Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Wstep,
Trzy podstawowe metody geometrii elementarnej
Zadanie. Udowodnić, że symetralne boków trójkata przecinaj, a si, e w jednym punkcie., Metoda syntetyczna
Niech a, b, c bed, a odpowiednio symetralnymi boków BC, CA, AB trójk, ata ABC., Gdyby prosta a była równoległa do b, to boki CA i AB byłyby równoległe, co w trójkacie jest niemożliwe.,
Zatem istnieje jedyny taki punkt O, który należy do a ∩ b. Skorzystamy z faktu, że symetralna odcinka jest zbiorem wszystkich punktów płaszczyzny równoodległych od końców odcinka.
Z faktu że O ∈ a wynika, że |OB| = |OC|. Podobnie stad że O ∈ b mamy |OC| =,
|OA|. Łacz, ac te równości otrzymujemy |OA| = |OB|, czyli O ∈ c. Zatem punkt O, należy do wszystkich trzech symetralnych boków trójkata.,
Metoda analityczna
Wiadomo, że trójkat ABC o najmniejszym k, acie przy wierzchołku A można tak, umieścić w układzie współrzednych, że A(0, 0), B(r, 0), C(s, t), gdzie r, s, t > 0.,
Symetralna odcinka jest prosta prostopadł, a do odcinka i przechodz, ac, a przez jego, środek. Zatem symetralna a boku BC przechodzi przez punkt K r+s2 ,2t i jest pro- stopadła do wektora−−→
BC = [s − r, t]. Stad,
a : (s − r)x + ty + r2− s2− t2
2 = 0.
Analogicznie symetralna b boku CA przechodzi przez punkt L s2,2ti jest prostopadła do wektora −→
AC = [s, t]. Zatem
b : sx + ty −s2+ t2 2 = 0.
1
Proste a i b nie sa równoległe, bo r 6= 0. Ich jedyny punkt przeci, ecia O ma pierwsz, a, współrzedn, a równ, a, r2. Zatem O należy także do trzeciej symetralnej c, która ma równanie x = r2 (przechodzi przez punkt M r2, 0i jest prostopadła do osi odcietych).,
Metoda wektorowa
Podobnie jak w metodzie syntetycznej uzasadniamy, że punkt O jest jedynym punk- tem przeciecia symetralnej a odcinka BC z symetraln, a b odcinka CA.,
Wykażemy, że jeżeli M jest środkiem bokuAB, to wektor−−→
OM jest prostopadły do wektora −−→
AB, co oznaczać bedzie, że OM jest symetraln, a boku AB.,
Niech K i L bed, a odpowiednio środkami boków BC i CA. Zachodz, a wówczas, równości:
−−→OM =−→
OA +1 2
−−→ AB =−→
OL + 1 2
−→CA +1 2
−−→ AB =−→
OL + 1 2
−−→ CB,
−−→OM =−−→ OB +1
2
−−→ BA =−−→
OK + 1 2
−−→ CB + 1
2
−−→ BA =−−→
OK + 1 2
−→CA.
Stad,
−−→OM ◦−−→
AB =−−→
OM ◦−→
AC +−−→
OM ◦−−→ CB
=
−→
OL + 1 2
−−→ CB
◦−→
AC +
−−→
OK + 1 2
−→CA
◦−−→ CB
=−→
OL ◦−→
AC +−−→
OK ◦−−→ CB + 1
2
−−→ CB ◦−→
AC +−→
CA ◦−−→ CB= 0, bo proste OL i OK sa odpowiednio symetralnymi odcinków CA i BC.,
Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział I
Przestrzeń euklidesowa liniowa
Niech n ∈ N oraz n 2. Niech Rn oznacza zbiór uporzadkowanych n–tek liczb, rzeczywistych
Rn= {(x1, . . . , xn) ; x1, . . . , xn∈ R}.
Elementy zbioru Rn nazywamy wektorami. W zbiorze Rn wprowadzamy naturalne działania + (dodawania wektorów)
x + y = (x1+ y1, . . . , xn+ yn) dla x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) ∈ Rn oraz · (mnożenia wektora przez liczbe),
a · x = (ax1, . . . , axn) dla x = (x1, . . . , xn) ∈ Rn, a ∈ R
Twierdzenie 1. (Rn, R, +, ·) jest rzeczywista przestrzeni, a liniow, a wymiaru n., Definicja 2. Niech u, v ∈ Rn.
Mówimy, że wektor u jest równoległy do wektora v jeżeli układ (u, v) jest liniowo zależny. Piszemy wówczas u k v.
Mówimy, że wektor u ma ten sam zwrot co wektor v (lub jest zgodnie zorientowany z wektorem v) jeżeli istnieje s 0 takie, że s · u = v lub s · v = u. Piszemy wówczas u ↑↑ v.
Uwaga 3. Wektor u jest równoległy do wektora v wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje s ∈ R takie, że s · u = v lub s · v = u.
