Równoprawno´s´c układów odniesienia

Szczególna teoria wzgl ˛edno´sci

prof. dr hab. Aleksander Filip ˙Zarnecki

Zakład Cz ˛astek i Oddziaływa ´n Fundamentalnych Instytut Fizyki Do´swiadczalnej

Wykład II:

• Transformacja Galileusza

• Ogólna posta´c transformacji współrz ˛ednych

• Składanie pr ˛edko´sci

• Pr ˛edko´s´c ´swiatła i do´swiadczenie Michelsona-Morleya

• Postulaty Einsteina i transformacja Lorenza

Równoprawno´s´c układów odniesienia

Na poprzednim wykładzie, korzystaj ˛ac tylko z:

• zasady bezwładno´sci (definicji układu inercjalnego)

• zasady wzgl ˛edno´sci (równoprawno´sci układów odniesienia)

Wyprowadzili´smy ogóln ˛a posta´c zwi ˛azku mi ˛edzy współrz ˛ednymi zdarzenia w dwóch układach odniesienia:

x = V t + Ax^′ x^′ = −V t^′ + Ax

v

v x

0 1 2

x’

O t

t’

0 1 2 3

O’

3

Aby upro´sci´c dalsze rozwa˙zania zamieniłem zwrot osi x^′! Równania te opisuj ˛a zale˙zno´sci mi ˛edzy współrz ˛ednymi dowolnego zdarzenia

obserwowanego w układach O i O’

Transformacja Galileusza







x = V t +Ax^′ x^′ = −V t^′ +Ax

Dodaj ˛ac równania stronami otrzymujemy:

(x + x^′) · (1 − A) = V (t − t^′)

Do Einsteina czas uwa˙zano za uniwersalny, absolutny, okre´slony jednoznacznie w ka˙zdym układzie odniesienia. t ≡ t^′

Kład ˛ac A ≡ 1 otrzymujemy wzory na transformacje współrz ˛ednych z O^′ do O, zwan ˛a transformacj ˛a Galileusza:











t = t^′

x = x^′ + V t^′ y = y^′

z = z^′

albo:











t x y z











=











1 0 0 0 V 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1











·











t^′ x^′ y^′ z^′











Współrz ˛edne prostopadłe do kierunku ruchu pozostaj ˛a niezmienione, co wynika z równoprawno´sci układów.

Transformacja Galileusza

Składanie pr ˛edko´sci

Rozwa˙zmy teraz ciało O”, które w układzie O’

porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a v’ w kierunku osi x’.

v^′ = x^′ t^′

Jak ˛a pr ˛edko´s´c ciała O” zmierzy obserwator O?

v = x

t = x^′ + V t^′

t^′ = v^′ + V

V

v’

x

0 1 2

x’

O t

t’

0 1 2 3

O’

3

O"

W podej´sciu Galileusza składanie pr ˛edko´sci polega na ich dodawaniu:

v = v^′ + V

Wyprowadzaj ˛ac ten wzór rozwa˙zali´smy zdarzenia na lini ´swiata poruszaj ˛acego si ˛e ciała.

Ale dotyczy on tak˙ze innych typów zdarze ´n, np. zwi ˛azanych z rozchodzeniem si ˛e fali d´zwi ˛ekowej, fali na wodzie, ´swiatła... (uniwersalny wzór na składanie pr ˛edko´sci)

Transformacja współrz ˛ednych

Przyj˙zyjmy si ˛e teraz transformacji współrz ˛ednych w ogólnym przypadku.

Wyj´sciowe zale˙zno´sci:







x = V t +Ax^′ x^′ = −V t^′ +Ax

Z drugiego równania wyz- naczamy x i wstawiamy do wzoru na t z pierwszego równania ⇒

x = V t^′ + x^′ A

t = 1 V

x − Ax^′

= 1

V · V t^′ + x^′ − A²x A

= t^′ + ^1−A_V ²x^′ A

Transformacja współrz ˛ednych

Otrzymujemy ogolny wzór na transformacje współrz ˛ednych:















t =

x =

albo:









t x









=











1

A 1−A² AV VA 1

A











·









t

x









Współrz ˛edne prostopadłe do kierunku ruchu pozostaj ˛a niezmienione.

