1. Elementy logiki i teorii mnogo´ sci

1. Elementy logiki i teorii mnogo´ sci

1.1. Zdania

Zdaniem nazywamy ciag znak´_, ow, kt´oremu mo˙zna przy- pisa´c warto´s´c logiczna 0 lub 1 (to znaczy stwierdzi´c czy_, zdanie jest prawdziwe czy fa lszywe).

Operacje na zdaniach:

1. negacja ∼ — nie . . ., 2. koniunkcja ∧ — . . . i . . ., 3. alternatywa ∨ — . . . lub . . .,

4. implikacja ⇒ — je˙zeli . . ., to . . .,

5. r´ownowa˙zno´s´c ⇔ — . . . wtedy i tylko wtedy, gdy . . ..

Warto´sci logiczne poszczeg´olnych operacji na zdaniach przedstawia tabela:

p q ∼ p p ∧ q p ∨ q p ⇒ q p ⇔ q

0 0 1 0 0 1 1

0 1 1 0 1 1 0

1 0 0 0 1 0 0

1 1 0 1 1 1 1

Prawa dzia la´n na zdaniach Prawa de Morgana

∼ (p ∧ q) ⇔ ∼ p ∨ ∼ q

∼ (p ∨ q) ⇔ ∼ p ∧ ∼ q Zaprzeczenie implikacji

∼ (p ⇒ q) ⇔ p ∧ ∼ q

Zwiazek implikacji z r´_, ownowa˙zno´scia_, (p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p) ⇔ (p ⇔ q) Sylogizm

(p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ (p ⇒ r) Sprowadzenie do sprzeczno´sci

(p ⇒ ∼ p) ⇒ p Kontrapozycja

(p ⇒ q) ⇔ (∼ q ⇒ ∼ p)

1.2. Zbiory

Zbiory okre´slane sa aksjomatycznie, to znaczy podawane_, sa pewne ich w lasno´sci uznane za pewne._,

Zapis x ∈ A oznacza element x nale˙zy do zbioru A, podczas gdy x /∈ A oznacza element x nie nale˙zy do zbioru A.

Operacje na zbiorach:

1. inkluzja (zawieranie) ⊂

A ⊂ B ⇔ (x ∈ A ⇒ x ∈ B), 2. suma ∪ — x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A ∨ x ∈ B), 3. cze´s´c wsp´_, olna (iloczyn) ∩

x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A ∧ x ∈ B), 4. r´o˙znica \

x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A ∧ x /∈ B), 5. dope lnienie ⁰

x ∈ A⁰ ⇔ x /∈ A ⇔ x ∈ X \ A,

6. iloczyn kartezja´nski × — A×B jest zbiorem wszyst- kich par uporzadkowanych (x, y) takich, ˙ze x ∈ A_, oraz y ∈ B.

Prawa dzia la´n na zbiorach

Zbi´or pusty Ø nie zawiera ˙zadnego elementu A ∩ Ø = Ø, A ∪ Ø = A

Rozdzielno´s´c

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) Poch lanianie

A ∩ (A ∪ B) = A A ∪ (A ∩ B) = A Prawa de Morgana (A ∪ B)⁰ = A⁰ ∩ B⁰ (A ∩ B)⁰ = A⁰ ∪ B⁰ Dope lnienie

(A⁰)⁰ = A

A \ B = A ∩ B⁰

1.3. Kwantyfikatory

Napis

∀_x∈X ϕ(x)

czytamy dla ka˙zdego x ∈ X zachodzi ϕ(x), a znak

∀ nazywamy kwantyfikatorem og´olnym. Kwantyfikator og´olny jest uog´olnieniem koniunkcji.

Napis

∃x∈X ϕ(x)

czytamy istnieje x ∈ X takie, ˙ze zachodzi ϕ(x), a znak

∃ nazywamy kwantyfikatorem szczeg´o lowym. Kwanty- fikator szczeg´o lowy jest uog´olnieniem alternatywy.

Prawa dzia la´n na kwantyfikatorach 1. ∼ ∀x∈X ϕ(x) ⇔ ∃x∈X ∼ ϕ(x)

2. ∼ ∃x∈X ϕ(x) ⇔ ∀x∈X ∼ ϕ(x)

3. ∀_x∈X (ϕ(x) ∧ ψ(x)) ⇔ ∀_x∈X ϕ(x) ∧ ∀_x∈X ψ(x) 4. ∃x∈X (ϕ(x) ∨ ψ(x)) ⇔ ∃x∈X ϕ(x) ∨ ∃x∈X ψ(x)

1.4. Relacje

Relacja pomi_, edzy elementami zbioru X 6= Ø i zbioru_, Y 6= O nazywamy podzbi´or R iloczynu kartezja´nskiego X × Y . Zamiast pisa´c (x, y) ∈ R piszemy czesto xRy.,

Je˙zeli X = Y , to relacje tak_, a nazywamy relacj_, a w zbio-_, rze X.

W lasno´sci relacji Relacja w zbiorze X jest

1. zwrotna, je˙zeli ∀x∈X xRx,

2. symetryczna, je˙zeli ∀_x,y∈X (xRy ⇒ yRx), 3. przechodnia, je˙zeli

∀x,y,z∈X ((xRy ∧ yRz) ⇒ xRz), 4. quasi–symetryczna, je˙zeli

∀x,y∈X (x 6= y ⇒ (∼ xRy ∨ ∼ yRx)), 5. sp´ojna, je˙zeli

∀x,y∈X (x 6= y ⇒ (xRy ∨ yRx)),

Typy relacji

Relacje w zbiorze X nazywamy_,

1. relacja r´_, ownowa˙zno´sci, je˙zeli jest zwrotna, syme- tryczna i przechodnia.

2. cze´_,sciowym porzadkiem, je˙zeli jest zwrotna, quasi–_, symetryczna i przechodnia.

3. porzadkiem liniowym, je˙zeli jest zwrotna, symetryczna,_, przechodnia i sp´ojna.