Twierdzenie 4. Dla dowolnych u, v ∈ Rn sa spełnione nast, epuj, ace warunki:, (1) u k θ oraz u ↑↑ θ.
(2) u k −u.
(3) u k v wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v lub u ↑↑ −v.
(4) u ↑↑ −u wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ.
Ponadto
(5) Relacja równoległości wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest relacja, równoważności w Rn\ {θ}.
(6) Relacja zgodnej orientacji wektorów jest zwrotna i symetryczna w Rn i jest relacja równoważności w R, n\ {θ}.
1
Dowód: 1. i 2. sa oczywiste (wystarczy przyj, ać s = 0 lub s = −1). Punkt 3., wynika bezpośrednio z Uwagi 3.
Dla dowodu 4. przyjmijmy, że u 6= θ (przypadek u = θ jest trywialny) i istnieje s > 0 spełniajace warunek s · u = −u. Wówczas jednak (s + 1) · u = θ, co daje s = −1,, sprzeczność.
Relacje równoległości i zgodnej orientacji sa zwrotne i symetryczne z samej definicji, (oraz na mocy Uwagi 3.). Wykażemy przechodniość relacji równoległości w Rn\ {θ}.
Jeżeli u, v, w ∈ Rn\ {θ} sa takie, że u k v i v k w, to istniej, a liczby s, t 6= 0 spełniaj, ace, warunki v = s · u i w = t · v. Stad w = ts · u, czyli u k w.,
Dowód przechodniości relacji zgodnej orientacji jest analogiczny.
Definicja 5. Standardowym iloczynem skalarnym (lub krótko iloczynem skalarnym) nazywamy funkcje h., .i : R, n× Rn→ R dana wzorem,
hu, vi =
n
X
i=1
uivi dla u = (u1, . . . , un), v = (v1, . . . , vn) ∈ Rn.
Twierdzenie 6. (Rn, h., .i) jest liniowa przestrzeni, a euklidesow, a, to znaczy dla u, v, w ∈, Rn oraz a, b ∈ R sa spełnione warunki:,
(1) hu, vi = hv, ui.
(2) ha · u + b · v, wi = ahu, wi + bhv, wi.
(3) Jeżeli u 6= θ, to hu, ui > 0.
Definicja 7. Norma (długości, a) wektora u = (u, 1, . . . , un) ∈ Rn nazywamy liczbe,
|u| =qhu, ui =
n
X
i=1
u2i.
Twierdzenie 8. (Rn, |.|) jest przestrzenia unormowan, a, to znaczy dla u, v ∈ R, noraz a ∈ R zachodza warunki:,
(1) |u| 0.
(2) |u| = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy u = θ.
(3) |a · u| = |a| |u|.
(4) |u + v| ¬ |u| + |v|.
Twierdzenie 9. (nierówność Schwarza) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn zachodza, nastepuj, ace warunki:,
(1) |hu, vi| ¬ |u| |v|.
(2) |hu, vi| = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u k v.
(3) hu, vi = |u| |v| wtedy i tylko wtedy, gdy u ↑↑ v.
Dowód: Zauważmy, że jeżeli chociaż jeden z wektorów jest zerowy, to nierówność 1. i równości z punktów 2.,3. sa spełnione, zatem na mocy twierdzenia 4.1 równoważ-, ności sa prawdziwe.,
Załóżmy teraz, że u, v 6= θ.
(1) Dla dowolnego λ ∈ R (na podstawie własności iloczynu skalarnego – Twier- dzenie 6.) otrzymujemy
0 ¬ hu + λ · v, u + λ · vi = |v|2λ2+ 2λhu, vi + |u|2
Ostatnie wyrażenie jest trójmianem kwadratowym zmiennej λ o dodatnim współczynniku przy λ2 (v 6= θ), wiec jego wyróżnik jest niedodatni:,
0 4hu, vi − 4|u|2|v|2, co jest już równoważne tezie.
(2) ⇐) Na mocy uwagi 3. możemy założyć, że istnieje s 6= 0 takie, że v = s · u.
Wówczas z twierdzeń 6 i 8 otrzymujemy
|hu, vi| = |shu, ui| = |s| |u|2= |u| |s · u| = |u| |v|.
⇒) Jeżeli |hu, vi| = |u| |v|, to 4hu, vi − 4|u|2|v|2 = 0. Tym samym trójmian kwadratowy
hv − λ · u, v − λ · ui = |u|2λ2− 2hu, viλ + |v|2
ma pierwiastek (podwójny) λ0 6= 0 (bo u 6= θ). Stad hv − λ, 0· u, v − λ0· ui = 0 i co za tym idzie v = λ0· u.
(3) ⇐) Dowodzimy analogicznie jak w punkcie 2 korzystajac z tego, że dla s > 0, zachodzi równość |s| = s.
⇒) Analogicznie jak w punkcie 2. otrzymujemy, że istnieje takie λ0 6= 0, że v = λ0· u. Korzystamy z założenia i dostajemy
λ0|u|2 = hu, vi = |u| |v| = |λ0| |u|2, skad λ, 0> 0.
