Graf jest struktur¸a algebraiczn¸a zÃlo˙zon¸a z wierzchoÃlk´ow i kraw¸edzi

MATEMATYKA DYSKRETNA - wykÃlad 10 dr in˙z. Krzysztof Bry´s

Elementy teorii graf´ow.

Co to jest graf?

Ten wykÃlad po´swi¸econy b¸edzie podstawowym wiadomo´sciom dotycz¸acym graf´ow. Graf jest struktur¸a algebraiczn¸a zÃlo˙zon¸a z wierzchoÃlk´ow i kraw¸edzi. Ka˙zda kraw¸ed´z Ãl¸aczy dwa wierz- choÃlki i mo˙ze by´c uto˙zsamiana ze swoimi ko´ncami. Graficznie mo˙zna interpretowa´c graf jako zbi´or punkt´ow pÃlaszczyzny poÃl¸aczonych wraz z liniami Ãl¸acz¸acymi niekt´ore pary wierzchoÃlk´ow.

Grafy s¸a uniwersalnym narz¸edziem, gdy˙z ten sam graf mo˙ze stanowi´c dane dla problemu z tak r´o˙znych dziedzin jak: informatyka, transport, chemia, socjologia. Rozwi¸azanie pewnego problemu dla danego grafu mo˙ze by´c r´ownowa˙zne rozwi¸azaniu r´o˙znych problem´ow z r´oznych dziedzin. Popatrzmy na poni˙zszy rysunek. R´o˙zne znaczeniowo sytuacje zinterpretowane s¸a graficznie poprzez ten sam graf, w kt´orym ´srodkowy wierzchoÃlek jest poÃl¸aczony z dwoma bocznymi.

u

u u

@@

@

%%

%

u

u u

@@

@

%%

%

u

u u

@@

@

%%

%

Warszawa

Pcim W¸achock

O

H H

Ja´s

MaÃlgosia Zosia

Podczas tego wykÃladu wprowadzimy jedynie podstawowe poj¸ecia dotycz¸ace graf´ow i om´owimy ich podstawowe wÃlasno´sci.

Graficzn¸a posta´c grafu nazywamy rysunkiem grafu. Nale˙zy zwr´oci´c uwage na fakt, ˙ze dany graf mo˙zna narysowa´c na wiele sposob´ow, gdy˙z rozmieszczenie wierzchoÃlk´ow i ksztaÃlt kraw¸edzi nie ma znaczenia.

Wiele problem´ow definiowanych dla graf´ow ma zwykle proste sformuÃlowanie i proste rozwi¸azanie dla maÃlych graf´ow. Jednak dla du˙zych graf´ow (a z takimi stykamy sie w rzeczywistych zagad- nieniach) obliczenia wymagaj¸a u˙zycia komputera. St¸ad potrzeba stworzenia modelu matem- atycznego grafu i definiowania wÃlasno´sci graf´ow przy u˙zyciu tego modelu. Podamy teraz definicj¸e algebraiczn¸a grafu i wprowadzimy szereg podstawowych poj¸e´c w grafach posÃluguj¸ac si¸e t¸a definicj¸a.

Grafem (grafem prostym, grafem niezorientowanym) nazywamy par¸e (V, E) gdzie V jest pewnym zbiorem zwanym zbiorem wierzchoÃlk´ow, natomiast E jest zbiorem pewnych par nieu- porz¸adkowanych element´ow ze zbioru V zwanym zbiorem kraw¸edzi. Kraw¸edzi¸a w grafie nazy- wamy nieuporz¸adkowan¸a par¸e wierzchoÃlk´ow.

Grafem zorientowanym (grafem skierowanym) nazywamy par¸e (V, E) gdzie V jest pewnym zbiorem zwanym zbiorem wierzchoÃlk´ow, natomiast E jest zbiorem pewnych par uporz¸adkowanych element´ow ze zbioru V zwanym zbiorem kraw¸edzi. Kraw¸edzi¸a w grafie zorientowanym nazy- wamy uporz¸adkowan¸a par¸e wierzchoÃlk´ow.

