Matematyka dla biologów — Zaj˛ecia nr 4.

Matematyka dla biologów — Zaj ˛ecia nr 4.

Dariusz Wrzosek

24 pa´zdziernik 2018

Podstawy analizy matematycznej

granica funkcji ci ˛agło´s´c funkcji pochodna funkcji

Granica funkcji w punkcie

Rozpatrujemy funkcj ˛e f : (a,b) 7→ ’. Definicja

Niech x₀ ∈ (a,b)— w szczególno´sci x₀ mo˙ze by´c punktem na brzegu dziedziny. Funkcja f ma granic ˛e w punkcie x₀ ∈ [a,b]równ ˛a g,co zapisujemy

x→xlim0

f(x) =g,

w.t.w. gdy dla dowolnego ci ˛agu{x_n}^+∞_n=1punktów odcinka(a,b), x_n ∈ (a,b), x_n ,^x0, takiego ˙ze lim_n→+∞x_n =x₀, ci ˛ag warto´sci funkcji wzi ˛etych w kolejnych wyrazach ci ˛agu d ˛a˙zy do g, czyli

n→+∞lim f(x_n) =g.

Funkcjanie musiby´c okre´slona w punkcie x, w którym badamy granic ˛e.

Rozró˙znia si ˛e granic ˛e granic ˛e prawostronn ˛a i granic ˛e lewostronn ˛a funkcji w punkcie w zale˙zno´sci od tego, czy wyrazy ci ˛agu{x_n}^+∞_n=1w powy˙zszej definicji maj ˛a warto´sci wi ˛eksze lub mniejsze od x₀.

Zamiast sformułowania „granic ˛a funkcji gdy x d ˛a˙zy do x₀jest g” mówi´c mo˙zna tak˙ze, ˙ze „funkcja f d ˛a˙zy do g gdy x d ˛a˙zy do x₀”.

Uwaga

Powy˙zsza definicja obejmuje tak˙ze przypadek, gdy zamiast g wpiszemy +∞lub−∞ .Wtedy mówimy, ˙ze funkcja d ˛a˙zy do+∞lub−∞gdy x d ˛a˙zy do x₀.

Definicja

Funkcja f ma granic ˛e g w+∞, czyli

x→+∞lim f(x) =g

w.t.w. gdy dla dowolnego ci ˛agu{x_n}^∞_n=1, takiego ˙ze lim_n→+∞x_n = +∞, istnieje granica ci ˛agu{f(x_n)}^∞_n=1oraz

n→+∞lim f(x_n) =g. Podobnie definiuje si ˛e granic ˛e funkcji w−∞ .

Przykład funkcji, która nie ma granicy w niesko ´nczono´sci

Funkcja f(x) =sin x. We´zmy dwa ci ˛agi x_n = πn, y_n = π

2+2πn. Dla ka˙zdego n∈ Ž

f(x_n) =sinπn=0, f(y_n) =sin

π

2 +2πn



=1. S ˛a to ci ˛agi stałe, których granice s ˛a ró˙zne.

Zatem granica funkcji sin x w niesko ´nczono´sci nie istnieje.

x

f(x) ^{y1 y2 y3 y4 y5 y6}

x₁ x₂

x₃ x₄

x₅ x₆

x₇ x₈

x₉ x₁₀

x₁₁

∗ Dla zainteresowanych-przykład funkcji ograniczonej, która nie ma granicy w punkcie

Rozpatrzmy funkcj ˛e zwan ˛a sinusoid ˛a warszawsk ˛a g(x) =sin1

x, x >0.

Funkcja ta jest ograniczona, gdy˙z funkcja sinus przyjmuje tylko warto´sci z przedziału[−1,1], ale nie ma granicy w punkcie x₀=0. Aby to uzasadni´c wybierzemy dwa ci ˛agi

a_n = ¹

πn, b_n = _π ¹

2 +2πn. Oczywi´scie

n→+∞lim a_n = lim

n→+∞b_n =0, ale

n→+∞lim sin 1

a_n =0, lim

n→+∞sin 1 b_n =1. Dla dowolnej liczby y ∈ [0,1]istnieje ci ˛ag{z_n}^∞_n=1, taki ˙ze

lim_n→+∞Matematyka dla biologówsin_z¹ =y. Zaj ˛ecia 4. 24 pa´zdziernika 2018 7 / 32

Definicja ci ˛ agło´sci funkcji

Funkcja jest ci ˛agła w punkcie x swojej dziedziny, je´sli dla argumentów zbli˙zaj ˛acych si ˛e do punktu x warto´sci tej funkcji zbli˙zaj ˛a si ˛e do warto´sci funkcji w punkcie x.