Twierdzenie 10. (równość równoległoboku) Dla dowolnych u, v ∈ Rn zachodzi rów- ność
|u + v|2+ |u − v|2= 2|u|2+ 2|v|2. Dowód: Bezpośredni rachunek.
Twierdzenie 11. (zwiazek iloczynu skalarnego z norm, a) Dla dowolnych u, v ∈ R, n zachodzi równość
hu, vi = 1 4
|u + v|2− |u − v|2. Dowód: Bezpośredni rachunek.
Twierdzenie 12. (zwiazek równoległości i zgodnej orientacji z norm, a Dla dowolnych, wektorów u, v ∈ Rn spełnione sa nast, epuj, ace warunki:,
(1) u k v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v| lub |u + v| = | |u| − |v| |.
(2) u ↑↑ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v| = |u| + |v|.
(3) u 6k v wtedy itylko wtedy, gdy | |u| − |v| | < |u + v| < |u| + |v|.
Dowód: Zauważmy, że jeźeli którykolwiek z wektorów jest zerowy, to stwierdzenia 1,2,3 sa oczywiste. Załóżmy wi, ec, że u, v 6= θ.,
(1) ⇐) Jeżeli zachodzi prawa strona równoważności, to |u + v|2 = (|u| ± |v|)2. Stad |u| |v| = |hu, vi| i na mocy twierdzenia 9.2 wektory u i v s, a równoległe.,
⇒) Załóżmy, że u k v i niech s 6= 0 bedzie takie, że v = s · u. Wówczas,
|u + v| = |1 + s| |u|.
Dla s > 0 mamy zatem
|u + v| = (1 + s)|u| = |u| + |s| |u| = |u| + |v|.
Jeżeli s ∈ [−1, 0), to
|u + v| = (1 + s)|u| = |u| − |s| |u| = |u| − |v|, a dla s < −1 otrzymujemy
|u + v| = −(1 + s)|u| = −|u| + |s| |u| = |v| − |u|.
(2) Dowód przebiega tak samo jak w 1.
(3) Z twierdzenia 8.4 wynika, że zawsze
| |u| − |v| | ¬ |u + v| ¬ |u| + |v|,
ale na mocy 1. zachodzenie którejkolwiek z równości jest równoważne równo- ległości wektorów u i v.
Definicja 13. Katem (nieskierowanym) pomi, edzy wektorami u, v ∈ R, n\ {0} nazy- wamy liczbe,
/(u, v) = arc cos hu, vi
|u| |v|.
Wektory u i v sa prostopadłe jeżeli hu, vi = 0. Piszemy wtedy u ⊥ v.,
Uwaga 14. Z twierdzenia 9.1 wynika, że kat mi, edzy wektorami niezerowymi jest do-, brze określony.
Wektory niezerowe sa prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy /(u, v) =, π2. Ponadto z twierdzenia 9 wynika, że wektory sa zgodnie zorientowane jeżeli tworz, a k, at 0, a, równoległe — gdy tworza k, at 0 lub π.,
Twierdzenie 15. (cosinusów) Dla dowolnych wektorów u, v ∈ Rn \ {θ} zachodzi równość
|u + v|2= |u|2+ |v|2+ 2|u| |v| cos /(u, v).
Dowód: Wynika bezpośrednio z definicji kata i własności iloczynu skalarnego., Wniosek 16. (twierdzenie Pitagorasa) Dla dowolnych u, v ∈ Rn spełniony jest wa- runek
u ⊥ v wtedy i tylko wtedy, gdy |u + v|2= |u|2+ |v|2.
Definicja 17. Niech dane bed, a wektory v, 1, . . . , vk ∈ Rn. Macierz G(v1, . . . , vk) = [ hvi, vji ]1¬i,j¬k
nazywamy macierza Grama, a jej wyznacznik det G(v, 1, . . . , vk) — wyznacznikiem Grama.
Przykład 18. det G(v1) = |v1|2
det G(v1, v2) = |v1|2|v2|2− hv1, v2i2
Twierdzenie 19. Dla dowolnych (v1, . . . , vk) ∈ Rnspełnione sa nast, epuj, ace warunki:, (1) det G(v1, . . . , vk) 0.
(2) det G(v1, . . . , vk) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy (v1, . . . , vk) jest układem liniowo zależnym.
Dowód: Niech v1, . . . , vk ∈ Rn. Niech (u1, . . . , up) bedzie baz, a ortonormaln, a pod-, przestrzeni liniowej lin(v1, . . . , vk) przestrzeni Rn. Położmy
wi = (hvi, u1i, . . . , hvi, upi) ∈ Rp dla i = 1, . . . k.
Zauważmy, że hwi, wji = hvi, vji dla i, j = 1, . . . , k (iloczyny skalarne odpowiednio w Rp i Rn). Istotnie,
hwi, wji =
p
X
l=1
hvi, ulihvj, uli =
p
X
l=1 p
X
m=1
hvi, ulihvj, umihul, umi
=
* p X
l=1
hvi, uliul,
p
X
m=1
hvj, umium +
= hvi, vji.
