Opracowanie: Vladimir Marchenko

Opracowanie: Vladimir Marchenko WYKŁAD 1 1. ALGEBRA

1.1. Liczby zespolone

1.1.1. Postać algebraiczna i trygonometryczna liczby zespolonej; dodawanie, mnożenie, potęgowanie i dzielenie liczb zespolonych

1A+B+C1 (Wstęp: pochodzenie liczb zespolonych). Czy możliwe jest:

1.1) rozwiązać algebraiczne i trygonometryczne równania x² 1 0, sinx100; 1.2) obliczyć ln( 1) ...  (albo lg( 1) ...  );

1.3) przekonać się, że funkcja y jest okresowa? e^x

Nie jest to prawdą, jeżeli argument x należy do zbioru liczb rzeczywistych, ale możliwe jest to wtedy, kiedy zbiór rozszerzamy (zastąpimy) do zbioru nowych liczb – liczb zespolonych.

1A2 (Definicja: liczby zespolone). Liczbami zespolonymi nazywamy

uporządkowane pary liczb rzeczywistych, na przykład: ( , ),( , ),( , ),( , ),x y a b c d x y_{i i} (1,2)(2,1), które mają następujące własności:

2.1) równość liczb zespolonych (dla z₁( ,x y_{1 1}), z₂ ( ,x y_{2 2})):

1 2 1 2 oraz 1 2;

z   z x x y y

2.2) suma (dodawanie) i różnica (odejmowanie) liczb zespolonych:

1 2 ( 1 2, 1 2);

def

z z  x x y y 2.3) iloczyn (mnożenie) liczb zespolonych:

1 2 ( 1 2 1 2, 1 2 2 1);

def

z z  x x  y y x y  x y

2.4) iloraz (dzielenie) liczb zespolonych (dzielenie jest mnożeniem przez odwrotność):

1 2 1 2 2 1 1 2

1 2 1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

1 .

: ^def x x y y ,x y x y z z z

z x y x y

 

 

 

 

 

  

 

1A+B3 (Fakt). Mamy następujące własności:

3.1) ( ,0) ( ,0) (x₁  x₂  x₁x₂,0);

3.2) ( ,0) ( ,0)x₁  x₂ (x x₁ ₂,0);

3.3) ( ,0) : ( ,0)x₁ x₂ (x x₁: ₂,0), gdzie x ₂ 0.

To dokładnie odpowiada działaniom algebraicznym nad liczbami rzeczywistymi.

1A4 (Uwaga). Z własności 1A+B3 wynika, że zbiór { :z z( ,0),x x } liczb zespolonych można utożsamiać ze zbiorem liczb rzeczywistych. Wtedy będziemy pisali x zamiast ( ,0)x , w szczególności (1,0) 1 jest jednostką

rzeczywistą, a zbiór liczb rzeczywistych jest podzbiorem zbioru liczb zespolonych.

1A5 (Definicja). Liczbę zespoloną (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczamy ją przez j . Wtedy j ^def(0,1). Liczbę zespoloną o postaci j y , gdzie

, 0,

y y nazywamy liczbą czysto urojoną.

1A+B6 (Ćwiczenie). Uzasadnić, że j   i wtedy rozwiązaniem równania ² 1

2 1 0

z   będzie z oraz zj   . j

1A+B7 (Uwaga: dodatek do 1A+B+C1). Wiadomo, że interpretacja geometryczna zbioru jest osią liczbową Ox

0 1 x₀ x

i już nie mamy miejsca na tej osi dla liczb zespolonych. Będziemy przedstawiali liczbę zespoloną z( , )x y na płaszczyźnie Oxy jak uporządkowaną parę ( , )x y liczb rzeczywistych (pierwsza liczba x , druga y ) to jest w postaci punktu o

współrzędnych ( , )x y lub w postaci wektora o początku w punkcie (0,0) i końcu w punkcie ( , )x y . Wtedy uważamy liczbę zespoloną (1,0) za jednostką rzeczywistą, a liczbę zespoloną (0,1) = j za jednostką urojoną. Mamy, zatem

( , ) ( ,0) (0, ) (1,0) (0,1)

z x y  x  y  x  y  x j y. W tej interpretacji geometrycznej zbiór ^def



^{( , ) :x y x ,y}



wszystkich liczb zespolonych nazywamy płaszczyzną zespoloną.