Je˙zeli kraw¸edziom grafu przypisane s¸a liczby zwane wagami, to graf taki nazywamy grafem wa˙zonym.

7

Jednak podczas tego wykÃladu (za wyj¸atkiem sytuacji gdy b¸edzie to wyra´znie zaznaczone) przez graf rozumie´c b¸edziemy graf prosty.

Podstawowe poj¸ecia

Niech G = (V, E) b¸edzie grafem. Zbi´or wierzchoÃlk´ow grafu G oznaczamy przez V (G) a liczb¸e wierzchoÃlk´ow grafu G przez |G|. Zbi´or kraw¸edzi grafu G oznaczamy przez E(G) a liczb¸e kraw¸edzi grafu G przez e(G).

Je˙zeli e = {x, y} jest kraw¸edzi¸a w grafie G (czyli x, y s¸a wierzchoÃlkami grafu G, to m´owimy,

˙ze e jest kraw¸edzi¸a o ko´ncach x, y i piszemy kr´otko e = xy. Zatem, jesli x i y s¸a wierzchoÃlkami w grafie G, to xy oznacza kraw¸ed´z o ko´ncach x, y. Je˙zeli taka kraw¸ed´z istnieje to m´owimy, ˙ze wierzchoÃlki x i y s¸asiaduj¸a albo, ˙ze s¸a poÃl¸aczone kraw¸edzi¸a a kraw¸ed´z e = xy jest incydentna do wierzchoÃlk´ow x i y.

Dwa grafy nazywamy izomofricznymi je´sli istnieje pomi¸edzy nimi izomorfizm graf´ow czyli bijekcja pomi¸edzy ich zbiorami wierzchoÃlk´ow, kt´ora zachowuje kraw¸edzie (to znaczy dwa wierzchoÃlki w jednym z tych graf´ow s¸a poÃl¸aczone kraw¸edzia wtedy i tylko wtedy gdy odpowiadaj¸ace im wierzchoÃlki w drugim z graf´ow te˙z s¸a poÃl¸aczone kraw¸edzi¸a).

u u u

u

u

u u

e u eee

¡¡¡

¡¡

¡¡

¡ @@@@@

³³

³³

³ PPPPP

Dwa izomorficzne grafy. Izomorfizmem jest tutaj dowolna bijekcja mi¸edzy zbiorami wierzchoÃlk´ow.

Intuicyjnie, dwa grafy s¸a izomorficzne je´sli daj¸a si¸e narysowa´c w ten sam spos´ob czyli gdy maj¸a wsp´olny rysunek. Nale˙zy zwr´o´ci´c uwag¸e na fakt, ˙ze graf mo˙ze by´c narysowany na niesko´nczenie wiele sposob´ow. Zatem, o ile dla maÃlych graf´ow badanie izomorficzno´sci jest sto- sunkowo proste, o tyle dla du˙zych graf´ow problem stwierdzenia czy dwa grafy s¸a izomorficzne jest problemem trudnym w sensie zÃlo˙zono´sci obliczeniowej (czyli m´owi¸ac nieformalnie nawet najszybszy komputer mo˙ze mie´c kÃlopoty z szybkim rozwi¸azaniem tego problemu). Nale˙zy pami¸eta´c, ˙ze ilekro´c b¸edziemy m´owi´c, ˙ze problem jest trudny w sensie zÃlo˙zonosci obliczeniowej b¸edziemy mie´c na my´sli aktualny stan wiedzy i fakt, ze do tej pory nie udaÃlo si¸e stworzy´c szybkiego algorytmu rozwi¸azuj¸acego dany problem.