Zasada abstrakcji

Zbi´or X 6= Ø, w kt´orym okre´slona jest relacja r´ownowa˙zno´sci R mo˙zna przedstawi´c w postaci sumy niepustych roz lacznych,

podzbior´ow takich, ˙ze w ka˙zdym z nich dowolne dwa ele- menty sa ze sob_, a w relacji R._,

Ka˙zdy z tych zbior´ow nazywamy klasa abstrakcji relacji_, R. Mo˙zna je przedstawi´c w postaci

[x] = {y ∈ X; yRx}, gdzie x ∈ X.

1.5. Funkcje

Funkcja (lub odwzorowaniem) dzia laj_, ac_, a ze zbioru X w_, zbi´or Y nazywamy takie przyporzadkowanie elementom_, zbioru X element´ow zbioru Y , ˙ze ka˙zdemu elementowi zbioru X jest przypisany dok ladnie jeden element zbioru Y .

Precyzyjniej, funkcja dzia lajaca ze zbioru X w zbi´_, or Y jest relacja R ⊂ X × Y tak_, a, ˙ze,

1. ∀_x∈X ∃_y∈Y xRy

2. ∀x∈X ∀^y1,y₂∈Y ((xRy¹ ∧ xRy²) ⇒ y¹ = y₂)

Je˙zeli funkcja f dzia la ze zbioru X w zbi´or Y , to piszemy f : X → Y . Jedyny element zbioru Y przypisany ele- mentowi x ∈ X (obraz elementu x) oznaczamy przez f (x).

Dziedzina, przeciwdziedzina, obraz, przeciwobraz

Niech f : X → Y . Zbi´or X nazywamy dziedzina funkcji,

f i oznaczamy przez D_f, a zbi´or Y — przeciwdziedzina_, funkcji f .

Niech dla zbioru A ⊂ X

f (A) = {y ∈ Y ; ∃_x∈A y = f (x)} .

f (A) nazywamy obrazem zbioru A przy odwzorowaniu f , a zbi´or f (X) — zbiorem warto´sci funkcji f .

Niech dla zbioru B ⊂ Y

f⁻¹(B) = {x ∈ X; f(x) ∈ B} .

f⁻¹(B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B przy od- wzorowaniu f .

W lasno´sci obraz´ow i przeciwobraz´ow Je˙zeli A₁, A₂ ⊂ X oraz B¹, B₂ ⊂ Y , to

1. f (A₁ ∪ A²) = f (A₁) ∪ f(A²) 2. f (A₁ ∩ A²) ⊂ f(A¹) ∩ f(A²)

3. f⁻¹(B₁ ∪ B²) = f⁻¹(B₁) ∪ f⁻¹(B₂) 4. f⁻¹(B₁ ∩ B²) = f⁻¹(B₁) ∩ f⁻¹(B₂)

W lasno´sci funkcji

M´owimy, ˙ze funkcja f : X → Y odwzorowuje zbi´or X na zbi´or Y (lub: jest surjekcja), je˙zeli f (X) = Y_, (tzn. ka˙zdy element ze zbioru Y jest obrazem pewnego elementu ze zbioru X).

Funkcja f : X → Y jest r´o˙znowarto´sciowa (lub: jest iniekcja), je˙zeli_,

∀^x,x0_∈X (f (x) = f (x⁰) ⇒ x = x⁰) ,

tzn. je˙zeli f dla r´o˙znych argument´ow przyjmuje r´o˙zne warto´sci).

Funkcje, kt´_, ora jest jednocze´snie r´o˙znowarto´sciowa i ’na’

nazywamy bijekcja (lub odwzorowaniem wzajemnie jed-_, noznacznym).

Je˙zeli funkcja f : X → Y jest r´o˙znowarto´sciowa, to funkcje f_, ⁻¹ : f (X) → X dana wzorem,

f⁻¹(y) = x, gdy y = f (x), nazywamy funkcja odwrotn_, a do funkcji f ._,

Sk ladanie funkcji

Je˙zeli f : X → Y i g : Y → Z (czyli gdy f(X) ⊂ D^g), to funkcje g ◦ f : X → Z dan_, a wzorem,

g ◦ f(x) = g(f(x)) dla x ∈ X

nazywamy z lo˙zeniem (superpozycja) funkcji f z funkcj_, a_, g.

Funkcja to˙zsamo´_, sciowa (identyczno´_, scia) na zbiorze X_, nazywamy funkcje id_{, X} : X → X dana wzorem,

id_X(x) = x dla x ∈ X.

Dla bijekcji f : X → Y spe lnione sa warunki,

f ◦ f⁻¹ = id_Y f⁻¹ ◦ f = id^X

1.6. Zbiory liczbowe

N — zbi´or liczb naturalnych N = {1, 2, 3, . . .}, Z — zbi´or liczb ca lkowitych

Z = {−n ; n ∈ N} ∪ {0} ∪ N, Q — zbi´or liczb wymiernych

Q = {^p_q ; p ∈ Z ∧ q ∈ N}, R — zbi´or liczb rzeczywistych,

R⁺ — zbi´or liczb rzeczywistych dodatnich, R₋ — zbi´or liczb rzeczywistych ujemnych,

R⁺ ∪ {0} — zbi´or liczb rzeczywistych nieujemnych.

Dla a < b przedzia lami nazywamy, miedzy innymi, nast_, epuj_, ace_, zbiory

(a, b) = {x; a < x < b} — przedzia l otwarty, [a, b] = {x; a ≤ x ≤ b} — przedzia l domkniety,,

(a, +∞) = {x; x > a}, (−∞, a) = {x; x < a}.

Zbiory ograniczone i kresy

Niech A ⊂ R. M´owimy, ˙ze zbi´or A jest ograniczony z g´ory, je˙zeli

∃_K∈R ∀_x∈A x ≤ K.

Zbi´or A jest ograniczony z do lu, je˙zeli

∃K∈R ∀x∈A x ≥ K.

Zbi´or jest ograniczony, je˙zeli jest ograniczony z g´ory i z do lu.

Kresem g´ornym zbioru A nazywamy najmniejsza z liczb_, ograniczajacych zbi´_, or A z g´ory. Kres g´orny zbioru A oznaczamy przez sup A.

