O pewnym zapomnianym twierdzeniu Sierpi´ nskiego
Jacek Ch¸ adzy´ nski
Niech R b¸edzie zbiorem liczb rzeczywistych i X niepustym podzbiorem R.
Rozwa˙za´c b¸edziemy dalej niesko´nczony ci¸ag funkcji fn: X → R, n = 1, 2, . . ..
Szeregiem funkcyjnym o wyrazach fn nazywamy symbol
(1) f1+ f2+ · · · .
Ci¸ag funkcji (sn)∞n=1, kt´orego n-ty wyraz okre´slony jest wzorem sn= f1+ · · · + fn,
nazywamy ci¸agiem sum cz¸e´sciowych szeregu (1).
M´owimy, ˙ze szereg (1) jest zbie˙zny, gdy istnieje funkcja f : X → R taka,
˙ze dla ka˙zdego x ∈ X, limn→∞sn(x) = f (x), tzn.
∀x∈X ∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N |sn(x) − f (x)| < ε.
Funkcj¸e f nazywamy sum¸a szeregu (1).
Przyk lad 1 (Szereg geometryczny). Niech X = (−1, 1), fn(x) = axn−1 dla n = 1, 2, . . ., x ∈ X, a ∈ R. Wtedy,
sn(x) = a1 − xn
1 − x i lim
n→∞sn(x) = a 1 − x. Zatem funkcja f dana wzorem
f (x) = a
1 − x dla x ∈ (−1, 1) jest sum¸a szeregu a + ax + ax2+ · · · .
Oznaczmy przez N zbi´or liczb naturalnych. Niech σ : N → N b¸edzie dowoln¸a funkcj¸a r´o˙znowarto´sciow¸a odwzorowuj¸ac¸a zbi´or N na N.
Przyjmijmy
fn∗ = fσ(n) dla n = 1, 2, . . . . O szeregu
f1∗+ f2∗+ · · ·
m´owimy, ˙ze powsta l z szeregu (1) przez zamian¸e porz¸adku wyraz´ow.
O szeregu (1) m´owimy, ˙ze jest zbie˙zny bezwarunkowo, gdy ka˙zdy szereg, kt´ory powsta l z szeregu (1) przez zamian¸e porz¸adku wyraz´ow ma t¸e sam¸a sum¸e f .
O szeregu (1) m´owimy, ˙ze jest zbie˙zny bezwzgl¸ednie, gdy zbie˙zny jest sze- reg
|f1| + |f2| + · · · .
Twierdzenie 1. Szereg (1) jest zbie˙zny bezwarunkowo dok ladnie wtedy, gdy jest on zbie˙zny bezwzgl¸ednie.
Wprowadzimy jeszcze jedno poj¸ecie odgrywaj¸ace wa˙zn¸a rol¸e w analizie matematycznej.
M´owimy, ˙ze szereg (1) jest zbie˙zny jednostajnie, gdy istnieje funkcja f : X → R, ˙ze
∀ε>0 ∃N ∈R ∀n>N ∀x∈X |sn(x) − f (x)| < ε.
R´o˙znica mi¸edzy zbie˙zno´sci¸a szeregu (1) i zbie˙zno´sci¸a jednostajn¸a tego szeregu polega na tym, ˙ze w pierwszej definicji liczba N zale˙zy od x i ε, w drugiej za´s zale˙zy tylko od ε i jest wsp´olna dla wszystkich x.
Oczywiste jest
Twierdzenie 2. Je´sli szereg (1) jest zbie˙zny jednostajnie, to jest zbie˙zny.
Przyk lad 2 (Sierpi´nski). Niech X = [0, 1] i niech dla x ∈ X (3) fn(x) = xl(1 − x) dla n = 2l − 1,
−xl(1 − x) dla n = 2l.
Rozwa˙zmy szereg o wyrazach fn, tj. szereg
(4) x(1 − x) − x(1 − x) + x2(1 − x) − x2(1 − x) + · · · .
Sum¸a szeregu (4) jest oczywi´scie funkcja f (x) = 0 dla x ∈ X. Latwo pokazu- jemy, ˙ze dla dowolnego l ∈ N i x ∈ X,
|f1(x)| + · · · + |f2l(x)| < 2.