Podgrafem grafu G nazywamy graf H taki, ˙ze V (H) ⊆ V (G) oraz E(H) ⊆ E(G). Ze wzgl¸edu na to, ˙ze graf jest struktur¸a zÃlo˙zon¸a z dw´och rodzaji element´ow (wierzchoÃlk´ow i kraw¸edzi) wyr´o˙zniamy dwa rodzaje podgraf´ow indukowanych.

Podgrafem indukowanym w grafie G przez zbi´or wierzchoÃlk´ow V⁰ ⊆ V (G) nazywamy graf, kt´orego zbiorem wierzchoÃlk´ow jest V⁰ a zbi´or kraw¸edzi skÃlada si¸e z tych kraw¸edzi grafu G, kt´ore maj¸a oba ko´nce w V⁰.

Podgrafem indukowanym w grafie G przez zbi´or kraw¸edzi E⁰ ⊆ E(G) nazywamy graf, kt´orego zbiorem kraw¸edzi jest E⁰ a zbi´or wierzchoÃlk´ow skÃlada si¸e z tych wierzchoÃlk´ow grafu G, kt´ore s¸a ko´ncami co najmniej jednej kraw¸edzi z E⁰.

Z punktu widzenia praktycznego wa˙zne jest r´ownie˙z wprowadzenie poj¸ecia podgrafu rozpinaj¸acego.

Podgrafem rozpinaj¸acym grafu G nazywamy dowolny podgraf H grafu G, dla kt´orego V (H) = V (G).

O ile podgraf indukowany przez dany zbi´or wierzchoÃlk´ow lub kraw¸edzi jest wyznaczony

jednoznacznie o tyle podgrafem rozpinaj¸acym jest dowolny podgraf, w kt´orym s¸a wszystkie wierzchoÃlki grafu G.

Stopniem wierzchoÃlka v w grafie G nazywamy liczb¸e kraw¸edzi wychodz¸acych z tego wierz- choÃlka (kraw¸edzi kt´orych jest ko´ncem) czyli liczb¸e jego s¸asiad´ow i zapisujemy degG(v)

Minimalny stopie´n wierzchoÃlka w grafie G oznaczamy przez δ(G). Czyli:

δ(G) = min{deg_G(v) : v ∈ V (G)

Maksymalny stopie´n wierzchoÃlka w grafie G oznaczamy przez ∆(G). Czyli:

∆(G) = min{deg_G(v) : v ∈ V (G)

Z poj¸eciem stopnia wierzchoÃlka zwi¸azany jest pierwsza wÃlasno´s´c grafu, kt´or¸a wymienimy i kt´orej dow´od opiera si¸e na spostrze˙zeniu, ˙ze ka˙zda kraw¸ed´z ma dwa ko´nce.

Fakt W dowolnym grafie G suma stopni wierzchoÃlk´ow jest r´owna podwojonej liczbie kraw¸edzi Wnioskiem st¸ad jest fakt, ˙ze suma stopni wierzchoÃlk´ow musi by´c liczb¸a parzyst¸a.

Grafem peÃlnym o n wierzchoÃlkach nazywamy graf w kt´orym jest n wierzchoÃlk´ow i ka˙zde dwa z nich s¸a poÃl¸aczone kraw¸edzi¸a. Dla ustalonego n ka˙zdy graf peÃlny daje si¸e narysowa´c w ten sam spos´ob. Graf peÃlny o n wierzchoÃlkach oznaczamy przez K_n.

Poni˙zszy rysunek przedstawia grafy peÃlne o n = 1, 2, 3, 4, 5 wierzchoÃlkach.

u u u u u

u

u u u u

u u u u

u

AA A

¢¢

¢ ¡@¡¡

@@

AA A

¢¢

¢

¡e¡¡ ee

¤¤¤¤¤¤C CC

CC C

K₁ K₂ K₃ K₄ K₅

Wprowadzimy teraz definicje pewnych elementarnych obiekt´ow w grafach.

