu pot¦gowego ^P∞n=0a_n(x − x₀)ⁿ nazywamy szereg

∞

X

n=1

nan(x − x₀)ⁿ⁻¹.

Wªasno±¢ 4.2. Promienie zbie»no±ci szeregu pot¦gowego ^P∞_n=0an(x − x₀)ⁿ i szeregu pochodnych P∞

n=1nan(x − x₀)ⁿ⁻¹ s¡ równe.

Twierdzenie 4.2. Niech R > 0 b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego ^P∞_n=0an(x − x₀)ⁿ, oraz niech f b¦dzie sum¡ tego szeregu w przedziale zbie»no±ci P = {x ∈ R : |x − x0| < R}. Wówczas funkcja f jest klasy C^∞ w P oraz

f^(k)(x) =

∞

X

n=k

n!a_n

(n − k)!(x − x₀)^n−k dla x ∈ P.

Denicja 4.4 (rozwini¦cie funkcji w szereg pot¦gowy). Je±li funkcja f w pewnym otoczeniu punktu x0 ∈ R jest sum¡ szeregu pot¦gowego o ±rodku x0 postaci,

f (x) =

∞

X

n=0

an(x − x₀)ⁿ w pewnym otoczeniu punktu x0,

to mówimy, »e funkcja f rozwija si¦ w otoczeniu punktu x0 w szereg pot¦gowy lub w szereg Taylora.

Wtedy szereg^P∞n=0an(x−x₀)ⁿnazywamy rozwini¦ciem funkcji f w szereg pot¦gowy w otoczeniu punktu x₀ lub rozwini¦ciem w szereg Taylora.

Twierdzenie 4.3 (wspóªczynniki rozwini¦cia funkcji w szereg). Je±li funkcja f rozwija si¦

w pewnym otoczeniu punktu x0 w szereg pot¦gowy f(x) = ^P∞n=0an(x − x₀)ⁿ, to rozwini¦cie to jest okre±lone jednoznacznie, ponadto

a_n= f⁽ⁿ⁾(x₀)

n! dla n = 0, 1, ...

Denicja 4.5. Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ klasy C^∞ oraz x0 ∈ (a, b). Dla n ∈ N, funkcj¦

R_n: (a, b) → R tak¡, »e

f (x) =

n−1

X

k=0

f^(k)(x₀)

k! (x − x₀)^k+ R_n(x) dla x ∈ (a, b)

nazywamy n-t¦ reszt¡ we wzorze Taylora. Ci¡g funkcyjny (Rn)^∞_n=1 nazywamy ci¡giem reszt we wzorze Taylora.

Twierdzenie 4.4. Niech f : (a, b) → R b¦dzie funkcj¡ klasy C^∞, x0 ∈ (a, b) oraz (Rn)^∞_n=1 b¦dzie ci¡giem reszt we wzorze Taylora. Wówczas funkcja f rozwija si¦ w otoczeniu Ω ⊂ (a, b) punktu x0 w szereg pot¦gowy wtedy i tylko wtedy, gdy dla ka»dego x ∈ Ω zachodzi limn→∞R_n(x) = 0.

Wzory 4.1. Poni»sze funkcje rozwijaj¡ si¦ w nast¦puj¡ce szeregi:

e^x =

∞

X

n=0

xⁿ

n! dla x ∈ R,

sin x =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n + 1)!x²ⁿ⁺¹ dla x ∈ R, cos x =

∞

X

n=0

(−1)ⁿ

(2n)!x²ⁿ dla x ∈ R, 1

1 − x=

∞

X

n=0

xⁿ dla x ∈ (−1, 1),

ln(1 + x) =

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n xⁿ dla x ∈ (−1, 1).

Ponadto dla α ∈ R mamy

(1 + x)^α=

∞

X

n=0

α n

!

xⁿ dla x ∈ (−1, 1), gdzie

α n

!

= α(α − 1) · · · (α − n + 1)

n! dla n ∈ N oraz α

0

!

= 1.