Definicja

Funkcja f: (a,b) → R^{jestci ˛agła}w punkcie x₀∈ (a,b) ⊂ ’w.t.w. gdy dla dowolnego ci ˛agu punktów{x_n}^+∞_n=1ze zbioru(a,b), takiego ˙ze

lim_n→+∞x_n =x₀ zachodzi

n→+∞lim f(x_n) =f(x₀), czyli lim

n→+∞|f(x_n) −f(x₀)| =0. Funkcj ˛e, która jest ci ˛agła w ka˙zdym punkcie swojej dziedziny nazywamy funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

Je´sli funkcja jest ci ˛agła, tomałym zmianom argumentówfunkcji odpowiadaj ˛aniezbyt wielkie zmiany warto´scifunkcji.

Ci ˛ agło´s´c funkcji na przykładzie rozci ˛ agaj ˛ acej si ˛e struny.

Wybierzmy jeden punkt x na strunie i ci ˛ag punktów{x_n}^+∞_n=1z odcinka reprezentuj ˛acego strun ˛e zbie˙zny do x. Rozci ˛agni ˛ecie struny prowadzi do jej odkształcenia.

Je´sli struna si ˛enie zerwie, to ci ˛ag punktów{F(x_n)}^+∞_n=1d ˛a˙zy do F(x). Je´sli struna si ˛ezerwie, to granice ci ˛agu{F(x_n)}^+∞_n=1s ˛a ró˙zne w zale˙zno´sci od tego, z której strony ci ˛ag{x_n}^+∞_n=1zbiega do punktu x.

Fakt

Funkcja liniowa f(x) =ax+b, f: ’ → ’, a, b ∈ ’, a, b — dowolne stałe, jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

Dowód.

Ustalmy punkt x₀i wybierzmy dowolny ci ˛ag, taki ˙ze

n→+∞lim x_n =x₀.

Z własno´sci granicy ci ˛agu i działa ´n na granicach wynika, ˙ze

n→+∞lim (ax_n+b) =ax₀+b.

Zatem f jest ci ˛agła w dowolnym punkcie swojej dziedziny’, czyli jest

funkcj ˛a ci ˛agł ˛a. 

Uwaga

Funkcje pot ˛egowe, wykładnicze, logarytmiczne i trygonometryczne (w podstawowej dziedzinie) s ˛a funkcjami ci ˛agłymi.

∗Dla zainteresowanych

Sprawdzimy, ˙ze funkcja f(x) =x², f: ’ → ’jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a.

Ustalmy punkt x₀ i we´zmy dowolny ci ˛ag lim

n→+∞x_n =x₀ Chcemy sprawdzi´c, ˙ze lim

n→+∞x_n²=x₀². W tym celu rozpatrzymy ci ˛ag{x_n²−x₀²}^+∞_n=1 Korzystamy ze wzoru(a−b)(a+b) =a²−b²

Ci ˛ag{x_n}^+∞_n=1jest zbie˙zny, jest wi ˛ec ograniczony, czyli istnieje liczba M, taka ˙ze|x_n| ¬M dla ka˙zdego n­0.

Zatem|x₀²−x_n²| ¬ (|x_n| + |x₀|)|x₀−x_n| ¬2M|x₀−x_n|.

ci ˛ag po prawej stronie d ˛a˙zy do 0, to tak˙ze ci ˛ag po lewej stronie — co ko ´nczy dowód.

Na podstawie danych empirycznych trudno jest stwierdzi´c, czy dany proces fizyczny ma przebieg ci ˛agły, czy skokowy, gdy˙z zawsze dysponujemy tylko sko ´nczon ˛a liczb ˛a danych pomiarowych i nigdy nie mamy pewno´sci, jaki jest przebieg funkcji poza tymi punktami. Ci ˛agło´s´c ró˙znych procesów fizycznych jako funkcji czasu wynika na ogół z modeli matematycznych fizyki, które je opisuj ˛a.

To czy przebieg procesu fizycznego ma przebieg ci ˛agły, czy skokowy, jest na ogół istotne dla zrozumienia zjawiska, bo obecno´s´c skoków

natychmiast prowadzi do pytania, co je spowodowało.