Scie˙zk¸a w grafie G nazywamy ci¸ag wierzchoÃlk´ow v´ ₀, v₁, . . . v_k taki, ˙ze ka˙zde dwa kolejne wierzchoÃlki w tym ci¸agu s¸a poÃl¸aczone kraw¸edzi¸a.

Scie˙zk¸a zamkni¸et¸a w grafie G nazywamy sice˙zk¸e v´ ₀, v₁, . . . v_k tak¸a, ˙ze v₀ = v_k.

Drog¸a w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e, na kt´orej ˙zaden wierzchoÃlek nie pojawia si¸e wi¸ecej ni˙z raz.

Ka˙zd¸a drog¸e o n wierzchoÃlkach mozna narysowa´c w ten sam spos´ob pokazany na rysunku.

Drog¸e o n wierzchoÃlkach oznaczamy przez P_n

Cyklem w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e zamkni¸et¸a, na kt´orej ˙zaden wierzchoÃlek, za wyj¸atkiem pocz¸atkowego i ko´ncowego, nie pojawia si¸e wi¸ecej ni˙z raz.

Ka˙zdy cykl o n wierzchoÃlkach mozna narysowa´c w ten sam spos´ob pokazany na rysunku.

Cykl o n wierzchoÃlkach oznaczamy przez Cn

u u u p p p u

v₁ v₂ v₃ v_n

&%

'$u u

u u

p p p

v₁ v₂ v3

v_n

Graf P_n - droga o n wierzchoÃlkach Graf C_n - cykl o n wierzchoÃlkach

Graf G nazywamy sp´ojnym je´sli mi¸edzy ka˙zd¸a par¸a wierzchoÃlk´ow w tym grafie istnieje droga. Inticyjnie, graf sp´ojny to taki, kt´ory daje si¸e narysowa´c w jednym ”kawaÃlku”. Taki sp´ojny ”kawaÃlek” grafu nazywamy skÃladow¸a sp´ojno´sci grafu. Formalnie rzecz bior¸ac, skÃladow¸a sp´ojno´sci grafu G nazywamy maksymalny podgraf sp´ojny grafu G, maksymalny w tym sensie, ze dodanie czegokolwiek z reszty grafu powoduje, ze otrzymany podgraf przestaje byc sp´ojny.

Ka˙zdy graf sp´ojny ma dokÃladnie jedn¸a skÃladow¸a sp´ojno´sci.

u

u u

u u

u u

u

´´´´´ QQ QQ Q

´´´´´ QQ

QQQ u

graf sp´ojny graf niesp´ojny o dw´och skÃladowych sp´ojno´sci

Zdefiniujmy teraz podstawowe dziaÃlania na grafach.

Przez G \ v oznaczmy graf otrzymany z G przez usuni¸ecie wierzchoÃlka v. Usuwaj¸ac wierz- choÃlek usuwamy wszystkie kraw¸edzie z niego wychodz¸ace. Przez G \ e oznaczmy graf otrzy- many z G przez usuni¸ecie kraw¸edzi e. W grafie takim pozostaj¸a wszystkie wierzchoÃlki. Je´sli V⁰ jest podzbiorem V (G), to przez G \ V⁰ oznaczamy graf, kt´ory powstaje z G przez usuni¸ecie wszystkich wierzchoÃlk´ow nale˙z¸acych do V⁰ oraz wszystkich kraw¸edzi, kt´ore maj¸a co najmniej jeden koniec w V⁰.

Drzewa i lasy Lasem nazywamy dowolny graf, kt´ory nie zawiera cykli.

Drzewem nazywamy dowolny graf sp´ojny, kt´ory nie zawiera cykli. Mo˙zna zatem powiedzie´c,

˙ze drzewo to sp´ojny las.

