(a) O pewnym twierdzeniu aproksymacyjnym dla funkcji nieskończenie różniczkowalnych

J. Mu sie l a k (Poznań)

O pewnym twierdzeniu aproksymacyjnym dla funkcji nieskończenie różniczkowalnych

W wielu zastosowaniach, np. w teorii dystrybucji, ważna jest zna­

jomość odpowiednich przybliżeń funkcji należących do pewnych klas funkcjami nieskończenie różniczkowalnymi o zwartych nośnikach. W ni­

niejszej notce podaję przykład rodziny nieskończenie różniczkowalnych funkcji аад{% 1, . . . , x n) o zwartych nośnikach, którą można zastosować w różnych twierdzeniach aproksymacyjnych.

Funkcję ę?(a?i, .. ., xn) n zmiennych nazywamy nieskończenie różnicz- kowalną, gdy ma ciągłe pochodne cząstkowe wszystkich rzędów; klasę funkcji nieskończenie różniczkowalnych oznaczamy S. Mówimy, że funkcja ma zwarty nośnik, jeżeli znika poza zbiorem ograniczonym; klasę funkcji nieskończenie różniczkowalnych o zwartych nośnikach oznaczamy S>.

Jeżeli p = (px, ..., p n) jest układem n nieujemnych liczb całkowitych

wolnej funkcji cpe«f. Ponadto będziemy pisali \x\ — Vx\-\-...-\-x2n (*).

Sformułuję teraz następujący podstawowy lemat, który nazywać będę twierdzeniem aproksymacyjnym dla jedności. Lemat ten pozwoli aproksymować jednostajnie w każdym zbiorze ograniczonym funkcję

<p{xl y .. . , xn) = 1, wraz z pochodnymi dowolnego rzędu, funkcjami na­

leżącymi do OJ.

1. Twierdzenie aproksymacyjne dla jedności. Niech a > 1 i niech q będzie liczbą naturalną. Oznaczmy

Wówczas aa>q€® oraz dla każdego 0 < ^ < 1, В > 0 i p = {px, ..., p n), spełniającego warunek 1 < \p\ < 2g, istnieje liczba a0 taka, że

Pu •••i Pm oznaczamy \p\ = РхлГ’-- + р п oraz Dvcp =

°n,q (*^l t • • •» *£») ■—

e x p [— \x\29j(a2a— |a?|23)] dla |a?| < a

0 dla \x\ > a.

(a)

(l) Powyższe oznaczenia są takie same, jak w monografii [2].

64 J . M u s i e l a k

oraz

(b) \Bpaaq(x1, ..., xn)\ < rj

dla \x\ ^ R i a ^ a0, przy czym

a0 = max

Г / 1\1/23

/ l \ ,p|- 1 1

| Д | 1 + —J , —R \p \a m q\4:q+—J &,P| , l J , gdzie

(o )

rj I rj

a2 -- -- 1,

m m

^rn = f J [ ( 2 v - 3 ) 2n-\-v], bm = + ( * ' - l ) 2J dla m > 1 Do wó d. Eozważymy najpierw dobrze znany przypadek jednowymia­

rowy oraz a = 1. Wówczas a i pochodne a^(0) = 0 dla Tc — 1 , 2 , . . . , 2#—-1. Aby udowodnić, że a1(7e^, wystarczy wykazać istnienie wszyst­

kich pochodnych funkcji al q(r) w punkcie r = 1. Łatwo jednak udowod­

nić przez indukcję, że

a $ (r)

W fc( r )

( l _ r22)TO*exp [ — r2(Z/(l — r2®)]

0

dla dla

0 < 1, r > 1 ,

gdzie TFfc(r) jest wielomianem, a {mk} jest pewnym ciągiem wskaźników;

w szczególności a ^ (l) = 0 dla każdego Tc. Z drugiej strony, oznaczając

— г291(a2Q — r29) = (i{r)i mamy

alą {r) = exp/?(r) dla oraz

fik)(0) = 0, fc = 0 , 1 , 2, Ponieważ а[л {г) = а1д{г)(3'(r), mamy

0 < г < 1

• • •, 2ę—1.

