1 . Dyskretna transformata Fouriera

1 . Dyskretna transformata Fouriera

Problem: f jest funkcją o okresie a. Znamy jej wartości w N punktach równomiernie rozłożonych na odcinku [0, a):

f k a N

!

= y_k dla k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Mówiąc inaczej, sygnał f jest próbkowany w regularnych odstępach czasu o długości _N^a. Na podstawie tych informacji chcemy aproksymować współ- czynniki c_n szeregu Fouriera funkcji f .

Będziemy również zakładać, że szereg Fouriera funkcji f jest punktowo zbieżny do f i w punktach nieciągłości t zachodzi równość

f (t) = f (t+) + f (t−)

2 .

Mając dane N punktów będziemy wyznaczać N współczynników Fo- uriera. Wiedząc, że c_n → 0 przy n → ∞, wyznaczymy współczynniki dla n = −^N₂, . . . ,^N₂ − 1 (lub n = −^{N −1}₂ , . . . ,^{N −1}₂ , jeśli N jest nieparzyste). Te założenia pozwalają wyznaczyć przybliżoną wartość całki

c_n = 1 a

Z a

0 f (t)e^−2iπnatdt.

Sposób 1. Stosujemy metodę trapezów:

c⁰_n = 1 a

N −1 X k=0

f k a N

!

e^−2iπnNk (k + 1)a

N − k a N

!

= 1 N

N −1 X k=0

y_ke^−2iπnNk

lub inaczej

c⁰_n = 1 N

N −1 X k=0

y_kω_N^−nk, gdzie ω_N = e^2iπN1.

Sposób 2. Możemy wyznaczyć współczynniki Fouriera c^N_n wielomianu try- gonometrycznego

P (t) =

N 2−1

X n=−^N₂

c^N_n e^2iπnat,

który interpoluje funkcję f w punktach k_N^a, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1. Musimy rozwiązać układ równań liniowych rzędu N:

N 2−1

X n=−^N₂

c^N_nω_N^nk = yk, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Przesuwamy dla wygody ujemne indeksy o N w prawo. Możemy to zrobić, gdyż wyrażenie ω^k_N jest N -okresowe (ze względu na zmienną k). Stąd

−1 X n=−^N₂

c^N_nω_N^nk =

N −1 X p=^N₂

c^N_p−Nω_N^{k(p−N )} =

N −1 X p=^N₂

c^N_p−Nω_N^kp =

N −1 X n=^N₂

c^N_n−Nω_N^kn.

Definiujemy:

Y_n =







c^N_n dla 0 ¬ n ¬ ^N₂ − 1 c^N_n−N dla ^N₂ ¬ n ¬ N − 1 i wówczas układ równań ma postać

N −1 X n=0

Ynω_N^nk = yk, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Niech 0 ¬ p ¬ N − 1. Mnożymy obie strony równań przez ω_N^−kp i doda- jemy równania stronami:

N −1 X k=0

y_kω_N^−kp =

N −1 X k=0

N −1 X n=0

Y_nω_N^k(n−p) =

N −1 X n=0

Y_n

N −1 X k=0

ω_N^k(n−p).

Zauważmy, że

N −1 X k=0

ω_N^k(n−p) =







0, jeśli n 6= p N, jeśli n = p, a więc

N −1 X k=0

y_kω_N^−kp = N Yp

i stąd nieznane Y_n są dane wzorami Y_n = 1

N

N −1 X k=0

y_kω_N^−nk, n = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Wniosek: Całkując metodą trapezów, otrzymujemy N przybliżonych współ- czynników Fouriera c^N_n, równych współczynnikom wielomianu trygonome- trycznego interpolującego funkcję f w punktach tk = k_N^a. Mamy dwie rów- noważne formuły:

yk =

N −1 X n=0

Ynω_N^nk, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1,

Y_n = 1 N

N −1 X k=0

y_kω_N^−nk, n = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Przybliżone współczynniki szeregu Fouriera mają postać c_n ≈ c^N_n =







Y_n, gdy 0 ¬ n < ^N₂ Yn+N, gdy − ^N₂ ¬ n < 0.

