AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis lawa Staszica w Krakowie
OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2007/8 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. W trapezie o polu P stosunek d lugo´sci podstaw jest r´owny k > 1. Oblicz pola dw´och tr´ojkaιt´ow, na kt´ore ten trapez dzieli jego przekaιtna.
2. Rozwiaι˙z nier´owno´s´c
0, 1x· 0, 1x3 · 0, 1x5 · . . . >
√3
10000 100 .
3. Po loweι drogi kierowca jecha l autostradaι z preιdko´sciaι 120 km/h, a drugaι po loweι
na drogach lokalnych ze ´sredniaι preιdko´sciaι 60 km/h. Oblicz ´sredniaι preιdko´s´c ca lej podr´o˙zy.
4. Znajd´z r´ownania okreιg´ow o promieniu 3 stycznych jednocze´snie do osi OX i do prostej 12x + 5y = 0.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Na czworo´scianie foremnym opisano walec w ten spos´ob, ˙ze dwie kraweιdzie czwo- ro´scianu le˙zaιce na prostych sko´snych saι´srednicami podstaw walca. Oblicz stosunek pola powierzchni sfery opisanej na walcu do pola powierzchni sfery wpisanej w czwo- ro´scian.
6. Dla jakich warto´sci parametru m dok ladnie jeden pierwiastek r´ownania (m − 2) 9x+ (m + 1) 3x− m = 0
jest mniejszy od 2?
7. Ze zbioru {1, 2, . . . , 1000} losujemy tr´ojelementowy podzbi´or T = {p, q, r}, przy czym prawdopodobie´nstwo wylosowania ka˙zdego podzbioru jest jednakowe.
a) Oblicz prawdopodobie´nstwo, ˙ze iloczyn pqr jest podzielny przez 3.
b) Niech ϕ beιdzie funkcjaιprzyporzaιdkowujaιcaιka˙zdemu wylosowanemu podzbiorowi T ”element po´sredni” (tzn. je´sli p < q < r, to ϕ(T ) = q). Jaka warto´s´c funkcji ϕ jest najbardziej prawdopodobna?
