1
MATEMATYKA DYSKRETNA dr in˙z. Krzysztof Bry´s
Elementarne poj¸ecia teorii graf´ow.
Grafem (grafem prostym, grafem niezorientowanym) nazywamy par¸e (V, E) gdzie V jest pewnym zbiorem zwanym zbiorem wierzcho lk´ow, natomiast E jest zbiorem pewnych par nieu- porz¸adkowanych element´ow ze zbioru V zwanym zbiorem kraw¸edzi.
Grafem zorientowanym (grafem skierowanym) nazywamy par¸e (V, E) gdzie V jest pewnym zbiorem zwanym zbiorem wierzcho lk´ow, natomiast E jest zbiorem pewnych par uporz¸adkowanych element´ow ze zbioru V zwanym zbiorem kraw¸edzi.
Je˙zeli kraw¸edziom grafu przypisane s¸a liczby zwane wagami, to graf taki nazywamy grafem wa˙zonym.
Niech G = (V, E) b¸edzie grafem. Zbi´or wierzcho lk´ow grafu G oznaczamy przez V (G) a liczb¸e wierzcho lk´ow grafu G przez |G|. Zbi´or kraw¸edzi grafu G oznaczamy przez E(G) a liczb¸e kraw¸edzi grafu G przez e(G).
Dwa grafy nazywamy izomofricznymi je´sli istnieje pomi¸edzy nimi izomorfizm graf´ow czyli bijekcja pomi¸edzy ich zbiorami wierzcho lk´ow, kt´ora zachowuje kraw¸edzie.
Podgrafem grafu G nazywamy graf H taki, ˙ze V (H) ⊆ V (G) oraz E(H) ⊆ E(G).
Podgrafem indukowanym w grafie G przez zbi´or wierzcho lk´ow V0 ⊆ V (G) nazywamy graf, kt´orego zbiorem wierzcho lk´ow jest V0 a zbi´or kraw¸edzi sk lada si¸e z tych kraw¸edzi grafu G, kt´ore maj¸a oba ko´nce w V0.
Podgrafem indukowanym w grafie G przez zbi´or kraw¸edzi E0 ⊆ E(G) nazywamy graf, kt´orego zbiorem kraw¸edzi jest E0 a zbi´or wierzcho lk´ow sk lada si¸e z tych wierzcho lk´ow grafu G, kt´ore s¸a ko´ncami co najmniej jednej kraw¸edzi z E0.
Podgrafem rozpinaj¸acym grafu G nazywamy dowolny podgraf H grafu G, dla kt´orego V (H) = V (G).
Stopniem wierzcho lka v w grafie G nazywamy liczb¸e kraw¸edzi wychodz¸acych z tego wierz- cho lka (kraw¸edzi kt´orych jest ko´ncem) i oznaczamy przez degG(v)
Minimalny stopie´n wierzcho lka w grafie G:
δ(G) = min{degG(v) : v ∈ V (G)}
Maksymalny stopie´n wierzcho lka w grafie G :
∆(G) = min{degG(v) : v ∈ V (G)}
Grafem pe lnym o n wierzcho lkach nazywamy graf w kt´orym jest n wierzcho lk´ow i ka˙zde dwa z nich s¸a po l¸aczone kraw¸edzi¸a. Graf pe lny o n wierzcho lkach oznaczamy przez Kn.
Scie˙zk¸a w grafie G nazywamy ci¸ag wierzcho lk´ow v´ 0, v1, . . . vk taki, ˙ze ka˙zde dwa kolejne wierzcho lki w tym ci¸agu s¸a po l¸aczone kraw¸edzi¸a.
Scie˙zk¸a zamkni¸et¸a w grafie G nazywamy sice˙zk¸e v´ 0, v1, . . . vk tak¸a, ˙ze v0 = vk.
Drog¸a w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e, na kt´orej ˙zaden wierzcho lek nie pojawia si¸e wi¸ecej ni˙z raz. Drog¸e o n wierzcho lkach oznaczamy przez Pn. Drog¸e o ko´ncach w wierzcho lkach u, v nazywamy u − v drog¸a
Cyklem w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e zamkni¸et¸a, na kt´orej ˙zaden wierzcho lek, za wyj¸atkiem pocz¸atkowego i ko´ncowego, nie pojawia si¸e wi¸ecej ni˙z raz. Cykl o n wierzcho lkach oznaczamy przez Cn
2
Graf G nazywamy sp´ojnym je´sli mi¸edzy ka˙zd¸a par¸a wierzcho lk´ow w tym grafie istnieje droga.