Dla A = 1 dostajemy transformacj ˛e Galileusza.

Posta´c ogólnej transformacji jest podobna do transformacji obrotów na płaszczy´znie!?

Dla zwykłych obrotów oczekiwaliby´smy _A¹ = cos θ < 1.

Transformacja współrz ˛ednych

Jak wygl ˛adatransformacja odwrotna, czyli transformacja z układu O do O’?

Mo˙zna j ˛a wyprowadzi´c z wyj´sciowych zale˙zno´sci, albo skorzysta´c z równoprawno´sci układów zamieniaj ˛ac V ⇔ −V :











t^′ = ^{t − 1−A2}_A^{V x} x^′ = ^{−V t + x}_A ^′

albo:







t^′ x^′





 =







 1

A −^1−A_AV ²

−^V_{A A}¹







 ·







t x







Zauwa˙zmy, ˙ze A to nie jest stała przyrody!

Rozwa˙zali´smy transformacj ˛e pomi ˛edzy dwoma zadanymi układami odniesienia, które poruszaj ˛a si ˛e wzgl ˛edem siebie z pr ˛edko´sci ˛a V.

Musimy przyj ˛a´c, ˙ze A zale˙zy od pr ˛edko´sci: A = A(V ).

Dla V = 0 mamy A = 1.

Czy jeste´smy w stanie powiedzie´c co´s o postaci tej zale˙zno´sci?

Składanie pr ˛edko´sci

Rozwa˙zmy zagadnienie składania pr ˛edko´sci.

Ciało O” porusza si ˛e w układzie O’ z pr ˛edko´sci ˛a v’ w kierunku osi x’.

v^′ = x^′ t^′

Jak ˛a pr ˛edko´s´c ciała O” zmierzy obserwator O?

V

v’

x

0 1 2

x’

O t

t’

0 1 2 3

O’

3

O"







x = V t +A(V ) x^′

x^′ = −V t^′ +A(V ) x Z drugiego równania wyznaczamy x^′: x^′ = −V x^′

v^′ + A(V ) x x^′ = A(V ) v^′

V + v^′ · x

Składanie pr ˛edko´sci







x = V t +A(V ) x^′ x^′ = −V t^′ +A(V ) x

Wyznaczone x^′ wstawiamy do pierwszego równania:

x = V t + A(V ) · A(V )v^′ V + v^′ x 1 − A²(V )v^′

V + v^′

!

· x = V t V + v^′(1 − A²(V ))

V + v^′ · x = V t v = x

t = V (V + v^′)

V + v^′(1 − A²(V )) = V + v^′

1 + (1 − A²(V )) · _V^v′ Ogólny wzór na składanie pr ˛edko´sci.

Je´sli A(V ) 6= 1 pr ˛edko´sci przestaj ˛a si ˛e dodawa´c! v 6= V + v^′ v^′ i V nie wchodz ˛a do wzoru symetrycznie! Mo˙ze nie musz ˛a?

Składanie pr ˛edko´sci

A co o pr ˛edko´sci ciała O powie obserwator O”?

Sytuacja jest calkowicie symetryczna!

W układzie O’ ciało O porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a V, układ O’ porusza si ˛e z pr ˛edko´sci ˛a v’ w układzie O”.

Otrzymujemy:

v^′′ = V + v^′

1 + (1 − A²(v^′)) · ^V_v′

x

0 1 2

t

3

v’

V

x’

O

t’

0 1 2 3

O’

0 1 2 3

O"

x"

t"

Ale z zasady równowa˙zno´sci układów powinni´smy miec v^′′ = v. Czyli:

(1 − A²(V )) · v^′

V = (1 − A²(v^′)) · V v^′ 1 − A²(V )

V ² = 1 − A²(v^′) v^′2

Dla dowolnych warto´sci pr ˛edko´sci V i v^′

Składanie pr ˛edko´sci

Z równoprawno´sci układów odniesienia wynika wi ˛ec, ˙ze wyra˙zenie to musi mie´c warto´s´c stał ˛a, niezale˙zn ˛a od pr ˛edko´sci, któr ˛a oznacz ˛e C:

1 − A²(V )

V ² ≡ C = const Mo˙zemy teraz wyznaczy´c posta´c A(V ):

A =

q

1 − C V ²

⇒ wzór na składanie pr ˛edko´sci:

v = V + v^′ 1 + C V v^′

Pełna symetria wzgl ˛edem wyboru układu!