а ) « » • ) = v ( * ; skąd сЩ(0) = 0 dla Tc = 1 , 2 , . . . , 2^—1.

Przechodzimy teraz do przypadku wielowymiarowego. Przede wszyst­

kim zauważmy, że dla a > B ( l + l l n)1121 i \x\ ^ -R ixi£bxny ^ K a(*i, = |ехр[-|ж|2!,/(ам-|ж|2'г)]-1| <

|®Г _ Л28

< а 23- | ж | зд a 23- i ? M < П’

co dowodzi nierówności (a).

Zauważmy teraz, że dla dowolnego a i dowolnego punktu (xlf ..., xn) mamy а.ал{хХ1 . . . , xn) = a1>q(r[a), gdzie r — \x\. Stosując tę równość udowodnimy teraz przez indukcję ze względu na \p\, że dla każdego p istnieją takie wielomiany Wv($, , . . . , | n), v = 1, 2 , \p\, niezależne od a, że

(2) aa,qi^i j • • • > n) a?»\ «(1?д {r/a)

’ г I (r/a)m~r dla 0 < r < a.

№ech \p\ = 1, np. p x = 1, p 2 = ... = pn = 0. Wówczas aa,g (*^l j • • • i ®n) л aa,qi^l) — ? ' а1,3\ )•

OOCi (Ь 7* \ ( t J

Przypuśćmy teraz, że wzór (2) prawdziwy jest dla \p\; udowodnimy jego prawdziwość dla | p | + l . Wystarczy w tym celu rozważyć na przykład

d B v aa Q {xx, . . . , xn). Mamy oxx

I) Ua>q{pCii • • • ? ^n)

U 001 ^{n / „ \ P \}

w i - ~

у «К()•/«) s_

у Г - L . . , , ... ,

Ćj 1дхг ”\ r ’ ’ r ) (r/a)lPl v w h i xn\ d a^(r/a)~\

+ Л r , ' " ’ ~ r ) d x 1 (rla)w~vJ

1 у /ж, xn\ affair/а)

p\+xZ j v \ r r j (r /a )'^ 1- ^ gdzie

ж , 7 , ( 1 1 , . . . , | J = (Й + . . . + Й ) - ^ г 1-

dli П dW i

( l i , - , !»)■

^ = 2 **

VASi, I.) = (Й+ . . . + f i ) ^ 1' ( l i , I»)dW„

dl!

\~i dWv

£ i I * * : w 7 —( li , •••, %n) — (\P\ — v)£iW v(£i> • ••, l») + л = 2 dl.

+ .. ., I J dla 2 < v < | p | ,

R oczniki PTM — P race M atem atyczne VII

66 J . M u s i e l a k

Łatwo jest udowodnić przez indukcję, że

(4) max max |TF„(li, 4)1 < %>p

i<t-<ip| fj+...+4=i

gdzie am dane są wzorem (c). W istocie, oznaczając wielomiany W v z (2) odpowiadające danemup przez Wp, mamy przy \p\ = 1, .. ., £n)| <

< 1 = ax dla + Iw = 1- Przypuśćmy teraz, że nierówność (4) jest prawdziwa dla \p\ < m, i oznaczmy przy danym \p\ = m, q = {px + 1, p 2, . . . , p n). Wówczas, biorąc pod uwagę to, że stopień wielomianów WIf1 przy \p\ — m nie przekracza 2m — 1 i stosując nierówność Markowa

\W'(x)\ < max \W(ł)\ • [stopień W (t)Y dla —1 < x < 1

do pochodnych cząstkowych wielomianów Wp, otrzymujemy przy Й + . . . + Й = I» na podstawie wyżej wypisanych wzorów na Vv,

• ••, *»)l < dWvv

+ (n—l)m ax dWpv

d h + (m -r)|W ?| + | W L i l <

< [n{2m — l ) z-\-m—V\ar n(2m — l ) 2 + m —1

n(2m —1)2 + w + 1 lm+1 < a,m+1 dla 2 < v < m. Podobnie uzyskujemy nierówność (4) również dla v = 1 i v — m+1 .