Ponadto w przestrzeni Rp
G(w1, . . . , wk) = [ hwi, wji ] =
w1
... wk
h
w1T . . . wkT i=
w1
... wk
w1
... wk
T
,
skad,
det G(w1, . . . , wk) =
det
w1
... wk
2
. Ostatecznie otrzymujemy
det G(v1, . . . , vk) = det [ hvi, vji ]1¬i,j¬k = det [ hwi, wji ]1¬i,j¬k
= det G(w1, . . . , wk) =
det
w1
... wk
2
Z ostatniej równości natychmiast otrzymujemy 1. Ponadto det G(v1, . . . , vk) = 0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (w1, . . . , wk) jest liniowo zależny, a to z kolei jest rów- noważne faktowi, że p = dim lin(v1, . . . , vk) < k czyli zależności układu (v1, . . . , vk).
Wniosek 20. Jeżeli v1, . . . , vn∈ Rn, to
det G(v1, . . . , vn) =
det
v1
... vn
2
.
Nastepuj, ace właności wynikaj, a bezpośrednio z definicji wyznacznika Grama, Twierdzenie 21. Dla dowolnych v1, . . . , vk∈ Rn
(1) det G(v1, . . . , vk) ¬Qki=1|vi|2.
(2) Jeżeli v1, . . . , vk6= θ, to det G(v1, . . . , vk) =Qki=1|vi|2 wtedy i tylko wtedy, gdy układ (v1, . . . , vk) jest ortogonalny.
(3) Dla dowolnej permutacji σ zbioru {1, . . . , k}
det G(v1, . . . , vk) = det G(vσ(1), . . . , vσ(k)).
(4) det G(−v1, . . . , vk) = det G(v1, . . . , vk).
(5) Jeżeli a2, . . . , ak∈ R, to det G
v1+
k
X
j=2
ajvj, v2, . . . , vk
= det G(v1, . . . , vk) .
Definicja 22. Niech v1, . . . , vn−1 ∈ Rn i niech A bedzie macierz, a, której kolejne, wiersze sa współrz, ednymi wektorów v, 1, . . . , vn−1. Niech ponadto Aj oznacza macierz powstała z macierzy A przez skreślenie w niej j–tej kolumny. Wektor,
v1× . . . × vn−1=(−1)1+ndet A1, . . . , (−1)n+ndet An nazywamy iloczynem wektorowym wektorów v1, . . . vn−1.
Przykład 23. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy wektorów u = (u1, u2, u3) i v = (v1, v2, v3) jest równy
u × v =
u2 u3 v2 v3
, −
u1 u3 v1 v3
,
u1 u2 v1 v2
.
Twierdzenie 24. (własności iloczynu wektorowego) Niech v1, . . . , vn−1 ∈ Rn oraz v = v1× . . . × vn−1. Wówczas
(1) v ⊥ lin(v1, . . . , vn−1).
(2) |v| =pdet G(v1, . . . , vn−1).
(3) Jeżeli układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo zależny, to v = θ.
(4) Jeżeli układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo niezależny, to układ (v1, . . . , vn−1, v) jest dodatnio zorientowana baz, a przestrzeni R, n (to znaczy wyznacznik tego układu wektorów jest dodatni).
Ponadto jeżeli pewien wektor v ∈ Rn spełnia warunki 1–4, to v = v1× . . . × vn−1. Dowód: Załóżmy, że v1, . . . , vn−1∈ Rn oraz v = v1× . . . × vn−1.
(1) Dla i = 1, . . . , n − 1 z definicji iloczynu wektorowego otrzymujemy
hvi, vi =
n
X
j=1
(−1)n+jvijdet Aj = det
v1
... vn−1
vi
= 0, (1)
ponieważ ostatni wyznacznik ma dwa takie same wiersze vi. (2) Podobnie jak w punkcie 1. otrzymujemy
|v|2 = hv, vi = det
v1
... vn−1
v
. (2)
Zależność (1) pozwala przedstawić poszerzona o v macierz Grama w postaci,
G(v1, . . . , vn−1, v) =
G(v1, . . . , vn−1) 0
... 0 0 . . . 0 |v|2
,
skad na podstawie wniosku 20 i (2) dostajemy,
|v|4 =
det
v1
... vn−1
v
2
= det G(v1, . . . , vn−1, v) = |v|2det G(v1, . . . , vn−1).
(3)
To zaś przy v 6= θ daje |v| =pdet G(v1, . . . , vn−1).
(3) Wynika natychmiast z (3) i twierdzenia 19.2.
Gdy v = θ, to rzad macierzy A jest mniejszy od n − 1 i układ (v, 1, . . . , vn−1) jest liniowo zależny. Wówczas na mocy twierdzenia 19.2 jego wyznacznik Grama jest zerowy, co dowodzi 2. także w tym przypadku.
