Niech A b¸edzie zbiorem operator´ow unitarnych na przestrzeni stan´ow

Obliczenia klasyczne i kwantowe.

8. OBWODY KWANTOWE I ZUPE LNO´S ´C ZBIOR ´OW BRAMEK KWANTOWYCH

Ustalmy baz¸e obliczeniow¸a przestrzeni stan´ow uk ladu kwantowego B^⊗n (gdzie B = C²).

Baza obliczeniowa: Dla ka˙zdego 0 ≤ x ≤ 2ⁿ− 1 niech |xi = |x_n−1...x₀i, gdzie x = x₀ + 2x₁+ ... + 2ⁿ⁻¹x_n−1, x_i ∈ {0, 1}.

Gdy operator T dzia la na podzbiorze kubit´ow odpowiadaj¸acych indeksom zbioru I, przez T [I] oznaczamy operator okre´slony na ca lej przestrzeni stan´ow, kt´ory dzia la jako operator T zastosowany do rejestru I i to˙zsamo´sciowo na innych H_j.

8.1. Obwody kwantowe. Niech A b¸edzie zbiorem operator´ow unitarnych na przestrzeni stan´ow. Zak ladamy, ˙ze A⁻¹ = A.

Obwodem kwantowym nad A nazywamy ci¸ag operator´ow U₁[I₁], ..., U_l[I_l], gdzie U_i ∈ A, a I_ijest podci¸agiem indeks´ow z {1, ..., n}. Wtedy m´owimy, ˙ze obw´od realizuje operator U = U_l[I_l] · · · U₁[I₁].

Liczba l jest rozmiarem obwodu. M´owimy, ˙ze g l¸eboko´s´c obwodu nie jest wy˙zsza ni˙z d, je´sli obw´od mo˙ze by´c zrealizowany na d poziomach, gdzie ka˙zdy poziom zawiera operatory, kt´orych rejestry I_j s¸a parami roz l¸aczne.

M´owimy, ˙ze operator U jest realizowany nad A ancillasowo (z pomocniczymi rejestrami) je´sli dla pewnego N > n istnieje operator W realizowany przez obw´od nad A w przestrzeni B^N, taki, ˙ze

W (|θi ⊗ |0^{N −n}i) = U (|θi) ⊗ |0^{N −n}i.

8.2. Twierdzenie o realizacji obwod´ow klasycznych. Niech odwzorowanie h : Bⁿ → B^m jest realizowane przez obw´od logiczny rozmiaru s i gl¸eboko´sci d nad zbiorem F .

Niech A = F⊕ sk lada si¸e z przekszta lcenia

CN OT : |xyi → |x(x ⊕ y)i.

i ze wszystkich unitarnych odpowiednik´ow U_f funkcji f ∈ F zdefiniowanych na Li´scie 4 (oznaczanych dalej przez f⊕). Wtedy

(1) dla pewnego g odwzorowanie

|¯x¯0i → |h(¯x), g(¯x)i

jest realizowane nad A przez obw´od kwantowy rozmiaru O(s) i gl¸eboko´sci O(d) (2) funkcja U_h jest realizowana ancillasowo nad A przez obw´od kwantowy rozmiaru O(s + n + m) i gl¸eboko´sci O(d).

1

Uwaga. CNOT jest przekszta lceniem unitarnym przestrzeni dwukubitowej zdefin- iowanym na wektorach bazowych w spos´ob nast¸epuj¸acy:

CN OT : |00i → |00i , |01i → |01i , |10i → |11i , |11i → |10i.

Pytanie: jak mo˙zna zrealizowa´c transpozycje rejestr´ow stosuj¸ac tylko CNOT?

8.3. Twierdzenie o realizacji permutacji klasycznych. Je´sli permutacja f : Bⁿ → Bⁿ i permutacja odwrotna f⁻¹ maj¸a realizacje przez obwody logiczne rozmi- aru s i g l¸eboko´sci d, to f mo˙ze by´c zrealizowana ancillasowo przez obracalny obw´od kwantowy rozmiaru O(s + n) i g l¸eboko´sci O(d).

Dodatkowo:

Zadanie. Pokaza´c, ˙ze ka˙zda permutacja bazy obliczeniowej mo˙ze by´c zrealizowana przez obw´od kwantowy nad 2-elementowym zbiorem bramek: jednokubitowa negacja

¬ i trzykubitowa bramka Toffoli gate:

|xyi ⊗ |zi → |xyi ⊗ |z ⊕ xyi.

8.4. Twierdzenie o realizacji dok ladniej. Ka˙zda transformacja unitarna w (B)^⊗k mo˙ze by´c zapisana jako iloczyn jednokubitowych transformacji unitarnych i dwukubitowych transformacji postaci CNOT zastosowanych do odpowiednich re- jestr´ow.

8.5. Definicja. Je´sli U : B^⊗k → B^⊗k jest operatorem unitarnym, to definiujemy operator unitarny Λ^l(U ) : B^⊗(l+k) → B^⊗(l+k) w spos´ob nast¸epuj¸acy

Λ^l(U ) : |x₁...x_li ⊗ |ξi → |x₁...x_li ⊗ |ξi , je´sli x₁· ... · x_l= 0 Λ^l(U ) : |x₁...x_li ⊗ |ξi → |x₁...x_li ⊗ U (|ξi) , je´sli x₁· ... · x_l = 1.