Wtedy działania dodawania, odejmowania liczb zespolonych oraz mnożenia liczb zespolonych przez liczbę rzeczywistą wykonujemy tak, jak na wektorach (B).

jy z =x +jy z₁ z₁ z₂

z ₂ 0 x z₂z₁

Odnośnie mnożenia liczb zespolonych: mamy wykonywać (jak dla liczb rzeczywistych) tak, jak mnożenie wielomianów zmiennej j, to jest

2

1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2

( ) ( ) ( )

( ),

z z x j y x j y x x j y x x y j y y

x x y y j y x x y



 

             

     

gdzie j  . ² 1

1C8 (Uwaga). Zakładamy ogólnie, że j² p jq ( ,p q ). Można udowodnić, że są tylko 3 różne możliwości: j²0, j²1, j²   . Ale tylko ostatni warunek 1

2 1

j   (liczby zespolony) daje możliwość dzielenia.

Uwaga. Wszystkie reguły czterech podstawowych działań algebraicznych (dodawanie, odejmowanie, mnożenie i dzielenie), znane dla liczb rzeczywistych, obowiązują także w zbiorze liczb zespolonych. W szczególności, prawdziwe są wzory skróconego mnożenia, itd.

1A+B9 (Fakt: postać algebraiczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci algebraicznej z x j y  , gdzie ,x y  .

Tutaj liczba x jest częścią rzeczywistą Re z liczby zespolonej z, co zapisujemy Re

def

z  ; podobnie liczba Imx z^def jest częścią urojoną liczby zespolonej z. y

1A10 (Ćwiczenie). Podać reguły działań (dodawania itd.) z liczbami zespolonymi w postaci algebraicznej.

1A11 (Definicja: sprzężenie liczb zespolonych). Sprzężeniem liczby zespolonej ( , )

z x jy x y nazywamy liczbę zespoloną z określoną wzorem: z   x jy (ćwiczenie: podać interpretację geometryczną).

jy

z = x +jy

0 _x x

-jy z = x - jy

1A12 (Definicja). Modułem liczby zespolonej z x j y x y ( ,  ) nazywamy liczbę rzeczywistą | |z określoną wzorem: | |z ^def x²y²  (Re )z ²(Im )z ² .

jy

z₁ |z₁-z₂|

z 0 z ²

x ^|z|

1A+B13 (Definicja). Argumentem liczby zespolonej z x jy ( ,x y ) nazywamy każdą liczbę  spełniającą układ równań:

cos ,

gdzie 0

sin ,

x

z z

y z











 



 ^.

Argumentem głównym arg z liczby zespolonej z nazywamy argument  tej liczby taki, że 0  2 (czasami     ).

jy z

 arg z

x

Zbiór Arg z wszystkich argumentów  liczby zespolonej z nazywamy argumentem pełnym: ^Argz



^{ : argz2k:k}



^{, gdzie} jest zbiorem liczb całkowitych.

Przyjmujemy, ze argumentem głównym liczby zespolonej z  jest 0 ( rg 0 00 a  ) oraz rgA z  dla z  . 0

Niech  jest argumentem z i

def

r  z jest modułem. Wtedy

1A14 (Fakt: postać trygonometryczna liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można przedstawić w postaci: zr(cos jsin ) .

1A+B15 (Fakt: działania na liczbach zespolonych w postaci trygonometrycznej).