Kresem dolnym zbioru A nazywamy najwieksz_, a z liczb_, ograniczajacych zbi´_, or A z do lu. Kres dolny zbioru A oznaczamy przez inf A.

Ka˙zdy zbi´or ograniczony z g´ory posiada kres g´orny.

Ka˙zdy zbi´or ograniczony z do lu posiada kres dolny.

2. Ci agi i szeregi liczbowe _,

Zasada indukcji matematycznej Je˙zeli podzbi´or A ⊂ N jest taki, ˙ze 1 ∈ A oraz dla ka˙zdego k ∈ N z faktu ˙ze k ∈ A wynika, ˙ze k + 1 ∈ A, to A = N.

Inaczej m´owiac, je˙zeli T (n) oznacza form_, e zdaniow_, a zmien-_, nej naturalnej n, to koniunkcja warunk´ow

T (1) ∧ ∀_k∈N (T (k) ⇒ T (k + 1)) implikuje T (n) dla dowolnego n ∈ N.

Ciagiem (liczbowym) nazywamy funkcj_, e a :_, N → R. Jej warto´s´c dla liczby n ∈ N oznaczamy tradycyjnie przez a_n.

Korzystajac z zasady indukcji mo˙zna okre´sla´c ci_, agi reku-_, rencyjnie, to znaczy podawa´c pierwszy wyraz (pierwsze wyrazy) ciagu i uzale˙znia´c kolejny wyraz od poprzednich,_, np.

ciag arytmetyczny_,

a₁ = a, a_n+1 = a_n + r dla n ∈ N, gdzie r ∈ R.

ciag geometryczny_,

2.1. Granica ci agu

Definicja. M´owimy, ˙ze ciag (a_{, n}) ma granice g ∈ R, co_, zapisujemy

n→∞lim a_n = g, gdy

∀^ε>0 ∃N ∈N ∀n≥N |aⁿ − g| < ε.

Inaczej m´owimy, ˙ze ciag a_{, n} jest zbie˙zny do g, co zapisu- jemy

a_n−→_n→∞ g.

O ciagu, kt´_, ory nie ma granicy m´owimy, ˙ze jest rozbie˙zny.

Warunek Cauchy’ego. Ciag (a_{, n}) jest zbie˙zny wtedy i tylko wtedy, gdy

∀^ε>0 ∃_{N ∈N} ∀_m,n≥N |a^m − aⁿ| < ε.

Ciag jest rosn_, acy (w s labszym sensie), je˙zeli_,

∀n∈N a_n+1 ≥ aⁿ.

Ciag jest malej_, acy (w s labszym sensie), je˙zeli_,

∀_n∈N a_n+1 ≤ aⁿ.

Ciag jest monotoniczny, je˙zeli jest rosn_, acy lub malej_, acy_, (w s labszym sensie).

2.2. Twierdzenia o granicach ci ag´

ow

W lasno´sci arytmetyczne granicy.

Dla ciag´_, ow zbie˙znych (a_n) i (b_n):

n→∞lim (a_n ± bⁿ) = lim

n→∞a_n ± lim

n→∞b_n.

n→∞lim (a_n · bⁿ) = lim

n→∞a_n · lim

n→∞b_n. Je˙zeli ∀_n∈N b_n 6= 0 i lim_n→∞b_n 6= 0, to

n→∞lim

a_n b_n



= lim_n→∞a_n lim_n→∞b_n. Twierdzenie o trzech ciagach._, Je˙zeli ∀_n∈N b_n ≤ aⁿ ≤ cⁿ oraz

n→∞lim b_n = lim

n→∞c_n = g, to

n→∞lim a_n = g.

Wniosek Ciag o wyrazach nieujemnych nie przekra-_, czajacy ci_, agu zbie˙znego do zera jest sam zbie˙zny do zera._,

Ciag jest ograniczony (z g´_, ory, z do lu), je˙zeli jego zbi´or warto´sci jest ograniczony (z g´ory, z do lu).

Twierdzenie. Ciag zbie˙zny jest ograniczony._,

Twierdzenie. Ciag ograniczony z g´_, ory i rosnacy ma_, granice._,

Twierdzenie. Ciag ograniczony z do lu i malej_, acy ma_, granice._,

Twierdzenie. Ciag ograniczony i monotoniczny ma_, granice._,

Podciagiem ci_, agu (a_{, n}) nazywamy z lo˙zenie ciagu (a_{, n}) z rosnacym ci_, agiem o wyrazach naturalnych._,

Twierdzenie (Bolzano-Weierstrassa). Ciag , kt´_, orego wszystkie wyrazy le˙za w przedziale domkni_, etym, posiada_, podciag zbie˙zny._,

Liczba e

Rozwa˙zmy ciag_,

a_n =



1 + 1 n

ⁿ .

Wyraz a_n mo˙zna interpretowa´c jako kapita l wraz z od- setkami powsta le z ulokowania 1 z l na 1 rok przy stopie procentowej 100% rocznie i kapitalizacji odsetek n razy w roku.

a₁ = (1 + 1)¹ = 2 a₂ = 1 + ¹₂
2

= ³₂
2

= ⁹₄ = 2, 25 a₃ = 1 + ¹₃
3

= ⁴₂
3

= ⁶⁴₂₇ ≈ 2, 37 a₄ = 1 + ¹₄
⁴

= ⁵₄
⁴

= ⁶²⁵₂₅₆ ≈ 2, 44 itd.

Ciag ten jest rosn_, acy i ograniczony z g´_, ory przez 3, wiec_, ma granice._,

Wynosi ona e = 2, 718281 . . . i jest nazywana sta la Eu-_, lera lub podstawa logarytm´_, ow naturalnych.

Ciagi rozbie ˙zne do +∞ i −∞_,

M´owimy, ˙ze ciag (a_{, n}) jest rozbie˙zny do +∞ i piszemy

n→∞lim a_n = +∞, je˙zeli

∀_A∈R ∃_{N ∈N} ∀_n≥N a_n > A.