‚wiczenie 4.1. Wykaza¢, »e funkcje

1. f(x) = x², x ∈ R, 2. f(x) = _1−x¹ x ∈ (−1, 1) rozwijaj¡ si¦ w szereg Taylora o ±rodku w punkcie x0 = 0.

‚wiczenie 4.2. Znale¹¢ sumy nast¦puj¡cych szeregów, o ile istniej¡

1. ^P∞n=1nxⁿ, 2. ^P∞_n=1n²xⁿ,

3. ^P∞n=1n³xⁿ,

4. ^P∞_n=1n(2n − 1)xⁿ⁺²,

5. ^P∞_n=0ⁿ²₂⁻ⁿ⁺¹n+3 , 6. ^P∞_n=0(−1)^{n (n+1)}₄n−1³,

7. ^P∞_n=0²_n+1^nxn, |x| < ¹₂, 8. ^P∞_n=1¹_nxⁿ.

‚wiczenie 4.3. Opisa¢ wszystkie szeregi pot¦gowe, które s¡ jednostajnie zbie»ne na R.

‚wiczenie 4.4. Znale¹¢ promie« zbie»no±ci R szeregu

∞

X

n=0

2ⁿn!

(2n + 1)!x²ⁿ⁺¹

oraz wykaza¢, »e jego suma f speªnia równanie f⁰(x) = 1 + xf (x), x ∈ (−R, R).

‚wiczenie 4.5. Dowie±¢, »e szereg ^P∞_n=0(3n)!^x3n jest zbie»ny na R oraz jego suma f speªnia równanie f⁰⁰(x) + f⁰(x) + f (x) = e^x.

‚wiczenie 4.6. Niech f(x) =^P∞n=0x²ⁿ dla |x| < 1. Wykaza¢, »e istnieje staªa M > 0, taka »e

|f⁰(x)| < M

1 − |x| dla |x| < 1.

‚wiczenie 4.7. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji e^x w szereg Taylora o ±rodku w punkcie x0∈ R.

‚wiczenie 4.8. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji a^x, a > 0, a 6= 1, w szereg Taylora o ±rodku w punkcie x₀ ∈ R.

‚wiczenie 4.9. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji ln x w szereg Taylora o ±rodku w punkcie x0∈ R+.

‚wiczenie 4.10. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji

1. logax, a > 0, a 6= 1, 2. x^α w szereg Taylora o ±rodku w punkcie x0 ∈ R+.

‚wiczenie 4.11. Znale¹¢ rozwini¦cie funkcji w szereg Taylora o ±rodku w 0 dla funkcji 1. arc sin x (skorzysta¢ z faktu, »e(arc sin x)⁰ = ^{√ 1}

1−x²), 2. arctg x (skorzysta¢ z faktu, »e(arctg x)⁰ = _1+x¹ ₂).

‚wiczenie 4.12. Znale¹¢ rozwini¦cie nast¦puj¡cych funkcji w szereg Maclaurina 1. f(x) = sinh x = ^ex−e₂^−x,

2. f(x) = cosh x = ^ex+e₂^−x, 3. f(x) = x ln(3 + 2x), 4. f(x) = e^−x2,

5. f(x) = (1 − x)⁻², 6. f(x) = _16+x^x4 4, 7. f(x) = ^x+1_x+2, 8. f(x) = _3x−2^x ,

9. f(x) = sin²x,

10. f(x) = sin (3x) cos (4x),

11. f(x) = sin (3x).

5 Rozwijanie funkcji w szereg pot¦gowy.

Twierdzenie Weierstrassa i Arzeli-Ascoliego

Twierdzenie 5.1 (Weierstrassa o aproksymacji). Ka»da funkcja f ci¡gªa w przedziale domkni¦tym [a, b] jest granic¡ pewnego jednostajnie zbie»nego w [a, b] ci¡gu wielomianów.