(4) Jeżeli układ (v1, . . . , vn−1) jest liniowo niezależny, to z (3) otrzymujemy, że v 6= θ, skad w oparciu o (2),
det
v1
... vn−1
v
> 0.
Załóżmy teraz, że wektor v spełnia warunki 1.–4. Gdyby v = θ, to z 2. wyznacznik Grama układu (v1, . . . , vn−1) jest równy 0, układ ten jest liniowo zależny i z 3. v1× . . . × vn−1= θ = v.
Jeżeli v 6= θ, to z 1. i 4. wynika, że v jest generatorem (jednowymiarowej) podprze- strzeni (lin(v1, . . . , vn−1))⊥. Do wyznaczenia jego długości służy warunek 2, a zwrotu
— ponownie 4.
Wniosek 25. Jeżeli u, v ∈ R3\ {θ}, to
|u × v| = |u| |v| sin /(u, v).
Dowód: Z twierdzenia 24.2 oraz definicji kata pomi, edzy wektorami otrzymujemy,
|u × v|2= det G(u, v) = |u|2|v|2− hu, vi2
=|u|2|v|2− |u|2|v|2 cos2/(u, v) = |u|2|v|2 sin2/(u, v), co daje teze, ponieważ /(u, v) ∈ [0, π],
Uwaga 26. Zwrot wektora u×v można wyznaczyć za pomoca tzw. reguły śruby prawo-, skretnej. Podczas kr, ecenia zwini, et, a praw, a dłoni, a z wysuni, etym kciukiem od wektora, u do wektora v kierunek ruchu kciuka wskazuje zwrot wektora u × v.
Definicja 27. Niech u, v, w ∈ R3. Liczbe,
(u; v; w) = hu × v, wi nazywamy iloczynem mieszanym wektorów u, v, w.
Twierdzenie 28. W przestrzeni R3 iloczyn wektorowy jest dwuliniowym operato- rem alternujacym, a iloczyn mieszany trójliniowym operatorem alternuj, acym. Innymi, słowy, dla u, v, w, z ∈ R3 oraz a, b ∈ R spełnione sa warunki:,
(1) (a · u + b · v) × w = a · (u × w) + b · (v × w).
(2) v × u = −u × v.
(3) (a · u + b · v; w; z) = a(u; w; z) + b(v; w; z).
(4) (u; v; w) = −(v; u; w) = −(w; v; u) = −(u; w; v).
Ponadto
(5) (u × v) × w = hu, wiv − hv, wiu.
Dowód: Warunki 1. i 2. wynikaja bezpośrednio z własności wyznacznika. Dla, dowodu 3. i 4. wystarczy zauważyć, że
(u; v; w) = w1
u2 u3 v2 v3
− w2
u1 u3 v1 v3
+ w3
u1 u2 v1 v2
= det
u v w
i ponownie skorzystać z własności wyznacznika.
Warunku 5. dowodzimy bezpośrednio
(u × v) × w =(u2v3− u3v2, −u1v3+ u3v1, u1v2− u2v1) × (w1, w2, w3)
=((−u1v3+ u3v1)w3− (u1v2− u2v1)w2,
− (u2v3− u3v2)w3+ (u1v2− u2v1)w1, (u2v3− u3v2)w1− (−u1v3+ u3v1)w2)
=((u2w2+ u3w3)v1− (v2w2+ v3w3)u1, (u1w1+ u3w3)v2− (v1w1+ v3w3)u2, (u1w1+ u2w2)v3− (v1w1+ v2w2)u3)
=hu, wiv − hv, wiu
Maciej Czarnecki
Geometria szkolna
skrypt dla studentów matematyki
Rozdział II
Przestrzenie afiniczne
Definicja 1. Niech V bedzie rzeczywist, a przestrzeni, a liniow, a. Przestrzeni, a afiniczn, a, o przestrzeni wektorów swobodnych V nazywamy układ (E, V, −→ ), gdzie E jest zbio- rem niepustym, a −→ : E × E → V jest funkcja tak, a, że,
(1) Dla dowolnych p ∈ E i v ∈ V istnieje dokładnie jeden q ∈ E taki, że −→pq = v.
(2) Dla dowolnych p, q, r ∈ E zachodzi zwiazek −, →pq + −→qr = −→pr.
Elementy zbioru E nazywamy punktami, a elementy zbioru V wektorami (swobod- nymi).
Przykład 2. Niech dla p = (p1, . . . , pn) oraz q = (q1, . . . qn)
−
→pq = (q1− p1, . . . , qn− pn).
Wówczas trójka (Rn, Rn, −→) jest przestrzenia afiniczn, a. B, edziemy oznaczać j, a przez, En.
W dalszym ciagu, o ile nie zaznaczymy inaczej, b, edziemy rozważać przestrzeń afi-, niczna (E, V, −, →), przy czym przestrzeń V jest skończonego wymiaru.
Definicja 3. Suma punktu p ∈ E i wektora v ∈ V nazywamy jedyny taki punkt, q ∈ E, że −→pq = v. Piszemy wóczas q = p + v.
