5.04.2017

Kolokwium nr 6: wtorek 11.04.2017, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–272.

Kolokwium nr 7:

WTOREK 19.04.2017

, godz. 12:15-13:00, materiał zad. 1–324.

Całki niewłaściwe - obliczanie, kryterium porównawcze.

Zadania na pierwsze dwie godziny ćwiczeń w środę 5.04.2017 (grupy 2–4).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane.

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.

Zbadać zbieżność całek niewłaściwych, obliczyć wartość tych, które są zbieżne:

228.

∞

Z

−1

dx

x²+ 1 229.

4

Z

0

√dx

x 230.

∞

Z

1

√dx

x 231.

1

Z

−1

x − 1 x²− 1dx 232.

∞

Z

2

dx

xlnx 233.

∞

Z

0

dx

e^√3x 234.

∞

Z

0

cosxdx 235.

∞

Z

1

x^1/xdx 236.

∞

Z

−∞

e^xdx

237.

Z1

0

e^1/xdx 238.

∞

Z

1

e^−1/x

x³ dx 239.

∞

Z

2

dx

xln²x 240.

∞

Z

0

x³sinx⁴dx

Zbadać zbieżność całek niewłaściwych:

241.

∞

Z

1

dx

x²+ sin²x 242.

Z1

0

√ dx

x + arctgx 243.

∞

Z

2

dx x − sin√

x + 28

244.

∞

Z

0

√ dx

x + x² 245.

∞

Z

0

1 +^qx + |lnx|

x dx 246.

∞

Z

0

x²+ 1 x⁴+ 1dx 247.

∞

Z

0

√ dx

x³+ x 248.

∞

Z

0

arctgx

x²+ arctgxdx 249.

+∞

Z

−∞

dx 1 + x²+ sin²x 250.

∞

Z

1

e^−1/xdx 251.

∞

Z

0

√x + 1 −√

xdx 252.

∞

Z

0

√ 1

x + 1− 1

√xdx

Szeregi liczbowe o wyrazach nieujemnych - badanie zbieżności.

Zadania na ostatnią godzinę ćwiczeń w środę

5.04.2017

oraz na pierwszą godzinę ćwiczeń w środę 12.04.2017 (grupy 2–4).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane.

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.

Rozstrzygnąć zbieżność szeregów:

253.

∞

X

n=1

1

n²+ 1 254.

∞

X

n=2

1

n²− 1 255.

∞

X

n=1

1 + n

n²+ 1 256.

∞

X

n=1

2 · 5 · 8 · ... · (3n − 1) 1 · 5 · 9 · ... · (4n − 3) 257.

∞

X

n=1

5n²− 1

n³+ 6n²+ 8n + 47 258.

∞

X

n=1

1

(2n − 1) · 2²ⁿ⁻¹ 259.

∞

X

n=1

1 3n − 1

260.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ 2n 261.

∞

X

n=1

1

(n + 1)(n + 4) 262.

∞

X

n=1

1

(2n + 1)! 263.

∞

X

n=1

n² 3ⁿ 264.

∞

X

n=1

(2n − 1)!!

3ⁿ· n! 265.

∞

X

n=1

 n 2n + 1

n

266.

∞

X

n=2

1 (n − 1)√

n + 1 267.

∞

X

n=1

sn + 1 n

268.

∞

X

n=1

n²

n! 269.

∞

X

n=1

n

2n − 1 270.

∞

X

n=1

2ⁿ

n⁴ 271.

∞

X

n=1

√ 1

n²+ n − n 272.

∞

X

n=1

_2n

n



n!

273.

∞

X

n=1

1000ⁿ

10√

n! 274.

∞

X

n=1

3ⁿ

2²ⁿ 275.

∞

X

n=1

n³+ π

n^π+ e 276.

∞

X

n=1

1

q(n + 4)(n + 9)

277.

∞

X

n=1

2ⁿ+ 17

3ⁿ 278.

∞

X

n=1

√n! + 1

n! 279.

∞

X

n=1

2ⁿ n√

4ⁿ+ 3ⁿ 280.

∞

X

n=1

1 n + 5√

n + 27

281.