Denicja 5.1 (ograniczona rodzina funkcji). Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R b¦dzie rodzin¡

funkcji rzeczywistych okre±lonych na zbiorze X. Mówimy, »e rodzina R jest ograniczona w punkcie x0 ∈ X, gdy istnieje M ∈ R, »e dla ka»dej funkcji f ∈ R zachodzi |f(x0)|6 M .

Mówimy, »e rodzina R jest ograniczona, gdy istnieje M ∈ R, »e dla ka»dej funkcji f ∈ R oraz ka»dego x ∈ X zachodzi |f(x)| 6 M.

Denicja 5.2 (jednakowo ci¡gªa rodzina funkcji). Niech X ⊂ R, X 6= ∅ oraz niech R b¦dzie rodzin¡ funkcji rzeczywistych okre±lonych na zbiorze X. Mówimy, »e rodzina R ⊂ R^X jest jednakowo ci¡gªa, gdy dla ka»dego ε > 0 istnieje δ > 0, »e dla ka»dej funkcji f ∈ R oraz ka»dych x⁰, x⁰⁰ ∈ X takich, »e |x⁰− x⁰⁰| < δ zachodzi |f(x⁰) − f (x⁰⁰)| < ε.

Twierdzenie 5.2 (Arzeli-Ascoliego). Niech R b¦dzie rodzin¡ funkcji rzeczywistych okre±lonych na przedziale ograniczonym P . Je±li R jest rodzin¡ jednakowo ci¡gª¡ i ograniczon¡ w pewnym punkcie x₀ ∈ P, to z ka»dego ci¡gu (fn)^∞_n=1⊂ R tej rodziny mo»na wybra¢ podci¡g jednostajnie zbie»ny.

‚wiczenie 5.1. Znale¹¢ rozwini¦cie nast¦puj¡cych funkcji w szereg Taylora w otoczeniu punktu x0

1. f(x) = x⁴− 5x³+ x²− 3x + 4, x₀= 4, 2. f(x) = (x²− 4x + 4)³, x0= 2,

3. f(x) = x²− 2x, x₀ = 1, 4. f(x) = e^3x, x0 = −2, 5. f(x) = e^x+5, x₀ = 7, 6. f(x) = _x¹, x0 = −1, 7. f(x) = _x(x+2)^x−1 , x₀= 1, 8. f(x) = _2x+5^x+4, x0= −2, 9. f(x) = ^x−1_x+3, x₀ = 2, 10. f(x) =√

x, x0= 1,

11. f(x) =√

2x − 3, x₀= 5, 12. f(x) =√³

2 + 5x, x₀= 3,

13. f(x) = (x − 1) ln(x²− 2x + 2), x0 = 1, 14. f(x) = ln (4 + 5x), x0 = 2,

15. f(x) = (x − 4) ln(2x − 5), x0 = 4, 16. f(x) = ln(2 − 3x), x0 = −1, 17. f(x) = ln(1 + 3x), x0 = 1, 18. f(x) = sin x, x0= ^π₂, 17^∗ f (x) = _1+x¹ 2, x0∈ R \ {0}.

‚wiczenie 5.2. Udowodni¢, »e dla dowolnego R > 0 istnieje ci¡g wielomianów (Wn)_n∈N zbie»ny jednostajnie do funkcji f(x) = |x| w przedziale [−R, R] taki, »e Wn(0) = 0, dla n ∈ N.

‚wiczenie 5.3. Poda¢ przykªad ci¡gu wielomianów (Wn)_n∈N, który jest jednostajnie zbie»ny na prze- dziale [−1, 1] do funkcji f(x) = e^x.

‚wiczenie 5.4. Zbada¢, czy istnieje ci¡g wielomianów jednostajnie zbie»ny na przedziale [−1, 1] do funkcji

f (x) =

(x sin¹_x dla x ∈ [−1, 1] \ {0}

0 dla x = 0

‚wiczenie 5.5. Udowodni¢, »e funkcja f okre±lona w przedziale I nie jest granic¡ jednostajnie zbie»- nego ci¡gu wielomianów

1. f(x) = sin_x¹, I = (0, 1), 2. f(x) = cos¹_x, I = (0, 1),

3. f(x) = _x¹, I = (0, +∞), 4. f(x) = ln x, I = (0, 1).