⇒ transformacja współrz ˛ednych:











t = √^{t′ + CV x′}

1−C V ²

x = √^{V t′ + x′}

1−C V ²

Wychodz ˛ac jedynie z zasady bezwładno´sci (układ inercjalny) i zasady wzgl ˛edno´sci (równoprawno´s´c układów) wyznaczyli´smy jednoznacznie posta´c transformacjji.

Nieznana pozostaje jedynie stała C! C = 0 odpowiada transformacji Galileusza

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

Historia pomiarów

Ju˙z Galileusz zastanawiał si ˛e nad pr ˛edko´sci ˛a rozchodzenia si ˛e ´swiatła.

Jako pierwszy zaproponował pomiar pr ˛edko´sci ´swiatła metod ˛a czasu przelotu.

Jednak przy ówczesnych dokładno´sciach pomiarów (∆L ∼ 1 m, ∆t ∼ 1 s) było to niewykonalne. Nie w warunkach ziemskich...

W 1676 Ole Rømer zauwa˙zył, ˙ze obserwowany na Ziemi czas za´cmie ´n satelity Io Jowisza zale˙zy od poło˙zenia Ziemi wzgl ˛edem Jowisza.

Maksymalne opó´znienie czasu za´cmienia wynosi około 16 minut.

Według ówczesnych pomiarów orbity Ziemi oszacował c = 214000 km/s W 1727 William Bradley wyznaczyl pr ˛edko´s´c ´swiatła z aberracji gwiazd.

Gwiazdy zmieniaj ˛a w ci ˛agu roku swoje poło˙zenie na sferze niebieskiej o ok. 20.5 sekundy łuku, co jest wywołane przez ruch Ziemi dookoła Sło ´nca (przy sko ´nczonej pr ˛edko´sci roz- chodzenia si ˛e ´swiatła). Na tej podstawie wyznaczył c = 301000 km/s

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

Pomiar H.L. Fizeau

Pierwszy pomiar w warunkach “laboratoryjnych” (ziemskich)

odległo´s´c L = 8633 m, z ˛ebów w “przesłonie” N = 720

liczba obrotów przy pierwszym “za´cmieniu” n = 12.86 s⁻¹ ⇒ c ≈ 315300 km/s

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

Metoda Foucault

Michelson 1924-26:

L = 35 km ± 3 mm (!)

mi ˛edzy Mt.Wilson i Mt.San Antonio c=299 796±4 km/s

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

W latach 70 XX wieku pr ˛edko´s´c ´swiatła zmierzono z dokładno´sci ˛a do około 1 m/s !

Mierzono te˙z pr ˛edko´sci rozchodzenia si ˛e fal elektromagnetycznych w innych zakresach cz ˛esto´sci (od fal radiowych ν ∼ 10⁷ Hz do promieniowania γ ν ∼ 10²⁴ Hz).

Brak ró˙znic w granicach błedów pomiarowych.

Dzi´s ju˙z nie mierzymy pr ˛edko´sci ´swiatła !

W 1983 roku pr ˛edko´s´c ´swiatła została zdefiniowana jako

c = 299792458 m/s ^{(dokªadnie !)} wybrana warto´s´c zgodna z wcze´sniejszymi pomiarami

Teraz 1 metr jest zdefiniowany jako odległo´s´c jak ˛a pokonuje ´swiato w pró˙zni w czasie równym 1/299792458 sekundy...

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

Na pocz ˛atku XX wieku panowało powszechne przekonanie o falowej naturze ´swiatła, która przejawiała si ˛e m.in. w zjawiskach dyfrakcji i interferencji.

