ZESTAW 22:
A. Znaleźć funkcje tworzace Dirichleta dla ciągów:
i. 𝑔𝑛 = 𝑛(𝑛 + 1), ii. 𝑔𝑛 = (ln 𝑛)2/𝑛,
iii. 𝑔𝑛 = [n jest bezkwadratowe],
gdzie bezkwadratowość została zdefiniowa w ćwiczeniu 4.13.
B. Udowodnić wzór (7.47):
∑
0≤𝑛
{ 𝑛 𝑘
}
𝑧𝑛= 𝑧𝑘
(1 − 𝑧)(1 − 2𝑧) . . . (1 − 𝑘𝑧). Wskazówka: Dla odpowiednio małego 𝑧 mamy: 1−𝑗𝑧1 = ∑
0≤𝑚(𝑗𝑧)𝑚. Zatem prawa strona (7.47) jest równa:
𝑧𝑘(1 + 𝑧 + 𝑧2+ 𝑧3+ . . .)(1 + 2𝑧 + 4𝑧2+ 8𝑧3+ . . .) . . . (1 + 𝑘𝑧 + 𝑘2𝑧2 + 𝑘3𝑧3+ . . .).
Posługując się techniką kombinatoryczną pokazać, że współczynnik przy 𝑧𝑛w powyższym wyrażeniu jest równy{ 𝑛
𝑘 }
.
zadania: 22, 23, 31, 37, 39 z rozdziału 7.