Ciag (a_{, n}) jest rozbie˙zny do −∞, i piszemy

n→∞lim a_n = −∞, je˙zeli

∀_A∈R ∃_{N ∈N} ∀_n≥N a_n < A.

n→∞lim (a₁ + (n − 1)r) =





−∞ dla r < 0 a₁ dla r = 0 +∞ dla r > 0

n→∞lim a₁qⁿ⁻¹ =















nie istnieje dla q ≤ −1

0 dla − 1 < q < 1 lub a¹ = 0 a₁ dla q = 1

+∞ dla q > 1 i a₁ > 0

−∞ dla q > 1 i a₁ < 0

2.3. Szeregi liczbowe

Oznaczmy sume liczb a_{, 1}, . . . , a_n symbolem Xn

i=1

a_i = a₁ + . . . + a_n. Dok ladniej

X1 i=1

a_i = a₁,

Xn+1 i=1

a_i = Xn

i=1

a_i + a_n+1 dla n ∈ N.

Niech (a_n) bedzie ci_, agiem liczbowym. Szeregiem o wy-_, razach a₁, a₂, . . . nazywamy sume formaln_, a_,

X∞ n=1

a_n = a₁ + a₂ + . . . .

Dok ladniej szeregiem jest ciag sum cz_, e´sciowych_, s_n =

Xn i=1

a_i

ciagu (a_{, n}). Je˙zeli istnieje sko´nczona granica ciagu (s_{, n}), to szereg P_∞

n=1 nazywamy szeregiem zbie˙znym, a w prze- ciwnym przypadku — szeregiem rozbie˙znym. Granice

Przyk lady szereg´ow Szereg geometryczny

X∞ n=1

qⁿ = q + q² + q³ + . . .

pochodzi od ciagu geometrycznego a_{, n} = qⁿ, gdzie q ∈ R.

Szereg geometryczny jest zbie˙zny, gdy |q| < 1 i rozbie˙zny gdy |q| ≥ 1.

Szereg harmoniczny rzedu s > 0_, X∞

n=1

1

n^s = 1 + 1

2^s + 1

3^s + . . . pochodzi od ciagu a_{, n} = 1/n^s.

Szereg harmoniczny rzedu s jest zbie˙zny, gdy s > 1 i_, rozbie˙zny gdy s ≤ 1.

Szereg anharmoniczny postaci X∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = 1 − 1 2 + 1

3 − 1

4 + . . . jest zbie˙zny.

Warunek konieczny zbie ˙zno´sci szeregu. Je˙zeli szereg P_∞

n=1a_n jest zbie˙zny, to lim_n→∞ a_n = 0.

Kryteria zbie ˙zno´sci szereg´ow o wyrazach nieujemnych

Za l´o˙zmy, ˙ze P_∞

n=1a_n jest szeregiem o wyrazach nieujem- nych (tzn. a_n ≥ 0 dla n ∈ N).

Kryterium por´ownawcze. Niech szereg P_∞

n=1b_n bedzie tak˙ze szeregiem o wyrazach nieujemnych. W´_, owczas

1. Je˙zeli 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ i szereg P_∞

n=1b_n jest zbie˙zny, to szereg P_∞

n=1a_n jest zbie˙zny.

2. Je˙zeli 0 ≤ bⁿ ≤ aⁿ i szereg P_∞

n=1b_n jest rozbie˙zny, to szereg P_∞

n=1a_n jest rozbie˙zny.

Kryterium d’Alemberta. Niech szereg P_∞

n=1a_n ma wszystkie wyrazy dodatnie. W´owczas

1. Je˙zeli

n→∞lim

a_n+1

a_n < 1, to szereg P_∞

a jest zbie˙zny.

2. Je˙zeli

n→∞lim

a_n+1

a_n > 1, to szereg P_∞

n=1a_n jest rozbie˙zny.

Kryterium Cauchy’ego.

1. Je˙zeli

n→∞lim

√n

a_n < 1, to szereg P_∞

n=1a_n jest zbie˙zny.

2. Je˙zeli

n→∞lim

√n a_n > 1, to szereg P_∞

n=1a_n jest rozbie˙zny.

Kryterium Cauchy’ego jest mocniejsze od kryterium d’Alemberta, tzn. je˙zeli kryterium d’Alemberta orzeka,

˙ze szereg jest zbie˙zny, to tak samo m´owi kryterium Cau- chy’ego. Na og´o l nie jest odwrotnie.

Kryteria d’Alemberta i Cauchy’ego nie przesadzaj_, a, co_, dzieje sie w przypadku, gdy odpowiednia granica jest_, r´owna 1. Szereg mo˙ze by´c wtedy zbie˙zny albo rozbie˙zny.

Dla szeregu harmonicznego rzedu s > 0 w obu kryteriach_, pojawia sie granica 1, podczas gdy jest on zbie˙zny dla_, s > 1 i rozbie˙zny dla s ≤ 1.

Sumy niekt´orych szereg´ow

X∞ n=0

qⁿ = 1 + q + q² + q³ + . . . = 1

1 − q dla |q| < 1 X∞

n=0

1

n! = 1 + 1

1! + 1

2! + 1

3! + . . . = e X∞

n=0

xⁿ

n! = 1 + x

1! + x²

2! + x³

3! + . . . = e^x dla x ∈ R X∞

n=1

1

n² = 1 + 1

2² + 1

3² + . . . = π² 6 X∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n = 1 − 1 2 + 1

3 − 1

4 + . . . = ln 2 X∞

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 = 1 − 1 3 + 1

5 − 1

7 + . . . = π 4

3. Funkcje elementarne

3.1. Og´ olne w lasno´ sci funkcji rzeczywistych jednej zmiennej

Definicja 1. Funkcja rzeczywist_, a jednej zmiennej_, (rzeczywistej) nazywamy funkcje f : D_{, f} → R, gdzie D_f ⊂ R.

Najcze´sciej zak lada´c b_, edziemy, ˙ze dziedzin_, a funkcji rze-_, czywistej jednej zmiennej jest przedzia l lub suma prze-_, dzia l´ow.

Obcieciem funkcji f : D_{, f} → Y do zbioru A ⊂ D^f nazywamy funkcje ˜_, f : A → Y dana wzorem ˜, f (x) = f (x) dla x ∈ A. Funkcje ˜, f oznaczamy przez f |^A lub, gdy nie prowadzi to do nieporozumie´n, po prostu przez f .