Rozchodzenie si ˛e ´swiatła jako fali elektromagnetycznej opisywały Równania Maxwella (1865):

ε_◦ ^divE = ρ~

rotE =~ −µ_◦ ∂ ~B

∂t

divB = 0~

rotB = ~j +~ ε_◦ ∂ ~E

∂t

Pr ˛edko´s´c rozchodzenia fali elektromagnetycznej: c = √ε¹_◦µ_◦

Problem: Równania Maxwella nie s ˛a niezmiennicze wzgl ˛edem transformacji Galileusza.

W szczególno´sci warto´s´c pr ˛edko´sci ´swiatła jest okre´slona przez parametry równania i nie zale˙zy od układu odniesienia!

Pr ˛edko´s´c ´swiatła

Z równa ´n Maxwella wynika, ˙ze pr ˛edko´s´c ´swiatła zale˙zy jedynie od stałych opisuj ˛acych oddziaływania magnetyczne i elektryczne (prawo Ampera i prawo Coulomba).

Z transformacji Galileusza wynika, ˙ze powinna zale˙ze´c od układu odniesienia!

Ale ten sam problem mo˙zemy dostrzec w przypadku d´zwi ˛eku.

Pr ˛edko´s´c rozchodzenia si ˛e d´zwi ˛eku wyra˙za si ˛e przez parametry o´srodka (!). Z definicji jest wi ˛ec ustalona tylko wzgl ˛edem o´srodka (w układzie w którym o´srodek spoczywa).

Dzieki temu nie ma sprzeczno´sci z transformacj ˛a Galileusza i jego prawem “dodawania” pr ˛edko´sci.

Podobnie mogłoby by´c w przypadku ´swiatła: je´sli jeste´smy w stanie wskaza´c o´srodek w którym ´swiatło si ˛e rozchodzi, to równania Maxwella nie s ˛a sprzeczne z transformacj ˛a Galileusza.

Poszukiwany o´srodek nazwano eterem...

Do´swiadczenie Michelsona-Morleya

1887

Pomiar pr ˛edko´sci Ziemi wzgl ˛edem eteru Czas przelotu ´swiatła w ramionach

interferometru:

∆t₁ = L₁

c + v_Z + L₁ c − v_Z

= 2L₁

c · 1 1 − β²

∆t₂ = 2L₂

c · 1

q

1 − β² β = v

c

Kierunek ruchu wzgl ˛edem eteru jest wyró˙zniony !

Do´swiadczenie Michelsona-Morleya

Wyniki

Swiatło z dwóch ramion interferometru´ interferuje ze sob ˛a

Przy obrocie interferometru oczekujemy

⇒ zmiany ∆t1 − ∆t²

⇒ zmiany fazy

⇒ przesuni ˛ecia pr ˛a˙zków interferencyjnych

Brak efektu !!!

Do´swiadczenie Michelsona-Morleya

Wyniki

Negatywny wynik do´swiadczenia Michelsona-Morleya wskazywał,

˙ze Ziemia nie porusza si ˛e wzgl ˛edem o´srodka, w którym rozchodzi si ˛e ´swiatło.

Do´swiadczenia tego typu powtarzano wielokrotnie, tak˙ze w dłu˙zszych okresach (aby wykorzysta´c zmian ˛e kierunku pr ˛edko´sci Ziemi w ruchu orbitalnym)

zawsze z wynikiem negatywnym.

Wszystkie wyniki wskazywały, ˙ze pr ˛edko´s´c ´swiatła jest stała (wzgl ˛edem ´zródła) i nie zale˙zy od układu odniesienia.

W ´swietle tych wyników równania Maxwella nie dawały si ˛e pogodzi´c z transformacj ˛a Galileusza (postulatem uniwersalno´sci czasu).

Postulaty Einsteina

W roku 1905 Einstein opublikował prac ˛e “O elektrodynamice ciał w ruchu”.

Zawarł w niej dwa postulaty, które “wystarczaj ˛a do podania prostej, wolnej od sprzeczno´sci elektrodynamiki ciał w ruchu, opartej na teorii Maxwella...”