St¸ad, szereg (4) jest bezwzgl¸ednie zbie˙zny i w konsekwencji jest bezwarunko- wo zbie˙zny. Niech sn oznacza n-t¸a sum¸e cz¸e´sciow¸a szeregu (4). Nier´owno´s´c
|sn(x)| < 2
n + 3, dla x ∈ X i n = 1, 2, . . . , daje jednostajn¸a zbie˙zno´s´c szeregu (4).
Narzuca si¸e pytanie, czy ka˙zdy szereg, kt´ory powstaje z szeregu (4) przez zamian¸e porz¸adku wyraz´ow jest r´ownie˙z zbie˙zny jednostajnie.
Odpowied´z brzmi - nie.
Je´sli zmienimy porz¸adek wyraz´ow w szeregu (4) wypisuj¸ac po ka˙zdych dw´och dodatnich wyrazach jeden ujemny, to otrzymamy szereg
(4∗) x(1 − x) + x2(1 − x) − x(1 − x) + x3(1 − x) + x4(1 − x) − x2(1 − x) + · · · . Niech s∗n b¸edzie n-t¸a sum¸a cz¸e´sciow¸a tego szeregu. Nietrudno pokazuje si¸e,
˙ze dla dowolnego l ∈ N,
s∗3l l r1
2
!
> 1 4√
2, co daje, ˙ze szereg (4∗) nie jest jednostajnie zbie˙zny.
Twierdzenie, o kt´orym mowa w tytule podaje warunek konieczny i wystar- czaj¸acy na to by szereg (1) by l zbie˙zny jednostajnie po dowolnej zamianie porz¸adku jego wyraz´ow.
Twierdzenie 3 (Sierpi´nski). Szereg (1) jest zbie˙zny jednostajnie po dowol- nej zamianie porz¸adku jego wyraz´ow dok ladnie wtedy, gdy szereg
(6) |f1| + |f2| + · · ·
jest zbie˙zny jednostajnie.
To pi¸ekne i zapomniane twierdzenie znalaz lo ostatnio zastosowanie w pod- stawach funkcji wielu zmiennych dotycz¸acych rodzin funkcyjnych jednostaj- nie sumowalnych.
Wac law Sierpi´nski
urodzony 14 marca 1882 w Warszawie zmar l 21 pa´zdziernika 1969 w Warszawie.
Profesor Wac law Sierpi´nski jeden z najwybitniejszych polskich matema- tyk´ow, tw´orca warszawskiej szko ly matematycznej, by l autorem 724 prac g l´ownie z teorii liczb, teorii mnogo´sci, topologii i funkcji rzeczywistych oraz autorem 50 monografii i podr¸ecznik´ow z r´o˙znych dzia l´ow matematyki.
By l wsp´o lza lo˙zycielem znanego w ´swiecie czasopisma matematycznego Fundamenta Mathematicae i jego redaktorem ponad 30 lat.
By l pierwszym Polakiem, kt´ory wyg losi l odczyt plenarny na Kongresie Matematycznym (Zurich 1932).
By l cz lonkiem wielu Akademii i Towarzystw Naukowych w tym:
Polskiej Akademii Umiej¸etno´sci (1921), Niemieckiej Akademii Nauk (1950), Polskiej Akademii Nauk (1952), Ameryka´nskiej Akademii Sztuk i Nauk (1959), Akademii Paryskiej (1960), Papieskiej Akademii Nauk (1967).
By l doktorem honorowym mi¸edzy innymi Uniwersytetu we Lwowie (1929), Amsterdamie (1931), Sofii (1939), Pradze (1947), Wroc lawiu (1947) i Moskwie (1967).
Bibliografia
[1] W. Sierpi´nski, Analiza t.1, cz.2: Dzia lania niesko´nczone, Warszawa 1925, §116.
[2] W. Sierpi´nski, O wp lywie porz¸adku sk ladnik´ow na zbie˙zno´s´c jednostajn¸a, Sprawozdania Towarzystwa Naukowego, Warszawa (1910), 353-357.
[3] A. Schinzel, Rola Wac lawa Sierpi´nskiego w historii matematyki polskiej, Wiadomo´sci Matematyczne 26(1) (1984), 1-9.
[4] Z. Adamowicz, Wk lad Wac lawa Sierpi´nskiego do og´olnej teorii mnogo´sci, ibid. 9-18.
[5] R. Engelking, O pracach Wac lawa Sierpi´nskiego z topologii, ibid. 18-24.
[6] A. Schinzel, Prace Wac lawa Sierpi´nskiego z teorii liczb, ibid. 24-31.