Sk ladow¸a sp´ojno´sci grafu G nazywamy maksymalny podgraf sp´ojny grafu G, maksymalny w tym sensie, ze dodanie czegokolwiek z reszty grafu powoduje, ze otrzymany podgraf przestaje byc sp´ojny. Ka˙zdy graf sp´ojny ma dok ladnie jedn¸a sk ladow¸a sp´ojno´sci.
Niech v ∈ V (G), e ∈ E(G).
G \ v = graf otrzymany z G przez usuni¸ecie wierzcho lka v.
G \ e = graf otrzymany z G przez usuni¸ecie kraw¸edzi e.
Niech V0 ⊆ V (G).
G \ V0 = graf, kt´ory powstaje z G przez usuni¸ecie wszystkich wierzcho lk´ow nale˙z¸acych do V0 oraz wszystkich kraw¸edzi, kt´ore maj¸a co najmniej jeden koniec w V0.
Niech E0 ⊆ E(G).
G \ E0 = graf, kt´ory powstaje z G przez usuni¸ecie wszystkich kraw¸edzi nale˙z¸acych do E0 Lasem nazywamy dowolny graf, kt´ory nie zawiera cykli.
Drzewem nazywamy dowolny graf sp´ojny, kt´ory nie zawiera cykli. Mo˙zna zatem powiedzie´c,
˙ze drzewo to sp´ojny las.
Ka˙zdy wierzcho lek o stopniu 1 w drzewie nazywamy lisciem. Mostem w grafie sp´ojnym nazywamy dowoln¸a kraw¸ed´z, kt´orej usuni¸ecie powoduje, ˙ze otrzymany graf jest niesp´ojny.
Scie˙zk¸a Eulera w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e, kt´ora przechodzi przez ka˙zd¸a kraw¸ed´z grafu´ G dok ldnie raz.
Scie˙zk¸a zamkni¸et¸a Eulera albo cyklem Eulera w grafie G nazywamy ´scie˙zk¸e zamkni¸et¸a,´ kt´ora przechodzi przez ka˙zd¸a kraw¸ed´z grafu G dok ldnie raz.
Drog¸a Hamiltona w grafie G nazywamy drog¸e, kt´ora przechodzi przez ka˙zdy wierzcho lek tego grafu.
Cyklem Hamiltona w grafie G nazywamy cykl, kt´ory przechodzi przez ka˙zdy wierzcho lek tego grafu.
k-pokolorowaniem wierzcho lk´ow grafu G nazywamy dowoln¸a funkcj¸e, kt´ora ka˙zdemu wierz- cho lkowi grafu G przypisuje liczb¸e ze zbioru {1, 2, . . . k}.
k-pokolorowanie wierzcho lk´ow grafu nazywamy dobrym je´sli ka˙zde dwa wierzcho lki po l¸aczone kraw¸edzi¸a maj¸a r´ozne kolory.
Minimaln¸a liczb¸e kolor´ow potrzebn¸a do dobrego pokolorowania wierzcho lk´ow grafu G nazy- wamy liczb¸a chromatyczn¸a grafu G i oznaczamy przez χ(G).
Graf G nazywamy dwudzielnym je´sli jego zbi´or wierzcho lk´ow mo˙zna podzieli´c na takie dwa podzbiory zwane klasami dwudzielno´sci, ˙ze dowolna kraw¸ed´z w grafie G ma jeden koniec w jednej a drugi w drugiej klasie dwudzielno´sci.
k-pokolorowaniem kraw¸edzi grafu G nazywamy dowoln¸a funkcj¸e, kt´ora ka˙zdej kraw¸edzi przypisuje liczb¸e ze zbioru {1, 2, . . . k}.
k-pokolorowanie kraw¸edzi grafu nazywamy dobrym je´sli ka˙zde dwie kraw¸edzie o wsp´olnym ko´ncu maj¸a r´ozne kolory.
Minimaln¸a liczb¸e kolor´ow potrzebn¸a do dobrego pokolorowania kraw¸edzi grafu G nazy- wamy indeksem chromatycznym grafu G i oznaczamy przez χ0(G).
Graf G nazywamy p laskim je´sli mo˙zna go narysowa´c w taki spos´ob, ˙ze kraw¸edzie przecinaj¸a si¸e jedynie w wierzcho lkach b¸ed¸acych ich ko´ncami. Taki rysunek grafu nazywamy reprezentacj¸a p lask¸a grafu G.
Krzysztof Bry´s 2009c