Niektóre procesy fizyczne s ˛a ci ˛agłe „z natury”, np. warto´s´c temperatury w okre´slonym punkcie Ziemi jako funkcja czasu.

Warto´sci ci´snienia oraz temperatury przy powierzchni Ziemi jako funkcje poło˙zenia s ˛a, zgodnie z teori ˛a i do´swiadczeniem, funkcjami ci ˛agłymi.

Ci ˛agły jest tak˙ze ruch Ziemi, ci ˛agła jest tak˙ze funkcja czasu, która opisuje poło˙zenie

(współrz ˛edne) kamienia podrzuconego do góry.

Nieci ˛agły przebieg ro˙znych procesów wi ˛a˙ze si ˛e zwykle z wyst ˛epowaniem katastrof.

Rozwa˙zmy jako funkcj ˛e czasu pr ˛edko´s´c tocz ˛acej si ˛e kuli bilardowej (sztywnej, niespr ˛e˙zystej) uderzaj ˛acej centralnie o tward ˛a kamienn ˛a ´scian ˛e i odbijaj ˛ac ˛a si ˛e od niej. Przed zderzeniem wektor pr ˛edko´sci skierowany jest w stron ˛e ´sciany, a po zderzeniu od ´sciany.

Pr ˛edko´s´c piłki tenisowej uderzonej o t ˛e sam ˛a

´scian ˛e, ze wzgl ˛edu na spr ˛e˙zysto´s´c piłki, zmienia si ˛e gwałtownie, ale w sposób ci ˛agły.

F. ci ˛ agła przyjmuje warto´sci po´srednie

Cz ˛esto mówi si ˛e o ewolucji gatunków jako o procesie ci ˛agłym, st ˛ad poszukiwanie ”brakuj ˛acych ogniw” w ła ´ncuchu kolejnych gatunków utrwalonym w zapisie kopalnym.

Wi ˛a˙ze si ˛e to z nast ˛epuj ˛acym twierdzeniem, które mówi, ˙ze funkcja ci ˛agła okre´slona na odcinku przyjmuje wszystkie warto´sci po´srednie pomi ˛edzy dwoma dowolnie wybranymi jej warto´sciami.

Twierdzenie (własno´s´c Darboux)

Załó˙zmy, ˙ze f: [x₁,x₂] → ’jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a oraz ˙ze dla x,y ∈ [x₁,x₂] mamy d =f(x)i c=f(y). Przyjmijmy, ˙ze c <d. Wtedy dla dowolnej liczby c₀ ∈ [c,d]istnieje x₀ ∈ [x,y], taki ˙ze f(x₀) =c₀.

Wynika st ˛ad np. fakt, ˙ze je´sli w jednym punkcie na Ziemi jest +5^◦C, a w innym na tym samym równole˙zniku jest −5^◦C, to w jakim´s miejscu na tym samym

równole˙zniku jest w tej samej chwili 0^◦C. Jest to konsekwencj ˛a przyj ˛ecia

zało˙zenia o ci ˛agłym rozkładzie temperatury przy powierzchni Ziemi i powy˙zszego twierdzenia.Matematyka dla biologów Zaj ˛ecia 4. 24 pa´zdziernika 2018 15 / 32

Twierdzenie Weierstassa

(Karl Weierstass (1815-1897)) Twierdzenie wyra˙za jedn ˛a z najwa˙zniejszych własno´sci funkcji ci ˛agłych.

Twierdzenie (Weierstassa)

Funkcja ci ˛agła okre´slona na odcinku domkni ˛etym o warto´sciach w’ osi ˛aga w pewnych punktach tego zbioru warto´sci najmniejsz ˛a i najwi ˛eksz ˛a.

Przykład

Funkcja f₁(x) = ¹_x okre´slona na odcinku x ∈D = (0,1]jest funkcj ˛a ci ˛agł ˛a na swojej dziedzinie, która nie jest odcinkiem domkni ˛etym. Nie jest zatem spełnione zało˙zenie powy˙zszego twierdzenia. Funkcja f₁jest

nieograniczona

x→0limf₁(x) = +∞

i nie przyjmuje w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny warto´sci najwi ˛ekszej.

Rozpatrzmy funkcj ˛e f(x) =x².

Dziedzina: odcinek[0,1]. Funkcja f przyjmuje warto´s´c najmniejsz ˛a w punkcie 0 i najwi ˛eksz ˛a w punkcie 1.