Jeżeli U ⊂ V , to p + U jest zbiorem wszystkich sum postaci p + u, gdzie u ∈ U . Twierdzenie 4. Dla dowolnych p, q ∈ E oraz u, v ∈ V spełnione sa nast, epuj, ace, warunki:
(1) −−−−−−−−→
p + u, p + v = v − u.
(2) Jeżeli p + v = q + v, to p = q.
(3) Jeżeli p + u = p + v, to u = v.
(4) (p + u) + v = p + (u + v).
Dowód: Zauważmy, że −→pq = θ wtedy i tylko wtedy, gdy p = q oraz że −→qp = −−→pq.
(1) Niech p + u = q i p + v = r. Wówczas −→pq = u i −→pr = v. Stad,
−−−−−−−−→
p + u, p + v = −→qr = −→qp + −→pr = v − u.
1
(2) Jeżeli r = p + v = q + v, to v = −→pr = −→qr. Stad −, →pq = −→pr − −→qr = θ.
(3) Wynika z 1.
(4) Niech p + u = q i q + v = r. Wówczas −→pr = −→pq + −→qr = u + v.
Definicja 5. Środkiem cieżkości układu punktów (p, 0, . . . , pm) z przestrzeni E o wa- gach odpowiednio a0, . . . , am∈ R takich, że a0+ . . . am = 1, nazywamy punkt p ∈ E, który dla dowolnego q ∈ E spełnia warunek
−
→qp = a0· −→qp0+ . . . am· −−→qpm. Piszemy wówczas
p = a0p0+ . . . + ampm =
m
X
i=0
aipi.
Zbiór wszystkich środków cieżkości układu (p, 0, . . . , pm) oznaczamy przez af(p0, . . . , pm).
Przykład 6. Jedynym środkiem cieżzkości układu jednopunktowego (p, 0) jest punkt p0.
Środkiem odcinka p0p1 nazywamy punkt 12p0+ 12p1. Środkiem cieżzkości trójk, ata, p0p1p2(odpowiednio czworościanu p0p1p2p3) jest punkt 13p0+13p1+13p2(odpowiednio
1
4p0+14p1+14p2+ 14p3).
Uwaga 7. Łatwo zauważyć, że punkt p środkiem cieżkości układu punktów (p, 0, . . . , pm) z przestrzeni E o wagach odpowiednio a0, . . . , am ∈ R takich, że a0+. . . am = 1, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje punkt q ∈ E taki, że
−
→qp = a0· −→qp0+ . . . am· −−→qpm.
Definicja 8. Podprzestrzenia afiniczn, a przestrzeni afinicznej E nazywamy niepusty, podzbiór H ⊂ E, który wraz z dowolnym skończonym układem punktów zawiera jego wszystkie środki cieżkości.,
Twierdzenie 9. Podzbiór niepusty H ⊂ E stanowi podprzestrzeń afiniczna prze-, strzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy każdy środek cieżkości dowolnego układu, dwupunktowego z H należy do H.
Dowód: ⇒) oczywiste.
⇐) Indukcja ze wzgledu na ilość elementów układu., Jeżeli p0, p1 ∈ H, to z założenia af(p0, p1) ⊂ H.
Załóżmy teraz, że każdy środek cieżkości dowolnego układu m-elementowego (m , 2) z H należy do H.
Niech p0, . . . , pm ∈ H oraz a0, . . . , am ∈ R i a0 + . . . + am = 1. Istnieje takie j ∈ {0, . . . , m}, że aj 6= 1 (w przeciwnym wypadku suma wag wynosiłaby m 6= 1), a co za tym idzie
a =
m
X
i=0,i6=j
ai6= 0.
Rozważmy punkt
p =
m
X
i=0,i6=j
ai api.
Jest on środkiem cieżkości (, Pmi=0,i6=j aai = 1) układu m punktów z H, czyli p ∈ H. Z drugiej strony
m
X
i=0
aipi = a
m
X
i=0,i6=j
ai
api+ ajpj = ap + (1 − a)pj ∈ H.
Niech odtad, dla podzbioru niepustego H ⊂ E, S(H) b, edzie zbiorem wszystkich, wektorów −→pq takich, że p, q ∈ H.
Twierdzenie 10. Niech ∅ 6= H ⊂ E. Wówczas H jest podprzestrzenia afiniczn, a, przestrzeni afinicznej E wtedy i tylko wtedy, gdy S(H) jest podprzestrzenia liniow, a, przestrzeni liniowej V .