‚wiczenie 5.6. Poda¢ przykªady, »e w twierdzeniu Arzeli-Ascoliego nie mo»na opu±ci¢ »adnego z zaªo»e«.

‚wiczenie 5.7. Udowodni¢, »e je»eli ci¡g funkcyjny (fn)_n∈Njest zbie»ny na przedziale ograniczonym P i tworzy rodzin¦ jednakowo ci¡gª¡, to jest ci¡giem jednostajnie zbie»nym na P .

‚wiczenie^∗ 5.8. Udowodni¢, »e ka»da funkcja ci¡gªa f : [a, b] 7→ R jest granic¡ jednostajnie zbie»nego ci¡gu ªamanych, tzn. funkcji, które s¡ ci¡gªe i kawaªkami liniowe.

Caªka Riemanna

6 Caªka nieoznaczona. Wzory podstawowe

Denicja 6.1 (funkcja pierwotna). Niech f b¦dzie funkcj¡ okre±lon¡ na przedziale P . Mówimy, »e funkcja F : P → R jest funkcj¡ pierwotn¡ funkcji f w przedziale P , gdy F jest funkcj¡ ró»niczkowaln¡

i F⁰(x) = f (x)dla x ∈ P .

Twierdzenie 6.1 (o istnieniu funkcji pierwotnej funkcji ci¡gªej). Niech P b¦dzie przedziaªem.

Wówczas ka»da funkcja ci¡gªa f : P → R ma funkcj¦ pierwotn¡ w przedziale P .

Denicja 6.2 (caªka nieoznaczona). Niech P b¦dzie przedziaªem oraz f funkcj¡ okre±lon¡ na P . Je±li funkcja f ma funkcj¦ pierwotn¡ w przedziale P , to zbiór wszystkich funkcji pierwotnych funkcji f w przedziale P nazywamy caªk¡ nieoznaczon¡ funkcji f w przedziale P i oznaczamy ^R f dx lub R f (x) dx. Je±li funkcja f nie ma funkcji pierwotnej w przedziale P , to mówimy, »e funkcja ta nie ma caªki nieoznaczonej w tym przedziale.

Wªasno±¢ 6.1. Je±li funkcje f i g maj¡ caªki nieoznaczone w przedziale P , to funkcje f + g oraz αf, gdzie α ∈ R, maj¡ caªki nieoznaczone w przedziale P i

Z

(f + g) dx = Z

f dx + Z

g dx oraz ^Z αf dx = α Z

f dx.

Twierdzenie 6.2 (o caªkowaniu przez cz¦±ci). Niech P b¦dzie przedziaªem oraz niech f, g b¦d¡

funkcjami ró»niczkowalnymi w przedziale P . Je±li funkcja f · g⁰ ma w przedziale P caªk¦ nieoznaczon¡, to funkcja f⁰· g ma w przedziale P caªk¦ nieoznaczon¡ oraz

Z

f · g⁰dx = f g − Z

f⁰· g dx.

Twierdzenie 6.3 (o caªkowaniu przez podstawienie). Niech P, Q b¦d¡ przedziaªami oraz niech ϕ : Q → R b¦dzie funkcj¡ ró»niczkowaln¡ tak¡, »e ϕ(Q) ⊂ P . Je±li funkcja f ma w przedziale P caªk¦

nieoznaczon¡, to funkcja f ◦ ϕ · ϕ⁰ ma w przedziale Q caªk¦ nieoznaczon¡ oraz Z

f ◦ ϕ(x) · ϕ⁰(x) dx =

Z

f (t)dt



◦ ϕ(x).