Definicja 2. M´owimy, ˙ze funkcja f : D_f → R jest 1. rosnaca, je˙zeli_,

∀^x1,x₂∈Df (x₁ < x₂ ⇒ f(x¹) < f (x₂)) . 2. malejaca, je˙zeli_,

∀^x1,x₂∈Df (x₁ < x₂ ⇒ f(x¹) > f (x₂)) . 3. niemalejaca, je˙zeli_,

∀^x1,x₂∈Df (x₁ < x₂ ⇒ f(x¹) ≤ f(x²)) . 4. nierosnaca, je˙zeli_,

∀^x1,x₂∈Df (x₁ < x₂ ⇒ f(x¹) ≥ f(x²)) . 5. sta la, je˙zeli

∀^x1,x₂∈Df f (x₁) = f (x₂).

6. monotoniczna, je˙zeli jest niemalejaca lub nierosn_, aca._, Ponadto m´owimy, ˙ze funkcja f : D_f → R jest rosnaca w,

przedziale (a, b) ⊂ D^f, gdy f |^(a,b) jest rosnaca. Analo-_, gicznego sformu lowania u˙zywamy dla pozosta lych typ´ow przedzia l´ow i typ´ow monotoniczno´sci.

Definicja 3. Dla x₀ ∈ R i a > 0 przedzia l (x₀ − a, x⁰ + a)

nazywamy otoczeniem punktu x₀, a zbi´or (x₀ − a, x⁰) ∪ (x⁰, x₀ + a) sasiedztwem punktu x_{, 0}.

Przedzia l (x₀− a, x⁰) nazywamy otoczeniem lewostron- nym, a przedzia l (x₀, x₀+a) — otoczeniem prawostron- nym punktu x₀.

Definicja 4. Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona w pewnym otoczeniu punktu x₀. M´owimy, ˙ze f ma maksi- mum lokalne w punkcie x₀, gdy

∃^δ>0 ∀_x∈Df (|x − x⁰| < δ ⇒ f(x) ≤ f(x⁰)) . Funkcja f ma minimum lokalne w punkcie x₀, gdy

∃^δ>0 ∀_x∈Df (|x − x⁰| < δ ⇒ f(x) ≥ f(x⁰)) . Ekstremum lokalne to minimum lokalne lub maksimum lokalne.

Definicja 5. Funkcja f ma w punkcie x₀ maksimum globalne (lub: przyjmuje warto´s´c najwieksz_, a), gdy_,

∀x∈Df f (x) ≤ f(x⁰).

Funkcja f ma w punkcie x₀ minimum globalne (lub:

przyjmuje warto´s´c najmniejsza), gdy_,

∀_x∈Df f (x) ≥ f(x⁰).

Definicja 6. Funkcja f jest wypuk la w przedziale [a, b] ⊂ D^f, gdy

∀_t∈[0,1] f ((1 − t)a + tb) ≤ (1 − t)f(a) + tf(b).

Funkcja f jest wkles la w tym przedziale, gdy_,

∀_t∈[0,1] f ((1 − t)a + tb) ≥ (1 − t)f(a) + tf(b).

Definicja 7. Funkcje f nazywamy parzyst_, a, gdy_,

∀x∈Df (−x ∈ D^f ∧ f(−x) = f(x)) , a nieparzysta, gdy_,

∀_x∈Df (−x ∈ D^f ∧ f(−x) = −f(x)) .

Definicja 8. Funkcja f jest funkcja okresow_, a o okresie_, T > 0, gdy

3.2. Pot egi

Dla a ∈ R i n ∈ N liczbe_,

aⁿ = a · a · . . . · a| {z }

n

nazywamy n–ta pot_, eg_, a liczby a._,

Przyjmujemy a⁰ = 1 dla a 6= 0, a dla a 6= 0 i n ∈ Z, n < 0, okre´slamy

aⁿ = 1 a⁻ⁿ.

Je˙zeli n ∈ N, n > 1 oraz a ≥ 0, to pierwiastkiem stopnia n–tego z liczby a nazywamy liczbe z ≥ 0 tak_, a,,

˙ze zⁿ = a. Piszemy w´owczas z = √ⁿ a.

Dla a > 0 i r ∈ Q, gdzie r = ^m_n, m ∈ Z, n ∈ N okre´slamy

a^r = a^mn = √ⁿ a
^m

= √ⁿ a^m.

Je˙zeli a > 0 i α ∈ R, to liczbe a, ^α przybli˙zamy potegami_, liczby a o wyk ladnikach wymiernych bliskich α.

Wzory potegowe_,

Dla a, b > 0 i α, β ∈ R zachodza r´, owno´sci:

1. a^α+β = a^α · a^β, 2. a^α−β = ^aα

a^β, 3. (a^α)^β = a^α·β, 4. (a · b)^α = a^α · b^α, 5. ^a_b
^α

= ^aα

a^β.

3.3. Logarytmy

Dla a > 0, a 6= 1 oraz x > 0 logarytmem przy podstawie a z liczby x nazywamy taka liczb_, e z ∈ R, ˙ze a_, ^z = x i piszemy z = log_a x.

Wzory logarytmiczne

Dla a > 0, a 6= 1 oraz x, y > 0 zachodza nast, epuj_, ace_, r´owno´sci

1. log_a(x · y) = logax + log_ay, 2. log_a

x y



= log_ax − logay, 3. log_ax^k = k · logax,

5. ^log_log^ax

ay = log_yx, o ile y 6= 1, 6. a^logax = x.

3.4. Trygonometria

Definicje

Niech α ∈ R. Odmierzamy kat o mierze lukowej α od,

dodatniej p´o losi OX w kierunku przeciwnym do ruchu wskaz´owek zegara i na drugim ramieniu tego kata wybie-_, ramy punkt (x, y) 6= (0, 0).

Oznaczmy przez r = p

x² + y² i okre´slmy funkcje try- gonometryczne — cosinus, sinus, tangens i cotangens — kata α odpowiednio wzorami:_,

cos α = ^x_r, sin α = ^y_r,

tg α = ^y_x, gdy x 6= 0, ctg α = ^x_y, gdy y 6= 0.

