Szeregi Fouriera
1 Szereg trygonometryczny Fouriera
Rozważmy ciąg funkcyjny {ϕ n (x)} ≡ 1, cos πx
d , sin πx
d , cos 2πx
d , sin 2πx
d , . . . , cos nπx
d , sin nπx
d , . . . (1)
gdzie d ∈ R + . Mamy tutaj
ϕ 0 (x) = 1 ϕ 2n−1 (x) = cos nπx
d , n = 1, 2, . . . ϕ 2n (x) = sin nπx
d , n = 1, 2, . . . Zauważmy, że
Z d
−d 1 · cos nπx
d dx = 0, n = 1, 2, . . .
Z d
−d 1 · sin nπx
d dx = 0, n = 1, 2, . . . a ponadto dla m 6= n mamy
Z d
−d
cos mπx
d · cos nπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . .
Z d
−d sin mπx
d · sin nπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . .
Z d
−d sin mπx
d · cos nπx
d dx = 0, m, n = 1, 2, . . . co oznacza, że ciąg (1) jest ortogonalny w przedziale [−d; d].
Następnie, można obliczyć
kϕ 0 k 2 =
Z d
−d 1 dx = 2d, kϕ 2n−1 k 2 =
Z d
−d cos 2 nπx
d dx = d, n = 1, 2, . . . , kϕ 2n k 2 =
Z d
−d sin 2 nπx
d dx = d, n = 1, 2, . . . ,
co oznacza, że ciąg (1) jest zupełny w klasie funkcji całkowalnych w przedziale [−d; d].
Niech f będzie funkcją całkowalną w przedziale [−d; d]. Szereg a 0
2 +
∞
X
n=1
a n cos nπx
d + b n sin nπx d
gdzie
a 0 = 1 d
Z d
−d f (x) dx, oraz dla n = 1, 2, . . .
a n = 1 d
Z d
−d f (x) cos nπx d dx, b n = 1
d
Z d
−d f (x) sin nπx d dx,
nazywamy szeregiem trygonometrycznym Fouriera funkcji f w przedziale [−d; d] i piszemy f (x) ∼ a 0
2 +
∞
X
n=1
a n cos nπx
d + b n sin nπx d
(2)
Definicja 1. Mówimy, że funkcja f spełnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jeżeli 1. f jest przedziałami monotoniczna w przedziale [−d; d],
2. f jest ciągła w przedziale (−d; d), z wyjątkiem co najwyżej skończonej liczby punktów x k ∈ (−d; d), k = 1, 2, . . . , N , N ∈ N, przy czym w każdym z tych punktów spełniony jest warunek
f (x k ) = 1
2 · [f (x k −) + f (x k +)] , k = 1, 2, . . . , N gdzie
f (x k −) = lim
x→x
−kf (x), f (x k +) = lim
x→x
+kf (x),
3. w końcach przedziału [−d; d] spełnione są równości f (−d) = 1
2 · [f (−d+) + f (d−)] , f (d) = 1
2 · [f (−d+) + f (d−)] .
Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f spełnia w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, to jest w tym przedziale rozwijalna w szereg trygonometryczny Fouriera
f (x) = a 0 2 +
∞
X
n=1
a n cos nπx
d + b n sin nπx d
(3) dla każdego x ∈ [−d; d]. Jeżeli ponadto funkcja f jest okresowa i ma okres 2d, to wzór (3) jest prawdziwy w całej dziedzinie funkcji f .
Uwaga. Jeżeli funkcja f , spełniająca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest parzysta, to b n = 0 dla n ∈ N oraz
a 0 = 2 d
Z d 0
f (x) dx, a n = 2
d
Z d 0
f (x) cos nπx
d dx, n ∈ N.
Jeżeli natomiast funkcja f , spełniająca w przedziale [−d; d] warunki Dirichleta, jest nieparzysta, to a 0 = 0, a n = 0 dla n ∈ N oraz
b n = 2 d
Z d 0
f (x) sin nπx
d dx, n ∈ N.
Przykład 1. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję
f (x) =
0 dla x = −d,
−1 dla − d < x < 0,
0 dla x = 0,
1 dla 0 < x < d,
0 dla x = d.
Funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale [−d; d], jest więc rozwijalna w szereg Fouriera.
Ponieważ jest to funkcja nieparzysta, zatem a n = 0 dla n = 0, 1, 2, . . .. Obliczymy współczynniki b n , n = 1, 2, . . .
b n = 2 d
Z d 0
sin nπx
d dx = 2
nπ [1 − cos nπ] = 2
nπ [1 − (−1) n ] Stąd
b n =
0 dla n parzystych
4
nπ dla n nieparzystych Mamy więc
f (x) = 4 π
∞
X
n=1
1
2n − 1 sin (2n − 1)πx
d = 4
π sin πx d + 4
3π sin 3πx d + 4
5π sin 5πx d + . . . dla każdego x ∈ [−d; d].
Przykład 2. Rozwinąć w szereg trygonometryczny Fouriera funkcję f (x) = |x| w przedziale [−π; π].
Funkcja f spełnia warunki Dirichleta w przedziale [−π; π], jest więc rozwijalna w szereg Fouriera.
Ponieważ jest to funkcja parzysta, zatem b n = 0 dla n = 1, 2, . . .. Obliczymy współczynniki a n , n = 0, 1, 2, . . .
a 0 = 2 π
Z π 0
x dx = 2 π · π 2
2 = π, a n = 2
π
Z π 0
x cos nx dx = 2
n 2 π · [cos nπ − 1] = 2
n 2 π · [(−1) n − 1].