15.1) dodawanie i odejmowanie liczb zespolonych w postaci

trygonometrycznej jest takie, jak w postaci algebraicznej (nie daje nic nowego);

15.2) mnożenie już daje:

       

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2

1 2 [r cos jsin ] [r cos jsin ] 1 2[cos jsin ]

z z          r r     

(reguła: przy mnożeniu liczb zespolonych (w postaci trygonometrycznej) ich moduły mnożymy, a argumenty dodajemy i jest to prawdziwe dla dowolnej liczby czynników), w szczególnym przypadku mamy (wzór de Moivre’a):

potęgowanie (podnoszenie do potęgi) liczby zespolonej:

^{cos sin} ^{] (cos sin )}

n [ n n

r j n j n

z    r  

(reguła: przy potęgowaniu liczb zespolonych ich moduły podnosimy do tej potęgi, a argumenty mnożymy przez tę potęge);

15.3) dzielenie liczb zespolonych:

1 2 1 2

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( )

[cos( ) sin( )]

( )

cos sin

cos sin ^j

z r j r

z r j r ^{   }

 

 ^  ^{  }

 



(reguła: przy dzieleniu liczb zespolonych ich moduły dzielimy, a argumenty odejmujemy).

Dowód: naprzykład dla mnożenia. Mamy:

   

1 2 1 1 1 1 2 2 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

cos sin cos sin

cos cos sin cos cos sin

sin sin (cos cos sin sin )

(sin cos cos sin ) (cos( )

sin( )).

z z r jr r jr

r r jr r r jr

jr jr r r

j r r r r

j

   

     

     

     

 

     

      

    

    

 

W podobny sposób możemy sprawdzić (B) ostatnie twierdzenia.

 (koniec dowodu) j Im z

 ₁ ₂

z₂

r ₂ ₂ z ₁ r = r r₁ ₂ r r₁

₁

0 φ=0 Re z

j Im z

nφ

rⁿ

r z φ

_{Re z}

j Im z z ₁

z₂

₁ r₁ r₂

₂ r z=z₁:z ₂

φ Re z    ₁ , ₂ rr r₁: ₂

1A16 (Definicja). Liczby 0, z, 1 oraz ¹

 z nazywa się odpowiednio: elementem neutralnym dodawania, elementem przeciwnym do liczby z, elementem

neutralnym mnożenia oraz elementem odwrotnym do liczby z.

1A+C17 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące własności liczb zespolonych

1 1 1

(z x j y z,  x j y,...) : 17.1) z₁   (dodawanie jest przemienne); z₂ z₂ z₁

17.2) (z₁z₂)  z₃ z₁ (z₂z₃) (dodawanie jest łączne);

17.3) z+0=z dla każdej liczby zespolonej z i liczby 0(0,0)0 j0; 17.4) z     , gdzie ( z) z z 0        ; z ( x, y) x jy

17.5) z z₁  ₂ z₂ z₁ (mnożenie liczb zespolonych jest przemienne);

17.6) (z z₁ ₂)  z₃ z₁ (z z₂ ₃) (mnożenie jest łączne);

17.7) z 1 z (dla każdej liczby zespolonej z i 1 (1,0));

17.8) ¹ ( ₂ x ₂, ₂ y ₂) x₂ jy₂ z₂

z x y x y x y z

 

  

   ;

17.9) _{1 2} ^{1 1} ₂²

2 2

1 1; : z z z

z z z

z z z

     (wygodnie jest przy obliczaniu ilorazu);

17.10) z₁(z₂z₃)   z z_{1 2} z z_{1 3} (mnożenie liczb zespolonych jest rozdzielne względem dodawania);

17.11) Re( ^{1 2}) Re ¹ Re ², Im( ^{1 2}) Im ¹ Im ², Re( ) Im , Im( ) Re ;

z z z z z z z z

jz z jz z

     

  

17.12) _{1 2} ^{1 2}

1 2

Re Re ,

Im Im ;

z z

z z

z z





  



17.13) _{1 2 1 2 1 2 1 2} ^{1 1}

2 2

, , z ,

z

z z z z z z z z z

z

 

 

 

 

       jeżeli z ₂ 0;

 

^{z z z,  z 2Re , z z z } 2 Im , Imj z z Im ;z

17.14) ² _{1 2 1 2} ^{1 1}

2 2

, , , z z

z z z z z z z z z z

z z

         o ile z  ; ₂ 0

z₁z₂  z₁  z₂ (nierówność trójkąta);

z₁  z₂  z₁ z₂ , Rez  z, Imz  z, Re(z z₁ ₂)  z₁ z₂ ; 17.15) z₁z₂² z₁ z₂² 2(z₁² z₂²).

Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C17.

Uwaga. Liczby 1

0, z, 1 oraz

 z, wprowadzone w 1A+B11, są jednoznacznie ustalonymi liczbami o takich własnościach.

1A+C18 (Ćwiczenia). Uzasadnić następujące twierdzenia (z_i r_i(cos_i jsin_i)...):

18.1) z₁   oraz z₂ r₁ r₂  ₁ ₂2k dla pewnego k  ( z₁0,z₂ ); 0 18.2) arg(z z₁ ₂) arg z₁argz₂2k dla k0 lub k  ; 1

18.3) arg(zⁿ)nargz2k dla pewnego k  ;

18.4) ¹ _{1 2}

2

arg z arg arg 2

z z k

z 

 

 

 

    dla k0 lub k  o ile 1 z  ; ₂ 0 18.5) arg( )z  argz2;

18.6) arg(  z)  argz2k dla k0 lub k  ; 1 18.7) 1

arg argz 2

z 

  

     o ile z  ; 0 18.8) z 1

z  .

Ćwiczenie (B+C): podać interpretację geometryczną własności 1A+C18.

1B19 (Ćwiczenie). Podać interpretację geometryczną działań algebraicznych dla liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej.

1A+B+C20 (Ćwiczenie). Korzystając ze wzoru de Moivre’a wyrazić podane funkcje kąta  przez cos i sin:

A) sin 2; B) cos 4; C) sin n, cos n.

1.1.2. Pierwiastkowanie liczb zespolonych. Równanie algebraiczne. Postać wykładnicza liczy zespolonej

1A21 (Definicja: pierwiastek z liczby zespolonej). Pierwiastkiem stopnia n z liczby zespolonej z nazywamy każdą liczbę zespoloną u spełniającą równość

un z. Zbiór pierwiastków stopnia n z liczby zespolonej z oznaczamy przez ⁿz . Wtedy z  u ⁿ, argn uargz2k dla k skąd mamy, że tylko n rożnych argumentów u są:

arg 2

arg z , gdzie 0,1,..., 1

u k k n

n n

      .

Wtedy

1A+B22 (Fakt: wzór na pierwiastki z liczby zespolonej). Każda liczba zespolona (cos sin )

zr  j  , gdzie r  oraz 0  , ma dokładnie n pierwiastków stopnia n. Zbiór tych pierwiastków ma postać:

0, ,...,1 1}

{ n ,

n

z

 z z z  gdzie _k ⁿ (cos ²k sin ²k ) dla 0,1,..., 1.

z j k n

n n

r ^{ }

       

1A+B23 (Fakt). Prawdziwa jest zależność:

0 1

arg 2 arg 2 2 2 2 2

(cos sin ) (cos sin ) (cos sin )

dla 0,1,..., 1.

k

k

k n z k z k

z j z j z j

n n n n n n

k n

z ^{ } _

     

 

     

1A+B24 (Interpretacja geometryczna zbioru pierwiastków z liczby zespolonej).

Zbiór pierwiastków stopnia n  z liczby zespolonej 3 zr(cos jsin ) , gdzie r  z oraz arg z, pokrywa się ze zbiorem wierzchołków n-kąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu ⁿ r i środku w początku układu współrzędnych.

Pierwszy wierzchołek tego wielokąta jest w punkcie z₀ ⁿ (cos jsin )

n n

 r  

a kąty między promieniami, wodzącymi kolejnych wierzchołków, są równe.

j Im z

z₂ z₁

2π/n

2π/n zₒ

2π/n

Re z

2π/n z_n1

Przykłady: z_n2

  ^{3 2 2 2 2 4}    

1 1, 1 ; 1 1, cos sin , cos sin ; 1 1, , 1, ; 1 , :

3 j 3 3 j 3 j j j j

 

           

 