Ka˙zdy wierzchoÃlek o stopniu 1 w drzewie nazywamy lisciem. Natomiast mostem w grafie sp´ojnym nazywamy dowoln¸a kraw¸ed´z, kt´orej usuni¸ecie powoduje, ˙ze otrzymany graf jest niesp´ojny.

Wymienimy teraz kilka wÃlasno´sci drzew. Ich dowody pominiemy gdy˙z s¸a stosunkowo proste.

Je˙zeli T jest drzewem, to

1) dowolne dwa wierzchoÃlki w T s¸a poÃl¸aczone dokÃladnie jedn¸a drog¸a.

2) e(T ) = |T | − 1.

3) Ka˙zda kraw¸ed´z w T jest mostem.

4) W drzewie T o co najmniej dw´och wierzchoÃlkach s¸a co najmniej dwa li´scie.

Cykle w grafach

Scie˙zk¸a Eulera w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e, kt´ora przechodzi przez ka˙zd¸a kraw¸ed´z grafu´ G dokÃldnie raz. ´Scie˙zk¸a zamkni¸et¸a Eulera albo Cyklem Eulera w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e

zamkni¸et¸a, kt´ora przechodzi przez ka˙zd¸a kraw¸ed´z grafu G dokÃldnie raz.

Euler, w 1736 roku, sformuÃlowaÃl warunki r´ownowa˙zne istnieniu cyklu Eulera w grafie.

Podane przez niego twierdzenie uwa˙zane jest za historycznie pierwsze twierdzenie teorii graf´ow.

Twierdzenie Eulera Graf sp´ojny G ma cykl Eulera ⇔ ka˙zdy wierzchoÃlek w grafie G ma parzysty stopie´n.

Wniosek Graf sp´ojny G ma ´sciezk¸e Eulera ⇔ ka˙zdy wierzchoÃlek w grafie G, za wyj¸atkiem 0 lub 2 wierzchoÃlk´ow, ma parzysty stopie´n.

Zwr´o´cmy uwag¸e, ˙ze graf nie mo˙ze mie´c tylko jednego wierzchoÃlka o nieparzystym stopniu bo suma stopni musi byc liczb¸a parzyst¸a. Jesli ma 0 wierzchoÃlk´ow nieparzystego stopnia, to ma cykl Eulera, kt´ory zarazem jest ´scie˙zk¸a Eulera bo ka˙zda ´scie˙zka zamkni¸eta jest ´scie˙zk¸a.

Je´sli ma 2wierzchoÃlki nieparzystego stopnia, to nie ma cyklu Eulera ale ma ´scie˙zk¸e Eulera.

Z przytoczonego twierdzenia wynika, ˙ze badanie czy graf ma cykl Eulera jest rzecz¸a prost¸a. Okazuje si¸e jednak, ˙ze wymiana w definicji cyklu Eulera sÃlowa ”ka˙zd¸a kraw¸ed´z” na ” ka˙zdy wierzchoÃlek” powoduje powstanie definicji obiektu zwanego cyklem Hamiltona, kt´orego znalezienie w grafie jest w og´olno´sci problemem trudnym w sensie zÃlo˙zono´sci obliczeniowej.

Drog¸a Hamiltona w grafie G nazywamy drog¸e, kt´ora przechodzi przez ka˙zdy wierzchoÃlek tego grafu.

Cyklem Hamiltona w grafie G nazywamy cykl, kt´ory przechodzi przez ka˙zdy wierzchoÃlek tego grafu.

Kolorowanie graf´ow

W grafach mo˙zemy m´owi´c zar´owno o kolorowaniu kraw¸edzi jak i o kolorowaniu wierz- choÃlk´ow. Z punktu widzenia zastosowa´n istotne jest badanie pewnych szczeg´olnych kolorowa´n zwanych dobrymi.

k-pokolorowaniem wierzchoÃlk´ow grafu G nazywamy dowoln¸a funkcj¸e, kt´ora ka˙zdemu wierz- choÃlkowi grafu G przypisuje liczb¸e ze zbioru {1, 2, . . . k}.

k-pokolorowanie wierzchoÃlk´ow grafu nazywamy dobrym je´sli ka˙zde dwa wierzchoÃlki poÃl¸aczone kraw¸edzi¸a maj¸a r´ozne kolory.