∞

X

n=1

√

n³+ 64 −√

n³+ 1^ 282.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1

19n⁵− 13n²+ 1 283.

∞

X

n=1

9n⁴− 7n³+ 1 19n⁶− 13n²+ 1 284.

∞

X

n=1

_3n

n



6ⁿ 285.

∞

X

n=1

_3n

n



7ⁿ 286.

∞

X

n=1

(n!)¹⁰⁰⁰

2ⁿ² 287.

∞

X

n=1

 n n + 1

n

288.

∞

X

n=1

 n n + 1

n²

Przypomnienie: (2n + 1)!! = ^Qn

i=0

(2i + 1).

Szeregi liczbowe o wyrazach dowolnego znaku – – badanie zbieżności.

Zadania na ostatnie dwie godziny ćwiczeń w środę 12.04.2017 (grupy 2–4).

Nie wszystkie zadania będą szczegółowo rozwiązane.

Należy umieć wskazać zadania, które sprawiły najwięcej problemów.

Rozstrzygnąć, które z następujących szeregów są bezwzględnie zbieżne, które warun- kowo zbieżne, a które rozbieżne:

289.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

2n − 1 290.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹

n²· 3ⁿ 291.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ (2n − 1)³ 292.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n + 1

n 293.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· 2¹⁰ⁿ

3²ⁿ 294.

∞

X

n=1

n + 2

n(n + 1)(−1)ⁿ 295. 1 − 1 + 1 −1

2−1

2+ 1 −1 3−1

3−1

3+ ... + 1 −1 k−1

k− ... −1

k+ ... ( k razy ) 296. 1 − 1 +1

2−1 4−1

4+1 3−1

9−1 9−1

9+ ... +1 k− 1

k²− 1

k²− ... − 1

k²+ ... ( k razy ) 297.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹n³

2ⁿ 298.

∞

X

n=2

(−1)ⁿ n −√

n 299.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹2ⁿ²

n! 300.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ² (n + 3)^1/4 301.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

√n 1 +(−1)ⁿ

√n

!

302.

∞

X

n=1

(−1)ⁿ

n^1/n 303.

∞

X

n=1

√

n + 2 −√

n^(−1)ⁿ

304. Czy możemy stwierdzić, że szereg ^P∞

n=1

a_n jest rozbieżny, jeżeli wiemy, że a) lim

n→∞a_n=3

4 ... b) lim

n→∞a_n=7 4 ...

c) lim

n→∞

a_n+1 a_n =1

4 ... d) lim

n→∞

a_n+1 a_n =5

4 ...

305. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· (3n − 2) · (3n + 1) (2n − 1) · (2n + 1) · (2n + 3). 306. Rozstrzygnąć zbieżność szeregu

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· (3n − 2) · (3n + 1) (2n + 1) · (2n + 3) · (2n + 5). 307. Dowieść, że szereg

∞

X

n=1

(−1)ⁿ· n · (n + 1) (2n + 1) · (2n + 3) · (2n + 5) jest zbieżny, ale nie jest bezwzględnie zbieżny.

W każdym z poniższych 17 zadań w miejscu kropek wpisz liczbę rzeczywistą lub postaw jedną z liter Z, R, N:

Liczba S - podany szereg jest zbieżny i jego suma musi być równa S

Z - jest Zbieżny (tzn. musi być zbieżny), ale na podstawie podanych informacji nie można wyznaczyć jego sumy

R - jest Rozbieżny (tzn. musi być rozbieżny)

N - może być zbieżny lub rozbieżny (tzn. Nie wiadomo, czasem jest zbieżny, a czasem rozbieżny)

Wiadomo, że szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, jego suma jest równa 50, a pierwszy wyraz jest równy 4. Co można wywnioskować o zbieżności poniższego szeregu i o jego sumie 308.

∞

X

n=1

2a_n= ... 309.

∞

X

n=1

(2 + a_n) = ... 310.

∞

X

n=1

a_n

2 = ...

311.

∞

X

n=1

(−2an) = ... 312.

∞

X

n=1

|a_n| = ... 313.

∞

X

n=1

(−1)ⁿa_n= ...