Dziedzina: odcinek(0,1]. Funkcja f(x)nie przyjmuje w ˙zadnym punkcie swojej dziedziny warto´sci najmniejszej. Dla ka˙zdego x >0 istnieje 0< ¯x<x. Oczywi´scie mamy f(¯x) = ¯x² <x² =f(x).

Uwaga

Na odcinku otwartym funkcjamo˙zeprzyjmowa´c warto´s´c najwi ˛eksz ˛a/najmniejsz ˛a alenie musi.

Pochodna funkcji

Poj ˛eciepochodnejfunkcji ma swoje korzenie w fizyce.

Powstało ono po to, by matematycznie wyrazi´c i scharakteryzowa´c poj ˛ecie tempa zmianyjakiej´s wielko´sci w czasie.

Jako przykład mo˙ze posłu˙zy´c poj ˛ecie pr ˛edko´sci poruszaj ˛acego si ˛e ciała, je´sli znamy jego poło˙zenie (współrz ˛edn ˛a w jakim´s układzie odniesienia) w ka˙zdej chwili.

Aby obliczy´c t ˛e pr ˛edko´s´c dzielimy przyrost współrz ˛ednej przez przyrost czasu, w którym si ˛e ten przyrost dokonał — licz ˛ac od pewnego ustalonego momentu t₀.

Im krótszy przedział czasu w tym celu uwzgl ˛ednimy, tym lepiej przybli˙zymy to, co nazywamy pr ˛edko´sci ˛a ciała w chwili t₀.

W biologii podkre´sla si ˛e ró˙znic ˛e pomi ˛edzy stanem jakiej´s wielko´sci i tempem zmiany tej wielko´sci. Czym innym jest stan danej wielko´sci, a czym innym produkcja tej wielko´sci.

St ˛e˙zenie tlenu w danej chwili w przezroczystym naczyniu, którym szczelnie przykryli´smy ro´slin ˛e doniczkow ˛a jest czym innym ni˙z produkcja tlenu przez t ˛e ro´slin ˛e - s ˛a to wielko´sci nieporównywalne.

Stan danej wielko´sci (tu: st ˛e˙zenia) wyra˙zony jest w jednostkach_mol

m³, a produkcja tej wielko´sci wyra˙za si ˛e „na jednostk˛e czasu”, czyli np. mol

min. m³.

Wyobra´zmy sobie komórk˛e in vitro, do której dostarczany jest z zewn ˛atrz tlen w porcjach w ustalonych odst ˛epach czasu. Na podtrzymanie procesów ˙zyciowych wpływ b ˛edzie miało przede wszystkim tempo podawania tlenu, a nie jego

obj ˛eto´s´c w ka˙zdej porcji. Nawet je´sli tlen podajemy w du˙zych dawkach, ale za rzadko, komórka obumrze.

Widzimy tu wyra´znie ˙ze przebieg pewnych procesów zale˙zy od wielko´sci typu pr ˛edko´s´c (pr ˛edko´s´c podawania porcji tlenu lub produkcja tlenu), czyli „branych na jednostk˛e czasu”. Matematycznym ´zródłem tego typu wielko´sci jest wła´snie poj ˛ecie pochodnej funkcji.

Niech x(t)okre´sla poło˙zenie obiektu (samochodu) poruszaj ˛acego si ˛e po prostoliniowym torze. Je´sli znamy poło˙zenie samochodu w chwili t₀, czyli x(t₀), oraz w chwili pó´zniejszej t₀+ ∆t, topr ˛edko´s´c ´sredniaruchu samochodu w tym przedziale czasu wynosi

v_´sr(t₀, ∆t) = ^x(t₀+ ∆t) −x(t₀)

∆t .

Nie oznacza to, ˙ze w przedziale czasu[t₀,t₀+ ∆t]samochód nie zwalniał i nie przyspieszał.

Pr ˛edko´s´c samochodu w chwili t₀definiuje si ˛e jako granic ˛e pr ˛edko´sci

´srednich

v(t₀) = lim

∆t→0v_´sr(t₀, ∆t) = lim

∆t→0

x(t₀+ ∆t) −x(t₀)

∆t ,

czyli v_´sr(t₀, ∆t)przy coraz krótszym przedziale czasu∆t.

Definicja

Niech f: (a,b) → ’b ˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a na odcinku otwartym(a,b) i niech x₀ ∈ (a,b). Iloraz

f(x) −f(x₀) x−x₀

nazywa si ˛eilorazem ró˙znicowymfunkcji f w punkcie x₀.