Minimaln¸a liczb¸e kolor´ow potrzebn¸a do dobrego pokolorowania wierzchoÃlk´ow grafu G nazy- wamy liczb¸a chromatyczn¸a grafu G i oznaczamy przez χ(G).

Graf G nazywamy dwudzielnym je´sli jego zbi´or wierzchoÃlk´ow mo˙zna podzieli´c na takie dwa podzbiory zwane klasami dwudzielno´sci, ˙ze dowolna kraw¸ed´z w grafie G ma jeden koniec w jednej a drugi w drugiej klasie dwudzielno´sci.

Oczywi´scie dla dowolnego grafu dwudzielnego G, kt´ory zawiera co najmniej jedn¸a kraw¸ed´z χ(G) = 2.

Dla graf´ow peÃlnych χ(K_n) = n bo ka˙zdy wierzchoÃlek trzeba pokolorowa´c innym kolorem.

Dla cykli χ(C_n) = 2 je´sli n jest parzyste oraz χ(C_n) = 3 je´sli n jest nieparzyste.

Twierdzenie Brooksa Dla dowolnego grafu G, kt´ory nie jest grafem peÃlnym ani cyklem o nieparzystej liczbie wierzchoÃlk´ow: χ(G) ≤ ∆(G).

k-pokolorowaniem kraw¸edzi grafu G nazywamy dowoln¸a funkcj¸e, kt´ora ka˙zdej kraw¸edzi przypisuje liczb¸e ze zbioru {1, 2, . . . k}.

k-pokolorowanie kraw¸edzi grafu nazywamy dobrym je´sli ka˙zde dwie kraw¸edzie o wsp´olnym ko´ncu maj¸a r´ozne kolory.

Minimaln¸a liczb¸e kolor´ow potrzebn¸a do dobrego pokolorowania kraw¸edzi grafu G nazy- wamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy przez χ⁰(G).

Twierdzenie Vizinga Dla dowolnego grafu G: χ⁰(G) = ∆(G) albo χ⁰(G) = ∆(G) + 1.

Je´sli G jest grafem dwudzielnym, to χ⁰(G) = ∆(G). Dla graf´ow peÃlnych: χ⁰(K_n) = n je´sli n jest nieparzyste oraz χ⁰(K_n) = n − 1 je´sli n jest parzyste.

Zar´owno problem znalezienia liczby chromatycznej jak i problem znalezienia indeksu chro- matycznego grafu s¸a problemami trudnymi w sensie zÃlo˙zono´sci obliczeniowej.

Grafy pÃlaskie

Graf G nazywamy pÃlaskim je´sli mo˙zna go narysowa´c w taki spos´ob, ˙ze kraw¸edzie przecinaj¸a si¸e jedynie w wierzchoÃlkach b¸ed¸acych ich ko´ncami. Taki rysunek grafu nazywamy reprezentacj¸a pÃlask¸a grafu G.

Powy˙zszy wykÃlad miaÃl sÃlu˙zy´c jedynie zapoznaniu czytelnka z podstawami teorii graf´ow i uÃlatwi´c mu w przyszÃlo´sci przyswajanie nowych poj¸e´c i zagadnie´n zwi¸azanych z grafami.

Wprowadzili´smy tylko pewne wybrane zagadnienia. Teorii graf´ow po´swi¸eca si¸e cz¸esto odd- zielne wykÃlady semestralne a niekiedy i roczne. Czytelnika zainteresowanego poszerzeniem swojej wiedzy dotycz¸acej teorii graf´ow odsyÃlamy do bogatej literatury z tej dziedziny.