Pojemność przewodnika

Pojemność przewodnika

const ϕ =

Powierzchnia przewodnika jest powierzchnią ekwipotencjalną:

Stosunek ładunku Q zgromadzonego na powierzchni przewodnika do potencjału na powierzchni przewodnika nazywamy pojemnością C tego przewodnika:

ϕ C = Q

Np. na powierzchni przewodnika w kształcie kuli o promieniu R:

⇒ C = 4 πε

R +

= ϕ

ϕ πε

R Q 4

1

[ ]

V F C

C = 1 = 1

farad (F)

Potencjał kuli

przewodzącej (względem nieskończoności)

= 0

ϕ

Kondensator

Potencjał kuli przewodzącej (względem nieskończoności).

Można go potraktować, jako potencjał układu ładunków – zgromadzonego na powierzchni przewodnika + ładunek

zgromadzony na powierzchni kuli o nieskończonym promieniu

R C = 4 πε

Układ dwóch blisko siebie położonych przewodników o różnych potencjałach ϕ₁, ϕ₂, na których zgromadzone są jednakowe co do wartości ładunki o przeciwnych znakach: Q i –Q.

Różnica potencjałów (napięcie) pomiędzy tymi dwoma przewodnikami wynosi:

1

2

ϕ

ϕ ϕ = −

∆

=

U

Kondensator płaski

+ +

+ +

+ + _

_ _ _

_

_

_

σ σ

d ϕ₁

ϕ₂

d

+σ

−σ

+ + + _ +

_

_ _ S

Q

Q -Q +Q

E ϕ₁ ϕ₂

d U E = ϕ

d − ϕ

=

Ed U =

ε

= σ

E S

= Q σ

ale: gdzie

S Q d U d

0

0

ε

ε

σ ₌

=

d S U

C ₌ Q ₌ ε

Pole pomiędzy płytkami jest jednorodne:

stąd:

Kondensator cylindryczny

_

+ +

+

+

+

+ +

_ _ _

_ _

l

a

b

E

rl E Q

2 πε

=

∫ ∫

∫ ^{⋅ = =}

−

=

b

a

b

a b

a

r

dr l

Edr Q s

d E U

2 πε

r r

Różnica potencjałów okładek:

Pole między okładkami kondensatora (z prawa Gaussa):

Stąd:

( ) b a l U

C Q

ln 2 πε

=

⇒ = a

b l

U Q ln 2 πε

=

Łączenie kondensatorów - równoległe

-Q₁ +Q₁

-Q₂ +Q₂

C₁ C₂

Jaką pojemność C musi mieć

pojedynczy kondensator, aby była ona równoważna pojemności całego układu?

w warunkach równowagi:

Q

C U

2

1

Q

Q

Q = +

Q

= C

U , Q

= C

U

U Q U

Q U

Q =

+

⇒ C = C

+ C

∑

=

i

C

Ogólnie:

C

Łączenie kondensatorów - szeregowe

2 1

1 1

1

C C

C = +

∑

=

i

C

C

1 1

U₁ U₂

C₁ C₂

+Q -Q +Q -Q

,

1

1

C

U = Q

2

2

C

U = Q

2

1

U

U U = +

Wypadkowa różnica potencjałów:

gdzie U

W kondensatorach połączonych

szeregowo wartość bezwzględna ładunku na każdej płytce jest taka sama.

2

1

C

Q C

Q C

Q = + ^⇒

Ogólnie:

Energia kondensatora

d

+ + + +

+Q E

_

_

_ _ -Q

dQ dF Praca związana z przeniesieniem ładunku dQ

z jednej płytki na drugą wynosi:

d dF dW = ⋅

d dQ U E

dQ

dF = ⋅ = ⋅

gdzie

C dQU QdQ

dW = =

Wykonana praca równa jest energii zgromadzonej w polu elektrycznym

2 2

2 2

0

CU C

dQ Q C W Q

Q

=

=

= ∫

Energia kondensatora

∫ ^⋅

=

V

p

E E dV

E r r

2 ε

Cała przestrzeń

- energia pola elektrostatycznego

d

+ + + +

+Q E

_

_

_ _ -Q

dQ dF

d E = U

∫

∫ ⁼

=

Vw

V

p

E dV E dV

E

2 2

ε ε r

d Sd Sd U

dV E E E

Vw

p 2

0 2 0 2

0 2

2 2 2

ε ε

ε _{= =}

= ∫

2 CU

E

= const

E r = ⇒

2 ) ( 2

2 2

0

CU C

dQ Q C W Q

Q

=

=

= ∫

d S U

C ₌ Q ₌ ε

Siły działające między płytkami kondensatora

QE Q

F 2

1 2

1

0

=

= ε

σ

x

+ +

_

F_z F

Zmiana energii (przy założeniu, że ładunek nie ulega zmianie):

dx F x

d F

dW = r

⋅ r =

F

= − F

Praca wykonana przez siłę zewnętrzną F_z

przy przesunięciu jednej z płyt o odcinek dx: _

+ +

+Q dx

r

r

F

_

C dC dE

Q

2

− 2

= _dx

x dC _{= −} ε

S

0

, x

C ₌ ε S

σ S =

dx Q S dx Q

x S x

S dx Q

F

0 2 02

2 0

2

2 2 ε

ε

ε ⁼

 

 



= 