Dowód: ⇐) Załóżmy, że S(H) jest podprzestrzenia liniow, a V i weźmy dowolne, p0, p1 ∈ H oraz a0 ∈ R. Wówczas −−→p0p1 ∈ S(H). Kładac q = a, 0p0 + (1 − a0)p1 otrzymujemy
−→p1q = a0· −−→p1p0+ (1 − a0) · −−→p1p1 = (−a0) · −−→p0p1 ∈ S(H)
(bo S(H) jest podprzestrzenia liniow, a), czyli q ∈ H. Na mocy twierdzenia 9, H jest, podprzestrzenia afiniczn, a.,
⇒) Zalóżmy, że H jest podprzestrzenia afiniczn, a E i weźmy dowolne u, v ∈ S(H), oraz a ∈ R. Wówczas istnieja takie punkty p, 1, p2, q1, q2∈ H, że u = −−→p1q1, v = −−→p2q2.
Zauważmy, że a · u = −→p1q, gdzie q = ap1+ (1 − a)q1 ∈ H. Stad au ∈ S(H).,
Kładac r = 1 · q, 1+ 1 · q2+ (−1) · p2 ∈ H otrzymujemy na podstawie twierdzenia 4.1, że
S(H) 3 −→p1r = −−→p1q1+ −−→p1q2− −−→p1p2 = −−→p1q1+ −−→p2q2= u + v.
Zatem S(H) jest podprzestrzenia liniow, a.,
Definicja 11. Jeżeli H jest podprzestrzenia afiniczn, a przestrzeni afinicznej E, to, przedstawienie H w postaci H = p + S(H) nazywamy jej przedstawieniem liniowym, a sama podprzestrzeń S(H) — przestrzeni, a nośn, a podprzestrzeni H.,
Definicja 12. Wymiarem podprzestrzeni afinicznej nazywamy wymiar jej przestrzeni nośnej.
Punkt jest podprzestrzenia afiniczn, a wymiaru 0. Podprzestrzeń afiniczn, a wymiaru, 1 nazywamy prosta a wymiaru 2 — płaszczyzn, a.,
Jeżeli przestrzeń afiniczna E jest wymiaru n (tzn. dim V = n), to jej podprzestrzeń afiniczna wymiaru k nazywamy k–wymiarow, a hiperpłaszczyzn, a, a gdy k = n − 1 —, po prostu hiperpłaszczyzna.,
Uwaga 13. Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera–Cappellego k–wymiarowa hiperpłasz- czyzna przestrzeni Enjest zbiorem wszystkich rozwiazań układu równań liniowych o n, niewiadomych, o ile rzad macierzy układu wynosi k. W szczególności hiperpłaszczyzn, e, H (kowymiaru 1) przestrzeni En można opisać nastepuj, aco,
H = {(x1, . . . , xn) ∈ En ; a1x1+ . . . + anxn= b} , gdzie a1, . . . , an, b ∈ R oraz a21+ . . . + a2n> 0.
Twierdzenie 14. Jeżeli H1, . . . , Hm sa podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni, afinicznej E oraz H1∩ . . . ∩ Hm6= ∅, to H1∩ . . . ∩ Hm jest podprzestrzenia afiniczn, a, przestrzeni afinicznej E i
S(H1∩ . . . ∩ Hm) = S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm).
Dowód: Niech p ∈ H1∩ . . . ∩ Hm. Wystarczy pokazać, że H1∩ . . . ∩ Hm = p + S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm),
bo cześć wspólna podprzestrzeni liniowych jest podprzestrzeni, a liniow, a.,
Jeżeli q ∈ H1 ∩ . . . ∩ Hm, to dla każdego i = 1, . . . , m spełniony jest warunek
−
→pq ∈ S(Hi). Na odwrót, jeżeli q ∈ p + S(H1) ∩ . . . ∩ S(Hm), to q ∈ p + S(Hi) = Hi dla i = 1, . . . , m.
Definicja 15. Niech H1, H2 bed, a podprzestrzeniami afinicznymi przestrzeni afinicz-, nej E. Mówimy, że H1 jest równoległa do H2 i piszemy H1 k H2, gdy S(H1) ⊂ S(H2) lub S(H2) ⊂ S(H1).
Twierdzenie 16. Relacja równoległości podprzestrzeni afinicznych jest (1) zwrotna i symetryczna.
(2) relacja równoległości w zbiorze podprzestrzeni afinicznych tego samego wy-, miaru.
Dowód: Cześć 1 jest oczywista, a 2 wynika z faktu, że jeżeli przestrzeń liniowa, k–wymiarowa W1jest zawarta w przestrzeni liniowej k–wymiarowej W2, to W1= W2.
Twierdzenie 17. (V postulat Euklidesa) Niech H bedzie k –wymiarow, a podprze-, strzenia afiniczn, a przestrzeni afinicznej E. Dla każdego punktu p ∈ E istnieje dokład-, nie jedna k–wymiarowa podprzestrzeń afiniczna H0 zawierajaca punkt p i równoległa, do H.
Dowód: Wystarczy przyjać H, 0= p + S(H).
Zalóżmy teraz, że H1 jest k-wymiarowa podprzestrzeni, a afiniczn, a przechodz, ac, a, przez punkt p i równoległa do H. Wówczas ze wzgl, edu na równość wymiarów pod-, przestrzeni S(H1) = S(H) = S(H0), skad H, 1 = p + S(H1) = p + S(H) = H0.
