Oddziaływanie spin-orbita:

– pochodzi od magnet. momentu dipolowego, związanego ze spinem elektronu

i polem magnet., związanym z orbitującymi elektronami

S m S

e

B S





 

    2

' B'

ER S

 







 

dr l dW r c e

B m 

 1 1  ' ₂

s dr l

dW r

c

E m  





 1

2 ^{2 2}

 poprawka energetyczna zależna od (czyli ) 2

Oddziaływanie spin-orbita:

2 '

1 B

E_R _S 







 

poprawka Thomasa

s l 



 j

Materiał dla ambitnych:

Andrzej Dragan i Tomasz Odrzygóźdź http://arxiv.org/pdf/1211.1854.pdf

Czyli 1-stronnicowe wyprowadzenie poprawki

Thomasa

– pochodzi od magnet. momentu dipolowego, związanego ze spinem elektronu

i polem magnet., związanym z orbitującymi elektronami

S m S

e

B S





 

    2

' B'

ER S

 







 

dr l dW r c e

B m 

 1 1  ' ₂

s dr l

dW r

c

E m  





 1

2 ^{2 2}

 poprawka energetyczna zależna od (czyli ) 2

Oddziaływanie spin-orbita:

2 '

1 B

E_R _S 







 

poprawka Thomasa

H_LS = H₁ + V_LS + V_nc H₁



H₂ = H₁+ V_nc



+ V_LS



V_nc >> V_LS sprzężenie L-S

V_nc << V_LS sprzężenie j-j

→ Schematy sprzężeń w atomie wielo-elektronowym

:

2S+1

L

n_i l_i (j_i)_J

(Russella– Saundersa)

i i i

i

i i

LS l s

dr dW r

c V m

E   











=H₁+V_nc+V_LS

s l 



 j

Sprzężenie L-S

 st. własne H₁ E=



 st. własne H_ES zależą od L i S (oddziaływanie el.-stat. elektronów zależy od orientacji orbit, które określają l_i i s_i  od L i S)

) 2 ( ) 1

1 ( _*

12

kq

k ck q Ykq Y

r ^

 

 





 k k k k q

k i

K q J

r f e

12 2

2 1 2 2

1

1 l l a s s

a    







  energie zależne od par (L, S)

1s2s

1s2p ¹

P

3

P

1

S

3

S

1

S



1s²

1s2s,1s2p



Np. He:

• dla pierwiastków alkalicznych 

uwzględnione przez pot. modelowy

• reguła Hundta: w danej konfiguracji najniżej najwyższe krotności (a dalej najwyższe L) (tryplet – odpychanie el., słabsze ekran. – silniejsze oddz. z jądrem – niższe energie).

• nie wszystkie kombinacje L, S dozwolone przez zasadę Pauliego

• zostaje degeneracja na J (nie określ.

wzajemne orient. l_i s_i – nie określ. j_i)

2 1 l l 





+ analogiczna część wymienna związana z s₁ s₂





Sprzężenie L-S – c.d.

# możliwych wartości J = min [2S+1, 2L+1], na ogół S<L  2S+1 poz. energet.

= multiplet

krotność termu (L,S) S=0 2S+1=1 singlet

S=1/2 2S+1=2 dublet

S=1 2S+1=3 tryplet (nawet gdy L= 0 i L•S = 0, np. 1s2s ³S₁)

1s2s 1s2p

L=1 S=0

L=1 S=1 L=0 S=0 L=0 S=1

1

P

3

P

1

S

3

S

1

P

1

S

3

S

J=1 J=2 J=1 J=0 J=0 J=1

3

P

3

P

3

P

3

P

nie wszystkie kombinacje ^2S+1L będą realizowane:

dla elektronów równoważnych (ta sama podpowłoka (n, l)) – zakaz Pauliego eliminuje więcej kombinacji niż dla el. nierównoważnych (n’, l’)

2S+1

L

Sprzężenie j-j

 



 







 





 







i i

i i

i i i

i LS

LS r

r W r

c s m

l r m W

V H

H 1 ( )

) 2

2 ( ^{2 2}

2 2

1



 



 izolowanego elektronu stany podstawowe określone przez

j

= l

 ½

a poziomy energetyczne przez  indywidualnych energii.

określone (n_i , l_i , j_i) mogą odpowiadać różnym J - degeneracja

 ^H

^{ V}



j₁ • j₂ L, S nieistotne  symbole termów:

n

l

(j

)

[H.A. Wenge, M.R. Wehr, J.A. Richardson,

„Wstęp do fizyki atomowej”, PWN 1983

L-S coupling intermediate c. j-j coupling IV B group sequence: C (Z=6) Ge (Z=32) Pb (Z=82)

np (n+1)s

np²

2S+1L_J ^{ni li (ji)J}

Struktura subtelna – rzędy wielkości

3 2 2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

) 2 ( 1

2 )

(

2 r

e c s m

l s

r l r W r c m r

W e s

r l r W r c

E_LS m        









 

 

 



 

 



r H e

2

0



 

2 2

0 2

2 2

2

0





 





  

c e me

a r r

c m H

E_LS

 

 (str. subtelna)

Str. subtelna atomów jedno-elektronowych:

kadłub + 1 el. walencyjny  cały kręt od 1 el. walencyjnego L=l, S=s,J=j

l0 j=l ½

@ l=0, jest tylko 1 składowa, bo (a) l·s=0, (b) j przyjmuje tylko 1 wartość:

2 1 2

1

0

0   j  

 dośw. dowód  spinu elektronu !!!

poz. energet.