Wykażemy teraz nierówność (b). W tym celu udowodnimy wpierw, że

|/?(v)(r)| < 2(4 q)vr2ą~vbv dla 0 < r < | i v = 1, 2, ... Oznaczmy w tym celu

OO

Л(®) = przy v = 0 , 1 , 2 , . . .

*=i

Zauważmy, że f v(x) = x ( l — x)~v~1 a>v(x), gdzie cov(x) jest wielomianem stopnia < r oraz \cov{x)\ < bv dla 0 < x < zakładając słuszność tego dla danego v, nierówność pomocniczą otrzymujemy przez bezpośrednie wyliczenie dla v + l , gdyż cov+1(x) = (vx-}-l)coP(x)-j-x(l — x)co'v(x) i sto­

sując nierówność Markowa |co'(a?)| < 4r2 max \wv{x)\ dostajemy

0<Ж<1/2

K+i(®)l < [|(r + 2) + v2]bv = bv+1.

Zatem

f v(x) ^ 2 v+1bvx dla 0

Rozwijając teraz /5(r) w szereg potęgowy i różniczkując r-krotnie, otrzy­

mujemy łatwo

OO

|/5w (r)| < ( 2 = (23г-'Ш »-м) < 2 ( 4 г)’гм-& ,.

k = 1

Udowodnimy teraz, że

|а<У(г)| < V dla 0 < r < r0

\p\am ” 8\p\am q m + i ) m l bm ’

gdzie 0 < ^ < 1, a > 1. Dla |_p| = 1 nierówność tę łatwo sprawdzić bez­

pośrednio. Przypuśćmy, że zachodzi ona dla \p\ < m, i niech 0 < r < r0 =

= ^[8wamg,(4g + -|)w“16m] - 1. Wówczas również 0 < r < r) [8kakq(4:q-{- -f przy к < m, więc z założenia indukcyjnego mamy |a^(r)| <

^ t] lk a k ^ l dla к = 1, 2, ..., m —1, a ponadto oczywiście 0 < r < - | . Zatem na podstawie (1) mamy

7/6— 1

< ’М1

<2(4г)

v —0 ^{( V )} 2g

<2(4^)mr^{m j i ą —m}bm 1 r

4g < 8g(4g+£)w < *7

Stosując teraz (|p| —r)-krotnie twierdzenie o wartości średniej, otrzy­

mujemy dla v = 1 , 2 , .. . , \p\

a \]q{ r ! a )

(r/a)^{\ p \ - v} |tf'af2!)(tf" r/a )| < V

\ p \ a l

dla 0 < r < arQ, v\

gdzie 0 < §' < 1, 0 < &" < 1. Stąd według wzorów (2) i (4) mamy (5) |-»гЧ л(®1,-,® „ )1 < rj dla 0 r ^ et1} Q.

Jeśli teraz a ^ a0 i \x\ < B, to r = \x\ spełnia nierówność r < <xr0; stąd wynika słuszność (b).

Trzeba jeszcze udowodnić, że Dp аад (хг, ..., xn) — 0 dla x\ + . . . + ołn =

= a2. Dla \p\ = 1 jest to oczywiste. Przypuśćmy, że zachodzi to dla |pj;

udowodnimy, że zachodzi wówczas także dla | p | + l . Weźmy х\~\-...-\-х%п —

= a2, 0 < ^ < хг i r\ = Й + а$ + ... + а£. Wtedy D аа,д( j *^2> • • • i 0Cn)

l - r j a

1 — r1/a 1

% i- ś i ’ r[Pl~v(f przy ^ - >⁰?!.

Zatem twierdzenie aproksymacyjne dla jedności zostało w pełni udowodnione.

2. Zastosowania. Pokażę dwa zastosowania twierdzenia aproksy­

macyjnego dla jedności. Pierwsze z nich dotyczy niemal jednostajnego przybliżania (tj. jednostajnego w każdym zbiorze ograniczonym) funkcji z «? funkcjami z 2 .