Pomiedzy tak okre´slonymi funkcjami k_, ata α zachodz_, a_, zwiazki:_,

1. cos²α + sin²α = 1, 2. tg α = _{cos α}^{sin α},

3. ctg α = ^{cos α}_{sin α}, 4. ctg α = _{tg α}¹ .

Wzory redukcyjne

Gdy α jest katem ostrym (tzn. 0 < α <_, ^π₂), to praw- dziwe sa nast_, epuj_, ace wzory redukcyjne:_,

funkcja (0 ± α) = ε · funkcja (α), funkcja (±π ± α) = ε · funkcja (α), funkcja (±2π ± α) = ε · funkcja (α), funkcja ±^π₂ ± α

= ε · kofunkcja (α), funkcja ±^3π₂ ± α

= ε · kofunkcja (α),

gdzie relacje funkcja ↔ kofunkcja sa nast, epuj_, ace:_, sin ↔ cos, tg ↔ ctg.

Znak ε wyznaczamy jako w la´sciwy dla funkcji po lewej stronie wzoru na podstawie tabeli znak´ow funkcji trygo- nometrycznych:

α I II III IV cos + − − + sin + + − −

tg + − + −

Wzory trygonometryczne

Dla kat´_, ow α, β ∈ R prawdziwe sa wzory:,

1. sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β, 2. cos(α ± β) = cos α cos β ∓ sin α sin β, 3. tg(α ± β) = _{1∓tgα tgβ}^tgα±tgβ ,

4. sin α + sin β = 2 sin ^α+β₂ cos ^α−β₂ , 5. sin α − sin β = 2 sin ^α−β₂ cos ^α+β₂ , 6. cos α + cos β = 2 cos ^α+β₂ cos ^α−β₂ , 7. cos α − cos β = −2 sin ^α+β₂ sin ^α−β₂ ,

8. cos 2α = cos²α−sin²α = 2 cos²α−1 = 1−2 sin²α, 9. sin 2α = 2 sin α cos α,

10. cos ^α₂ = ε

q1+cos α 2 , 11. sin ^α₂ = ε

q1−cos α 2 .

ε we wzorach 10 i 11 oznacza znak funkcji kata_, ^α₂.

3.5. W lasno´ sci funkcji elementarnych

Funkcja potegowa_,

Dla α 6= 0 funkcje dan_, a wzorem_,

f (x) = x^α dla x ∈ R⁺ nazywamy funkcja pot_, egow_, a stopnia α._,

1. dziedzina: (0, +∞)

2. zbi´or warto´sci: (0, +∞) 3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: tak 4. znak: dodatnia

5. monotoniczno´s´c: rosnaca_,

6. warto´s´c najwieksza/najmniejsza:_, brak 7. wypuk´lo´s´c: wypuk la dla α ≥ 1,

wkles la dla α ≤ 1_,

8. parzysto´s´c: ani parzysta, ani nieparzysta 9. okresowos´c: nie

10. funkcja odwrotna: x 7→ x^α1, x ∈ (0, +∞)

Wielomiany

Wielomianem stopnia n ∈ N ∪ {0} nazywamy funkcje,

dana wzorem_, f (x) =

Xn i=0

a_ixⁱ = a_nxⁿ + . . . a₁x + a₀ dla x ∈ R, gdzie a_n, . . . , a₁, a₀ ∈ R, aⁿ 6= 0.

Wa˙znym przyk ladem wielomianu jest funkcja kwadra- towa

f (x) = ax² + bx + c, a 6= 0.

Funkcje wymierne

Funkcja wymiern_, a nazywamy iloraz wielomian´_, ow f (x) = P (x)

Q(x)

okre´slony dla tych x, dla kt´orych Q(x) 6= 0.

Wa˙znym przyk ladem funkcji wymiernej jest homogra- fia — iloraz wielomianu stopnia ≤ 1 przez wielomian stopnia 1, czyli funkcja okre´slona wzorem

f (x) = ax + b

cx + d dla x 6= −d c, gdzie c 6= 0 oraz ad − bc 6= 0.

Funkcja wyk ladnicza

Dla a > 0 i a 6= 1 funkcja wyk ladnicz, a o podstawie a_, nazywamy funkcje dan_, a wzorem_,

f (x) = a^x dla x ∈ R.

Funkcje wyk ladnicz_, a o podstawie e nazywamy po prostu_, funkcja wyk ladnicz_, a i oznaczamy czasem przez exp._,

1. dziedzina: (−∞, +∞) 2. zbi´or warto´sci: (0, +∞) 3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: tak 4. znak: dodatnia

5. monotoniczno´s´c: rosnaca gdy a > 1_, malejaca, gdy 0 < a < 1._,

6. wypuk´lo´s´c: wypuk la

7. parzysto´s´c: ani parzysta, ani nieparzysta 8. okresowos´c: nie

9. funkcja odwrotna: x 7→ loga x, x > 0.

Funkcja logarytmiczna

Dla a > 0 i a 6= 1 funkcja logarytmiczn_, a o podstawie a_, nazywamy funkcje dan_, a wzorem_,

f (x) = log_ax dla x ∈ R⁺.

Funkcje logarytmiczn_, a o podstawie e nazywamy logaryt-_, mem naturalnym i oznaczamy ja przez ln._,

1. dziedzina: (0, +∞)

2. zbi´or warto´sci: (−∞, +∞) 3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: tak

4. znak: gdy a > 1 – dodatnia w (1, +∞), ujemna w (0, 1)

gdy 0 < a < 1 – dodatnia w (0, 1), ujemna w (1, +∞)

5. monotoniczno´s´c: rosnaca, gdy a > 1_, malejaca, gdy 0 < a < 1._,

6. wypuk´lo´s´c: wkles la, gdy a > 1_, wypuk la, gdy 0 < a < 1

7. parzysto´s´c: ani parzysta, ani nieparzysta 8. okresowos´c: nie

9. funkcja odwrotna: x 7→ a^x, x ∈ R.