Definicja: Dyskretną transformatą Fouriera (DFT) ciągu y₀, y₁, . . . , yN −1

nazywamy ciąg liczbowy Y0, Y1, . . . , YN −1 dany wzorem Y_n = 1

N

N −1 X k=0

y_kω_N^−nk, n = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

Piszemy

Y = (Y₀, Y₁, . . . , Y_{N −1}) = F_N((y₀, y₁, . . . , y_{N −1})).

Wniosek: F_N : C^N → C^N jest odwracalnym odwzorowaniem liniowym.

Odwzorowanie odwrotne dane jest wzorem y_k =

N −1 X n=0

Y_nω_N^nk, k = 0, 1, 2, . . . , N − 1.

F_N⁻¹ zadaje się macierzą

ΩN = (ω_N^nk) =

























1 1 1 . . . 1

1 ω_N ω²_N . . . ω^{N −1}_N 1 ω²_N ω⁴_N . . . ω_N^{2(N −1)}

... ... ... ...

1 ω^{N −1}_N ω_N^{2(N −1)} . . . ω^{(N −1)}_N ²

























.

Macierzą odwzorowania FN jest

Ω⁻¹_N = 1 NΩN.

Uwaga: Pamiętając, że y_k = f (k_N^a) i f jest funkcją o okresie a, wygodnie jest rozważać ciąg (y_k) jako ciąg N -okresowy, określony dla k ∈ Z. Wzór

Y_n = 1 N

M +N −1 X k=M

y_kω^−nk_N

zadaje okresowe rozszerzenie ciągu Y_n niezależnie od wyboru M : Y_{N l+n} = 1

N

M +N −1 X k=M

y_kω_N^{−(N l+n)k} = 1 N

M +N −1 X k=M

y_kω_N^−nk = 1 N

N j+s+N −1 X k=N j+s

y_kω_N^−nk =

= 1 N

N −1 X k=0

y_{N j+s+k}ω−n(N j+s+k)

N = 1

N

N −1 X k=0

y_s+kω_N^−n(s+k) = 1 N

N −1 X k=0

y_kω_N^−nk = Y_n. Wynika stąd, że także współczynniki c^N_n tworzą ciąg okresowy. Należy jed- nak pamiętać, że c^N_n aproksymują c_n tylko dla −^N₂ ¬ n < ^N₂ , bowiem c_n → 0 przy n → ∞.

DFT ciągów rzeczywistych

W przypadku ciągów rzeczywistych przy wyznaczaniu DFT można zre- dukować liczbę wykonywanych operacji o połowę, stosując do dwóch takich ciągów pojedynczą transformatę zespoloną.

Chcemy wyznaczyć DFT dwóch ciągów rzeczywistych (xk) i (yk):

F_N :(x_k) → (X_n), F_N :(y_k) → (Y_n).

Wiemy, że

X_{N −n} = X_n i Y_{N −n} = Yn.

Niech z_k = x_k+ iy_k i niech (Z_n) oznacza transformatę ciągu (z_k):

F_N : (z_k) → (Z_n).

Na mocy liniowości

Z_n = X_n+ iY_n,

przy czym Xn i Yn niekoniecznie muszą być rzeczywiste, i wtedy X_n =1

2(Z_n+ Z_{N −n}), Y_n =1

2(Zn− Z_{N −n}).

Wystarczy wyznaczyć te wartości dla n = 0, 1, . . . ,^N₂ , ponieważ wartości dla n pomiędzy ^N₂ i N − 1 pojawią się jako sprzężenia.

Zależność pomiędzy rzeczywistymi a przybliżonymi współczynni- kami Fouriera

Załóżmy dla ułatwienia, że funkcja okresowa f daje się przedstawić w postaci

f (t) =

∞ X n=−∞

c_ne^2iπnat

i szereg współczynników jest absolutnie zbieżny:

∞ X n=−∞

|c_n| < +∞.