2π/3 j j

1 -1 0 1 0 -2π/3

-1 -j 1 -j

W szczególności, pierwiastki 1ⁿ dzielą koło jednostkowe na n równych części o początku z  (ćwiczenie (B): podać interpretację geometryczną). ₀ 1

1A+B25 (Uwaga). Symbol ⁿ ma inne znaczenie w odniesieniu do liczb rzeczywistych i inne do liczb zespolonych (w tym także rzeczywistych traktowanych jako zespolonych). Pierwiastek w dziedzinie rzeczywistej jest

określony jednoznacznie i jest to funkcja  dla n nieparzystych oraz funkcja [0,   dla n parzystych, naprzykład: ) [0, )

W zbiorze : W zbiorze :

2

4  42,2

41 1 ^{41 }



^{1, 1, j j,}



1 nie istnieje ^{  1}



^{j j,}



4 2

x  x ^{z4  }



^{z z2, 2}



x2  x ^{z2  }



^{z z,}



Pierwiastkowanie w dziedzinie zespolonej jest szukaniem rozwiązań równania wn , zatem z ⁿz jest zbiorem rozwiązań tego równania. Symbolu pierwiastka w dziedzinie zespolonej nie wolno używać do żadnych obliczeń, a podstawowe wzory dla pierwiastków, prawdziwe w dziedzinie rzeczywistej, tutaj nie mają sensu (przykład:

8

8 4

42  { 4, 4, 4 .4 } 2 j j  4).

1A26 (Definicja). Wielomianem rzeczywistym (odpowiednio zespolonym) stopnia n nazywamy funkcję :N W  (odp.  ) określoną wzorem:

0 1

1 1

( ) _n ⁿ _n ⁿ ... ,

W z c z c _ z ^ c z c

gdzie c_k (odpowiednio c_k ) dla k0,1,..., oraz n c_n 0. Liczby c , gdzie _k 0 k  , nazywamy współczynnikami wielomianu W. n

1A27 (Uwaga). Każdy wielomian rzeczywisty można traktować jako wielomian zespolony. Wtedy będziemy mówili krótko wielomian.

1A28 (Definicja). Liczbę (rzeczywistą, zespoloną) z nazywamy pierwiastkiem ₀ (rzeczywistym, zespolonym) wielomianu W , jeżeli W z( )₀  . 0

1A29 (Definicja). Równanie, określone wzorem W z  , gdzie W jest ( ) 0 wielomianem, nazywamy algebraicznym.

1A+C30 (Fakt). Jeżeli liczba zespolona z jest pierwiastkiem wielomianu ₀ (równania algebraicznego) o współczynnikach rzeczywistych, to z także jest ₀ pierwiastkiem tego wielomianu (równania).

1A+C31 (Fakt: zasadnicze twierdzenie algebry). Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Stąd mamy: każdy wielomian zespolony stopnia n ma dokładnie n pierwiastków zespolonych (uwzględniając pierwiastki wielokrotne):

W z( )c z_n ⁿ  ... c₀ c z z_n(  ₁) ... (  z z_n)c_n(z zˆ₁)^k1 ... (z zˆ_m)^km, (1) gdzie zˆ₁,...,zˆ_m są różne pierwiastki (wielomianu W z ) o krotnościach ( ) odpowiednio k₁,...,k , gdzie _m k₁ ... k_m  . n

1A+C32 (wzory Viète’a):

1

1 2 ... _n ⁿ ,

n

z z z c

c

     

2

1 2 1 3 ... _n 1 _n ⁿ ,

n

z z z z z z c

c

 

      

3

1 2 3 1 2 4 2 1

0

1 2 3

... ,

... ( 1) .

n

n n n

n

n n

n

z z z z z z z z z c

c

z z z z c

c

  

          

     

Uwaga. Twierdzenia 1A+C30, 1A+C31, 1A+C32, oraz wzór (1) są bardzo ważne w rozwiązywaniu równań algebraicznych.

1A33 (Definicja: symbol e^j). Dla  liczbę zespoloną cos jsin oznaczamy krótko przez e^j: cos sin

j def

e ^   j .

