Niech zmienna losowa X ma rozk lad o ge‘sto´sci f

Zadania ze statystyki matematycznej (Statystyka B) Rok akad. 2009/2010, lista nr 5

1. Niech X i Y be

‘da

‘niezale˙znymi zmiennymi losowymi, kt´orych rodzina roz- k lad´ow, indeksowana parametrem θ ∈ Θ, jest regularna w sensie Cram´era-Rao.

Udowodni´c, ˙ze I(X,Y )(θ) = IX(θ) + IY(θ) dla ka˙zdego θ ∈ Θ, gdzie I(X,Y ) jest informacja

‘ Fishera wektora losowego (X, Y ), a I_X i I_Y sa

‘ informacjami Fishera zmiennych X i Y odpowiednio.

2. Niech zmienna losowa X ma rozk lad o ge‘sto´sci f (·; θ) z regularnej rodziny Cram´era-Rao i niech T = T (X) be

‘dzie statystyka

‘ taka

‘, ˙ze rodzina jej rozk lad´ow o ge‘sto´sciach g(·; θ) jest r´ownie˙z regularna w sensie Cram´era-Rao. Udowodni´c, ˙ze:

a) E

 ∂

∂θ log f (X; θ)|T = t



= ∂

∂θlog g(t; θ);

b) I_X(θ) ≥ I_T(θ) dla ka˙zdego θ ∈ Θ.

3. Niech P = {P_θ, θ ∈ Θ}, Θ ⊂ R, be

‘dzie rodzina

‘rozk lad´ow, regularna

‘w sen- sie Cram´era-Rao. Wprowad´zmy parametryzacje

‘ η = h(θ), gdzie h jest funkcja r´o˙zniczkowalna‘. ‘

a) Znale´z´c zale˙zno´s´c mie

‘dzy informacjami Fishera I(θ) i I(η).

b) Znale´z´c zale˙zno´s´c mie

‘dzy dolnymi ograniczeniami Cram´era-Rao dla nieobcia

‘˙zo- nych estymator´ow parametr´ow θ i η.

4. Niech zmienna losowa X ma rozk lad podw´ojnie wyk ladniczy o ge

‘sto´sci f (x; α) = exp{−(x − α) − e^−(x−α)}, x ∈ R, α ∈ R.

Wprowad´zmy parametryzacje‘ θ = e^α.

a) Znale´z´c rozk lad zmiennej losowej U = e^−X. b) Obliczy´c informacje Fishera: I(θ) i I(α).

5. Obliczy´c informacje‘ Fishera dla naste‘puja‘cych rozk lad´ow: a) normalnego N(θ, 1), θ ∈ R; b) normalnego N0, σ²), σ > 0; c) gamma G(α, 1), α > 0; d) gamma G(1, β), β > 0; e) dwumianowego b(n, p), p ∈ (0, 1); f) Poissona π(λ), λ > 0; ujem- nego dwumianowego nb(r, p), r znane, p ∈ (0, 1).

6. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu wyk ladniczego Ex(λ), λ > 0.

(a) Znale´z´c dolne ograniczenie Cram´era-Rao dla wariancji nieobcia‘˙zonego estyma- tora funkcji niezawodno´sci R(t) = e^−λt.

(b) Czy wariancja estymatora opartego na dystrybuancie empirycznej, ˆR(t) = 1 − Fn(t; X), osia‘ga to ograniczenie?

(c) Czy wariancja estymatora NJMW tej funkcji, okre´slonego wzorem R(t; X) =ˆ

 1 − t

T

_n−1

1_(t,∞)(T ),

gdzie T = ¹_nP_n

i=1Xi, osia‘ga to ograniczenie? (Wskaz´owka: zob. J.B. Wyklady ze statystyki matematycznej, Wyd. II, str. 153)

7. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu o ge

‘sto´sci f (x; θ), gdzie θ jest nieznanym parametrem rzeczywistym. Wyznaczy´c estymator NW w ka˙zdym

z naste

‘puja

‘cych przypadk´ow, gdy f (·; θ) jest ge

‘sto´scia

‘rozk ladu:

a) Poissona o ´sredniej θ;

b) wyk ladniczego Ex(θ);

c) jednostajnego U(θ, θ + |θ|), gdy θ > 0;

d) f (·; θ) jest ge‘sto´scia‘rozk ladu jednostajnego U(θ, θ + |θ|), gdy θ < 0.

W ka˙zdym z tych przypadk´ow wyznaczy´c rozk lad estymatora NW i zbada´c jego w lasno´sci.

8. Na podstawie jednej obserwacji zmiennej losowej X wyznaczy´c estymator NW dla parametru M, gdy X ma rozk lad hipergeometryczny postaci

P_M{X = x} =

M x

_{N −M}

n−x

N n

.

9. Wykonuje sie

‘ niezale˙zne do´swiadczenia, z prawdopodobie´nstwem sukcesu θ w ka˙zdym do´swiadczeniu, dop´oty, dop´oki nie zaobserwuje sie

‘k sukces´ow (k ≥ 1 jest ustalona

‘liczba

‘). Wyznaczy´c estymator NW parametru θ.

10. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘ z rozk ladu logarytmiczno-nor- malnego LN (µ, σ²). Skonstruowa´c estymatory NW warto´sci oczekiwanej i wariancji tego rozk ladu.

11. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu normalnego N(m, 1), gdzie m > 0. Udowodni´c, ˙ze estymatorem NW parametru m jest ´srednia X, gdy X > 0, i ˙ze estymator NW nie istnieje, gdy X ≤ 0.

12. Dokonujemy pomiaru pewnej wielko´sci m przyrza

‘dem, kt´orego b la

‘d w ,,warunkach normalnych” ma rozk lad normalny N(0, 1). Na skutek ,,grubszej po- my lki” mo˙ze jednak pojawi´c sie

‘ wynik, kt´orego b la

‘d ma rozk lad normalny N(0, σ²), gdzie σ > 0 jest nieznane. Za l´o˙zmy, ˙ze prawdopodobie´nstwo takiej pomy lki jest ma le i wynosi  > 0. Wtedy wynik pomiaru jest zmienna

‘losowa

‘o rozk ladzie z ge

‘sto´scia

‘ f (x; m, σ²) = 1 − 

√2π exp



−(x − m)² 2



+ 

σ√

2πexp



−(x − m)² 2σ²



. (1)

Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu o ge

‘sto´sci (1). Udowodni´c,

˙ze nie istnieja‘estymatory NW parametr´ow m i σ².

(Wskaz´owka: pokaza´c, ˙ze funkcja wiarogodno´sci jest nieograniczona.)

13. Niech wektor losowy X ma rozk lad wielomianowy w(n, p), p = (p₁, p₂, . . . , p_k), pi ≥ 0, i = 1, 2, . . . , k, p1+ p2+ . . . + pk = 1. Wyznaczy´c estymator NW dla wektora parametr´ow p.

14. Niech X = (X₁, X₂, . . . , X_n)⁰ be

‘dzie pr´oba

‘z rozk ladu normalnego N(m, σ²), m ∈ R, σ > 0. Wyznaczy´c estymator NW ˆΦn funkcji Φ(−m/σ), gdzie Φ jest dystrybuanta

‘rozk ladu N(0, 1). Znale´z´c graniczny rozk lad cia

‘gu estymator´ow { ˆΦ_n}, gdy n → ∞.

St09-10-lista5.tex

7.1.2010 r. J. Bartoszewicz