Uwaga 18. Możliwość udowodnienia V postulatu Euklidesa wynika z oparcia geometrii afinicznej na przestrzeni liniowej Rn.
Istnieja modele geometrii, w której wszystkie postulaty Euklidesa poza pi, atym s, a, spełnione, a istnieje nieskończenie wiele różnych prostych przechodzacych przez dany, punkt i równoległych do danej prostej.
Taka geometri, a jest geometria Bolyai–Łobaczewskiego lub inaczej geometria hiper-, boliczna. W wymiarze 2 cała przestrzeni, a (czyli płaszczyzn, a) jest otwarte koło jed-, nostkowe, a prostymi — średnice tego koła i łuki okregów prostopadłych do brzegu, tego koła.
Twierdzenie 19. (wzajemne położenie prostych i płaszczyzn)
(1) Dwie proste na płaszczyźnie sa równoległe lub maj, a dokładnie jeden punkt, wspólny.
(2) Dwie proste w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maj, a dokładnie, jeden punkt wspólny lub sa skośne, tzn. s, a nierównoległe i rozłaczne.,
(3) Dwie płaszczyzny w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub ich cz, eści, a, wspólna jest prosta.,
(4) Prosta i płaszczyzna w przestrzeni trójwymiarowej sa równoległe lub maj, a do-, kładnie jeden punkt wspólny.
Dowód: Z twierdzenia 14 wynika, że cześci, a wspóln, a hiperpłaszczyzn H, 1 i H2 jest hiperpłaszczyzna wymiaru nie przekraczajacego min(dim H, 1, dim H2).
(1) Jeżeli rozważanymi prostymi sa L, i = pi+ lin(vi), i = 1, 2, to możliwe sa trzy, przypadki:
– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 ∈ L2 — proste pokrywajace si, e, (czyli w szczególności równoległe),
– układ (v1, v2) jest liniowo zależny i p1 ∈ L/ 2 — proste równoległe i rozłaczne,,
– układ (v1, v2) jest liniowo niezależny i co za tym idzie stanowi baze prze-, strzeni nośnej płaszczyzny. Zatem istnieja takie liczby r, s, że −−→, p1p2 = rv1− sv2. Wówczas punkt q = p1+ rv1 = p2+ sv2należy do obu prostych i jest ich jedynym punktem wspólnym, bo L1∩ L2 jest hiperpłaszczyzna, wymiaru ¬ 1, a proste te nie pokrywaja si, e.,
(2) Wprowadzajac oznaczenia jak w punkcie 1 otrzymujemy identyczne wnioski, w pierwszych dwóch przypadkach, a w przypadku trzecim układ (v1, v2) nie generuje przestrzeni nośnej przestrzeni trójwymiarowej, wiec proste L, 1 i L2 moga si, e przecinać (oczywiście w dokładnie jednym punkcie) lub być rozł, aczne, (wtedy nazywamy je skośnymi).
(3) Rozważmy płaszczyzny Pi = pi + lin(ui, vi), i = 1, 2. Możliwe sa trzy przy-, padki:
– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 ∈ P2 — płaszczyzny pokrywaja si, e.,
– lin(u1, v1) = lin(u2, v2) i p1 ∈ P/ 2— płaszczyzny sa równoległe i rozł, aczne., – lin(u1, v1) 6= lin(u2, v2). Wówczas układ (u1, v1, u2, v2) generuje prze- strzeń nośna przestrzeni trójwymiarowej, a układ (u, 1, v1, u2) stanowi jej baze (analogiczne rozumowanie można przeprowadzić, gdy baz, a jest, układ (u1, v1, v2)).
(4) Niech płaszczyzna P i prosta L będą dane następująco: P = p + lin(u, v), L = q + lin(w). Możliwe sa trzy przypadki:,
– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q ∈ P ; wtedy L ⊂ P .
– układ (u, v, w) jest liniowo zależny i q /∈ P ; wtedy L k P i L ∩ P = ∅.
– układ (u, v, w) jest liniowo niezależny, czyli stanowi bazę przestrzeni trój- wymiarowej. Zatem istnieją r, s, t ∈ R takie, że −→pq = s · u + t · v − r · w.
Ale wówczas punkt q + r · w = p + s · u + t · v ∈ L ∩ P , a z uwagi na S(L) ∩ S(P ) = {θ} taki punkt jest tylko jeden.
Definicja 20. Układ punktów (p0, . . . , pm) przestrzeni aficznej E jest w położeniu szczególnym, jeżeli dla pewnego j = 0, . . . , m punkt pj jest środkiem cieżkości układu, pozostałych punktów (tzn. (pi)i=mi=0,i6=j).
W przeciwnym wypadku układ jest w położeniu ogólnym.
Punkty układu nazywamy współliniowymi (odpowiednio współpłaszczyznowymi), jeżeli dowolny podukład trzypunktowy (odpowiednio czteropunktowy) tego układu jest w położeniu szczególnym.