Wtedy

1A+B34 (Wzory Eulera). Mamy:

cos , sin , gdzie

2 2

j x j x j x j x

e e e e

x x x

j

 

 

   .

1A35 (Fakt: postać wykładnicza liczby zespolonej). Każdą liczbę zespoloną z można zapisać w postaci wykładniczej: z r e^j, gdzie r0, . Liczba r jest wówczas modułem liczby z , a  jest jej argumentom.

Dowód: zr(cos jsin )  re^j. 

1A+B36 (Fakt: własności symbolu e^j). Niech   ₁, ₂, ₃ będą dowolnymi liczbami rzeczywistymi oraz niech k będzie dowolną liczbą całkowitą. Wtedy:

36.1)

e

^{j( 1 2)}

 e

^j1

 e

^j2;

36.2) ^{1 2 1}

2

( ) j

j

j

e e

e

  





 ;

36.3)

( e

^j

)

^k

 e

^jk; 36.4) e^{j(2k)}e^j;

36.5)

e

^j

 0

;

36.6)

e

^j1

 e

^j2   _{1 2}2l dla pewnego l ; 36.7)

e

^j

 1

;

36.8) arg

e

^j 2l dla pewnego l . Dowód: naprzykład 1): e^{j( 1 2)}

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1 2 2

cos( ) sin( ) cos cos sin sin

(sin cos cos sin ) (cos sin ) (cos sin )

j

j j j

       

       





       

       

1 2

j j

e

^

e

^

 

. W podobny sposób można sprawdzić ostatnie twierdzenia.  Niech z jest liczbą zespoloną oraz w jest funkcją w:  , określoną wzorem:

( ) (cos sin )

x j y def j y

z x x

W W z e e ^  e e e y j y .

1A+B+C37 (Fakt). Funkcja W e^z jest okresowa o okresie 2 ; ^z Re^z,

T   j W  e e argW Imz2k dla pewnego k . Niech zatem funkcja W Lnz jest taka, że ze^W. Wtedy:

Re

W W

z  e e i ReW ln z ; argzImW2k,k . Stąd mamy

1A+B38 (Definicja). Ln ln (arg 2 ),

def

W  z  z  j z k k ;

lnz^defln z  jargz nazywamy logarytmem głównym.

1A+B39 (Ćwiczenie). ln( 1) ln  1 jarg( 1)  j.

1A+B+C40 (Ćwiczenie: rozwiązanie równań algebraicznych). Rozwiązać następujące równania:

40.1) równanie kwadratowe (n2,a ) zawsze ma 2 pierwiastki zespolone: 0

2

2 4

0 ,

2

b b ac

az bz c z

a

  

     gdzie b²4ac jest jednym z pierwiastków kwadratowych liczby zespolonej b²4ac, a przecież w dziedzinie zespolonej (a b c, ,  , a0) możemy zapisać ten wzór w postaci ² 4 ;

2

b b ac

z a

  

 40.2) równanie dwukwadratowe ma 4 pierwiastki zespolone:

4 2 0

az bz   niech c z²  wtedy mamy równanie kwadratowe; u 40.3) rozwiązać podane równania algebraiczne:

a) z²    , b) 3z 3 j 0 z³3z²   , c) 3z 3 0 z⁴ (1 j)⁴, d) z⁴4z³6z²   , e) 4z 15 0 z⁴4jz³6z²4jz  1 (1 j)⁴; 40.4) uzasadnić, że

jeżeli z₁,...,z są pierwiastkami równania _n z   , to wtedy ⁿ 1 0 z₁   . ... z_n 0 1A+B41 (Ćwiczenie):

41.1) korzystając ze wzorów Eulera wyrazić funkcje

a) sin x , b) ² cos x w zależności sinusów i kosinusów wielokrotności kąta x; ³ 41.2) obliczyć sumy:

a) cosxcos 2x ... cosnx, b) sinx ... sinnx. Wskazówka:

( 1)

2 ( )( 1)

( ) ... ( )

1 ( 1)( 1)

j n j j

jn j j

j j j n

j j j

e e e

e e e

e e e

e e e

 





 

    

 

  

  

  

   .