Granice ciągów – zadania
Zadanie 1
Obliczyć granicę ciągu
( )
a , gdy:n(a) 1
1 2
2 2
+
= − n an n
(b) 1
4
2 3
+
= − n
n an n
(c) 3 5 1
3
+
= − n
n an n
(d) 22 n
n an
=
(e) n n
n n
an
9 4
3 2 1 2 1
+
= + + −
(f) 2 1
2 3
4 3 2
+
−
+
⋅
= nn + n n an
(g) 1
1
6 2 4
5 3 2 6
−
−
⋅
−
+
⋅
= n +n n n n n an
(h)
3 2 1 2 1 1
1 2
−
−
= n+
n
an
(i) an =n 5n7 −n2 +2
(j) an =n 2n +3n−1 +2
(k) an =3n+ n2 +4
(l) an =n− n2 +4 (m) an =n− 2n2 −1
(n) an =2n− 4n2 −n
(o) an =n
(
n− n2 +2)
(p) an =n
(
n− n2 +2n)
(q) an =n−3 n3 −n2
(r) an =n−3 n3 −n2
(s) 1
2 2 +
+
= − n
n n an n
(t) n n n
n an n
+
−
−
= −
2 2
4 2
1
(u) 1
! sin
= + n an n
(v)
n
n n
a n
7
1 1
−
= +
(w)
2 2
2
2 3 n
n n
a n
+
= (x)
n
n n
a n
−
= + 4
3
(y)
n
n n
a
−
= 12 1
(z) n
n
n n
a n
3 )!
1 (
! 3 1
+
= + ⋅
Odpowiedzi:
(a) 2 (b) +∞ (c) 0 (d) 2
1
(e) 3 1
(f) 2 3
(g) –4
(h) 2 1
(i) 1 (j) 3 (k) +∞ (l) 0
(m) −∞ (n) 4
1
(o) –1 (p) −∞ (q) −∞
(r) 3 1
(s) 0 (t) 0 (u) 0 (v) e14
(w) e6 (x) nie
istnieje (y) 1 (z) 0
Zadanie 2
Obliczyć granicę ciągu
( )
a , gdy:n(a) n
an = n2+1 (b)
n
n n
a n
= + 2
1
(c) 1 3 5 (2 1)
2 1 4
1 2 1 1
− + + + +
+ + + +
= n
an n
K K
(d) n
n
n n
a n −
+
= 2 1 1
(e) an =1+2n −3n (f)
1 1
2 +
+
=
n
n n
a n
(g)
n
n n
a n
6
2 3
1
3
+
= + (h)
n
n n
a n
= + 1 (i)
1
1 3
1
−
+
=
n
n n
a
(j)
n
n n
a n
2 5
3 4 −
+
= +
(k)
3 2 2
2 1 2−
−
=
n
n n
a n
(l) n nn nn
n 5 4
2 lim 3
+ +
∞
→
Odpowiedzi (a) ∞
(b) 0 (c) 0 (d) 0
(e) −∞ (f) ∞ (g) e−2 (h) e
1
(i) e3 (j) 12 e (k) e−2
(l) 5 3
Zadanie 3
Korzystając z twierdzenia o trzech ciągach oblicz granice:
(a) 3 2
) 1 ( lim2
+
− +
∞
→ n
n n
n
(b) n n n
n n
n 5 4
2 lim 3
+ +
∞
→
(c) 2 2
2
cos 3 4
! sin lim 2
n n
n n
n −
+
∞
→
(d) n
n 3 sinn
lim +
∞
→