Wzory 6.1. Niech α, a ∈ R. Wówczas w odpowiednim przedziale, mamy

Rx^αdx = ^x_α+1^α+1 + C, w (0, +∞), gdy α ∈ R \ {−1},

Rx^αdx = ^x_α+1^α+1 + C, w R, gdy α ∈ N,

Rx^αdx = ^x_α+1^α+1 + C, w (−∞, 0), gdy α ∈ Z \ {−1}, Rx⁻¹dx = ln x + C, w (0, +∞),

Rx⁻¹dx = ln(−x) + C, w (−∞, 0), Re^xdx = e^x+ C, w R,

Ra^xdx = _{ln a}^ax + C, w R, gdy a > 0, a 6= 1, Rsin x dx = − cos x + C, w R,

Rcos x dx = sin x + C, w R, R ₁

cos²xdx = tg x + C, w −^π₂ + kπ,^π₂ + kπ
, gdzie k ∈ Z, R ₁

sin²xdx = − ctg x + C, w (kπ, π + kπ) , gdzie k ∈ Z, R ₁

1+x²dx = arctg x + C, w R, R _{√ 1}

1−x² dx = arc sin x + C, w (−1, 1).

gdzie C ∈ R jest dowoln¡ staª¡.

‚wiczenie 6.1. Obliczy¢ caªki nieoznaczone 1. ^{R }x³− 3 sin x +_cos¹_2x^dx,

2. ^{R }_1+x² 2 + ^√1

1−x² − 4^dx, 3. ^{R x2}√⁻3^√x

x dx,

4. ^{R e}_e^3xx₋₁⁻¹dx, 5. ^R ctg²xdx, 6. ^R _sin2x cos^{1 2}xdx, 7. ^{R 2x}₁₀⁻⁵x^xdx,

8. ^R rq√

xdx, 9. ^R √⁴

3^xdx,

10. ^R _sin2x−sin x cos x+cos^{sin3x+cos3x 2}xdx.

‚wiczenie 6.2. Niech f : P → R (P -dowolny przedziaª) b¦dzie funkcj¡ klasy C¹,tak¡, »e f(x) 6= 0 dla x ∈ P. Udowodni¢, »e wówczas

Z f⁰

f dx = ln |f | + c

‚wiczenie 6.3. Obliczy¢ caªki nieoznaczone 1. ^R _1+x^x2dx,

2. ^R _4+5x^7x2dx, 3. ^R _{x ln x}¹ dx, 4. ^R _2e^ex^x+1dx, 5. ^R e^{sin x}cos xdx, 6. ^R _x^4x₊₁dx,

7. ^{R √}_1−x^x2 6dx, 8. ^R sin x cos x^{cos 2x} dx, 9. ^R _1+e^e3x6xdx, 10. ^R x cos x²dx.

11. ^R ctg xdx, 12. ^R _{2+3 cos x}^{sin x} dx,

13. ^R _cos^x2³x⁴dx, 14. ^Rsin⁴x cos⁵xdx, 15. ^R _{sin x}¹ dx,

16. ^R _(1+4x2)(arctg 2x)^{1 2}dx, 17. ^{R √}_{sin 2x}^{tg x}dx,

18. ^R _(x−2)^2x+52dx.

‚wiczenie^∗ 6.4. Udowodni¢, »e je±li funkcje f, g : P → R (P -dowolny przedziaª) posiadaj¡ caªki nieoznaczone, to ich iloczyn fg mo»e nie posiada¢ caªki nieoznaczonej.

Wskazówka. Rozwa»y¢ funkcj¦

f (x) =

(sin_x¹ x 6= 0

0 x = 0

i wykaza¢, »e posiada ona caªk¦ nieoznaczon¡, lecz jej kwadrat f² nie ma tej wªasno±ci.

‚wiczenie 6.5. Obliczy¢ caªki nieoznaczone 1. ^R sin²xdx,

2. ^R cos²xdx.

3. ^R e^xcos xdx, 4. ^R ln xdx,

5. ^R log₃xdx, 6. ^R x²e^xdx, 7. ^R xe^−3xdx, 8. ^R arctg xdx, 9. ^R x ln xdx,

10. ^Rxa^xdx, 11. ^Rx³sin xdx, 12. ^R _sin^x2xdx, 13. ^Rcos ln xdx.