• prawa fizyki s ˛a identyczne w układach b ˛ed ˛acych wzgl ˛edem siebie w ruchu jednostajnym prostoliniowym (zasada wzgl ˛edno´sci)

• pr ˛edko´s´c ´swiatła w pró˙zni, c, jest jednakowa w ka˙zdym kierunku we wszystkich inercjalnych układach odniesienia, niezale˙znie od wzajemnego ruchu obserwatora i

´zródła (uniwersalno´s´c pr ˛edko´sci ´swiatła)

Drugi postulat oznacza odrzucenie transformacji Galileusza na rzecz równa ´n Maxwella.

Postulat ten ustala jednocze´snie stał ˛a C w ogólnych wzorach transformacyjnych, które wyprowadzili´smy z postulatu pierwszego

C ≡ 1 c²

Transformacja Lorenza

Otrzymujemy wzór na transformacje Lorenza

v

v x

0 1 2

x’

O t

t’

0 1 2 3

O’

3







































t =

′ + ^V

c2x^′

r

1−^{V 2}_c2

x =

1−^{V 2}_c2

y = y

z = z

Układ O’ porusza si ˛e wzdłu˙z kierunku osi x układu O z pr ˛edko´sci ˛a V . Kierunki osi x’, y’

i z’ wybrane s ˛a zgodnie z kierunkami osi x, y i z. Oba układy maj ˛a wspólny pocz ˛atek - zdarzenie (0,0,0,0) jest wspólnym zdarzeniem odniesienia.

Transformacja Lorenza

Zapis transformacji bardzo si ˛e upraszcza gdy wprowadzimy oznaczenia β = V

c γ = 1

r

1 − ^V_c2²

= 1

q

1 − β²

β - pr ˛edko´s´c wzgl ˛edna wyra˙zona w jednostkach pr ˛edko´sci ´swiatła, γ - czynnik Lorenza Otrzymujemy transformacje Lorenza w postaci:















ct = cγt

+ γβx

x = cγβt

+ γx

y = y

z = z















c t x y z















=















γ γ β 0 0 γ β γ 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1















·















c t

x

y

z















Pełna symetria mi ˛edzy t (współrz ˛edna czasow ˛a) i x (współrz ˛edn ˛a przestrzenn ˛a)!!!

ct traktujemy jako “czwarty” wymiar (zazwyczaj zapisujemy jako wymiar “zerowy” - x₀)

Transformacja Lorenza

Transformacje Lorenza wyprowadzili´smy korzystaj ˛ac wył ˛acznie z zasady wzgl ˛edno´sci.

Postulatu uniwersalno´sci pr ˛edko´sci ´swiatła u˙zyli´smy na samym ko ´ncu aby ustali´c warto´s´c parametru ogólnej transformacji.

Ale nie znaczy to, ˙ze ten postulat jest mniej wa˙zny!

Postulat ten odrzuca uniwersalno´s´c czasu!

Niech obserwator O’ odmierza czas przy po- mocy “zegara ´swietlnego” (impuls ´swiatła we wn ˛ece optycznej prostopadłej do kierunku ruchu) takt zegara: ∆t^′ = ^2L_c

Dla obserwatora O ´swiatło pokonuje dłu˙zsz ˛a drog ˛e ⇒ ∆t = √ ^2L

c²−v²

v

c c

O’

L

O

Jest to przykład na dylatacj ˛e czasu: ∆t = γ · ∆t^′

Tr. Lorenza mo˙zemy wyprowadzi´c z postulatu niezmienniczo´sci pr ˛edko´sci ´swiatła!

Transformacja Lorenza

Dylatacja czasu

Dla obserwatora O zegar w O’ chodzi wolniej !?

Wydaje si ˛e, ˙ze narusza to równoprawno´s´c układów.

Ale zagadnieniu dylatacji czasu sytuacja nie jest symertryczna

Obserwator O’ odmierza czas przy pomocy jed- nego zegara

Obserwator O musi u˙zy´c dwóch zegarów

v c

c O’

L

O

Dla obserwatora O zegary te s ˛a ze sob ˛a zsynchronizowane ⇒ pomiar jest poprawny Obserwator O’ stwierdzi jednak, ˙ze pomiar został ´zle przeprowadzony.

W jego układzie odniesienia zegary O nie s ˛a zsynchronizowane.

O’ stwierdzi te˙z, ˙ze wszystkie zegary O odmierzaj ˛a czas wolniej ni˙z powinny !