68 ^{J .} M u s i e l a k

Jeżeli (pcó% to dla dowolnego p = (px, pn) mamy DP\.аад(хi > • • •} xn)<p(xi j • •. j ~^ Ф(*^i> • • •» ^n)

przy q -> oo, a -> co, a ^ a0 niemal jednostajnie.

Dla |p| = 0 wynika to z nierówności

l ® a , a ( * ^ i » • • • j X n ) p ( xi у i Xn ) р 7 • • • j ^

laa,a(*®i? • • • ? *®») •4*l95(^'l? • • • j *^n)l / nierówności (a) i ograniczoności 99 (жх, .. . , xn). Przypuśćmy, że twierdze-*

nie jest prawdziwe dla \p\ < m i weźmy p = {px, p n), \p\ = m, p x > ⁰. Oznaczmy p' = (px — l , p 2? Wówczas

|-® [р а д ip^X ) • • • ? *^n) P (*®1 ? • • • j * L i)) D ( f ( x x , . . . , 39и )| ^

(aa,g(*^l? • • • ) 9 ^ (®i, .. ., Жп)) D (^l? • • • ? *Li)

Qa I

Dv'(<p{xx, . . . , xn) - ^ - ( x x, ...,a?n))|, więc wystarczy udowodnić, że drugi składnik po prawej stronie ostatniej nierówności dąży do 0 przy ą -> 00, « -> co, u > a0. Obliczając pochodną J)p' w tym składniku według wzoru Leibniza

I)v' da,ад dxx

p i

2

-

-1 = 0

P n

V

gdzie p ’{v) = (px- l — vx, p 2 — v2, . . . , p n — vn), ą’(v) = K + l , v8, ... , v J , z ograniczoności pochodnych funkcji p(xx, xn) widzimy, że wystar­

czy dowieść, że Dv аад(хх, .. ., xn) 0 niemal jednostajnie przy ą —> co, a oo, a > «0, dla każdego p; to jednak wynika z (b).

Drugie z zastosowań dotyczy przybliżania funkcji z funkcjami z 3>. Niech ilf('M) oznacza funkcję ciągłą, parzystą, wypukłą w sensie ścisłym, równą 0 dla u = 0. Oznaczmy

OO

Qm(<p) = / / • • • / Ж[99(жх, ж2, . . . , xn)1dxxdx2 . ■. dxn

— OO

dla dowolnej funkcji ⁹⁹ e«f i niech będzie zbiorem tych ⁹⁹ eć5, dla których przy każdym p istnieje takie kv > 0 , że дм{ВРкр<рУ < °°- Określając pseudonormy w wzorem

M\P = inf{e > ⁰: qm(Dp<pIe) < ¹},

można wykazać, że &M jest przestrzenią B0. Stosując twierdzenie aproksy­

macyjne dla jedności można udowodnić następujące twierdzenie aprok­

symacyjne w 3iM (dowód znajduje się w [1], 2.2 (c) i 3.21):

Jeżeli funkcja M(u) spełnia warunek

(Д2) M(2u) ^ x M (u ) dla 0 < u < u0,

gdzie к, щ są pewnymi stałymi dodatnimi, oraz <ре@м , to aa qcp -> cp w prze­

strzeni @м przy a, q -> oo.

Prace cytowane

[1] J. M usielak, On some spaces of functions and distributions (I), Spaces @m

and S>'M, Studia Math. 21 (1962), str. 195-202.

[2] L. S ch w artz, Theorie des distributions I, I I , Paris 1950, 1951.

Ю. Муселяк (Познань)

ОБ ОДНОЙ АППРОКСИМАТИВНОЙ ТЕОРЕМЕ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНО ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ

РЕЗЮМЕ

В работе определено семейство бесконечно дифференцируемых функций

«а,а (яд, .. •, хп) с компактными суппортами, которое служит в качестве аппарата приближений и находит применение, например, в теории дистрибуций.

J. Musielak (Poznań)

ON AN APPROXIMATION THEOREM FOR INFINITELY DIFFERENTIABLE FUNCTIONS

SUMMARY

In this note a family of infinitely differentiable functions аад(хг , ..., xn) of compact support which may be applied in various approximation theorems (e.g.

in the theory of distributions) is considered.