Oznaczaj ˛ac przyrost argumentu przez h=x−x₀ mo˙zemy zapisa´c:

f(x) −f(x₀)

x−x₀ = ^f(x₀+h) −f(x₀)

h .

Definicja

Niech f: (a,b) → ’b ˛edzie funkcj ˛a okre´slon ˛a na odcinku otwartym(a,b) i niech x₀ ∈ (a,b).Pochodn ˛a funkcjif w punkcie x₀oznaczon ˛a jako f⁰(x₀) nazywamy granic ˛e ilorazu ró˙znicowego

f⁰(x₀) = lim

x→x0

f(x) −f(x₀) x−x₀ = lim

h→0

f(x₀+h) −f(x₀)

h ,

o ile ta granica istnieje.

Ilustracja graficzna

Ze wzgl ˛edów historycznych stosuje si ˛e te˙z inne oznaczenia pochodnej:

df (x0)

dx oraz_f˙(x₀). Pierwsze z nich wywodzi si ˛e od zwyczajowego oznaczenia przyrostu, czyli ró˙znicy warto´sci funkcji∆f =f(x) −f(x₀) i przyrostu argumentu∆x=x−x₀. Wtedy iloraz ró˙znicowy mo˙zna przedstawi´c jako _∆x^∆f i st ˛ad oznaczenie pochodnej ^{df (x}_dx⁰⁾, które odnosi si ˛e do faktu, ˙ze pochodna to granica ilorazu ró˙znicy warto´sci i ró˙znicy

argumentów funkcji gdy ró˙znica argumentów d ˛a˙zy do zera. Jest to ´zródło poj ˛eciaró˙zniczkii st ˛ad historyczna nazwa tego działu matematyki — rachunek ró˙zniczkowy.

Obliczanie pochodnych nazywa si ˛e ró˙zniczkowaniem i dlatego funkcj ˛e, która ma pochodn ˛a nazywa si ˛efunkcj ˛a ró˙zniczkowaln ˛a.

Poj ˛ecie pochodnej wprowadził jeden z najwybitniejszych uczonych nowo˙zytnych Isaac Newton (1643–1727) w zwi ˛azku ze swoimi badaniami dotycz ˛acymi praw opisuj ˛acych ruch ciał niebieskich.

Oznaczenie ˙f(x₀) najcz ˛e´sciej stosuje si ˛e w kontek´scie fizycznym/przyrodniczym, gdy argument funkcji interpretujemy jako czas.

Prosta styczna

Geometrycznie pochodna funkcji f :D → ’w punkcie x₀ ∈D, czyli f⁰(x₀), okre´sla współczynnik kierunkowy prostej przechodz ˛acej przez punkt (x₀,f(x₀))nale˙z ˛acy do wykresu funkcji.

T˛e prost ˛a nazywa si ˛eprost ˛a styczn ˛a do wykresufunkcji w punkcie(x₀,f(x₀)). Prosta ta jest wykresem funkcji

y=p(x) =ax +b, gdzie a=f⁰(x₀)i b =f(x₀) −x₀f⁰(x₀). Pochodna w punkcie x₀ równa jest tangensowi k ˛ata pod jakim prosta styczna w tym punkcie przecina o´s poziom ˛a układu współrz ˛ednych.

Nieistnienie pochodnej funkcji w punkcie

Nie ka˙zda funkcja ci ˛agła ma pochodn ˛a; na przykład funkcja f(x) = |x| =

(x gdy x >0

−x gdy x <0

nie ma pochodnej w punkcie x =0, gdy˙z granica prawostronna ilorazu ró˙znicowego w 0 wynosi+1, a granica lewostronna ilorazu ró˙znicowego wynosi−1, zatem granica ilorazu ró˙znicowego nie istnieje — granica lewostronna jest ró˙zna od prawostronnej.

Granica z prawej strony (h >0) to lim

h→0⁺

h−0 h =1, a z lewej strony (h<0)

lim

h→0⁻

−h−0

h = −1.

