13. Zadania do wykładu Analiza IB, R. Szwarc 1. Obliczyć granice
lim
x→0−
tg x
x2 lim
x→0+
1 − cos√ x
sin x lim
x→0+
e1/x
log x lim
x→∞
log(1 + x) log x
x→∞lim
log x
log(log x) lim
x→1
4x− 3x− 1
x3− 1 lim
x→π/2(π2− 4x2) tg x lim
x→0+xsin x
x→∞lim
1 − 1 x
x
x→∞lim x
π
2 − arctg x
x→∞lim x2
1 − x sin 1 x
x→0lim+
log 1 x
x
2. Obliczyć granice
x→0lim
ex− e−x− 2x
x − sin x lim
x→0
x − sin x
x3 lim
x→0(ctg x − x−1) lim
x→0(x−2− ctg2x)
x→∞lim log x
xε , (ε > 0) lim
x→0x−100e−1/x lim
x→0
arcsin x x
1/x2
x→∞lim
x2006 log1003(x2+ 1) 3. Obliczyć granice ciągów.
limn n(51/n− 31/n) lim
n n1−
√
2[(n + 1)
√ 2− n
√
2] lim
n
e1/n2 − 1
e1/n− 1 lim
n
log4n
√n
4. Niech
f (x) =
cos x
x2− π2/4 x 6= ±π 2
−1
π x = ±π
2
Pokazać, że funkcja f jest ciągła i różniczkowalna w punktach −π/2 i π/2.
5. (a) Pokazać, że lim
x→0+x(xx) = 0.
(b) Pokazać, że lim
x→0+(xx)x = 1.
6. Sprawdzić efekt zastosowania reguły de l’Hospitala do granicy lim
x→0
e−1/x2 x .
7. Pokazać, że założenia twierdzenie Cauchy’ego, które służy do wyprowadzenia reguły de l’Hospitala, można osłabić zastępując żądanie g0(x) 6= 0 dla a < x < b przez g(b) 6= g(a) oraz g0(x) 6= 0 dla każdego x, dla którego f0(x) = 0.
8. Niech R będzie prostokątem leżącym w pierwszej ćwiartce, którego podstawa leży na osi x, jeden z wierzchołków znajduje się w początku układu, a przeciwny wierzchołek leży na wykresie funkcji y = e−x.
(a) Pokazać, że dla dowolnej liczby ε > 0 pole R jest mniejsze niż ε, jeśli podstawa prostokąta jest odpowiednio duża.
(b) Pokazać, że prostokąt o największym możliwym polu ma podstawę równą 1.
9. Trójkąt prostokątny T leży w pierwszej ćwiartce. Przyprostokątne znajdują się na osiach, a przeciwprostokątna jest styczna do wykresu y = e−x.
(a) Pokazać, że dla ε > 0 pole trójkąta T jest mniejsze niż ε jeśli podstawa jest odpowiednio duża.
(b) Pokazać, że podstawa trójkąta o największym polu jest równa 2.
1