Funkcje trygonometryczne Sinus

1. dziedzina: (−∞, +∞) 2. zbi´or warto´sci: [−1, 1]

3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: globalnie nie r´o˙znowarto´sciowa w przedziale [−^π₂, ^π₂] 4. znak:

dodatnia w przedzia lach (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z, ujemna w przedzia lach ((2k + 1)π, (2k + 2)π), k ∈ Z 5. monotoniczno´s´c:

rosnaca w przedzia lach (−_, ^π₂ + 2kπ, ^π₂ + 2kπ), k ∈ Z malejaca w przedzia lach (_, ^3π₂ + 2kπ, ^5π₂ + 2kπ), k ∈ Z 6. wypuk´lo´s´c:

wkles la w przedzia lach (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z,_, wypuk la w przedzia lach ((2k +1)π, (2k +2)π), k ∈ Z 7. parzysto´s´c: nieparzysta

8. okresowos´c: okres T = 2π

9. funkcja odwrotna: globalnie brak x 7→ arcsin x, x ∈ [−1, 1]

Cosinus

1. dziedzina: (−∞, +∞) 2. zbi´or warto´sci: [−1, 1]

3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: globalnie nie r´o˙znowarto´sciowa w przedziale [0, π]

4. znak:

dodatnia w przedzia lach (−^π₂+2kπ, ^π₂+2kπ), k ∈ Z, ujemna w przedzia lach (^π₂ + 2kπ, ^3π₂ + 2kπ), k ∈ Z 5. monotoniczno´s´c:

rosnaca w przedzia lach ((2k + 1)π, (2k + 2)π), k ∈ Z_, malejaca w przedzia lach (2kπ, (2k + 1)π), k ∈ Z_, 6. wypuk´lo´s´c:

wkles la w przedzia lach (−_, ^π₂ + 2kπ, ^π₂ + 2kπ), k ∈ Z, wypuk la w przedzia lach (^π₂ + 2kπ, ^3π₂ + 2kπ), k ∈ Z 7. parzysto´s´c: parzysta

8. okresowos´c: okres T = 2π

9. funkcja odwrotna: globalnie brak x 7→ arccos x, x ∈ [−1, 1]

∀_x∈[−1,1] arcsin x + arccos x = π 2

Tangens

1. dziedzina:

[

k∈Z

(−π

2 + kπ,π

2 + kπ) 2. zbi´or warto´sci: (−∞, +∞) 3. ro.

znowarto´sciowo´s´c: globalnie nie r´o˙znowarto´sciowa w przedziale (−^π₂, ^π₂) 4. znak:

dodatnia w przedzia lach (kπ, ^π₂ + kπ), k ∈ Z, ujemna w przedzia lach (−^π₂ + kπ, kπ), k ∈ Z 5. monotoniczno´s´c:

rosnaca w przedzia lach (−_, ^π₂ + 2kπ, ^π₂ + 2kπ), k ∈ Z 6. wypuk´lo´s´c:

wkles la w przedzia lach (−_, ^π₂ + kπ, kπ), k ∈ Z, wypuk la w przedzia lach (kπ, ^π₂ + kπ), k ∈ Z 7. parzysto´s´c: nieparzysta

8. okresowos´c: okres T = π

9. funkcja odwrotna: globalnie brak x 7→ arctan x, x ∈ R

Funkcje cyklometryczne

Funkcjami odwrotnymi do obcie´c funkcji trygonometrycz-_, nych sa:_,

arcsin : [−1, 1] → [−^π₂, ^π₂] arccos : [−1, 1] → [0, π]

arctan : R → (−^π₂, ^π₂)

Funkcje hiperboliczne

Nastepuj_, ace funkcje nazywamy funkcjami hiperbolicznymi:_, sinh : R → R

sinh x = e^x − e^−x

2 ,

cosh : R → [1, +∞)

cosh x = e^x + e^−x

2 ,

tanh : R → R

tanh x = e^x − e^−x e^x + e^−x. cosh²x − sinh²x = 1

tanh x = sinh x cosh x

4. Rachunek r´ o ˙zniczkowy funkcji jednej zmiennej

4.1. Granica funkcji

Definicja 1. Je˙zeli funkcja f jest okre´slona w pewnym sasiedztwie punktu x_{, 0} ∈ R, to liczbe g ∈ R nazywamy,

granica funkcji f w punkcie x_{, 0}, gdy

∀^ε>0 ∃^δ>0 ∀_x∈Df (0 < |x − x⁰| < δ ⇒ |f(x) − g| < ε) i piszemy wtedy

x→xlim0

f (x) = g.

Warunek 0 < |x − x⁰| < δ oznacza, ˙ze x nale˙zy do sasiedztwa (x_{, 0} − δ, x⁰) ∪ (x⁰, x₀ + δ) punktu x₀.

Warunek |f(x) − g| < ε oznacza, ˙ze f(x) nale˙zy do otoczenia (g − ε, g + ε) punktu g.

Definicja 2. Je˙zeli funkcja f jest okre´slona w pewnym sasiedztwie lewostronnym punktu x_{, 0} ∈ R, to liczbe g ∈_, R nazywamy granica lewostronn, a funkcji f w punkcie_, x₀, gdy

∀^ε>0 ∃^δ>0 ∀x∈Df (−δ < x − x⁰ < 0 ⇒ |f(x) − g| < ε) i piszemy wtedy

lim

x→x⁻0

f (x) = g.

Je˙zeli funkcja f jest okre´slona w pewnym sasiedztwie pra-_, wostronnym punktu x₀ ∈ R, to liczbe g ∈ R nazywamy_, granica prawostronn_, a funkcji f w punkcie x_{, 0}, gdy

∀^ε>0 ∃^δ>0 ∀x∈Df (0 < x − x⁰ < δ ⇒ |f(x) − g| < ε) i piszemy wtedy

lim

x→x⁺0

f (x) = g.

Warunek −δ < x−x⁰ < 0 oznacza, ˙ze x₀ nale˙zy sasiedztwa_, lewostronnego (x₀− δ, x⁰) punktu x₀, podczas gdy waru- nek 0 < x−x⁰ < δ oznacza przynale˙zno´s´c x do otoczenia prawostronnego (x₀, x₀ + δ) punktu x₀.