Zadanie. Pokaza´c, ˙ze dla ka˙zdego jednokubitowego operatora unitarnego U i dowol- nej pary i < j < 2ⁿ, obw´od kwantowy realizuj¸acy Λⁿ⁻¹(U ) rozmiaru s mo˙ze by´c przekszta lcony w obw´od kwantowy rozmiaru O(s) realizuj¸acy U zastosowany do wek- tor´ow bazowych |ii i |ji (zak ladamy, ˙ze ¬ i CN OT nale˙z¸a do operator´ow bazowych).

8.6. Metryka i topologia. Niech H b¸edzie przestrzeni¸a Hilberta nad C. Norma w H jest okre´slona w spos´ob nast¸epuj¸acy

k |ξi k=phξ|ξi.

Uwaga (´cwiczenie ): norma jest liczb¸a rzeczywist¸a, k c|ξi k= |c|· k |ξi k,

k |ξi + |ρi k≤k |ξi k + k |ρi k,

i norma wektora niezerowego te˙z jest niezerowa.

Na p´o lgrupie operator´ow liniowych L(H) okre´slamy norm¸e k T k= sup|ξi6=0

k T (|ξi) k k |ξi k .

2

8.7. Uwaga (´cwiczenie). (a)

k T S k≤k T k · k S k , k S^∗ k=k S k ,

k S ⊗ T k=k S k · k T k , dla unitarnego T zachodzi k T k= 1.

(b) Dla unitarnych S i T je´sli k S − T k≤ δ, to k S⁻¹− T⁻¹ k≤ δ.

(c) Dla unitarnych S_i i T_i je´sli k S_i− T_i k≤ δ_i, 1 ≤ i ≤ n, to k S₁S₂...S_n− T₁T₂...T_n k≤P

i≤nδ_i.

Przez U(H) oznaczamy grup¸e operator´ow unitarnych przestrzeni H.

Niech U(1) b¸edzie podgrup¸a przesuni¸e´c fazowych, tzn. macierzy skalarnych, gdzie przek¸atna sk lada si¸e z dimH powt´orze´n liczby c ∈ C z |c| = 1 (tzn U(1) jest izomor- ficzna z grup¸a multyplikatywn¸a liczb zespolonych d lugo´sci 1).

8.8. Baza standardowa.

Q = {K =1 0 0 i



, K⁻¹, CN OT, Λ(CN OT ), bramka Hadamara H = 1

√2

 1 1 1 − 1

 } 8.9. Twierdzenie o zupe lno´sci. Operatory bazy standardowej Q generuj¸a g¸est¸a podgrup¸e grupy U(B^⊗3)/U(1).

Uwaga: Niech α ∈ R \ Q i niech R b¸edzie sum¸a szeregu

−i · exp(πiα0 1 1 0

 ).

Wtedy jednokubitowy ¬ i trzykubitowa bramka Deutscha Λ²(R) te˙z generuj¸a g¸est¸a podgrup¸e grupy U(B^⊗3)/U(1).

M´owimy, ˙ze operator T : B^⊗k → B^⊗k jest aproksymowalny ancillasowo przez operator U : B^⊗(k+l)→ B^⊗(k+l) z dok ladno´sci¸a δ, je´sli dla ka˙zdego |ξi ∈ B^⊗k zachodzi nier´owno´s´c

k U (|ξi ⊗ |0^⊗li) − T (|ξi) ⊗ |0^⊗li k≤ δ k |ξi k .

Uwaga (´cwiczenie). Stwierdzenia Zadania 5.7 (b,c) zachodz¸a dla aproksymacji ancillasowej.

8.10. Twierdzenie o zupe lno´sci aproksymacyjnej. Niech C b¸edzie sko´nczon¸a baz¸a przestrzeni obwod´ow kwantowych.

Ka˙zdy obw´od kwantowy nad C rozmiaru L i g l¸eboko´sci d jest symulowany ancilla- sowo z dok ladno´sci¸a δ przez obw´od kwantowy nad baz¸a standardow¸a, kt´ory ma rozmiar O(Ln + n²log(n)) i gl¸eboko´s´c O(d · log(n) + log(n)²), gdzie n = O(log(L/δ)).

δ-Symulacja jest realizowana przez algorytm wielomianowy wzgl¸edem L.

8.11. Uniwersalne obwody kwantowe. Niech r ∈ N. Ustalaj¸ac dok ladno´s´c δ dowolny r-kubitowy obw´od kwantowy T rozmiaru ≤ L mo˙ze by´c δ-aproksymowany

3

przez r-kubitowy obw´od kwantowy rozmiaru ≤ L, kt´ory posiada {0, 1}-opis (kod) d lugo´sci poly(L2^rlog(1/δ)).

Na mocy Twierdzenia 5.10 odpowiedni obw´od mo˙ze by´c zrealizowany nad baz¸a standardow¸a przez obw´od rozmiaru poly(L2^rlog(1/δ)) z O(r) pomocniczymi rejestami i z precyzj¸a O(Lδ).

Podsumowanie:

Istnieje uniwersalny obw´od kwantowy U rozmiaru poly(L2^rlog(1/δ)) dzia laj¸acy na poly(L2^rlog(1/δ)) + r + O(r) kubitach, taki, ˙ze dla dowolnego r-kubitowego obwodu kwantowego T rozmiaru ≤ L istnieje poly(L2^rlog(1/δ))-kubitowy {0, 1}-opis ˆT taki,

˙ze

k U (| ˆT i ⊗ |ξi ⊗ |0^ki) − ˆT ⊗ T (|ξi) ⊗ |0^ki k= O(Lδ).

4