Stąd
a n =
0 dla n parzystych
−4
n
2π dla n nieparzystych Mamy więc
f (x) = π 2 − 4
π
∞
X
n=1
1
(2n − 1) 2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9π cos 3x − 4
25π cos 5x − . . . dla każdego x ∈ [−π; π].
Rozważmy funkcję f , która jest określona i spełnia pierwsze dwa warunki Dirichleta w przedziale (0; d). Funkcję tę można przedstawić w przedziale (0; d) jako sumę szeregu Fouriera składającego się z samych sinusów albo z samych cosinusów. W tym celu nalezy rozpatrzyć funkcję pomocniczą ˜ f , określoną w przedziale [−d; d] i stanowiącą stosownie dobrane przedłużenie funkcji f .
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg sinusów, należy przedłużyć tę funkcję w sposób nieparzysty:
f (x) = ˜
0 dla x = −d,
−f (−x) dla − d < x < 0,
0 dla x = 0,
f (x) dla 0 < x < d,
0 dla x = d.
Aby otrzymać rozwinięcie funkcji f w szereg cosinusów, należy przedłużyć tę funkcję w sposób parzysty:
f (x) = ˜
f (d−) dla x = −d, f (−x) dla − d < x < 0, f (0+) dla x = 0,
f (x) dla 0 < x < d, f (d−) dla x = d.
Przykład 3. Rozwinąć w szereg trygonometryczny samych cosinusów funkcję f (x) = x w przedziale (0; π).
Funkcję f przedłużamy w sposób parzysty
f (x) = ˜
π dla x = −π,
−x dla − π < x < 0,
0 dla x = 0,
x dla 0 < x < π,
π dla x = π.
Łatwo zauważyć, że ˜ f (x) = |x| dla x ∈ [−π; π]. Korzystając więc z przykładu poprzedniego możemy napisać
f (x) = ˜ π 2 − 4
π
∞
X
n=1
1
(2n − 1) 2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9π cos 3x − 4
25π cos 5x − . . . dla każdego x ∈ [−π; π], czyli
f (x) = π 2 − 4
π
∞
X
n=1
1
(2n − 1) 2 cos(2n − 1)x = π 2 − 4
π cos x − 4
9π cos 3x − 4
25π cos 5x − . . . dla każdego x ∈ (0; π).
Przykład 4. Rozwinąć w szereg trygonometryczny samych sinusów funkcję f (x) = x w prze- dziale (0; π).
Funkcję f przedłużamy w sposób nieparzysty
f (x) = ˜
0 dla x = −π,
x dla − π < x < 0,
0 dla x = 0,
x dla 0 < x < π,
0 dla x = π.
Obliczamy współczynniki b n , n = 1, 2, . . . b n = 2
π
Z π 0
x sin nx dx = 2
n · (−1) n−1 . Zatem
f (x) = ˜
∞
X
n=1
2 · (−1) n−1
n sin nx = 2 sin x − sin 2x + 2
3 sin 3x − . . . dla każdego x ∈ [−π; π], czyli
f (x) =
∞
X
n=1
2 · (−1) n−1
n sin nx = 2 sin x − sin 2x + 2
3 sin 3x − . . .
dla każdego x ∈ (0; π).
2 Postać zespolona szeregu Fouriera
Niech dana będzie funkcja f spełniająca w przedziale [−d, d] warunki Dirichleta. Wtedy szereg Fouriera tej funkcji jest do niej zbieżny, tj.
f (t) = a 0 2 +
∞
X
n=1
a n cos nπt
d + b n sin nπt d
(4) przy czym
a 0 = 1 d
Z d
−d f (t) dt, oraz dla n = 1, 2, . . .
a n = 1 d
Z d
−d
f (t) cos nπt d dt, b n = 1
d
Z d
−d
f (t) sin nπt d dt.
Dokonując prostych przekształceń trygonometrycznych możemy szereg (4) przedstawić w postaci zespolonej
f (t) =
∞
X
n=−∞
c n exp
j nπt d
(5) gdzie
c n = 1 2d
Z d
−d f (t) exp
−j nπt d
dt, n = 0, ±1, ±2, . . .
Jeżeli 2d jest okresem funkcji f , to powyższy wzór można przekształcić do postaci c n = 1
2d
Z 2d 0
f (t) exp
−j nπt d
dt, n = 0, ±1, ±2, . . . Przykład Rozwinąć w szereg zespolony Fouriera funkcję okresową
u(t) =
U
2 dla t = 0
U
T t dla 0 < t < T
U
2 dla t = T
u(t) = u(t + T ), t ∈ R
która przedstawia napięcie półkształtne wytwarzane w tzw. generatorach podstawy czasu. Napięcie takie może służyć do okresowego odchylania wiązki elektronów padającej na wewnętrzną stronę ekranu telewizora. Mamy tutaj 2d = T , stąd π d = 2π T = $, gdzie $ jest pulsacją analizowanego napiecia okresowego.
Korzystając ze wzorów na współczynniki c n mamy kolejno c 0 = 1
T
Z T 0
U
T t dt = U 2 c n = 1
T
Z T 0
U
T t exp [−j n$t] dt = − U
j$T n , n = ±1, ±2, . . . Stąd
c n =
U
2 dla n = 0
j 2nπ U dla n = ±1, ±2, . . .
Szukane rozwinięcie jest więc następujące u(t) = U
2 +
∞
X
n=−∞
(n6=0)