Obliczanie pochodnych

Twierdzenie

Niech f i g b ˛ed ˛a funkcjami ró˙zniczkowalnymi okre´slonymi na odcinku (a,b). Wtedy dla dowolnego x ∈ (a,b)

(f(x) +g(x))⁰ =f⁰(x) +g⁰(x)

(f(x) ·g(x))⁰ =f⁰(x) ·g(x) +f(x) ·g⁰(x)

f(x) g(x)

⁰

= ^f

0(x) ·g(x) −f(x) ·g⁰(x)

g²(x) , g(x) ,⁰. Niech teraz f: (a,b) → ’, g: (c,d) → (a,b)i obie funkcje maj ˛a

pochodne. Pochodn ˛a zło˙zenia funkcji(c,d) 3x→h(x) =f(g(x))oblicza si ˛e nast ˛epuj ˛aco, wg. tzw. reguły ła ´ncuchowej:

h⁰(x) = [f(g(x))]⁰ =f⁰(g(x)) ·g⁰(x)

Pochodne podstawowych funkcji

Z definicji wynika, ˙ze pochodna funkcji v(x) =const jest równa 0.

Ze wzoru na pochodn ˛a iloczynu wynika, ˙ze (a — stała)

(af(x))⁰ = (a)⁰·f(x) +a·f⁰(x) =0·f(x) +af⁰(x) =af⁰(x).

1 Pochodna funkcji f(x) =x² okre´slonej dla x ∈ ’w punkcie x₀ ∈ ’: f⁰(x₀) = lim

h→0

(x₀+h)²−x₀² h

= lim

h→0

x₀²+2x₀h+h²−x₀²

h = lim

h→0(2x₀+h) =2x₀. Pochodn ˛a funkcji f(x) =x² jest funkcja g(x) =2x.

2 Ogólnie mamy

(x^p)⁰ =px^p−1 dla p∈ Ž,p,⁰, x ∈ ’.

Wzór ten jest prawdziwy tak˙ze dla p∈ ’, p ,^{0, o ile x}>0.

3 Dla a >0 i a ,^{1 zachodzi}

(a^x)⁰ = (ln a )a^x. W szczególno´sci

(e^x)⁰ = e^x

czyli pochodna funkcji wykładniczeje^x równa jest jej samej.Jest to JEDYNA funkcja o tej własno´sci!

Stanowi to jeden z przykładów wyj ˛atkowych własno´sci stałej Eulerae, dzi ˛eki czemu zyskała ona wyj ˛atkowe miejsce w analizie

matematycznej.

4 Dla funkcji ln x okre´slonej dla x >0 zachodzi (ln x)⁰ = ¹

x. Wynika to st ˛ad, ˙ze

x = e^{ln x}.

Licz ˛ac pochodn ˛a funkcji po lewej i prawej stronie tego równania i wykorzystuj ˛ac twierdzenie o pochodnej zło˙zenia funkcji, dostajemy

1= e^{ln x}(ln x)⁰ =x(ln x)⁰.

5 Z definicji pochodnej i ze wzorów trygonometrycznych mo˙zna wyprowadzi´c wzory

(sin x)⁰ =cos x, (cos x)⁰ = −sin x. Przykład

Korzystaj ˛ac z reguły ła ´ncuchowej (wzoru na pochodn ˛a funkcji zło˙zonej)

e^5x20= ^e^5x2

 5 x²

0

=5^e^{5x2 }x^20 =

=5^e^5x2·2x =10xe^5x2.

Korzystaj ˛ac ze wzoru na pochodn ˛a iloczynu i na pochodn ˛a funkcji zło˙zonej:



e^{2xsin x0} =^e^{2x0sin x}+ e^2x(sin x)⁰ =

= e^2x(2x)⁰sin x+ e^2xcos x= 2e^2xsin x + e^2xcos x.

Funkcja pochodna

Niech f :D → ’b ˛edzie pewn ˛a funkcj ˛a, która ma pochodn ˛a w ka˙zdym punkcie swojej dziedziny.

Funkcj ˛e, która w ka˙zdym punkcie x ∈D przyjmuje warto´s´c pochodnej f⁰(x)nazywamyfunkcj ˛a pochodn ˛ai oznaczamy f⁰.

Funkcja i jej funkcja pochodna

y=^f

0(¹)(^x−¹) +^f (¹)

f(x) = ¹ 2x³ f⁰(x) = ³

2x² f⁰(x) f(x)

−3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

−5 5

Na kolejnych zaj ˛eciach poznamy własno´sci pochodnej przydatne do okre´slania przebiegu funkcji to znaczy kształtu wykresu funkcji zadanej jakim´s wzorem.

Jest to tzw. badanie funkcji w ramach którego okre´sla si ˛e lokalne maksima i minima funkcji oraz przedziały monotoniczno´sci .