+

2 1 0

2

* ,

1 



 





 

 

 

l a n b

Rhc n

E_{n l} Rhc



d r W d r c

E  m   

 ( )

2 ^{2 2}

2

 ^a

c e

0

2

4

 

obliczenie : l  s 

 ^{ j  l   s   j}

^{ l }

^{ s }

^{ 2 l   s }

 

^

^

2 1 2

2 2

1        



s j l s j j l l s s

l    



    



 4

) 3 1 ( ) 1 2 (

,

, a j j l l

E_nl ^nl Gdy s=1/2, dla danego l  2 wartości j  2 wart. l ·s 

Przykład:

l=0 l=1 l=2 l=3

2S_1/2

2P_3/2

2P_1/2

½

-

a

2D_5/2

2D_3/2

1

-3/2

x

a

2F_7/2

2F_5/2

3/2 -2

x

a

 reguły wyboru:

n – dowolne,

l=l₂-l₁= 1 zm. parzystości,

j=j₂-j₁= 0, 1

 przy przejściach elektron.

wszystkie linie z S – dublety, wszystkie inne - tryplety

a

n, l

bo

 E  1/r dW(r)/dr

obliczenie

Model wektorowy

ewolucja operatora wektorowego l oddziałującego z s : V l s

LS

 





 

l i dt

d

LS

 





     



 



 





x l l s l s l s l l i l s l s l

s i l i l

dt l

d             



 

 , , [ , ]

s j dt s

d   





x s l s l

dt s

d  

 





dt s d

dt l

d       



  j, m_j – dobre liczby kwant.

(stany stacjonarne)

 l, s precesują wokół wypadkowego j klasyczne równanie precesji dow. wektora I : I I

dt

d   





 I

 

    



dt l

d            























 0    ( ) 

analogicznie dla s

Oddz. spin-orbita w modelu wektorowym:

2 2 4 1

1 3 2

1 2 2

1 1

0 a s s a l l a l s a l s

E

E        















 ogólnie (dla atomu 2 elektronowego): 

Zakł. sprzężenie L-S (V_ES >>V_LS):



 

) 1 (

) 1 (

2

) 1 (

) 1 (

) 1 cos (

) 1 (

) 1 (

) 1 (

cos

2 2 1

1

2 2 1

1 2

2 1

2 1 1 2

1 2

1  









 

















 l l l l

l l l

l L

l L l l

l L

L l

l l

l^{ }  

V_ES V_LS

Model wektorowy:

- oddziaływanie operatorów wektorowych traktujemy jak precesję

wektorów (częstość precesji = siła oddziaływania) - operatory momentów pędu = wektory o długości ħl(l+1) - kąt między wektorami – kwantowe obliczenie iloczynu skalarnego:

 

dt

d  

L l

l





dt

d  

S

s

s

silne oddziaływanie ES:

 S i L całki ruchu (dobre liczby kwantowe)



 trzeba obliczać średnie wartości rzutując po kolei:

S S L

S s L

L S l

S S L s

L L l S

S s L

L s l

l      

 

 

 

 

 

 

 











  

 











 











  











 











  

 ^{1 1 1} ₂ ¹ ₂ ¹ ₂ ¹ ₂

1 1

    



) 2 1 (

) 1 ( ) 1 2 (

) 1 (

) 1 (

) 1

2 ( ^{1 1 2 2}

2 2

2 1

1 1

2 1 2 2 1 1



















































S S L

L J

A J l

l l

l L

a L s

s s

s S

a S

S L A l

l a s s a

E      

kąty zmieniają się, (j₁ , j₂ złe l. kwant.)

czyli: V_LS = a₃ l₁ •s₁+ a₄ l₂ •s₂ = A L•S , a więc L i S precesują wokół J

częstość precesji = miara siły oddziaływania

(wolniej L i S niż l₁ • l₂ i s₁ •s₂ )

J

L

S

i podobnie dla l₂·s₂

+K J –K

Przykład str. subtelnej,

l₁=0, l₂=1  L=1

s₁=s₂= ½  S=0, 1 J=0, 1, 2; termy: ¹P₁, ³P_0,1,2

- konfiguracja sp

sp

–¾ a₁

+ ¼ a₁

S=0, L=1

S=1, L=1

1P₁

3P₂

3P₁

3P₀

Reg. Hunda

multiplet prosty (gdy < 50% el. w

podpowłoce)



0 –2A 1 –A 2 +A 1 0

J A L• S



1 1

L

+¼ a1 0

1

–¾ a1 0 0

a₁ s₁ •s₂ + a₂ l₁ •l₂ S





2

1     



b c c a a b b a 

Reguła interwałów Landego:





2     

 A J J L L S S V_LS

) 2 (

) 1 (

0 1

2

0 1

0 1

0 0

0 0

0 0



























J A E

E

J A E

E

J A E

E

J J

J J

J J

Różnica energii sąsiednich poziomów multipletu  do większej wartości J

[słuszne tylko dla L-S (lekkie atomy, do Z25)  kryterium czystości sprzężenia]

J

+2

J

+1

J

[H.A. Wenge, M.R. Wehr, J.A. Richardson,

„Wstęp do fizyki atomowej”, PWN 1983

L-S coupling intermediate c. j-j coupling IV B group sequence: C (Z=6) Ge (Z=32) Pb (Z=82)

np (n+1)s

np²

2S+1L_J ^{ni li (ji)J}

[Reg. Landego - słuszna tylko dla L-S (lekkie atomy, do Z25)  kryterium czystości sprzężenia]