314.

∞

X

n=1

a_n+1= ... 315.

∞

X

n=1

a_n+2= ... 316.

∞

X

n=1

(a_n− a_n+1) = ...

317.

∞

X

n=1

(a_n+ a_n+1) = ... 318.

∞

X

n=1

a²_n− a²_n+1^= ... 319.

∞

X

n=1

3^an= ...

320.

∞

X

n=1

(2^an− 2^an+1) = ... 321.

∞

X

n=1

(3^an− 3^an+1) = ... 322.

∞

X

n=1

qa²_n+ 9 = ...

323.

∞

X

n=1

q

a²_n+ 9 −^qa²_n+1+ 9



= ... 324.

∞

X

n=1

(a_n− a_n+1) · (a_n+ a_n+1)

q

a²_n+ 9 +^qa²_n+1+ 9

= ...

Kryteria zbieżności szeregów - co każdy student wiedzieć po- winien.

1. Warunek konieczny zbieżności.

Jeżeli szereg

∞

X

n=1

a_n jest zbieżny, to lim

n→∞a_n= 0.

Innymi słowy, jeżeli ciąg (a_n) jest rozbieżny lub zbieżny do granicy różnej od zera, to szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny.

2. Zbieżność szeregu nie zależy od pominięcia lub zmiany skończenie wielu początkowych wyrazów.

Oczywiście zmiana lub pominięcie tych wyrazów ma wpływ na sumę szeregu zbieżne- go.

3. Kryterium porównanwcze.

Niech

∞

X

n=1

a_n i

∞

X

n=1

b_n będą szeregami o wyrazach nieujemnych, przy czym dla każdego n ∈N zachodzi nierówność an¬ b_n.

Jeżeli

∞

X

n=1

a_n= ∞, to

∞

X

n=1

b_n= ∞.

Jeżeli

∞

X

n=1

b_n< ∞, to

∞

X

n=1

a_n< ∞.

4. Kilka szeregów._∞

X

n=1

qⁿ jest zbieżny dla |q| < 1, rozbieżny dla pozostałych q.

∞

X

n=1

n^a jest zbieżny dla a < −1, rozbieżny dla pozostałych a.

∞

X

n=2

1

n · log^an jest zbieżny dla a > 1, rozbieżny dla pozostałych a. Logarytm ma dowolną podstawę większą od 1.

5. Kryterium d’Alemberta.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

   

a_n+1 an

   

= g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

   

a_n+1 an

   

= g > 1 , to szereg

∞

P

n=1

an jest rozbieżny.

6. Kryterium Cauchy’ego.

Jeżeli istnieje granica

n→∞lim

qn

|a_n| = g < 1 , to szereg

∞

P

n=1

an jest zbieżny.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

qn

|a_n| = g > 1 , to szereg

∞

P

n=1

a_n jest rozbieżny.

7. Zbieżność bezwzględna.

Jeżeli

∞

X

n=1

|a_n| < ∞, to szereg ^P∞

n=1

a_n jest zbieżny.

8. Szeregi naprzemienne.

Jeżeli (a_n) jest ciągiem nierosnącym zbieżnym do 0, to szereg

∞

P

n=1

a_n(−1)ⁿ⁺¹ jest zbieżny.

9. Kryterium d’Alemberta dla ciągów.

Jeżeli (an) jest ciągiem o wyrazach niezerowych oraz istnieje granica

n→∞lim

   

a_n+1 a_n

  

= g < 1 , to ciąg (a_n) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞)

n→∞lim

   

a_n+1 a_n

  

= g > 1 ,

to ciąg (a_n) jest rozbieżny, a ciąg (|a_n|) jest rozbieżny do +∞.

10. Kryterium Cauchy’ego dla ciągów.

Jeżeli istnieje granica lim

n→∞

qn

|an| = g < 1 , to ciąg (an) jest zbieżny do zera.

Jeżeli istnieje granica (może być niewłaściwa +∞) lim

n→∞

qn

|an| = g > 1 , to ciąg (an) jest rozbieżny, a ciąg (|a_n|) jest rozbieżny do +∞.