Definicja 3. Otoczeniem plus niesko´nczono´sci (a jed- nocze´snie sasiedztwem plus niesko´_, nczono´sci) nazywamy ka˙zdy przedzia l (a, +∞), gdzie a ∈ R.

Otoczeniem minus niesko´nczono´sci (a jednocze´snie sasiedztwem minus niesko´_, nczono´sci) nazywamy ka˙zdy przedzia l (−∞, a), gdzie a ∈ R.

Definicja 4. (og´olna definicja Cauchy’ego granicy funk- cji)

M´owimy, ˙ze funkcja f okre´slona w pewnym sasiedztwie_, punktu x₀ ∈ R ∪ {−∞, +∞} ma w punkcie x⁰ gra- nice (odpowiednio: granic_, e lewostronn_, a, granic_, e pra-_, wostronna) g ∈ R ∪ {−∞, +∞}, gdy_,

dla ka˙zdego otoczenia V punktu g istnieje takie sasiedztwo_, U (odpowiednio sasiedztwo lewostronne, s_, asiedztwo pra-_, wostronne) punktu x₀, ˙ze

x ∈ U ⇒ f(x) ∈ V.

Piszemy w´owczas

x→xlim⁰ f (x) = g odpowiednio lim

x→x⁻0

f (x) = g, lim

x→x⁺0

f (x) = g.

!

Definicja Cauchy’ego obejmuje, poza wymienionymi w definicjach 1 i 2, przypadki granic niesko´nczonych, gra- nic w niesko´nczono´sci oraz jednostronnych granic nie- sko´nczonych.

lim_x→x0 f (x) = −∞, gdy

∀A∈R ∃^δ>0 ∀x∈Df (0 < |x − x⁰| < δ ⇒ f(x) < A) lim_x→x0 f (x) = +∞, gdy

∀A∈R ∃^δ>0 ∀x∈Df (0 < |x − x⁰| < δ ⇒ f(x) > A) lim_x→−∞f (x) = g ∈ R, gdy

∀^ε>0 ∃B∈R ∀x∈Df (x < B ⇒ |f(x) − g| < ε) lim_x→+∞f (x) = g ∈ R, gdy

∀^ε>0 ∃B∈R ∀x∈Df (x > B ⇒ |f(x) − g| < ε) lim_x→−∞f (x) = −∞, gdy

∀A∈R ∃B∈R ∀x∈Df (x < B ⇒ f(x) < A) lim_x→−∞f (x) = +∞, gdy

∀A∈R ∃B∈R ∀x∈Df (x < B ⇒ f(x) > A)

lim_x→+∞f (x) = −∞, gdy

∀A∈R ∃B∈R ∀x∈Df (x > B ⇒ f(x) < A) lim_x→+∞f (x) = +∞, gdy

∀A∈R ∃B∈R ∀x∈Df (x > B ⇒ f(x) > A) lim_x→x−

0 f (x) = −∞, gdy

∀A∈R ∃^δ>0 ∀x∈Df (−δ < x − x⁰ < 0 ⇒ f(x) < A) lim_x→x⁺

0 f (x) = −∞, gdy

∀A∈R ∃^δ>0 ∀x∈Df (0 < x − x⁰ < δ ⇒ f(x) < A) lim_x→x−

0 f (x) = +∞, gdy

∀A∈R ∃^δ>0 ∀x∈Df (−δ < x − x⁰ < 0 ⇒ f(x) > A) lim_x→x⁺

0 f (x) = +∞, gdy

∀_A∈R ∃^δ>0 ∀_x∈Df (0 < x − x⁰ < δ ⇒ f(x) > A)

Definicja 5. (og´olna definicja Heinego granicy funkcji) Za l´o˙zmy, ˙ze funkcja f jest okre´slona w pewnym sasiedztwie_, punktu x₀ ∈ R ∪ {−∞, +∞}. M´owimy, ˙ze funkcja f ma w punkcie x₀ granice (odpowiednio: granice lewo-_, stronna, granic_, e prawostronn_, a) g ∈ R ∪ {−∞, +∞},_, gdy

dla ka˙zdego ciagu (x_{, n}), kt´orego wszystkie wyrazy nale˙za_, do D_f \ {x⁰} zachodzi warunek

n→∞lim x_n = x₀ ⇒ lim

n→∞f (x_n) = g

(odpowiednio — warunek ten zachodzi dla ciag´_, ow o wy- razach: mniejszych od x₀, wiekszych od x_{, 0}).

Twierdzenie 6. Definicje Cauchy’ego i Heinego sa_, r´ownowa˙zne, tzn. funkcja f ma w punkcie x₀ granice_, g w sensie definicji 4 wtedy i tylko wtedy, gdy ma te_, sama granic_, e w sensie definicji 5._,

Twierdzenie 7. Funkcja f , okre´slona w sasiedztwie_, punktu x₀, ma w punkcie x₀ granice g wtedy i tylko_, wtedy, gdy

lim

x→x⁻0

f (x) = g = lim

x→x⁺0

f (x).

Twierdzenie 8. Niech funkcje f i g bed_, a okre´slone w_, pewnym sasiedztwie punktu x_{, 0}. W´owczas

1.

x→xlim⁰(f (x) ± g(x)) = lim

x→x⁰ f (x) ± lim

x→x⁰g(x) 2.

x→xlim0(f (x) · g(x)) = lim

x→x0 f (x) · lim

x→x0

g(x)

3. Je˙zeli g(x) 6= 0 w pewnym sasiedztwie punktu x, ₀

oraz lim_x→x0 g(x) 6= 0, to

x→xlim0

f (x)

g(x) = lim_x→x0 f (x) lim_x→x0 g(x)

o ile powy˙zsze granice istnieja i wyra˙zenia maj_, a sens._, Dzia lania na niesko´nczono´sci

Nastepuj_, ace r´_, owno´sci sa twierdzeniami o granicach:_, 1. ∞ + ∞ = ∞

2. ∞ · ∞ = ∞

3. a + ∞ = ∞ dla a ∈ R 4. ^a

∞ = 0 dla a ∈ R 5. a · ∞ = ∞ dla a > 0