‚wiczenie 6.6. Obliczy¢ caªki nieoznaczone 1. ^R √

3x + 1dx, 2. ^R xe^−x2dx, 3. ^{R ln x}_x dx, 4. ^{R ln}_x^2xdx, 5. ^{R √2+ln x}_x dx, 6. ^R ln(arctg x)

1+x² dx,

7. ^R _{ln(sin x)}^{ctg x} dx, 8. ^R _4+5x⁷ 2dx, 9. ^R _4+5x^x2 2dx, 10. ^R _x^x+22+6dx, 11. ^R _5x^7x−82+6dx, 12. ^R x³√

x − 4dx,

13. ^{R √3}_1−3x^x dx, 14. ^R √3 ^{sin x}

1+2 cos xdx, 15. ^Re

√xdx,

16. ^Rarc sin xdx, 17. ^R√

x arctg√ xdx, 18. ^R _{3+x ln x}^{1+ln x} dx.

7 Caªkowanie funkcji wymiernych i trygonometrycznych

Denicja 7.1 (uªamki proste). Niech n ∈ N oraz a, b, c, d, p, q ∈ R. Uªamkami prostymi nazywamy funkcje wymierne postaci

f (x) = a

(x − b)ⁿ, x 6= b, g(x) = cx + d

(x²+ px + q)ⁿ, x ∈ R, gdzie p²− 4q < 0.

Wªasno±¢ 7.1. Niech n ∈ N, n > 1 oraz a, b ∈ R. Wówczas Z a

x − bdx = a ln(b − x) + C, w przedziale (−∞, b), Z a

x − bdx = a ln(x − b) + C, w przedziale (b, +∞),

Z a

(x − b)ⁿdx = a

(1 − n)(x − b)ⁿ⁻¹ + C, w przedziale (−∞, b),

Z a

(x − b)ⁿdx = a

(1 − n)(x − b)ⁿ⁻¹ + C, w przedziale (b, +∞), gdzie C ∈ R jest dowoln¡ staª¡.

Wªasno±¢ 7.2. Niech b ∈ R, b > 0. Wówczas Z 2x

x²+ bdx = ln(x²+ b) + C, w zbiorze R, Z 2x

(x²+ b)^αdx = 1

(1 − α)(x²+ b)^α−1 + C, w zbiorze R, gdzie α ∈ R \ {1}

oraz C ∈ R jest dowoln¡ staª¡.

Wªasno±¢ 7.3. Oznaczmy I_n=

Z 1

(x²+ 1)ⁿdx, w zbiorze R, gdzie n ∈ N.

Wówczas

I1= arctg x + C w zbiorze R, gdzie C ∈ R jest dowoln¡ staª¡ oraz

In+1= 1 2n

x

(x²+ 1)ⁿ +2n − 1

2n In dla n ∈ N.

Twierdzenie 7.1. Dla ka»dej funkcji wymiernej f istnieje wielomian W oraz sko«czony ci¡g uªamków prostych g1, ..., gk, »e

f = W + g₁+ · · · + g_k, w punktach, gdzie funkcja f jest okre±lona.

Lemat 7.1. Ka»dy wielomian dodadniego stopnia (o wspóªczynnikach rzeczywistych) jest iloczynem sko«czonej ilo±ci wielomianów stopnia pierwszego oraz wielomianów stopnia 2, które nie maj¡ pier- wiastków.

Lemat 7.2. Niech P, Q b¦d¡ wielomianami oraz a ∈ R, k ∈ N. Je±li Q(a) 6= 0, to przyjmuj¡c A = _Q(a)^{P (a)}, istnieje wielomian P1 taki, »e

P (x)

(x − a)^kQ(x) = A

(x − a)^k + P1(x) (x − a)^k−1Q(x), gdzie x ∈ R, (x − a)Q(x) 6= 0.