Możemy wówczas zmienić kolejność sumowania i sumować najpierw wyrazy z indeksami mającymi ustaloną resztę modulo N, a potem sumować po tych resztach. Biorąc t = k_N^a, otrzymujemy:

f (k a

N) = y_k =

∞ X m=−∞

c_mω_N^mk =

N −1 X n=0





∞ X q=−∞

c_n+qN



ω_N^nk,

gdzie m = n + qN , n ∈ {0, 1, . . . , N − 1}, q ∈ Z. Otrzymujemy:

c^N_n =

∞ X q=−∞

c_n+qN.

Powyższa równość wyraża przybliżone współczynniki poprzez współczynni- ki właściwe i daje wzór na błąd aproksymacji:

c^N_n − c_n = ^X

q6=0

c_n+qN.

Widzimy więc, że dla ustalonego N im szybciej współczynniki c_n zbiegają do zera przy n → ∞, tym dokładniejsze będzie przybliżenie.

Własności DFT

Fakt: Jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to a) F_N : (y_−k) → (Y_−n),

b) F_N : (y_k) → (Y_n), c) F_N : (y_−k) → (Y_n).

Dowód:

a) Niech F_N((y_−k)) = (Y_n⁰). Wówczas Y_n⁰ = 1

N

N −1 X k=0

y_−kω^−nk_N = 1 N

0 X k=−N +1

ykω_N^nk = Y_−n.

b) Niech FN((yk)) = (Y_n⁰). Wówczas Y_n⁰ = 1

N

N −1 X k=0

y_kω^−nk_N = 1 N

N −1 X k=0

y_kω_N^nk = Y_−n.

c) Niech F_N((y_−k)) = (Y_n⁰). Wówczas Y_n⁰ = 1

N

N −1 X k=0

y_−kω^−nk_N = 1 N

N −1 X k=0

y_−kω_N^nk = 1 N

0 X k=−N +1

ykω_N^nk = Yn.

Wniosek: Jeśli F_N : (yk) → (Yn), to zachodzą własności:

a) (yk) jest parzysty (nieparzysty) ⇐⇒ (Yn) jest parzysty (nieparzysty), b) (yk) jest rzeczywisty ⇐⇒ Y−n = Yn dla każdego n ∈ Z,

c) (yk) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Yn) jest parzystym ciągiem liczb rzeczywistych,

d) (y_k) jest nieparzystym ciągiem liczb rzeczywistych ⇐⇒ (Y_n) jest nie- parzystym ciągiem liczb czysto urojonych.

Fakt: Niech (xk) i (yk) będą dwoma zespolonymi ciągami o okresie N i niech (Xk) i (Yk) oznaczają ich DFT.

a) Transformata splotu cyklicznego, tzn. ciągu zdefiniowanego wzorem z_k =

N −1 X q=0

x_qy_k−q, k ∈ Z, ma postać

F_N : (zk) → (Zn = N XnY_n).

b) Transformata iloczynu ciągów (xk) i (yk) ma postać F_N : (p_k = x_ky_k) → (P_n =

N −1 X q=0

X_qY_n−q).

Dowód:

a) Z definicji Z_n = 1

N

N −1 X k=0

x_qy_k−qω_N^−nk = 1 N

N −1 X q=0

x_qω_N^−nq

N −1 X k−0

y_k−qω_N^−n(k−q) = N X_nY_n.

b) Wyznaczamy odwrotną transformatę ciągu (P_n):

p_k =

N −1 X n=0

N −1 X q=0

X_qY_n−qω_N^nk = x_ky_k.

Fakt: Jeśli F_N : (y_k) → (Y_n), to

N −1 X k=0

|y_k|² = N

N −1 X n=0

|Y_n|².

Dowód:

N

N −1 X n=0

|Y_n|² = NY^TY = Y^TΩ_N^TΩ^T_NY = (Ω_NY )^T(Ω_NY ) = y^Ty =

N −1 X k=0

|y_k|².